Chương 2

Toán 12

MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

Chương 1

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

KHỐI ĐA DIỆN

Chương 3

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Chương 4

SỐ PHỨC

Bài 2. Cực trị của hàm số

Bài 2

Cực trị của hàm số

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài 5

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Đường tiệm cận ngang</h3>Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng \[\left( a;+\infty&nbsp; \right),\left( -\infty ;b \right)\] hoặc \[\left( -\infty ;+\infty&nbsp; \right)\]). Đường thẳng \[y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \[y=f(x)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\]<h3 style="text-align:justify;">2. Đường tiệm cận đứng</h3>Đường thẳng \[x={{x}_{0}}\] được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \[y=f(x)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]Lưu ý: Đồ thị hàm số \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0;\text{ }ad-bc\ne 0 \right)\] luôn có tiệm cận ngang là \[y=\frac{a}{c}\] và tiệm cận đứng \[x=-\frac{d}{c}.\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm sốCách giải:<ul><li>Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\]\[\Rightarrow y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang</li><li style="text-align:justify;">Tính \[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]\[\Rightarrow x={{x}_{0}}\] được gọi là đường tiệm cận đứng</li></ul>Dạng 2. Khoảng cách từ điểm tới đường tiệm cận của đồ thị hàm sốCách giải:<ul><li>Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số</li><li>Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và các dữ kiện liên quan để tính toán</li></ul>\[d\left( {{M}_{0}};\Delta&nbsp; \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\]<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 30 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có:<ul><li>\[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=+\infty ;\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=-\infty \Rightarrow x=2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{x}{2-x}\] .</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{x}{2-x}\] .</li></ul>b) Ta có<ul><li>\[\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{-x+7}{x+1}\] .</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{-x+7}{x+1}\] .</li></ul>c) Ta có<ul><li>\[\underset{x\to {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=-\infty ;\underset{x\to {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=+\infty \Rightarrow x=\frac{2}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\] .</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=\frac{2}{5}\Rightarrow y=\frac{2}{5}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\] .</li></ul>d) Ta có:<ul><li>\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=+\infty ;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=-\infty \Rightarrow x=0\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{7}{x}-1\] .</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{7}{x}-1\] .</li></ul><h3>Bài 2. (trang 30 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có \[y=\frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}\]<ul><li>\[\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=+\infty \Rightarrow x=3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.</li><li>\[\underset{x\to {{(-3)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=+\infty \Rightarrow x=-3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}}{\frac{9}{{{x}^{2}}}-1}=0\Rightarrow y=0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.</li></ul>b) Ta có \[\text{y}=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}{3-2\text{x}-5{{\text{x}}^{2}}}=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}\]<ul><li>\[\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}=-\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.</li><li>\[\underset{x\to {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}=-\infty \Rightarrow x=\frac{3}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x}-5}=-\frac{1}{5}\Rightarrow y=-\frac{1}{5}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.</li></ul>c) Ta có:<ul><li>\[\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=+\infty \Rightarrow \] Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.</li></ul>d) Ta có:<ul><li>\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty \Rightarrow x=1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.</li><li>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}=1\Rightarrow y=1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.</li></ul>Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 4. Đường tiệm cận do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ&nbsp;

Bài 4. Đường tiệm cận

Bài 4

Đường tiệm cận

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốCho hàm số \(y = f\left( x \right)\), khi đó:+) \(f'\left( x \right) &gt; 0\) trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.+) \(f'\left( x \right) &lt; 0\) trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)+) Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a,b} \right)\).+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) thì \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left( {a,b} \right).\)2. Cực trị của hàm sốDấu hiệu 1:+) Nếu&nbsp; \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định tại \({x_0}\) và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) là điểm cực đại của hàm số.+) Nếu&nbsp; \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định tại \({x_0}\) và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) là điểm cực tiểu của hàm số.*) Quy tắc 1: (dựa vào dấu hiệu 1)+) Tính \(y'\)+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó \(y' = 0\) hoặc \(y'\) không xác định)+) Lập bảng xét dấu \(y'\) và dựa vào bảng xét dấu và kết luận.Dấu hiệu 2:Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp \(2\) tại \({x_0}\).+) \({x_0}\) là điểm cực đại \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) &lt; 0\end{array} \right.\)+) \({x_0}\) là điểm cực tiểu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) &gt; 0\end{array} \right.\)*) Quy tắc 2: (dựa vào dấu hiệu 2)+) Tính \(f'\left( x \right),f''\left( x \right)\).+) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm.+) Thay nghiệm vừa tìm vào \(f''\left( x \right)\) và kiểm tra, từ đó suy kết luận.3. Giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm sốQuy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho \(D\) là một khoảng)- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên \(D.\)- Lập BBT cho hàm số trên \(D.\)- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.*) Quy tắc riêng: (Dùng cho \(\left[ {a;b} \right]\)) . Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\)- Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm nghiệm trên \(\left[ {a,b} \right]\).- Giả sử phương trình có các nghiệm \({x_1},{x_2},... \in \left[ {a,b} \right]\).- Tính các giá trị \(f\left( a \right),f\left( b \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...\).- So sánh chúng và kết luận.4. Tiệm cận của đồ thị hàm số+) Đường thẳng \(x = a\) là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có một trong các điều kiện sau:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y =&nbsp; + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} y =&nbsp; - \infty \) hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y =&nbsp; + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} y =&nbsp; - \infty \)+) Đường thẳng \(y = b\) là TCN của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu có một trong các điều kiện sau:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to&nbsp; + \infty } y = b\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to&nbsp; - \infty } y = b\)5. Bảng biến thiên và đồ thị hàm sốa) Các dạng đồ thị hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\)<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/2020/0629/1593393968419_do_thi_ham_bac_ba.png" alt="">b) Các dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\)<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1537952294559_01.png" alt="">c) Các dạng đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)+) Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ { - \dfrac{d}{c}} \right\}\)+) Đạo hàm: \(y = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)- Nếu \(ad - bc &gt; 0\) hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư \(2\) và \(4.\)- Nếu \(ad - bc &lt; 0\) hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư \(1\) và \(3.\)+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: \(x =&nbsp; - \dfrac{d}{c}\) và TCN: \(y = \dfrac{a}{c}\)+) Đồ thị có tâm đối xứng: \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\)<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1537952362620_01.png" alt="">6. Sự tương giao của đồ thị hàm sốa) Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm sốPhương pháp:Cho \(2\) hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right).\) &nbsp;+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right):\)\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( * \right)\)+) Giải phương trình tìm \(x\) từ đó suy ra \(y\) và tọa độ giao điểm.+) Số nghiệm của \(\left( * \right)\) là số giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right).\)b) Tương giao của đồ thị hàm số bậc baPhương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng \(F\left( {x,m} \right) = 0\) (phương trình ẩn \(x\) tham số \(m\))+) Cô lập \(m\) đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\)+) Lập BBT cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).+) Dựa vào giả thiết và BBT từ đó suy ra \(m.\)*) Dấu hiệu:&nbsp;Sử dụng PP bảng biến thiên khi \(m\) độc lập với \(x.\)Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.+) Lập phương trình hoành độ giao điểm \(F\left( {x,m} \right) = 0\)+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử \(x = {x_0}\) là \(1\) nghiệm của phương trình.+) Phân tích: \(F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) (\(g\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc \(2\) ẩn \(x\) tham số \(m\)).+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc \(2\) \(g\left( x \right) = 0\).

Bài tập ôn tập chương 1

Bài 6

Ôn tập chương 1 (trang 45-48)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa</h3>Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên tập \[D.\]&nbsp;<ul><li style="text-align:justify;">Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \le M,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M \end{array} \right.\). Kí hiệu: \[M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f(x)\].</li><li style="text-align:justify;">Số \[m\] gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge m,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m \end{array} \right.\). Kí hiệu: \[m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f(x)\].</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất</h3>a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp<ul><li style="text-align:justify;">Bước 1: Tính \[{f}'\left( x \right)\] và tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\] mà tại đó \[{f}'\left( x \right)=0\] hoặc hàm số không có đạo hàm.</li><li style="text-align:justify;">Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.</li></ul>b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạnCho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right].\] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ a;b \right].\]<ul><li style="text-align:justify;">Bước 1: Tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\] trên khoảng \[\left( a;b \right)\] , tại đó \[{f}'\left( x \right)=0\] hoặc \[{f}'\left( x \right)\] không xác định.</li><li style="text-align:justify;">Bước 2: Tính \[f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).\]</li><li style="text-align:justify;">Bước 3: Khi đó:</li></ul>\[\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=\text{max}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\]&nbsp;\[\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=\text{min}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\]&nbsp;c. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng<ul><li style="text-align:justify;">Bước 1: Tính \[{f}'(x)\] .</li><li style="text-align:justify;">Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm \[{{x}_{i}}\in (a;b)\] của phương trình \[{f}'(x)=0\] và tất cả các điểm \[{{\alpha }_{i}}\in (a;b)\] làm cho \[{f}'(x)\] không xác định.</li><li style="text-align:justify;">Bước 3. Tính \[A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\] , \[B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\] , \[f({{x}_{i}})\] , \[f({{\alpha }_{i}})\] .</li><li style="text-align:justify;">Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận \[M=\underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\,f(x)\], \[m=\underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\,f(x)\].</li></ul>Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).Chú ý:<ul><li style="text-align:justify;">Nếu \[y=f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left[ a;b \right]\] thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \end{array} \right.\)</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[y=f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left[ a;b \right]\] thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( b \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( a \right) \end{array} \right..\)</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn,…Cách giải:Áp dụng các phương pháp trong phần kiến thức cần nhớ.Dạng 2. Bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtCách giải:<ul><li>Gọi một thông số theo biến \[x\] và biểu diễn các thông số còn lại theo \[x\] .</li><li>Từ yêu cầu bài toán lập phương trình hàm số theo biến x và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo biến rồi rút ra kết luận</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 24 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\]Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( b \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( a \right) \end{array} \right..\)Khi đó, \[y\left( -1 \right)=40;\,\,\,y\left( 3 \right)=8\]<ul><li>Xét hàm số trên \[\left[ -4;4 \right]\] ta có: \[y\left( -4 \right)=-41;y\left( 4 \right)=15\]</li></ul>\[\Rightarrow \underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( -4 \right)=-41;\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -1 \right)=40\]<ul><li>Xét hàm số trên \[\left[ 0;5 \right]\] ta có: \[y\left( 0 \right)=35;\,\,y\left( 5 \right)=40\]</li></ul>\[\Rightarrow \underset{\left[ 0;5 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 3 \right)=8;\,\underset{\left[ 0;5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 5 \right)=40\]b) \[y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\]Ta có \(y' = 4{x^3} - 6x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}} = 0}\\ {x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} } \end{array}} \right.\)Khi đó, \[y\left( 0 \right)=2;\,\,\,y\left( 3 \right)=8\]<ul><li>Xét hàm số trên \[\left[ 0;3 \right]\] ta có: \[y\left( 0 \right)=2;y\left( 3 \right)=56;y\left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right)=-\frac{1}{4}\]</li></ul>\[\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right)=-\frac{1}{4};\,\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 3 \right)=56\]<ul><li>Xét hàm số trên \[\left[ 2;5 \right]\] ta có: \[y\left( 2 \right)=6;\,\,y\left( 5 \right)=552\]</li></ul>\[\Rightarrow \underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 2 \right)=6;\,\underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 5 \right)=552\]c) \[y=\frac{2-x}{1-x}\]TXĐ: \[D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\]Ta có \[y'=\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}&gt;0;\forall x\in D\]\[\Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định\[\Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên \[\left[ 2;4 \right]\] và \[\left[ -3;-2 \right]\]\[\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 2 \right)=0;\,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 4 \right)=\frac{2}{3}\]\[\underset{\left[ -3;-2 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( -3 \right)=\frac{5}{4};\,\underset{\left[ -3;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -2 \right)=\frac{4}{3}\]d) \[y=\sqrt{5-4x}\]TXĐ: \[D=\left( -\infty ;\frac{5}{4} \right]\]Ta có \[\text{y}'=\frac{-2}{\sqrt{5-4\text{x}}}&lt;0;\forall x\in D\]\[\Rightarrow \]Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định\[\Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên \[\left[ -1;1 \right]\]&nbsp;\[\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 1 \right)=1;\,\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -1 \right)=3\]<h3>Bài 2. (trang 24 SGK Giải tích 12)</h3>Nửa chu vi hình chữ nhật là: \[16:2=8cm\].Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \[x\left( cm \right)\]\[\left( x&gt;0 \right)\]\[\Rightarrow \] Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : \[8x\left( cm \right)\]\[\Rightarrow \] Diện tích của hình chữ nhật là:\[S=x\left( 8x \right)=8x{{x}^{2}}=16\left( 168x+{{x}^{2}} \right)=16{{\left( x4 \right)}^{2}}\le 16\].\[\Rightarrow {{S}_{\max }}=16\]Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[{{\left( x4 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=4\].Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông cạnh bằng 4cm có diện tích lớn nhất bằng \[16c{{m}^{2}}\] .<h3>Bài 3. (trang 24 SGK Giải tích 12)</h3>Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \[x\left( m \right)\] \[\left( x&gt;0 \right)\].Vì diện tích hình chữ nhật là \[48c{{m}^{2}}\] nên độ dài cạnh còn lại : \[\frac{48}{x}\left( m \right)\]⇒ chu vi hình chữ nhật là: \[\text{P}\left( x \right)=2\left( \text{x}+\frac{48}{\text{x}} \right)=2\text{x}+\frac{96}{\text{x}}\]Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \[2x;\frac{96}{x}\] ta có\[2x+\frac{96}{x}\ge 2\sqrt{2x.\frac{96}{x}}=16\sqrt{3}\]Dấu “=” xảy ra \[\Leftrightarrow 2x=\frac{96}{x}\Leftrightarrow x=4\sqrt{3}\]Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích \[48{{m}^{2}}\] thì hình vuông cạnh \[4\sqrt{3}m\]có chu vi nhỏ nhất.Cách 2: Xét hàm số \[P(x)=2x+\frac{96}{x}\] trên \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\].Ta có \[\text{P}'\left( x \right)=2-\frac{96}{{{\text{x}}^{2}}};\text{P}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2-\frac{96}{{{\text{x}}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}=48\Leftrightarrow \text{x}=4\sqrt{3}\]Bảng biến thiên<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/121_da8c870c60.PNG?36493.17999999039">\[\Rightarrow \underset{[0,+\infty )}{\mathop{\min }}\,\text{P}\left( x \right)=\text{P}\left( 4\sqrt{3} \right)=16\sqrt{3}\]Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích \[48{{m}^{2}}\] thì hình vuông cạnh \[4\sqrt{3}m\]có chu vi nhỏ nhất.<h3>Bài 4. (trang 24 SGK Giải tích 12)</h3>a) TXĐ: \[D=R\]Ta thấy: \(1 + {x^2} \ge 1\) \[\Rightarrow 0&lt;\text{y}=\frac{4}{1+{{\text{x}}^{2}}}\le 4\]\[\Rightarrow \underset{R}{\mathop{\max }}\,\text{y}=4\] đạt được khi \[1+{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=0\].b) TXĐ : \[D=R\]Ta có \[y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\]; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/122_9003b250a5.PNG?64892.704999947455">Từ bảng biến thiên ta thấy: \[\underset{R}{\mathop{\max }}\,\text{y}=1\Leftrightarrow x=1\]<h3>Bài 5. (trang 24 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\text{y}=\left| x \right|\]Cách 1: Ta có: \[y=\left| x \right|\ge 0,\forall x\]\[\Rightarrow \] Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \[\min y=0\] khi \[x=0\].Cách 2: Ta có \({\rm{y}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\,\,\,;\,\,x &gt; 0\\ - x;\,\,x \le 0 \end{array} \right.\)Bảng biến thiên<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/123_adba55643b.PNG?82088.7249999796">Từ bảng biến thiên\[\Rightarrow \] \[\underset{R}{\mathop{\min }}\,y=0\] khi \[x=0\].b) \[\text{y}=\text{x}+\frac{4}{\text{x}}\quad \left( \text{x}&gt;0 \right)\]Xét trên \[D=\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\] ta có:\[\text{y}'=1-\frac{4}{{{\text{x}}^{2}}};\,\,\text{y}'=0\Leftrightarrow 1-\frac{4}{{{\text{x}}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}=4\Leftrightarrow \text{x}=2\]Bảng biến thiên<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/124_1ed8e31d09.PNG?100225.42999999132">Từ bảng biến thiên\[\Rightarrow \] \[\underset{\left( 0;+\infty&nbsp; \right)}{\mathop{\min }}\,y=4\] khi \[x=2\].Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ&nbsp;

Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 3

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3: LOGARIT<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Khái niệm logarit</h3>Định nghĩa:Cho hai số dương \[a,b\] với \[a\ne 1\]. Số \[\alpha \] thỏa mãn đẳng thức \[{{a}^{\alpha }}=b\] được gọi là logarit cơ số \[a\] của \[b\] và được kí hiệu là \[{{\log }_{a}}b\].\[\alpha ={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b.\]Không có logarit của số âm và số 0.Tính chất:Cho hai số dương \[a,b\] với \[a\ne 1\]. Ta có:<ul><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}1=0\]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}a=1\]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}{{a}^{\alpha }}=\alpha \]</li><li style="text-align:justify;">\[{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Quy tắc tính logarit</h3>Với \[b,c&gt;0;0, ta có:<ul><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( bc \right)\]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)\]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha .{{\log }_{a}}b,\forall \alpha \]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Đổi cơ số</h3>Với \[b&gt;0;0, ta có:<ul><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\left( b\ne 1 \right)\]</li><li style="text-align:justify;">\[{{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\left( \alpha \ne 0 \right)\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">4. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên</h3><ul><li style="text-align:justify;">Logarit thập phân là logarit cơ số \[10\] . Kí hiệu \[\log b\] hoặc \[\lg b\] .</li><li style="text-align:justify;">Logarit tự nhiên là logarit cơ số \[e\] với \[e=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\] . Kí hiệu: \[\ln b\] .</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tính toán, rút gọn, so sánh biểu thức logaritCách giải:Áp dụng các tính chất, quy tắc của logarit để rút gọn, tính toán và so sánh.Dạng 2. Biểu diễn logarit theo giá trị cho trướcCách giải:Áp dụng các tính chất, quy tắc, phương pháp đổi cơ số để biến đổi logarit cần biểu diễn thành các logarit cho trước.Dạng 3. Chứng minh đẳng thức logarit từ một biểu thức cho trướcCách giải:Từ biểu thức cho trước, logarit hóa để đưa về đẳng thức cần chứng minh hoặc biến đổi tương đương suy ra điều phải chứng minh.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Giải tích 12 trang 68)</h3>a) \[{{\log }_{2}}\frac{1}{8}={{\log }_{2}}{{2}^{-3}}=-3\]b) \[{{\log }_{\frac{1}{4}}}2={{\log }_{{{2}^{-2}}}}2=-\frac{1}{2}\]c) \[{{\log }_{3}}\sqrt[4]{3}={{\log }_{3}}{{3}^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{4}\]d) \[{{\log }_{0,5}}0,125={{\log }_{0,5}}0,{{5}^{3}}=3\]<h3>Bài 2. (SGK Giải tích 12 trang 68)</h3>a) \[{{4}^{{{\log }_{2}}3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{{\log }_{2}}3}}={{2}^{\log {{2}^{{{3}^{2}}}}}}={{2}^{\log {{2}^{9}}}}=9\]b) \[{{27}^{log2}}={{\left( {{3}^{3}} \right)}^{{{\log }_{3}}{{2}^{2}}}}={{3}^{\log {{2}^{\frac{3}{2}}}}}={{2}^{\frac{3}{2}}}=2\sqrt{2}\]c) \[{{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{{{\log }_{{{3}^{\frac{1}{2}}}}}2}}={{3}^{4{{\log }_{3}}2}}={{3}^{{{\log }_{3}}{{2}^{4}}}}={{2}^{4}}=16\]d) \[{{4}^{{{\log }_{8}}27}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{{\log }_{{{2}^{3}}}}{{3}^{3}}}}={{2}^{2{{\log }_{2}}3}}={{2}^{{{\log }_{2}}{{3}^{2}}}}={{3}^{2}}=9\]<h3>Bài 3. (SGK Giải tích 12 trang 68)</h3>a) \[{{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2=\left( {{\log }_{3}}6.{{\log }_{6}}2 \right)\cdot {{\log }_{{{2}^{3}}}}{{3}^{2}}={{\log }_{3}}2.\frac{2}{3}{{\log }_{2}}3=\frac{2}{3}\]b) \[{{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}={{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{a}}{{b}^{2}}=2{{\log }_{a}}{{b}^{2}}=4{{\log }_{a}}\left| b \right|\]<h3>Bài 4. (SGK Giải tích 12 trang 68)</h3>a) Ta có \[{{\log }_{3}}5.{{\log }_{3}}3=1;{{\log }_{7}}4&lt;{{\log }_{7}}7=1\]\[\Rightarrow {{\log }_{3}}5&gt;{{\log }_{7}}4\]b) Ta có: \[0,{{3}^{{{\log }_{0,3}}2}}=2&gt;1=0,{{3}^{0}}\Rightarrow {{\log }_{0,3}}2&lt;0\]\[{{5}^{{{\log }_{4}}3}}=3&gt;1={{5}^{0}}\Rightarrow {{\log }_{5}}3&gt;0\]\[\Rightarrow {{\log }_{0,3}}2&lt;{{\log }_{5}}3\]c) Ta có \[{{2}^{{{\log }_{2}}10}}=10&gt;{{2}^{3}}\Rightarrow {{\log }_{2}}10&gt;3\]\[{{5}^{{{\log }_{3}}30}}=30&lt;{{5}^{3}}\Rightarrow {{\log }_{5}}30&lt;3\]\[\Rightarrow {{\log }_{2}}10&gt;{{\log }_{5}}30\]<h3>Bài 5. (SGK Giải tích 12 trang 68)</h3>a) Ta có: \[{{\log }_{30}}1350={{\log }_{30}}\left( {{30.3}^{2}}.5 \right)=1+2{{\log }_{30}}3+{{\log }_{30}}5=1+2a+b\]b) Ta có: \[{{\log }_{25}}15=\frac{1}{{{\log }_{15}}25}=\frac{1}{2{{\log }_{15}}5}=\frac{1}{2{{\log }_{15}}(15:3)}=\frac{1}{2\left( 1-{{\log }_{15}}3 \right)}=\frac{1}{2(1-c)}\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài logarit, toán 12 logarit lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 3. Logarit

Logarit

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Tính đơn điệu của hàm số</h3>1. Định nghĩaĐịnh nghĩa:Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \[y=f\left( x \right)\]xác định trên K. Ta nói:<ul><li>Hàm số \[y=f\left( x \right)\]đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\]thuộc K mà \[{{x}_{1}}\] nhỏ hơn \[{{x}_{2}}\], thì \[f\left( {{x}_{1}} \right)\] nhỏ hơn \[f\left( {{x}_{2}} \right)\], tứclà\[{{x}_{1}}&lt;{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right).</li><li>Hàm số \[y=f\left( x \right)\]nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\]thuộc K mà \[{{x}_{1}}\] nhỏ hơn \[{{x}_{2}}\], thì \[f\left( {{x}_{1}} \right)\] lớn hơn \[f\left( {{x}_{2}} \right)\], tứclà\[{{x}_{1}}&lt;{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)&gt;f\left( {{x}_{2}} \right)\].</li></ul>Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.Nhận xét:<ul><li style="text-align:justify;">Hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên K \[\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}&gt;0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.\] Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.</li><li style="text-align:justify;">Hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên K \[\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}&lt;0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.\] Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.</li></ul>2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàmĐịnh lí:Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\]có đạo hàm trên K.<ul><li style="text-align:justify;">Nếu \[f'\left( x \right)&gt;0\] với mọi \[x\in K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[K\].</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[f'\left( x \right)&lt;0\] với mọi \[x\in K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[K\].</li></ul>Chú ý:Nếu \[f\left( x \right)=0,\forall x\in K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] không đổi trên \[K\].Định lí mở rộng:Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\]có đạo hàm trên K.<ul><li style="text-align:justify;">Nếu \[f'\left( x \right)\ge 0\] với mọi \[x\in K\] và \[f'\left( x \right)=0\] chỉ tại một số hữu hạn điểm \[x\in K\] thì hàm số \[f\] đồng biến trên \[K\].</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[f'\left( x \right)\le 0\] với mọi \[x\in K\] và \[f'\left( x \right)=0\] chỉ tại một số hữu hạn điểm \[x\in K\] thì hàm số \[f\] nghịch biến trên \[K\].</li></ul><h3>II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số</h3><ul><li>Tìm tập xác định</li><li>Tính đạo hàm \[f'\left( x \right)\] . Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\left( i=\overline{1;n} \right)\] mà tại đó đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.</li><li>Sắp xếp các điểm \[{{x}_{i}}\] theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.</li><li>Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Dựa vào bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\] , tìm khoảng đơn điệu của hàm sốCách giải:<ul><li>Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu \[f'\left( x \right)\] mang dấu \[''+''\] (hoặc \[''-''\] )</li><li>Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu đồ thị của hàm số đi lên (hoặc đi xuống) từ trái qua phải.</li><li>Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu chiều của mũi tên là đi lên (hoặc đi xuống)</li></ul>Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết \[y=f\left( x \right)\] hoặc \[y=f'\left( x \right)\]&nbsp;Cách giải:Áp dụng quy tắc xét tính đơn điệu:<ul><li>Tìm tập xác định</li><li>Tính đạo hàm \[f'\left( x \right)\] . Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\left( i=\overline{1;n} \right)\] mà tại đó đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.</li><li>Sắp xếp các điểm \[{{x}_{i}}\] theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.</li><li>Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.</li></ul>Dạng 3. Tìm m để hàm số \[y=f\left( x;m \right)\] đơn điệu trên các khoảng xác định hoặc các khoảng cho trướcCách giải:Bước 1. Tính \[y'=f'\left( x,m \right)\]&nbsp;Bước 2. Biện luận- Hàm số đồng biến trên \[K\Leftrightarrow f\left( x,m \right)\ge 0,\forall x\in K\] (với \[f\left( x,m \right)=0\] tại hữu hạn điểm)- Hàm số nghịch biến trên \[K\Leftrightarrow f\left( x,m \right)\le 0,\forall x\in K\] (với \[f\left( x,m \right)=0\] tại hữu hạn điểm)Bước 3.Cách 1. Sử dụng tam thức bậc haiCách 2. Cô lập tham số \[m\]&nbsp;\(\left[ \begin{array}{l} f\left( {x,m} \right) \ge 0\\ f\left( {x,m} \right) \le 0 \end{array} \right.\left( {\forall x \in K} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ge g\left( x \right) \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_K g\left( x \right)\\ m \le g\left( x \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_K g\left( x \right) \end{array} \right.\)<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 9 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[y=4+3x-{{x}^{2}}\]<ul><li>TXĐ: \(D = R\)</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4+3x-{{x}^{2}} \right)=-\infty \]&nbsp;\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4+3x-{{x}^{2}} \right)=-\infty \]&nbsp;Ta có \[y'=3-2x;y'=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\]Với \[x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111121_0a21f1c90e.PNG?72608.33499999717">Từ bảng biến thiên ta thấy:Hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( \frac{3}{2};+\infty&nbsp; \right)\] .b) \[y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2\]<ul><li>TXĐ: \(D = R\)</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2 \right)=+\infty \]\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2 \right)=-\infty \]&nbsp;Ta có \[y'={{x}^{2}}+6x-7\] ; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 7\\ x = 1 \end{array} \right.\)Với \[x=-7\Rightarrow y=\frac{239}{3}\]Với \[x=1\Rightarrow y=-\frac{17}{3}\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111122_400e390dfc.PNG?97054.14500000188">Từ bảng biến thiên ta thấy:Hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;-7 \right);\left( 1;+\infty&nbsp; \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -7;1 \right)\] .c) \[y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\]<ul><li>TXĐ: \(D = R \)</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3 \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3 \right)=+\infty \]&nbsp;Ta có \[y'=4{{x}^{3}}-4x\] ; \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)Với \[x=0\Rightarrow y=3\]Với \[x=\pm 1\Rightarrow y=2\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111123_f6107bde35.PNG?119259.33000002988">Từ bảng biến thiên ta thấy:Hàm số đồng biến trên \[\left( -1;0 \right);\left( 2;+\infty&nbsp; \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-1 \right);\left( 0;1 \right)\] .d) \[y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5\]<ul><li>TXĐ: \(D = R \)</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5 \right)=-\infty \]\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5 \right)=+\infty \]&nbsp;Ta có \[y'=-3{{x}^{2}}+2x\] ; \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{2}{3}} \end{array}} \right.\)Với \[x=0\Rightarrow y=-5\]Với \[x=\frac{2}{3}\Rightarrow y=-\frac{131}{27}\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111124_8d16ee7dd3.PNG?141927.9899999965">Từ bảng biến thiên ta thấy:Hàm số đồng biến trên \[\left( 0;\frac{2}{3} \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;0 \right);\left( \frac{2}{3};+\infty&nbsp; \right)\] .<h3>Bài 2. (trang 10 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[y=\frac{3x+1}{1-x}\]<ul><li>TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-3\] ; \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-\infty \] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=+\infty \]&nbsp;Ta có \[y'=\frac{4}{{{(-x+1)}^{2}}}&gt;0;\forall x\in D\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111125_557ba669b2.PNG?160131.23500003712">Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty&nbsp; \right)\] .b) \[y=\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}\]<ul><li>TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=+\infty \] ; \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=+\infty \] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-\infty \]&nbsp;Ta có \[y'=\frac{\left( 2x-2 \right)\left( 1-x \right)+{{x}^{2}}-2x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}&gt;0,\forall x\in D\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111126_7548e2935c.PNG?177184.8750000354">Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty&nbsp; \right)\] .c) \[y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}\]<ul><li>TXĐ: \[D=\left( -\infty ;-4 \right]\cup \left[ 5;+\infty&nbsp; \right)\]</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty ;\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty ;\] \[\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0;\,\,\underset{x\to {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0\]&nbsp;Ta có \[y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\notin D\]<ul><li>BBT</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111127_944137a2a5.PNG?193204.1249999893">Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;4 \right)\] và đồng biến trên \[\left( 5;+\infty&nbsp; \right)\] .d) \[y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\]<ul><li>TXĐ: \[D=R\backslash \{\pm 3\}\]</li><li>Sự biến thiên</li></ul>\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0;\] \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty ;\underset{x\to -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\text{ }=-\infty ;\] \[\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\text{ }=+\infty ;\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\text{ }=-\infty \]Ta có \[y'=\frac{2\left( {{x}^{2}}-9 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}-18}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}\] \[=-\frac{2\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}&lt;0,\forall x\in D\]<ul><li>BBT</li></ul>&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/111128_e2dbcc290b.PNG?32367.02000000514">Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-3 \right)\] ; \[\left( -3;3 \right)\] ; \[\left( 3;+\infty&nbsp; \right)\] .<h3>Bài 3. (trang 10 SGK Giải tích 12)</h3>TXĐ: \[D=R\]Ta có \[y'=\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]Hàm số đồng biến \[\Leftrightarrow y'&gt;0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}&gt;0\Leftrightarrow -1Hàm số nghịch biến \( \Leftrightarrow y' &lt; 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} &lt; 0 \Leftrightarrow {x^2} &gt; 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x &gt; 1\\ x &lt; - 1 \end{array} \right.\)Vậy hàm số \[y=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\] đồng biến trên khoảng \[\left( -1;1 \right)\] và nghịch biến trên các khoảng \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty&nbsp; \right)\] . &nbsp;<h3>Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích 12)</h3>TXĐ: \[D=\left[ 0;2 \right]\]Ta có \[y'=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}\]Hàm số đồng biến \[\Leftrightarrow y'&gt;0\Leftrightarrow 1-x&gt;0\Leftrightarrow x&lt;1\] hay hàm số đồng biến trên \[\left( 0;1 \right)\]Hàm số nghịch biến \[\Leftrightarrow y'&lt;0\Leftrightarrow 1-x&lt;0\Leftrightarrow x&gt;1\] hay hàm số nghịch biến trên \[\left( 1;2 \right)\]Vậy hàm số \[y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( 0;1 \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( 1;2 \right)\]<h3>Bài 5. (trang 10 SGK Giải tích 12)</h3>a) Xét hàm số \[y=f\left( x \right)=\tan xx\] trên khoảng \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]Ta có: \[y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1={{\tan }^{2}}x\] , \[\forall x\in R\].\[\Rightarrow \] Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]\[\Rightarrow \text{f}(\text{x})&gt;\text{f}(0)=0\] , \[\forall x&gt;0\]\[\Leftrightarrow \tan xx&gt;0\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]\[\Leftrightarrow \tan x&gt;x\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]b) Xét hàm số \[y=g\left( x \right)=\tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}\] trên \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]Ta có: \[g'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}\]Vì \[\tan x&gt;x\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\] (theo ý a) nên \[g'\left( x \right)&gt;0;\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]\[\Rightarrow y=g\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]\[\Rightarrow g\left( x \right)&gt;g\left( 0 \right)=0\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]\[\Leftrightarrow \tan \text{x}-\text{x}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3}&gt;0;\forall \text{x}\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]\[\Leftrightarrow \tan \text{x}&gt;\text{x}+\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3}\left( 0&lt;\text{x}&lt;\frac{\pi }{2} \right)\]Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1

Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ôn tập chương 2

Bài 7

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">I. Phương trình mũ</h3>1. Phương trình mũ cơ bản \[{{a}^{x}}=b\left( a&gt;0,a\ne 1 \right)\].● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi \[b&gt;0\].● Phương trình vô nghiệm khi \[b\le 0\].2. Các cách giải một số phương trình mũ đơn giảna. Biến đổi, quy về cùng cơ số\[{{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow a=1\] hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 &lt; a \ne 1}\\ {f\left( x \right) = g\left( x \right)} \end{array}} \right.\)b. Đặt ẩn phụ\(f\left[ {{a^{g(x)}}} \right] = 0\left( {0 &lt; a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {a^{g\left( x \right)}} &gt; 0}\\ {f\left( t \right) = 0} \end{array}} \right.\)Ta thường gặp các dạng:● \[m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p=0\]● \[m.{{a}^{f(x)}}+n.{{b}^{f(x)}}+p=0\], trong đó \[a.b=1\]. Đặt \[t={{a}^{f(x)}}.t&gt;0\], suy ra \[{{b}^{f\left( x \right)}}=\frac{1}{t}\].● \[m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( a.b \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{b}^{2f\left( x \right)}}=0\]. Chia hai vế cho \[{{b}^{2f\left( x \right)}}\] và đặt \[{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f\left( x \right)}}=t&gt;0\].c. Logarit hóa● Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 &lt; a \ne 1,b &gt; 0}\\ {f\left( x \right) = {{\log }_a}b} \end{array}} \right.\)● Phương trình \[{{a}^{f\left( x \right)}}={{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{a}}{{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b\]hoặc \[{{\log }_{b}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{b}}{{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right).{{\log }_{b}}a=g\left( x \right)\]d. Giải bằng phương pháp đồ thịGiải phương trình: \[{{a}^{x}}=f\left( x \right)\left( 0 .Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y={{a}^{x}}\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\]. Khi đó ta thực hiện hai bước:<ul><li style="text-align:justify;">Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số \[y={{a}^{x}}\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\].</li><li style="text-align:justify;">Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.</li></ul>e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm sốTính chất 1. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[D\] thì số nghiệm của phương trình \[f\left( x \right)=k\] trên \[D\] không nhiều hơn một và \[f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v,\forall u,v\in D\].Tính chất 2. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \[y=g\left( x \right)\] liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] không nhiều hơn một.Tính chất 3. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình \[f\left( u \right)&gt;f\left( v \right)\Leftrightarrow u&gt;v\] (hoặc \[u), \[\forall u,v\in D\].f. Sử dụng đánh giáGiải phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\].Nếu ta đánh giá được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge m}\\ {g\left( x \right) \le m} \end{array}} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = m}\\ {g\left( x \right) = m} \end{array}} \right.\)<h3 style="text-align:justify;">II. Phương trình logarit</h3>1. Phương trình logarit đơn giảnPhương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarrit.Phương trình logarit cơ bản có dạng: \[{{\log }_{a}}x=b\left( 0 luôn có nghiệm duy nhất \[x={{a}^{b}}\].2. Các cách giải một số phương trình logarit đơn giảna. Biến đổi, quy về cùng cơ số\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 &lt; a \ne 1}\\ {f\left( x \right) = g\left( x \right) &gt; 0} \end{array}} \right.\)b. Đặt ẩn phụ\(f\left[ {{{\log }_a}g\left( x \right)} \right] = 0\left( {0 &lt; a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {{\log }_a}g\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = 0} \end{array}} \right.\)c. Mũ hóa hai vế\({\log _a}g\left( x \right) = f\left( x \right)\left( {0 &lt; a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {g\left( x \right) &gt; 0}\\ {g\left( x \right) = {a^{f\left( x \right)}}} \end{array}} \right.\)d. Phương pháp đồ thịGiải phương trình: \[{{\log }_{a}}x=g\left( x \right)\left( 0 .Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y={{\log }_{a}}x\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\] . Khi đó ta thực hiện hai bước:<ul><li style="text-align:justify;">Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số \[y={{\log }_{a}}x\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\].</li><li style="text-align:justify;">Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.</li></ul>e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm sốTính chất 1. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[D\] thì số nghiệm của phương trình \[f\left( x \right)=k\] trên \[D\] không nhiều hơn một và \[f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v,\forall u,v\in D\].Tính chất 2. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \[y=g\left( x \right)\] liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] không nhiều hơn một.Tính chất 3. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình \[f\left( u \right)&gt;f\left( v \right)\Leftrightarrow u&gt;v\] (hoặc \[u), \[\forall u,v\in D\].f. Sử dụng đánh giáGiải phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\].Nếu ta đánh giá được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge m}\\ {g\left( x \right) \le m} \end{array}} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = m}\\ {g\left( x \right) = m} \end{array}} \right.\)<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Giải phương trình mũ, logaritCách giải:Áp dụng các phương pháp như quy về cùng cơ số, mũ hóa (logarit hóa),…Dạng 2. Bài toán chứa tham sốCách giải:Bước 1. Áp dụng các phương pháp biến đổi đưa phương trình về dạng \[f\left( x,m \right)=0\]&nbsp;Bước 2. Biện luận nghiệm của phương trình thông qua 2 cáchCách 1. Sử dụng tam thức bậc haiCách 2. Cô lập tham số \[m\] : \[g\left( x \right)=h\left( m \right)\] . Sau đó, xét sự tương giao của đồ thị hàm số \[y=g\left( x \right)\] và đường thẳng \[y=h\left( m \right)\]<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 84 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[{{\left( 0,3 \right)}^{3x-2}}=1={{(0,3)}^{0}}\Leftrightarrow 3x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\]b) \[{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}=25\Leftrightarrow {{5}^{-x}}={{5}^{2}}\Leftrightarrow x=-2\]c) \({2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\)d) \[{{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}=2\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x+7+1-2x}}=2\Leftrightarrow {{2}^{x-8}}={{2}^{1}}\Leftrightarrow x-8=1\Leftrightarrow x=9\]<h3>Bài 2. (trang 84 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[{{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow \frac{1}{3}\cdot {{3}^{2x}}+{{3}^{2x}}=108\]\[\Leftrightarrow \frac{4}{3}\cdot {{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow {{3}^{2x}}=81\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\]Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=2\] .b) \[{{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28\]\[\Leftrightarrow {{2.2}^{x}}+\frac{1}{2}{{.2}^{x}}+{{2}^{x}}=28\]\[\Leftrightarrow \frac{7}{2}\cdot {{2}^{x}}=28\Leftrightarrow {{2}^{x}}=8\Leftrightarrow x=3\]Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=3\] .c) \[{{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0\Leftrightarrow {{\left( {{8}^{x}} \right)}^{2}}-{{8}^{x}}-56=0\]Đặt \[t={{8}^{x}}\left( t&gt;0 \right)\] . Phương trình trở thành:\({t^2} - t - 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 8\\ t = - 7\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)\[\Rightarrow {{8}^{x}}=8\Leftrightarrow x=1\]Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=1\] .d) \[{{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}\]\[\Leftrightarrow {{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}-{{9}^{x}}=0\]Chia cả hai vế của phương trình cho \[{{9}^{x}}\] ta có:\[3.\frac{{{4}^{x}}}{{{9}^{x}}}-2.\frac{{{6}^{x}}}{{{9}^{x}}}-1=0\]\[\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}-2.{{\left( \frac{6}{9} \right)}^{x}}-1=0\]\[\Leftrightarrow 3.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}-2.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-1=0\]Đặt \[{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=t\left( t&gt;0 \right)\] . Phương trình trở thành:\(3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - \frac{1}{3}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)\[\Rightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0\]Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=0\] .<h3>Bài 3. (Trang 84 SGK Giải tích 12)</h3>a) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x + 3 &gt; 0}\\ {7x + 5 &gt; 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x &gt; - \frac{3}{5}\)Ta có \[{{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right)\Leftrightarrow 5x+3=7x+5\Leftrightarrow x=-1\] (loại)Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 &gt; 0\\ 2x - 11 &gt; 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x &gt; \frac{{11}}{2}\)Ta có \[\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2\]\[\Leftrightarrow \log \frac{x-1}{2x-11}=\log 2\Leftrightarrow \frac{x-1}{2x-11}=2\]\[\Leftrightarrow x-1=4x-22\Leftrightarrow 3x=21\Leftrightarrow x=7\] (t/m)Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=7\] .c) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 5 &gt; 0}\\ {x + 2 &gt; 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x &gt; 5}\\ {x &gt; - 2} \end{array} \Leftrightarrow x &gt; 5} \right.} \right.\)Ta có \[{{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3\]\[\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( x-5 \right)\left( x+2 \right) \right]=3\]\[\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x+2 \right)={{2}^{3}}\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-10=8\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-18=0\]\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 6\left( {t/m} \right)}\\ {x = - 3\left( {loai} \right)} \end{array}} \right.\)&nbsp;Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 6\).d) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 6x + 7 &gt; 0}\\ {x - 3 &gt; 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x &gt; 3 + \sqrt 2 }\\ {x &lt; 3 - \sqrt 2 }\\ {x &gt; 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x &gt; 3 + \sqrt 2 \)Ta có: \[\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right)\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+7=x-3\]\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 5}&amp;{(tm)}\\ {x = 2}&amp;{(loai)} \end{array}} \right.\)Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=5\] .<h3>Bài 4. (Trang 85 SGK Giải tích 12)</h3>a) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x - 5 &gt; 0}\\ {5x &gt; 0}\\ {\frac{1}{{5x}} &gt; 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ \begin{array}{l} x &gt; \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\ x &lt; \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right.} \end{array}\\ x &gt; 0 \end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow x &gt; \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\)Ta có: \[\frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log \left( 5x.\frac{1}{5x} \right)\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 1\]\[\Leftrightarrow \log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=0\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-5={{10}^{0}}=1\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\]\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 3\quad (loai)}\\ {x = 2\quad (t/m)} \end{array}} \right.\)Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=2\] .b) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 4x - 1 &gt; 0}\\ {8x &gt; 0}\\ {4x &gt; 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ \begin{array}{l} x &gt; 2 + \sqrt 5 \\ x &lt; 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.} \end{array}\\ x &gt; 0 \end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow x &gt; 2 + \sqrt 5 \)&nbsp;Ta có: \[\frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log \frac{8x}{4x}\]\[\Leftrightarrow \log \sqrt{{{x}^{2}}-4x-1}=\log 2\]\[\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-4x-1}=2\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=4\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\]\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 1\quad \left( {loai} \right)}\\ {x = 5\quad \left( {t/m} \right)} \end{array}} \right.\)Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=5\] .c) Điều kiện \[x&gt;0\]Ta có: \[{{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13\]\[\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}x+4{{\log }_{2}}x+{{\log }_{{{2}^{3}}}}x=13\]\[\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x+4.\frac{1}{2}{{\log }_{x}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=13\]\[\Leftrightarrow \frac{13}{3}{{\log }_{2}}x=13\]\[\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3\Leftrightarrow x={{2}^{3}}=8\] (thỏa mãn)Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=8\] .Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình mũ và logarit, toán 12 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 5. Phương trình mũ và phương trình logarit

Phương trình mũ và phương trình logarit

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: LŨY THỪA</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Khái niệm lũy thừa</h3>1. Lũy thừa với số mũ nguyênCho \[n\] là một số nguyên dương.Với \[a\] là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \[n\] của a là tích của \[n\] thừa số \[a\].\[{{a}^{n}}=\underbrace{a.a......a}_{n}\](\[n\] thừa số).Với \[a\ne 0\] thì \[{{a}^{0}}=1;{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}\]Ta gọi \[a\] là cơ số, \[n\] là mũ số.Chú ý:<ul><li style="text-align:justify;">\[{{0}^{0}}\] và \[{{0}^{-n}}\] không có nghĩa.</li><li style="text-align:justify;">Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.</li><li style="text-align:justify;">Khi xét lũy thừa với số mũ \[0\] và số mũ nguyên âm thì cơ số \[a\] phải khác \[0\] .</li><li style="text-align:justify;">Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số \[a\] phải dương.</li></ul>2. Phương trình \[{{x}^{n}}=b.\]Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình \[{{x}^{n}}=b\] như sau:<ul><li style="text-align:justify;">Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực \[b\], phương trình có nghiệm duy nhất.</li><li style="text-align:justify;">Trường hợp n chẵn:</li><li style="text-align:justify;">Với \[b&lt;0\], phương trình vô nghiệm.</li><li style="text-align:justify;">Với \[b=0\], phương trình có một nghiệm \[x=0.\]</li><li style="text-align:justify;">Với \[b&gt;0\], phương trình có hai nghiệm trái dấu.</li></ul>3. Căn bậc \[n\]Khái niệm:Cho số thực \[b\] và số nguyên dương \[n\left( n\ge 2 \right)\] . Số \[a\] được gọi là căn bậc \[n\] của số \[b\] nếu \[{{a}^{n}}=b.\]Tính chất của căn bậc \[n\] :<ul><li style="text-align:justify;">\[\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\]</li><li style="text-align:justify;">\[\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a\]</li><li style="text-align:justify;">\[\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\]</li><li style="text-align:justify;">\[\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}\]&nbsp;</li><li style="text-align:justify;">\[\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\]</li><li style="text-align:justify;">\[\sqrt[n]{a}=a\] nếu \[n\] lẻ và \[\sqrt[n]{a}=\left| a \right|\] nếu \[n\] chẵn</li></ul>4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉCho số thực \[a\] dương và số hữu tỉ \[r=\frac{m}{n}\] , trong đó \(m \in Z,n \in N,n \ge 2\). Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\] là số \[{{a}^{r}}\] xác định bởi \[{{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}\]5. Lũy thừa với số mũ vô tỉCho \[a\] là một số dương, \[\alpha \] là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ \[\left( {{r}_{n}} \right)\] có giới hạn là \[\alpha \] và dãy số tương ứng \[\left( {{a}^{{{r}_{n}}}} \right)\] có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số \[\left( {{r}_{n}} \right)\] . Ta gọi giới hạn của dãy số \[\left( {{a}^{{{r}_{n}}}} \right)\] là lũy thừa của \[a\] với số mũ \[\alpha \] , kí hiệu \[{{a}^{\alpha }}\] .\[{{a}^{\alpha }}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}\] với \[\alpha =\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}\]<h3>II. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực</h3>Cho \[a,b\] là các số thực dương; \[\alpha ,\beta \] là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:<ul><li>\[{{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\]</li><li>\[\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\]</li><li>\[{{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\]</li><li>\[{{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}{{a}^{\beta }}\]</li><li>\[{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\]</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[a&gt;1\] thì \[{{a}^{\alpha }}&gt;{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha &gt;\beta \] ;</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[0 thì \[{{a}^{\alpha }}&gt;{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha &lt;\beta \] .</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tính toán, rút gọn biểu thức lũy thừaCách giải:Áp dụng các tính chất của lũy thừa để rút gọn và tính toán.Dạng 2. Chứng minh, so sánh các lũy thừaCách giải:Đưa lũy thừa về cùng số mũ hoặc cơ số sau đó áp dụng các tính chất của lũy thừa để chứng minh:<ul><li style="text-align:justify;">Nếu \[a&gt;1\] thì \[{{a}^{\alpha }}&gt;{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha &gt;\beta \] ;</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[0 thì \[{{a}^{\alpha }}&gt;{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha &lt;\beta \] .</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Giải tích 12 trang 55)</h3>a) \[{{9}^{\frac{2}{5}}}{{.27}^{\frac{2}{5}}}={{(9.27)}^{\frac{2}{5}}}={{\left( {{3}^{2}}{{.3}^{3}} \right)}^{\frac{2}{5}}}={{3}^{5-\frac{2}{5}}}={{3}^{2}}=9\]b) \[{{144}^{\frac{3}{4}}}:{{9}^{\frac{3}{4}}}={{(144:9)}^{\frac{3}{4}}}={{(16)}^{\frac{3}{4}}}={{\left( {{2}^{4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}={{2}^{3}}=8\]c) \[{{\left( \frac{1}{16} \right)}^{-0,75}}+0,{{25}^{-\frac{5}{2}}}={{\left( {{2}^{-4}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}+{{\left( {{2}^{-2}} \right)}^{-\frac{5}{2}}}={{2}^{3}}+{{2}^{5}}=8+32=40\]d) \[{{\left( 0,04 \right)}^{-1,5}}-0,{{125}^{-\frac{2}{3}}}={{\left( \frac{1}{25} \right)}^{-\frac{3}{2}}}-{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{-\frac{2}{3}}}\]\[={{\left( {{5}^{-2}} \right)}^{-\frac{3}{2}}}-{{\left( {{2}^{-3}} \right)}^{-\frac{2}{3}}}={{5}^{3}}-{{2}^{2}}=121\]<h3>Bài 2. (SGK Giải tích 12 trang 55)</h3>a) \[{{a}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt{a}={{a}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}={{a}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}}={{a}^{\frac{5}{6}}}\]b) \[{{b}^{\frac{1}{2}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{b}={{b}^{\frac{1}{2}}}.{{b}^{\frac{1}{3}}}.{{b}^{\frac{1}{6}}}={{b}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}}={{b}^{1}}=b\]c) \[{{a}^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a}={{a}^{\frac{4}{3}}}:{{a}^{\frac{1}{6}}}={{b}^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}}={{b}^{\frac{1}{6}}}\]<h3>Bài 3. (SGK Giải tích 12 trang 56)</h3>a) Ta có: \[{{1}^{3,75}}=1;{{2}^{-1}}=\frac{1}{2};{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-3}}={{2}^{3}}=8\]Viết theo thứ tự tăng dần là: \[{{2}^{-1}};{{1}^{3,75}};{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-1}}\]b) Ta có \[{{98}^{0}}=1;{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{-1}}=\frac{7}{3};{{\left( {{2}^{5}} \right)}^{\frac{1}{5}}}=2\]Viết theo thứ tự tăng dần là: \[{{98}^{0}};{{\left( 32 \right)}^{\frac{1}{5}}};{{\left( \frac{3}{7} \right)}^{-1}}\]<h3>Bài 4. (SGK Giải tích 12 trang 56)</h3>a) \[\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}+{{a}^{\frac{-1}{4}}}}} \right)}\]\[=\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{4}{3}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{a}^{\frac{1}{4}}}{{a}^{\frac{3}{4}}}+{{a}^{\frac{1}{4}}}{{a}^{\frac{-1}{4}}}}\]\[=\frac{a\left( 1+a \right)}{a+1}=a\]b) \[\frac{{{b}^{\frac{1}{5}}}\left( \sqrt[5]{{{b}^{4}}}-\sqrt[5]{{{b}^{-1}}} \right)}{{{b}^{\frac{2}{3}}}\left( \sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{{{b}^{-2}}} \right)}\]\[=\frac{{{b}^{\frac{1}{5}-\frac{4}{5}-{{b}^{\frac{1}{5}}}-\frac{1}{5}}}}{{{b}^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-{{b}^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}}}}}\] \[=\frac{b-1}{b-1}=1\]c) \[\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{-1}{3}}}-{{a}^{\frac{-1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}}{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}-\sqrt[3]{{{b}^{2}}}}=\frac{{{a}^{\frac{-1}{3}}}{{b}^{\frac{-1}{3}}}\left( {{a}^{\frac{2}{3}}}-{{b}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{2}{3}}}-{{b}^{\frac{2}{3}}}}\]\[={{a}^{\frac{-1}{3}}}{{b}^{\frac{-1}{3}}}=\frac{1}{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}\]d) \[\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}=\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\]\[=\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}=\frac{{{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{3}{6}}}+{{b}^{\frac{2}{6}}}{{a}^{\frac{3}{6}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\]\[=\frac{{{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{2}{6}}}\left( {{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}={{a}^{\frac{2}{6}}}{{b}^{\frac{2}{6}}}={{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{3}}}\] \[=\sqrt[3]{ab}\]<h3>Bài 5. (SGK Giải tích 12 trang 56)</h3>a) Ta có: \[2\sqrt{5}=\sqrt{20};3\sqrt{2}=\sqrt{18}\]\[\Rightarrow 2\sqrt{5}&gt;3\sqrt{2}\]Vì \[0&lt;\frac{1}{3}&lt;1\text{ }\Rightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2\sqrt{3}}}&lt;{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3\sqrt{2}}}\]b) Ta có: \[6\sqrt{3}=\sqrt{108};3\sqrt{2}=\sqrt{54};\sqrt{108}&gt;\sqrt{54}\]\[\Rightarrow 6\sqrt{3}&gt;3\sqrt{2}\Rightarrow {{7}^{6\sqrt{6}}}&gt;{{7}^{3\sqrt{6}}}\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài luỹ thừa , toán 12 lũy thừa lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Bài 1. Lũy thừa

Lũy thừa

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LOGARIT</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Hàm số mũ</h3>Định nghĩa:Cho số thực dương \[a\] khác \[1\] . Hàm số \[y={{a}^{x}}\] được gọi là hàm số mũ cơ số \[a\] .Đạo hàm:<ul><li>\[\left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}}\]</li><li>\[\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}\ln a\]</li><li>\[\left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}\ln a.u'\]</li></ul>Khảo sát hàm số \[y={{a}^{x}}\]<figure class="table" style="width:596px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:302px;">\[y={{a}^{x}},\left( a&gt;1 \right)\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:300px;">\[y={{a}^{x}},\left( 0</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:302px;"><ol><li style="text-align:justify;">Tập xác định: \[\mathbb{R}.\]</li><li style="text-align:justify;">Tập giá trị: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên.</li></ol>\[y'={{a}^{x}}\ln a&gt;0,\forall x.\]Giới hạn đặc biệt:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0,\begin{array}{*{20}{c}} {}&amp;{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}a = + \infty .\)Tiệm cận:Ox là tiệm cận ngang.<ol><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ol><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_01_78a02e3a17.PNG?771764.6599999862"><ol><li style="text-align:justify;">Đồ thị</li></ol><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_03_b7965e435d.PNG?508438.2649999752"></td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:300px;"><ol><li style="text-align:justify;">Tập xác định: \[\mathbb{R}.\]</li><li style="text-align:justify;">Tập giá trị: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên.</li></ol>\[\]\[y'={{a}^{x}}\ln a&lt;0,\forall x\]Giới hạn đặc biệt:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty ,\begin{array}{*{20}{c}} {}&amp;{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{a^x} = 0.\)Tiệm cận:Ox là tiệm cận ngang.<ol><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ol><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_02_b21375a85c.PNG?826204.6349999728"><ol><li style="text-align:justify;">Đồ thị</li></ol><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_04_d8f4b0b7c8.PNG?808050.339999987"></td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;Chú ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \[\left( 0;1 \right)\]&nbsp;<h3>2. Hàm số logarit</h3>Định nghĩa:Cho số thực dương \[a\] khác \[1\] . Hàm số \[y={{\log }_{a}}x\] được gọi là hàm số logarit cơ số \[a\] .Đạo hàm:<ul><li>\[\left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x\ln a}\]</li><li>\[\left( \ln x \right)'=\frac{1}{x}\]</li><li>\[\left( {{\log }_{a}}u \right)'=\frac{u'}{u\ln a}\]</li></ul>Khảo sát hàm số \[y={{\log }_{a}}x\]<figure class="table" style="width:596px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:301px;">\[y={{\log }_{a}}x,\left( a&gt;1 \right)\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:311px;">\[y={{\log }_{a}}x\left( 0</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:301px;">1. Tập xác định: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]2. Tập giá trị: \[\mathbb{R}.\]3. Sự biến thiên.\[y'=\frac{1}{x\ln a}&gt;0,\forall x&gt;0\]Giới hạn đặc biệt:\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=-\infty ,\,\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=+\infty \]Tiệm cận:Oy là tiệm cận đứng.4. Bảng biến thiên.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_05_0c5c087876.PNG?565647.5749999809">5. Đồ thị<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_07_47320b9075.PNG?311107.67499997746"></td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:311px;">1. Tập xác định: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]2. Tập giá trị: \[\mathbb{R}.\]3. Sự biến thiên.\[\]\[y'=\frac{1}{x\ln a}&lt;0,\forall x&gt;0\]Giới hạn đặc biệt:\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=+\infty ,\,\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{a}}x=-\infty \]Tiệm cận:Oy là tiệm cận đứng.4. Bảng biến thiên.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_06_e1ea369bc3.PNG?458418.7600000005">5. Đồ thị<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_LT_08_A_1f9648919f.PNG?961783.0099999846"></td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;Chú ý: Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm \[\left( 1;0 \right)\]&nbsp;Nhận xét: Đồ thị các hàm số \[y={{a}^{x}}\] và \[y={{\log }_{a}}x\left( 0 đối xứng nhau qua đường thẳng \[y=x\] .<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số logarit</h3>Cách giải:Hàm số \[y={{\log }_{a}}f\left( x \right)\] xác định \[\Leftrightarrow f\left( x \right)&gt;0\]<h3>Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số mũ, logarit và hàm số chứa mũ, logarit</h3>Cách giải:Áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàm<h3>Dạng 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số</h3>Cách giải:Áp dụng sơ đồ khảo sát hàm số.<h3>Dạng 4. Nhận dạng đồ thị hàm số mũ, logarit (đối với câu hỏi trắc nghiệm)</h3>Cách giải:Nhận dạng đồ thị hàm số mũ, logarit thông qua hình dáng đồ thị, chiều biến thiên, tiệm cận,…<h3>Dạng 5. So sánh cơ số của các hàm số mũ, logarit (đối với câu hỏi trắc nghiệm)</h3>Cách giải:<ul><li>Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số để so sánh cơ số với các giá trị \[0;1\]</li><li>Kẻ đường thẳng qua điểm có tọa độ \[\left( 0;1 \right)\] hoặc \[\left( 1;0 \right)\] cắt đồ thị các hàm số tại các điểm có hoành độ \[{{x}_{i}}\left( i=1;2;... \right)\] (hoặc tung độ \[{{y}_{i}}\left( i=1;2;... \right)\] ) . So sánh các hoành độ (hoặc tung độ) và rút ra kết luận.</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Giải tích 12 trang 77)</h3>a) \[y={{4}^{x}}\]<ul><li style="text-align:justify;">Tập xác định: \[\mathbb{R}.\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên.</li></ul>\[y'={{4}^{x}}\ln 4&gt;0,\forall x.\]Giới hạn đặc biệt:\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{4}^{x}}=0,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{4}^{x}}=+\infty \]Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang.<ul><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_01_A_ec2541e542.PNG?880306.3699999766"><ul><li style="text-align:justify;">Đồ thị</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_01_B_a1564dd909.PNG?843027.769999986">b) \[y={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\]<ul><li style="text-align:justify;">Tập xác định: \(R.\)</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên.</li></ul>\[y'={{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}\ln \frac{1}{4}&lt;0,\forall x.\]Giới hạn đặc biệt:\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{x}}=0\]Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang.<ul><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_01_C_3a6b5410e3.PNG?591100.4399999802"><ul><li style="text-align:justify;">Đồ thị</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_01_D_8a102dc46d.PNG?371827.8899999859"><h3 style="text-align:justify;">Bài 2. (SGK Giải tích 12 trang 77)</h3>a) \[y'=\left( 2x{{e}^{x}} \right)'+\left( 3\sin 2x \right)'\]\[=\left( 2x \right)'{{e}^{x}}+2x\left( {{e}^{x}} \right)'+3\left( \sin 2x \right)'\]\[=2{{\text{e}}^{x}}+2x{{\text{e}}^{x}}+3.\left( 2x \right)'\cos 2x\]\[=2{{\text{e}}^{x}}(\text{x}+1)+6\cos 2\text{x}\]b) \[y'=\left( 5{{x}^{2}} \right)'-\left( {{2}^{x}}\cos x \right)'\left. =10x-\left[ \left( {{2}^{x}} \right)'+2\cos \alpha \cos x \right)' \right]\]\[=10x-{{2}^{x}}\ln 2.\cos x+{{2}^{x}}\sin x\]\[=10x-{{2}^{x}}\left( \ln 2.\cos x-\sin x \right)\]c) \[y'=\frac{(x+1)'{{.3}^{x}}-(x+1)\left( {{3}^{x}} \right)'}{{{3}^{2x}}}\]\[=\frac{{{3}^{x}}-\left( x+1 \right){{3}^{x}}\ln 3}{{{3}^{2x}}}\]\[=\frac{{{3}^{x}}\left[ 1-\left( x+1 \right)\ln 3 \right]}{{{3}^{2x}}}=\frac{1-\left( x+1 \right)\ln 3}{{{3}^{x}}}\]<h3>Bài 3. (SGK Giải tích 12 trang 77)</h3>a) Ta có: \[5-2x&gt;0\Leftrightarrow x&lt;\frac{5}{2}\]\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\infty ;\frac{5}{2} \right)\]b) Ta có: \({x^2} - 2x &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x &lt; 0\\ x &gt; 2 \end{array} \right.\)\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 2;+\infty&nbsp; \right)\]c) Ta có: \({x^2} - 4x + 3 &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x &lt; 1\\ x &gt; 3 \end{array} \right.\)\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 3;+\infty&nbsp; \right)\]d) Ta có: \[\frac{3x+2}{1-x}&gt;0\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\[\Rightarrow \] Tập xác định của hàm số là \[D=\left( -\frac{2}{3};1 \right)\]<h3>Bài 4. (SGK Giải tích 12 trang 78)</h3>a) \[y=\log x\]<ul><li style="text-align:justify;">Tập xác định: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên.</li></ul>\[y'=\frac{1}{x\ln 10}&gt;0,\forall x&gt;0\]Giới hạn đặc biệt:\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\log x=-\infty ,\,\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\log x=+\infty \]Tiệm cận:Oy là tiệm cận đứng.<ul><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_04_A_ff56733cf8.PNG?406978.1949999742"><ul><li style="text-align:justify;">Đồ thị</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_04_B_48726052b1.PNG?441650.78999998514">b) \[y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x\]<ul><li style="text-align:justify;">Tập xác định: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên.</li></ul>\[y'=\frac{1}{x\ln \frac{1}{2}}&lt;0,\forall x&gt;0\]Giới hạn đặc biệt:\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=+\infty ,\,\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\log }_{\frac{1}{2}}}x=-\infty \]Tiệm cận:Oy là tiệm cận đứng.<ul><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_04_C_c87f5e7e0d.PNG?613597.0499999821"><ul><li style="text-align:justify;">Đồ thị</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_04_BT_04_D_9a511c38dd.PNG?527967.0349999797"><h3>Bài 5. (SGK Giải tích 12 trang 78)</h3>a) TXĐ: \[D=\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]Ta có: \[y'=6x-\frac{1}{x}+4\cos x\]b) TXĐ: \(D = R\)Ta có: \[y'=\frac{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)'}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right).\ln 10}=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right).\ln 10}\]c) TXĐ: \[D=\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]\[y'=\frac{\left( {{\log }_{3}}x \right)'.x-{{\log }_{3}}x}{{{x}^{2}}}=\frac{\frac{1}{x\ln 3}\cdot x-{{\log }_{3}}x}{{{x}^{2}}}=\frac{1-\ln 3.{{\log }_{3}}x}{{{x}^{2}}\ln 3}=\frac{1-\ln x}{{{x}^{2}}\ln 3}\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hàm số mũ và hàm số logarit, toán 12 hàm số logarit lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất.

Bài 4. Hàm số mũ. Hàm số logarit

Hàm số mũ. Hàm số logarit

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: SỐ PHỨC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa số phức</h3>Định nghĩa:Mỗi biểu thức dạng \[a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right),{{i}^{2}}=-1\] được gọi là một số phức.Đối với số phức \[z=a+bi\] ta nói \[a\] là phần thực, \[b\] là phần ảo của \[z\]Tập hợp số phức kí hiệu là \[\mathbb{C}\] .<h3>2. Số phức bằng nhau</h3>Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.\(a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=c \\ b=d \end{array} \right. \)Chú ý:<ul><li>Mỗi số thực \[a\] được coi là một số phức với phần ảo bằng \[0:a=a+0i\] . Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có \[\mathbb{R}\in \mathbb{C}\] .</li><li>Số phức \[0+bi\] là số thuần ảo. Số \[i\] được gọi là đơn vị ảo.</li></ul><h3>3. Biểu diễn hình học số phức</h3>Trong hệ tọa độ \[Oxy\] , số phức \[z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\] được biểu diễn bởi điểm \[M\left( a;b \right)\] .<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_C04_So_phuc_B01_LT_01_cf510df6f8.PNG?397681.2299999874" alt=""><h3>4. Môđun của số phức</h3>Độ dài của vectơ \[\overrightarrow{OM}\] được gọi là môđun của số phức \[z\] . Kí hiệu \[\left| z \right|\] .Vậy \[\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|\Leftrightarrow \left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\] .<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_C04_So_phuc_B01_LT_02_1ae65c4db7.PNG?487578.0650000088" alt=""><h3>5. Số phức liên hợp</h3>Số phức liên hợp của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\overline{z}=a-bi\]&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_C04_So_phuc_B01_LT_03_58d89404f3.PNG?551933.4249999956" alt="">Chú ý:<ul><li>z là số thực \[\Leftrightarrow \] phần ảo của z bằng \[0\Leftrightarrow z=\overline{z}\]</li><li>z là số thuần ảo \[\Leftrightarrow \] phần thực của z bằng \[0\Leftrightarrow z=-\overline{z}\]&nbsp;</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, điểm biểu diễn)</h3>Cách giải :Sử dụng các định nghĩa, khái niệm, các phép toán về số phức để xác định các yếu tố cơ bản.<h3>Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.</h3>Cách giải :Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa \[x,y\] . Từ đó rút ra kết luận về tập hợp điểm biểu diễn số phức.<h3>Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (điều kiện về môđun, số phức bằng nhau, số phức liên hợp,…)</h3>Cách giải :Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để rút ra hệ phương trình hai ẩn \[x,y\] . Từ đó tìm được số phức \[z\] .<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (Trang 133- SGK Giải tích 12)</h3><figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:208px;">Số phức</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:208px;">Phần thực</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:208px;">Phần ảo</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">a) \[z=1-\pi i\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[1\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[-\pi \]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">b) \[z=\sqrt{2}-i\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[\sqrt{2}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[-1\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">c) \[z=2\sqrt{2}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[2\sqrt{2}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[0\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">d) \[z=-7i\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[0\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:208px;">\[-7\]</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h3>Bài 2. (Trang 133 - SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có : \[\left( 3x-2 \right)+\left( 2y+1 \right)i=\left( x+1 \right)-\left( y-5 \right)i\]\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x-2=x+1 \\ 2y+1=-\left( y-5 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{4}{3} \end{array} \right. \)b) Ta có : \[\left( 1-2x \right)-i\sqrt{3}=\sqrt{5}+\left( 1-3i \right)i\]\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1-2x=\sqrt{5} \\ -\sqrt{3}=1-3y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{3} \end{array} \right. \)c) Ta có : \[\left( 2x+y \right)+\left( 2y-x \right)i=\left( x-2y+3 \right)+\left( y+2x+1 \right)i\]\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=x-2y+3 \\ 2y-x=y+2x+1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+3y=3 \\ 3x-y=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=1 \end{array} \right. \)<h3>Bài 3. (Trang 133 - SGK Giải tích 12)</h3>a) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần thực của \[z\] bằng \[-2\] nên ta có \[x=-2\] .Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[x=-2\] .b) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần ảo của \[z\] bằng \[3\] nên ta có \[y=3\] .Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[y=3\] .c) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần thực của \[z\] thuộc khoảng \[\left( -1;2 \right)\] nên ta có \[-1 .Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ giới hạn bởi hai đường thẳng \[x=-1;x=2\] .d) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần ảo của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ 1;3 \right]\] nên ta có \[1\le y\le 3\] .Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ giới hạn bởi hai đường thẳng \[y=1;y=3\] , kể cả các điểm thuộc hai đường thẳng này.e) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần thực và phần ảo của \[z\] đều thuộc đoạn \[\left[ -2;2 \right]\] nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l} -2\le x\le 2 \\ -2\le y\le 2 \end{array} \right. \)Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong hình vuông giới hạn bởi các đường thẳng \[x=-2;x=2;y=-2;y=2\] kể cả các điểm thuộc các cạnh của hình vuông.<h3>Bài 4. (Trang 134 - SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có: \[\left| z \right|=\left| -2+i\sqrt{3} \right|=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{7}\]b) Ta có: \[\left| z \right|=\left| \sqrt{2}-3i \right|=\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{11}\]c) Ta có: \[\left| z \right|=\left| -5 \right|=5\]a) Ta có: \[\left| z \right|=\left| i\sqrt{3} \right|=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{3}\]<h3>Bài 5. (Trang 134 - SGK Giải tích 12)</h3>a) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Ta có \[\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\]Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường tròn có tâm \[O\left( 0;0 \right)\] và bán kính \[r=1\] .b) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Ta có \[\left| z \right|\le 1\Leftrightarrow \left| x+yi \right|\le 1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\]Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình tròn có tâm \[O\left( 0;0 \right)\] và bán kính \[r=1\] .c) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Ta có \[1&lt;\left| z \right|\le 2\Leftrightarrow 1&lt;\left| x+yi \right|\le 2\Leftrightarrow 1&lt;\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le 2\Leftrightarrow 1&lt;{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\]Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình vành khăn giới hạn bỏi hai đường tròn : đường tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[r=1\] và đường tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[R=2\] kể các các điểm nằm trên đường tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[R=2\] .d) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Ta có \[\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\]Mặt khác, phần ảo của \[z\] bằng \[1\Rightarrow y=1\Rightarrow x=0\]Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là điểm \[M\left( 0;1 \right)\] .<h3>Bài 6. (Trang 134 - SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có \[z=1-i\sqrt{2}\Rightarrow \overline{z}=1+i\sqrt{2}\]b) Ta có \[z=-\sqrt{2}+i\sqrt{3}\Rightarrow \overline{z}=-\sqrt{2}-i\sqrt{3}\]c) Ta có \[z=5\Rightarrow \overline{z}=5\]d) Ta có \[z=7i\Rightarrow \overline{z}=-7i\]Gợi ý giải toán 12 số phức, lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa bài 1 số phức do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.

Bài 1. Số phức

Số phức

<h2 style="text-align:center;">BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Bất phương trình mũ cơ bản</h3>Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \[{{a}^{x}}&gt;b\] (hoặc \[{{a}^{x}}\ge b,{{a}^{x}}) với \[0Ta xét bất phương trình có dạng \[{{a}^{x}}&gt;b.\]<ul><li style="text-align:justify;">Nếu \[b\le 0\], tập nghiệm của bất phương trình là \(R\), vì \({a^x} &gt; b,\forall x \in R.\).</li><li style="text-align:justify;">Nếu \[b&gt;0\] thì bất phương trình tương đương với \[{{a}^{x}}&gt;{{a}^{{{\log }_{a}}b}}.\]</li><li style="text-align:justify;">Với \[a&gt;1\], nghiệm của bất phương trình là \[x&gt;{{\log }_{a}}b.\]</li><li style="text-align:justify;">Với \[0, nghiệm của bất phương trình là \[x&lt;{{\log }_{a}}b.\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Bất phương trình logarit cơ bản</h3>Bất phương trình logarit cơ bản có dạng \[{{\log }_{a}}x&gt;b\](hoặc \[{{\log }_{a}}x\ge b,{{\log }_{a}}x) với \[a&gt;0,a\ne 1.\]Xét bất phương trình \[{{\log }_{a}}x&gt;b.\]Trường hợp \[a&gt;1\], ta có: \[{{\log }_{a}}x&gt;b\Leftrightarrow x&gt;{{a}^{b}}.\]Trường hợp \[0, ta có: \[{{\log }_{a}}x&gt;b\Leftrightarrow 0<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Giải bất phương trình mũ, logaritCách giải:<ul><li>Áp dụng các phương pháp như đưa về cùng cơ số, mũ hóa (logarit hóa), đặt ẩn phụ,… tương tự khi giải phương trình.</li><li>Lưu ý về giá trị của cơ số so với \[1\] để tính chính xác chiều của bất phương trình.</li></ul>Dạng 2. Bài toán chứa tham sốCách giải:Bước 1. Áp dụng các phương pháp biến đổi đưa bất phương trình về dạng \[f\left( t,m \right)&gt;0\] hoặc \[f\left( t,m \right)\ge 0\] ,… với \[t\] là biến biểu thị cho mũ hoặc logarit.Bước 2. Biện luận nghiệm của bất phương trình thông qua 2 cách<ul><li>Cách 1. Sử dụng tam thức bậc hai</li><li>Cách 2. Cô lập tham số \[m\] : \[g\left( t \right)=h\left( m \right)\] . Sau đó, xét sự tương giao của đồ thị hàm số \[y=g\left( t \right)\] và đường thẳng \[y=h\left( m \right)\]</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 89 SGK Giải tích 12)</h3>a) \({2^{ - {x^2} + 3x}} &lt; 4 \Leftrightarrow {2^{ - {x^2} + 3x}} &lt; {2^2} \Leftrightarrow - {x^2} + 3x &lt; 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x &gt; 2\\ x &lt; 1 \end{array} \right.\)Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;+\infty&nbsp; \right)\]b) \[{{\left( \frac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge \frac{9}{7}\Leftrightarrow {{\left( \frac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge {{\left( \frac{7}{9} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x+1\le 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le x\le 1\]Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left[ \frac{1}{2};1 \right]\] .c) \[{{3}^{x+2}}+{{3}^{x-1}}\le 28\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}\left( {{3}^{3}}+1 \right)\le 28\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}\le {{3}^{0}}\Leftrightarrow x-1\le 0\Leftrightarrow x\le -1\]Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left( -\infty ;1 \right]\] .d) \[{{4}^{x}}-{{3.2}^{x}}+2&gt;0\Leftrightarrow {{2}^{2x}}-{{3.2}^{x}}+2&gt;0\]Đặt \[t={{2}^{x}}\left( t&gt;0 \right)\] . Phương trình trở thành:\({t^2} - 3t + 2 &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 &lt; t &lt; 1\\ t &gt; 2 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{2^x} &lt; 1}\\ {{2^x} &gt; 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x &lt; 0}\\ {x &gt; 1} \end{array}} \right.\)Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty&nbsp; \right)\]<h3>Bài 2. (trang 90 SGK Giải tích 12)</h3>a) Điều kiện \[4-2x&gt;0\Leftrightarrow x&lt;2\]Ta có \[{{\log }_{8}}\left( 4-2\text{x} \right)\ge 2\Leftrightarrow 4-2\text{x}\ge {{8}^{2}}\Leftrightarrow 4-2\text{x}\ge 64\Leftrightarrow 2\text{x}\le -60\Leftrightarrow \text{x}\le -30\]Kết hợp với điều kiện ta có \[x\le -30\] .Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left( -\infty ;-30 \right]\] .b) Điều kiện \(3x - 5 &gt; 0 \Leftrightarrow x &gt; \frac{5}{3}\)Ta có \[{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 3\text{x}-5 \right)&gt;{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( \text{x}+1 \right)\Leftrightarrow 3\text{x}-5&lt;\text{x}+1\Leftrightarrow 2\text{x}&lt;6\Leftrightarrow \text{x}&lt;3\]Kết hợp với điều kiện ta có \[\frac{5}{3} .Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left( \frac{5}{3};3 \right)\] .c) Điều kiện \[x&gt;2\]Ta có \[{{\log }_{0,2}}x-{{\log }_{5}}(x-2)&lt;{{\log }_{0,2}}3\]\[\Leftrightarrow {{\log }_{{{5}^{-1}}}}x-{{\log }_{5}}(x-2)&lt;{{\log }_{{{5}^{-1}}}}3\]\[\Leftrightarrow -{{\log }_{5}}x-{{\log }_{5}}(x-2)&lt;-{{\log }_{5}}3\]\[\Leftrightarrow {{\log }_{5}}x+{{\log }_{5}}(x-2)&gt;{{\log }_{5}}3\]\[\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left( x-2 \right) \right]&gt;{{\log }_{5}}3\]\[\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)&gt;3\]\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x &gt; 3}\\ {x &lt; - 1} \end{array}} \right.\)Kết hợp với điều kiện ta có \[x&gt;3\] .Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm \[S=\left( 3;+\infty&nbsp; \right)\] .d) Điều kiện \[x&gt;0\]Ta có: \[\log _{3}^{2}x-5{{\log }_{3}}x+6\le 0\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{2}}-5{{\log }_{3}}x+6\le 0\]Đặt \[t={{\log }_{3}}x\] . Phương trình trở thành\[{{t}^{2}}-5t+6\le 0\Leftrightarrow 2\le t\le 3\]\[\Rightarrow 2\le {{\log }_{3}}x\le 3\Leftrightarrow {{3}^{2}}\le x\le {{3}^{3}}\Leftrightarrow 9\le \text{x}\le 27\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình mũ và logarit, toán 12 bất phương trình mũ lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Bài 2. Tích phân

Tích phân

1. Nguyên hàma) Khái niệmNếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\) thì họ nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(K\) là: \(\int {f(x)} dx = F(x) + C,C \in R.\)b) Tính chất+)\(\int {f'(x)} dx = f(x) + C\)+)\(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]} dx = \int {f(x)} dx \pm \int {g(x)} dx\)+)\(\int {kf(x)} dx = k\int {f(x)} dx , (k \ne 0)\)c) Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp<img src="https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1537953941678_Bang_nguyen_ham.PNG" alt="">d) Các phương pháp tìm nguyên hàm- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản- Sử dụng phương pháp đổi biến số và từng phần để tìm nguyên hàm.2. Tích phâna) Định nghĩaCho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(I\) và \(a,b\) là hai số bất kì thuộc \(I.\) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân của \(f\left( x \right)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx}.\)Ta có công thức Newton – Leibnitz:\(\int\limits_a^b {f(x)dx}&nbsp; = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)b) Tính chất+) \(\int\limits_a^a {f(x)dx}&nbsp; = 0\)+) \(\int\limits_a^b {f(x)dx}&nbsp; =&nbsp; - \int\limits_b^a {f(x)dx} \)+) \(\int\limits_a^c {f(x)dx}&nbsp; = \int\limits_a^b {f(x)dx}&nbsp; + \int\limits_b^c {f(x)dx} \)+) \(\int\limits_a^b {kf(x)dx}&nbsp; = k\int\limits_a^b {f(x)dx} ,k \in R\)+)\(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx}&nbsp; = \int\limits_a^b {f(x)dx}&nbsp; \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} \)c) Phương pháp tính tích phânSử dụng công thức Newton – Leibnitz kết hợp với bảng nguyên hàm cơ bản ở trên và các phương pháp đổi biến số, từng phần để tính tích phân.Ngoài ra còn có phương pháp sử dụng máy tính Casio sẽ được giới thiệu ở phần sau.3. Ứng dụng của tích phâna) Tính diện tích hình phẳng+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) (\(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a\) và \(x = b\) được cho bởi công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a,x = b\) và đồ thị của hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) (\({f_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)) được cho bởi công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right|dx} \)b) Diện tích hình tròn và hình elip+) Hình tròn bán kính \(R\) có diện tích \(S = \pi {R^2}\)+) Hình elíp \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có diện tích \(S = \pi ab\)c) Tính thể tích vật thể, khối tròn xoay+) Thể tích vật thể \(T\) có thiết diện \(S\left( x \right)\) được cho bởi công thức: \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)+) Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)&nbsp; liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) &nbsp;Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền \(\left( D \right)\) giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\;x = a,x = b,y = 0\) quay quanh trục \(Ox\) được cho bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx}&nbsp; = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)+) Cho hàm số \(x = f\left( y \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right].\) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền \(\left( D \right)\) giới hạn bởi \(x = f\left( y \right),\;y = a,y = b,x = 0\) &nbsp;quay quanh trục \(Oy\) được cho bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy}&nbsp; = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \)d) Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu+) Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng \(B\) và chiều cao \(h\) được cho bởi \(V = \dfrac{1}{3}Bh.\)+) Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là B1, B2 và chiều cao h được cho bởi:\(V = \dfrac{1}{3}\left( {{B_1} + {B_2} + \sqrt {{B_1}{B_2}} } \right)h\)+) Thể tích của khối cầu có bán kính \(R\) được cho bởi: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)

Bài tập ôn tập chương 3

Ôn tập chương 3 (trang 128-130)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỮA</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3 style="text-align:justify;">1. Khái niệm</h3>Xét hàm số \[y={{x}^{\alpha }}\], với \[\alpha \] là số thực cho trước.Hàm số \[y={{x}^{\alpha }}\], với \(\alpha \in R\), được gọi là hàm số lũy thừa.Chú ý:Tập xác định của hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\] phụ thuộc vào giá trị của \[\alpha \]. Cụ thể,<ul><li style="text-align:justify;">Với \[\alpha \] nguyên dương, tập xác định là \(R.\)</li><li style="text-align:justify;">Với \[\alpha \] nguyên âm hoặc bằng \[0\], tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}.\)</li><li style="text-align:justify;">Với \[\alpha \] không nguyên, tập xác định là \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right).\]</li></ul><h3 style="text-align:justify;">2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa</h3><ul><li style="text-align:justify;">\(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)</li><li style="text-align:justify;">Đạo hàm hàm hợp: \(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'\)</li></ul><h3 style="text-align:justify;">3. Khảo sát hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\]</h3>Tập xác định của hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\] luôn chứa khoảng \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\] với mọi \(\alpha \in R.\) Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số \[y={{x}^{\alpha }}\] trên khoảng này.&nbsp;<figure class="table" style="width:602px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:310px;">\[y={{x}^{\alpha }},\alpha &gt;0.\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:292px;">\[y={{x}^{\alpha }},\alpha &lt;0.\]</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:161px;vertical-align:top;width:310px;"><ol><li style="text-align:justify;">Tập khảo sát: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right).\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên</li></ol>\(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}} &gt; 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&amp;{\forall x &gt; 0.} \end{array}\)Giới hạn đặc biệt:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0\begin{array}{*{20}{c}} ,&amp;{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{x^\alpha } = + \infty .\)Tiệm cận: không có.&nbsp;&nbsp;<ol><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ol>&nbsp;&nbsp;</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:161px;vertical-align:top;width:292px;"><ol><li style="text-align:justify;">Tập khảo sát: \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right).\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên</li></ol>\(y' = \alpha .{x^{\alpha - 1}} &lt; 0\begin{array}{*{20}{c}} {}&amp;{\forall x &gt; 0.} \end{array}\)Giới hạn đặc biệt:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty \begin{array}{*{20}{c}} ,&amp;{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } } \end{array}{x^\alpha } = 0.\)Tiệm cận:Ox là tiệm cận ngang.Oy là tiệm cận đứng.<ol><li style="text-align:justify;">Bảng biến thiên.</li></ol>&nbsp;&nbsp;</td></tr><tr><td style="height:14px;vertical-align:top;width:602px;" colspan="2"><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_02_LT_01_b13d576258.PNG?54543.65000000689" alt="">Đồ thị của hàm số.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_02_LT_02_ddbe826823.PNG?1207699.974999996"></td></tr></tbody></table></figure>Đồ thị của hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\] luôn đi qua điểm \[I\left( 1;1 \right).\]Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa</h3>Cách giải:Tập xác định của hàm số lũy thừa \[y={{u}^{\alpha }}\] phụ thuộc vào giá trị của \[\alpha \]. Cụ thể,<ul><li style="text-align:justify;">Với \[\alpha \] nguyên dương, ta có \(u \in R.\)</li><li style="text-align:justify;">Với \[\alpha \] nguyên âm hoặc bằng \[0\], ta có \[u\ne 0\]</li><li style="text-align:justify;">Với \[\alpha \] không nguyên, ta có \[u&gt;0\]</li></ul>Từ đó ta rút ra được tập xác định của hàm số.<h3>Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa</h3>Cách giải:\(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'\)<h3>Dạng 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lũy thừa.</h3>Cách giải:Áp dụng sơ đồ khảo sát hàm số.<h3>Dạng 4. Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa (đối với câu hỏi trắc nghiệm)</h3>Cách giải:Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa thông qua hình dáng đồ thị, chiều biến thiên, tiệm cận,…<h3>Dạng 5. So sánh số mũ của các hàm số lũy thừa (đối với câu hỏi trắc nghiệm)</h3>Cách giải:<ul><li>Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số để so sánh số mũ với các giá trị \[0;1\]</li><li>Kẻ đường thẳng qua điểm có tọa độ \[\left( 0;1 \right)\] cắt đồ thị các hàm số tại các điểm có hoành độ \[{{x}_{i}}\left( i=1;2;... \right)\] . So sánh các hoành độ và rút ra kết luận.</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (trang 60 SGK Giải tích 12)</h3>a) Hàm số \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) xác định \( \Leftrightarrow 1 - x &gt; 0 \Leftrightarrow x &lt; 1\)Vậy tập xác định \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\)b) Hàm số \[y={{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{5}}}\] xác định \[\Leftrightarrow 2-{{x}^{2}}&gt;0\Leftrightarrow {{x}^{2}}&lt;2\Leftrightarrow -\sqrt{2}Vậy tập xác định \[\text{D}=\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)\] .c) Hàm số \[y={{\left( {{x}^{2}}1 \right)}^{-2}}\] xác định \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ne 1\Leftrightarrow x\ne \pm 1\]Vậy tập xác định của hàm số là \[D=R\backslash \left\{ -1;1 \right\}.\]d) Hàm số \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) xác định\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 &gt; 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x &lt; - 1\\ {\rm{ }}x &gt; 2 \end{array} \right.\)Vậy tập xác định \[D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty&nbsp; \right).\]<h3>Bài 2. (trang 61 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[y'=\frac{1}{3}\cdot {{\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{\frac{1}{3}-1}}.\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)'=\frac{1}{3}\cdot {{\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{\frac{-2}{3}}}.\left( 4x-1 \right)\]b) \[y'=\frac{1}{4}\cdot {{\left( 4-x-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{4}-1}}\cdot \left( 4-x-{{x}^{2}} \right)=\frac{1}{4}\cdot {{\left( 4-x-{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}.\left( -1-2x \right)=-\frac{2x+1}{4}\cdot {{\left( 4-x-{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}\]c) \[y'=\frac{\pi }{2}{{\left( 3x+1 \right)}^{\frac{\pi }{2}-1}}\left( 3x+1 \right)'=\frac{3\pi }{2}{{\left( 3x+1 \right)}^{\frac{\pi }{2}-1}}\]d) \[y'=\sqrt{3}{{\left( 5-x \right)}^{\sqrt{3}-1}}.\left( 5-x \right)'=-\sqrt{3}{{\left( 5-x \right)}^{\sqrt{3}-1}}\]<h3>Bài 3. (trang 61 SGK Giải tích 12)</h3>a) Xét hàm số \[\text{y}={{\text{x}}^{\frac{4}{3}}}\] ta có:<ul><li style="text-align:justify;">Tập khảo sát : \[D=\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\].</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên:</li></ul>\[y'=\frac{4}{3}{{x}^{\frac{4}{3}-1}}=\frac{4}{3}{{x}^{\frac{1}{3}}}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}&gt;0\], \[\forall x&gt;0\]\[\Rightarrow \] Hàm số đã cho đồng biến trên D.Giới hạn đặc biệt:\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 &gt; 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) &gt; 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x &lt; - 1\\ {\rm{ }}x &gt; 2 \end{array} \right.\)\[\Rightarrow \] Đồ thị hàm số không có tiệm cậnBảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_02_BT_03_f4952e0b7c.PNG?1271663.4049999993"><ul><li style="text-align:justify;">Đồ thị hàm số:</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_02_BT_03_B_87356889b0.PNG?1223439.5050000167">b) Xét hàm số \[y={{x}^{-3}}\], ta có :<ul><li style="text-align:justify;">Tập khảo sát : \[D=\left( 0;+\infty&nbsp; \right).\]</li><li style="text-align:justify;">Sự biến thiên:</li></ul>\[y'=-3.{{x}^{-3-1}}=-3.{{x}^{-4}}&lt;0\], \[\forall x&gt;0\].\[\Rightarrow \] Hàm số đã cho nghịch biến trên D.\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{-3}}=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{-3}}=0\]\[\Rightarrow \] Đồ thị hàm số nhận \[x=0\] làm tiệm cận đứng và \[y=0\] làm tiệm cận ngang.Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_02_BT_03_C_4e2d230ff4.PNG?1311761.125000019"><ul><li style="text-align:justify;">Đồ thị:</li></ul><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_GT_C02_BT_02_BT_03_D_32717e92ad.PNG?1290022.4750000052"><h3>Bài 4. (trang 61 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có \[2,7&gt;0\] nên \[{{\left( 4,1 \right)}^{2,7}}&gt;{{\left( 4,1 \right)}^{0}}\Leftrightarrow {{\left( 4,1 \right)}^{2,7}}&gt;1\]b) Ta có : \[0,3&gt;0\Rightarrow \]Hàm số \[y={{x}^{0,3}}\] đồng biến trên \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\].Vì \[0,2&lt;1\Rightarrow 0,{{2}^{0,3}}&lt;{{1}^{0,3}}=1\].c) Ta có: \[3,2&gt;0\Rightarrow \]Hàm số \[y={{x}^{3,2}}\] đồng biến trên \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\].Vì \[0,7&lt;1\Rightarrow 0,{{7}^{3,2}}&lt;{{1}^{3,2}}=1\].d) Ta có: \[0,4&gt;0\Rightarrow \]Hàm số \[y={{x}^{0,4}}\] đồng biến trên \[\left( 0;+\infty&nbsp; \right)\]Vì \[\sqrt{3}&gt;1\Rightarrow {{\left( \sqrt{3} \right)}^{0,4}}&gt;{{1}^{0,4}}=1\].<h3 style="text-align:justify;">Bài 5. (trang 61 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có : \[7,2&gt;0\]Vì \[3,1&lt;4,3\] nên \[{{\left( 3,1 \right)}^{7,2}}&lt;{{\left( 4,3 \right)}^{7,2}}\].b) Ta có : \[2,3&gt;0\]Vì \[\frac{10}{11}&lt;\frac{12}{11}\] nên \[{{\left( \frac{10}{11} \right)}^{2,3}}&lt;{{\left( \frac{12}{11} \right)}^{2,3}}\]c) Ta có : \[0,3&gt;0\]1Vì \[0,3&gt;0,2\] nên \[{{\left( 0,3 \right)}^{0,3}}&gt;{{\left( 0,2 \right)}^{0,3}}\].Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 giải tích 12, toán 12 hàm số lũy thừa lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.&nbsp;

Bài 2. Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa

ÔN TẬP CHƯƠNG IV<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>- Dạng đại số: \[z=a+bi,a,b\in \mathbb{R},{{i}^{2}}=-1\] (i là đơn vị ảo) a là phần thực, b là phần ảo của zNếu \[a=0\Rightarrow z=bi\] được gọi là số thuần ảo- Hai số phức bằng nhau: \(a + bi = a' + b'i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = a'\\ b = b' \end{array} \right.\)- Số phức liên hợp của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\overline{z}=a-bi\]&nbsp;Chú ý: z là số thực \[\Leftrightarrow \] phần ảo của z bằng \[0\Leftrightarrow z=\overline{z}\]&nbsp;z là số thuần ảo \[\Leftrightarrow \] phần thực của z bằng \[0\Leftrightarrow z=-\overline{z}\]&nbsp;- Các phép toán về số phức: Cho hai số phức \[z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }z'=a'+b'\text{ }i\text{ }(a',b'\in \mathbb{R})\]\[\text{z}\pm \text{z }\!\!'\!\!\text{ }=\left( \text{a}\pm \text{a }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{+}\left( \text{b}\pm \text{b }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{i}\]&nbsp;\[zz'=aa'-bb'+(ab'+a'b)i\]\[\frac{z}{z'}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a'-b'i \right)}{\left( a'+b'i \right)\left( a'-b'i \right)}=\frac{aa'+bb'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}+\frac{ba'-ab'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}i\]\[\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|;\,\,\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|}\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)\]- Căn bậc hai của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\text{w}=x+yi\] sao cho \({{\rm{w}}^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = a\\ 2{\rm{x}}y = b \end{array} \right.\)<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, điểm biểu diễn)Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (điều kiện về môđun, số phức bằng nhau, số phức liên hợp,…)Dạng 4. Thực hiện các phép tính liên quan đến số phức (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa,…)Dạng 5. Tìm căn bậc hai của số phứcDạng 6 Các bài toán liên quan đến giải phương trình phức (tìm nghiệm, viết biểu thức nghiệm,…)&nbsp;<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>Số phức \[z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\] có \[a\] là phần thực, \[b\] là phần ảo.Môđun của số phức \[z\] là độ dài của vectơ \[\overrightarrow{OM}\].\[\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|\Leftrightarrow \left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\]<h3>Bài 2.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>Số phức \[z=a+0i\] có môđun là \[\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}}=\left| a \right|\] . Vậy số phức là một số thực có môđun chính là giá trị tuyệt đối của nó.<h3>Bài 3.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>Số phức liên hợp của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\overline{z}=a-bi\]&nbsp;Khi z là số thực \[\Leftrightarrow \] phần ảo của z bằng \[0\Leftrightarrow z=\overline{z}\]<h3>Bài 4.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>a) Số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] có phần thực \[x\ge 1\] .b) Số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] có phần ảo \[-1\le y\le 2\] .c) Số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] có phần thực \[-1\le x\le 1\] và \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\] .<h3>Bài 5.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>a) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần thực của \[z\] bằng \[1\] nên ta có \[x=1\] .Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[x=1\] .b) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần ảo của \[z\] bằng \[-2\] nên ta có \[y=-2\] .Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[y=-2\] .c) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì phần thực của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ -1;2 \right]\] và phần ảo của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ 0;1 \right]\] nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 2\\ 0 \le y \le 1 \end{array} \right.\)Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng \[x=-1;x=2;y=0;y=1\] kể cả các điểm thuộc các cạnh của hình chữ nhật.d) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Vì \[\left| z \right|\le 2\] nên \[\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\].Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\] , bán kính \[R=2\] .<h3>Bài 6.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có : \(3x + yi = 2y + 1 + \left( {2 - x} \right)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x = 2y + 1\\ y = 2 - x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x - 2y = 1\\ x + y = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.\)b) Ta có : \(2x + y - 1 = \left( {x + 2y - 5} \right)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - 1 = 0\\ x + 2y - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 3 \end{array} \right.\)<h3>Bài 7.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>Xét số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] .Ta có \[\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right|\ge x\] và \[\left| z \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\ge \sqrt{{{y}^{2}}}=\left| y \right|\ge y\] .<h3>Bài 8.(trang 143 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\left( 3+2i \right)\left[ \left( 2-i \right)+\left( 3-2i \right) \right]=\left( 3+2i \right)\left( 5-3i \right)=15-9i+10i+6=21+i\]b) \[\left( 4-3i \right)+\frac{1+i}{2+i}=\left( 4-3i \right)+\frac{\left( 1+i \right)\left( 2-i \right)}{4+1}=\left( 4-3i \right)+\frac{2-i+2i+1}{5}=\left( 4-3i \right)+\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i=\frac{23}{5}-\frac{14}{5}i\]c) \[{{\left( 1+i \right)}^{2}}-{{\left( 1-i \right)}^{2}}=\left( 1+i-1+i \right)\left( 1+i+1-i \right)=2.2i=4i\]d) \[\frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}=\frac{\left( 3+i \right)\left( 2-i \right)-\left( 4-3i \right)\left( 2+i \right)}{\left( 2+i \right)\left( 2-i \right)}=\frac{\left( 6-3i+2i+1 \right)-\left( 8+4i-6i+3 \right)}{5}=-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}i\]<h3>Bài 9.(trang 144 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\left( 3+4i \right)z+\left( 1-3i \right)=2+5i\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 + 4i} \right)z = 2 + 5i - \left( {1 - 3i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 + 4i} \right)z = 1 + 8i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{1 + 8i}}{{3 + 4i}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {1 + 8i} \right)\left( {3 - 4i} \right)}}{{9 + 16}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{7}{5} + \frac{4}{5}i \end{array}\)b) \[\left( 4+7i \right)z-\left( 5-2i \right)=6iz\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {4 + 7i - 6i} \right)z = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow \left( {4 + i} \right)z = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{5 - 2i}}{{4 + i}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {5 - 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}}{{16 + 1}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{18}}{{17}} - \frac{{13}}{{17}}i \end{array}\)<h3>Bài 10.(trang 144 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có: \[\Delta ={{7}^{2}}-4.3.8=-47=47{{i}^{2}}\]\[\Rightarrow \] Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt \[{{z}_{1,2}}=\frac{-7\pm i\sqrt{47}}{6}\]b) \[{{z}^{4}}-8=0\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{z^2}} \right)^2} = 8\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = \sqrt 8 \\ {z^2} = - \sqrt 8 = {i^2}\sqrt 8 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm \sqrt[4]{8}\\ z = \pm i\sqrt[4]{8} \end{array} \right. \end{array}\)c) \[{{z}^{4}}-1=0\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = 1\\ {z^2} = - 1 = {i^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm 1\\ z = \pm i \end{array} \right. \end{array}\)<h3>Bài 11.(trang 144 SGK Giải tích 12)</h3>Gọi hai số phức cần tìm là \[{{z}_{1}},{{z}_{2}}\] .Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = 3\\ {z_1}{z_2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_2} = 3 - {z_1}\\ {z_1}\left( {3 - {z_1}} \right) = 4 \end{array} \right. \Rightarrow z_1^2 - 3{z_1} + 4 = 0\)\[\Rightarrow \Delta =9-4.4=-7=7{{i}^{2}}\]\[\Rightarrow {{z}_{1}}=\frac{3+i\sqrt{7}}{2}\Rightarrow {{z}_{2}}=\frac{3-i\sqrt{7}}{2}\]<h3>Bài 12.(trang 144 SGK Giải tích 12)</h3>Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = a\\ {z_1}{z_2} = b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_2} = a - {z_1}\\ {z_1}\left( {b - {z_1}} \right) = 4 \end{array} \right. \Rightarrow z_1^2 - a{z_1} + b = 0\)Vì \[{{z}_{1}},{{z}_{2}}\] có vai trò như nhau nên \[{{z}_{1}},{{z}_{2}}\] là nghiệm của phương trình \[{{z}^{2}}-az+b=0\] .Bài tập trắc nghiệm<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;width:104px;">1</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:104px;">2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:104px;">3</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:104px;">4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:104px;">5</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;width:104px;">6</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:104px;">B</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:104px;">C</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:104px;">B</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:104px;">C</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:104px;">B</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;width:104px;">C</td></tr></tbody></table></figure>Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 giải tích 12, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.

Ôn tập chương 4 (giải tích)

Ôn tập chương 4

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Căn bậc hai của số thực âm</h3><ul><li>Căn bậc hai của số thực âm \[a\] là \[\pm i\sqrt{\left| a \right|}\] .</li><li>Tổng quát : Cho số phức \[\text{w}\]. Mỗi số phức \[z\] thỏa mãn \[{{z}^{2}}=\text{w}\] là một căn bậc hai của \[\text{w}\].</li></ul><h3>2. Phương trình bậc hai với hệ số thực</h3>Cho phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a;b;c\in \mathbb{R};a\ne 0 \right)\]. Xét \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\] . Nếu:<ul><li>\[\Delta &gt;0\] , phương trình có hai nghiệm thực \[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\]</li><li>\[\Delta =0\] , phương trình có nghiệm thực duy nhất \[{{x}_{1,2}}=\frac{-b}{2a}\]</li><li>\[\Delta &lt;0\] , phương trình có hai nghiệm phức \[{{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm i\sqrt{\left| \Delta&nbsp; \right|}}{2a}\]</li></ul>Nhận xét :<ul><li>Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phải phân biệt).</li><li>Tổng quát : mọi phương trình bậc \[n\left( n&gt;0 \right)\] \[{{a}_{0}}{{x}^{n}}+{{a}_{1}}{{x}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{x}^{n-2}}+...+{{a}_{n-1}}x+{{a}_{n}}=0\] trong đó \[{{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{n}}\in \mathbb{C},{{a}_{0}}\ne 0\] đều có \[n\] nghiệm (không nhất thiết phải phân biệt).</li></ul><h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tìm căn bậc hai của số phứcCách giải :<ul><li>Bước 1 : Gọi \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] là một căn bậc hai của số phức \[\text{w}\] cho trước.</li><li>Bước 2 : \[z\] là một căn bậc hai của \[\text{w}\Leftrightarrow {{z}^{2}}=\text{w}\Leftrightarrow {{\left( x+yi \right)}^{2}}=\text{w}\]. Lập và giải hệ phương trình hai ẩn \[x,y\] .</li><li>Bước 3 : Kết luận.</li></ul>Dạng 2. Các bài toán liên quan đến giải phương trình bậc hai (tìm nghiệm, viết biểu thức nghiệm,…)Cách giải :Cách 1 : Sử dụng biệt số \[\Delta \] để tìm nghiệm của phương trình từ đó rút ra kết quả đề bài yêu cầu.Cách 2 : Sử dụng định lí Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\) đối với các trường hợp không cần tìm cụ thể nghiệm.Dạng 3 : Các bài toán liên quan đến phương trình đưa về phương trình bậc hai (tìm nghiệm, đếm số nghiệm, tính môđun của nghiệm,…)Cách giải :Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai rồi sử dụng biệt thức \[\Delta \] hoặc định lí Vi-et để giải.Dạng 4. Chứng minh hoặc tìm phương trình bậc hai nhận số phức \[z\] làm nghiệm.Cách giải :Cách 1 : Thay trực tiếp nghiệm vào phương trình và giải tương đương.Cách 2 : Sử dụng định lí Vi-et.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(trang 140 SGK Giải tích 12)</h3><ul><li>Ta có \[-7=7{{i}^{2}}\Rightarrow \pm i\sqrt{7}\] là các căn bậc hai của số phức \[-7\] .</li><li>Ta có \[-8=8{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 2i\sqrt{2}\] là các căn bậc hai của số phức \[-8\] .</li><li>Ta có \[-12=12{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 2i\sqrt{3}\] là các căn bậc hai của số phức \[-12\] .</li><li>Ta có \[-20=20{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 2i\sqrt{5}\] là các căn bậc hai của số phức \[-20\] .</li><li>Ta có \[-121=121{{i}^{2}}\Rightarrow \pm 11i\] là các căn bậc hai của số phức \[-121\] .</li></ul><h3>Bài 2.(trang 140 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có \[\Delta '={{1}^{2}}-\left( -3 \right)\left( -1 \right)=-2=2{{i}^{2}}\]\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{{z}_{1,2}}=\frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\]b) Ta có \[\Delta ={{3}^{2}}-4.7.2=-47=47{{i}^{2}}\]\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{{z}_{1,2}}=\frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\]c) Ta có \[\Delta ={{\left( -7 \right)}^{2}}-4.5.11=-171=171{{i}^{2}}\]\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm phức \[{{z}_{1,2}}=\frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\]<h3>Bài 3.(trang 140 SGK Giải tích 12)</h3>a) Đặt \[t={{z}^{2}}\Rightarrow \] Phương trình đã cho tương đương với \({t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 3\\ t = 2 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = - 3\\ {z^2} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm i\sqrt 3 \\ z = \pm 2 \end{array} \right.\)b) Đặt \[t={{z}^{2}}\Rightarrow \] Phương trình đã cho tương đương với \({t^2} + 7t + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = - 2 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} = - 5\\ {z^2} = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = \pm i\sqrt 5 \\ z = \pm i\sqrt 2 \end{array} \right.\)<h3>Bài 4.(trang 140 SGK Giải tích 12)</h3>Xét \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\] . Nếu:<ul><li>\[\Delta &lt;0\] , phương trình có hai nghiệm phức \({z_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)</li><li>\[\Delta \ge 0\] , theo định lí Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l} {z_1} + {z_2} = - \frac{b}{a}\\ {z_1}{z_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.\)</li></ul><h3>Bài 5. (trang 140 SGK Giải tích 12)</h3>Ta có \[z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi\] .Mặt khác, \[z;\overline{z}\] là hai nghiệm của một phương trình\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - z} \right)\left( {x - \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {z + \overline z } \right)x + z.\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + {a^2} + {b^2} = 0 \end{array}\)Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình bậc hai với hệ số thực, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.

Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương trình bậc hai với hệ số thực

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: CỘNG TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><ul><li>Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiên theo quy tắc cộng, trừ đa thức.</li><li>Phép nhân hai số phức được thực hiên theo quy tắc nhân đa thức rồi thay \[{{i}^{2}}=-1\] trong kết quả nhận được.</li><li>Cho hai số phức \[z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }z'=a'+b'\text{ }i\text{ }(a',b'\in \mathbb{R})\]. Khi đó,</li></ul>\[\text{z}\pm \text{z }\!\!'\!\!\text{ }=\left( \text{a}\pm \text{a }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{+}\left( \text{b}\pm \text{b }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{i}\]&nbsp;\[zz'=aa'-bb'+(ab'+a'b)i\]Chú ý :Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, điểm biểu diễn)</h3>Cách giải :Sử dụng các phép toán về số phức để xác định các yếu tố cơ bản.<h3>Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.</h3>Cách giải :Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa \[x,y\] . Từ đó rút ra kết luận về tập hợp điểm biểu diễn số phức<h3>Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (điều kiện về môđun, số phức bằng nhau, số phức liên hợp,…)</h3>Cách giải :Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để rút ra hệ phương trình hai ẩn \[x,y\] . Từ đó tìm được số phức \[z\] .<h3>Dạng 4. Thực hiện các phép tính liên quan đến số phức (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa,…)</h3>Cách giải :Sử dụng các phép toán về số phức, tuân thủ các quy tắc cũng như tính chất để tính toán.&nbsp;<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(trang 135 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\left( 3-5i \right)+\left( 2+4i \right)=\left( 3+2 \right)+\left( -5+4 \right)i=5-i\]b) \[\left( -2-3i \right)+\left( -1-7i \right)=\left( -2-1 \right)+\left( -3-7 \right)i=-3-10i\]c) \[\left( 4+3i \right)-\left( 5-7i \right)=\left( 4-5 \right)+\left( 3+7 \right)i=-1+10i\]d) \[\left( -2-3i \right)-\left( 5-4i \right)=\left( -2-5 \right)+\left( -3+4 \right)i=-7+i\]<h3>Bài 2.(trang 136 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có \[\alpha +\beta =3+2i,\alpha -\beta =3-2i\]b) Ta có\(\begin{array}{l} \alpha +\beta =\left( 1-2i \right)+6i=1+\left( -2+6 \right)i=1+4i \\ \alpha -\beta =\left( 1-2i \right)-6i=1+\left( -2-6 \right)i=1-8i \end{array}\)c) Ta có\(\begin{array}{l} \alpha +\beta =5i+\left( -7i \right)=\left( 5-7 \right)i=-2i \\ \alpha -\beta =5i-\left( -7i \right)=\left( 5+7 \right)i=12i \end{array}\)d) Ta có\(\begin{array}{l} \alpha +\beta =15+\left( 4-2i \right)=\left( 15+4 \right)-2i=19-2i \\ \alpha -\beta =15-\left( 4-2i \right)=\left( 15-4 \right)+2i=11+2i \end{array}\)<h3>Bài 3.(trang 136 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\left( 3-2i \right)\left( 2-3i \right)=\left( 3.2-2.3 \right)+\left( 3.\left( -3 \right)-2.2 \right)i=-13i\]b) \[\left( -1+i \right)\left( 3+7i \right)=\left( -1.3-1.7 \right)+\left( -1.7+1.3 \right)i=-10-4i\]c) \[5\left( 4+3i \right)=5.4+5.3i=20+15i\]d) \[\left( -2-5i \right).4i=-2.4i-5i.4i=20-8i\]<h3>Bài 4.(trang 136 SGK Giải tích 12)</h3>Ta có :\(\begin{array}{l} {{i}^{3}}={{i}^{2}}. i=-i \\ {{i}^{4}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}=1 \\ {{i}^{5}}={{i}^{4}}. i=i \end{array}\)Nếu \[n=4q+r\left( 0\le r&lt;4 \right)\] thì \[{{i}^{n}}={{i}^{4q+r}}={{\left( {{i}^{4}} \right)}^{q}}.{{i}^{r}}={{i}^{r}}\]<h3>Bài 5.(trang 136 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[{{\left( 2+3i \right)}^{2}}={{2}^{2}}+2.2.3i+{{\left( 3i \right)}^{2}}=-5+12i\]b) \[{{\left( 2+3i \right)}^{3}}={{2}^{3}}+{{3.2}^{2}}.3i+3.2.{{\left( 3i \right)}^{2}}+{{\left( 3i \right)}^{3}}=-46+36i+27{{i}^{2}}.i=-46+9i\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa cộng trừ và nhân số phức, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.

Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức

Cộng, trừ và nhân số phức

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Tính diện tích hình phẳng</h3><h4>1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành</h4>Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\]; trục hoành và hai đường thẳng \[x=a;x=b\] được tính theo công thức:\[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\]<h4>2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong</h4>Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \[y={{f}_{1}}\left( x \right)\] và \[y={{f}_{2}}\left( x \right)\]cùng liên tục trên \[\left[ a;b \right]\] và hai đường thẳng \[x=a;x=b\] được tính theo công thức:\[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right|dx}\left( * \right)\]Chú ý: Khi áp dụng công thức\[\left( * \right)\], cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình \[{{f}_{1}}\left( x \right){{f}_{2}}\left( x \right)=0\] trên đoạn\[\left[ a;b \right]\]. Giả sử phương trình có hai nghiệm\[c,d\left( c. Khi đó, \[{{f}_{1}}\left( x \right){{f}_{2}}\left( x \right)\]không đổi dấu trên các đoạn\[\left[ a;c \right],\left[ c;d \right],\left[ d;b \right]\]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn \[\left[ a;c \right]\], ta có:\[S=\int\limits_{a}^{c}{\left| {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right|dx}=\left| \int\limits_{a}^{c}{\left[ {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right]dx} \right|\]<h3>II. Tính thể tích</h3><h4>1. Thể tích của vật thể</h4>Cắt vật thể V bởi hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] vuông góc với trục Ox lần lượt tại\[x=a,x=b\left( a. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm \[x\left( a\le x\le b \right)\] cắt V theo thiết diện có diện tích \[S\left( x \right)\] . Giả sử \[S\left( x \right)\] liên tục trên\[\left[ a;b \right]\]. Người ta chứng minh được rằng, thể tích V của phần vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] được tính bởi công thức:\[V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}\]<h4>2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt</h4>– Thể tích khối chóp có chiều cao bằng \[h\]và diện tích đáy bằng \[B\]được tính bởi công thức: \[V=\int\limits_{0}^{h}{B\frac{{{x}^{2}}}{h}dx}=\frac{Bh}{3}\]– Thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh \[S\]có chiều cao bằng \[h\]và diện tích hai đáy lần lượt là \[B,B\] được tính bởi công thức: \[V=\frac{h}{3}\left( B+\sqrt{BB'}+B' \right)\]<h3>III. Thể tích khối tròn xoay</h3>Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số\[y=f\left( x \right)\], trục \[Ox\]và hai đường thẳng \[x=a,x=b\left( aquay xung quanh trục \[Ox\] tạo thành một khối tròn xoay. Vậy thể tích khối tròn xoay được tính bởi công thức: \[V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành</h3>Cách giải:Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[f\left( x \right)=0\] tìm cận (nếu chưa có)Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng \[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\]Bước 3: Phá trị tuyệt đối, tính tích phân dựa vào các tích phân cơ bản, các phương pháp đổi biến, tích phân từng phần,…<h3>Dạng 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong \[y={{f}_{1}}\left( x \right);y={{f}_{2}}\left( x \right)\]</h3>Cách giải:Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[{{f}_{1}}\left( x \right)={{f}_{2}}\left( x \right)\] tìm cận (nếu chưa có)Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng \[S=\int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right) \right|dx}\]Bước 3: Phá trị tuyệt đối, tính tích phân dựa vào các tích phân cơ bản, các phương pháp đổi biến, tích phân từng phần,…<h3>Dạng 3. Tính thể tích vật thể</h3>Cách giải:Bước 1: Xác định phương trình diện tích thiết diện \[S\left( x \right)\]Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \[V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}\]Bước 3: Tính tích phân dựa vào các tích phân cơ bản, các phương pháp đổi biến, tích phân từng phần,…<h3>Dạng 4. Tính thể tích tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành khi quay quanh trục Ox</h3>Cách giải:Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[f\left( x \right)=0\] tìm cận (nếu chưa có)Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi hình phẳng \[V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\]Bước 3: Tính tích phân dựa vào các tích phân cơ bản, các phương pháp đổi biến, tích phân từng phần,…<h3>Dạng 5. Tính thể tích tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong \[y={{f}_{1}}\left( x \right);y={{f}_{2}}\left( x \right)\] khi quay quanh trục Ox</h3>Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm \[{{f}_{1}}\left( x \right)={{f}_{2}}\left( x \right)\] tìm cận (nếu chưa có)Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi hình phẳng \[V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| f_{1}^{2}\left( x \right)-f_{2}^{2}\left( x \right) \right|dx}\]Bước 3: Phá trị tuyệt đối, tính tích phân dựa vào các tích phân cơ bản, các phương pháp đổi biến, tích phân từng phần,…<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(trang 121 SGK Giải tích 12)</h3>a) Phương trình hoành độ giao điểm:\({x^2} = x + 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là :\[S=\int\limits_{-1}^{2}{\left| {{x}^{2}}-\left( x+2 \right) \right|dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( -{{x}^{2}}+x+2 \right)dx}=\left. \left( -\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{-1}^{2}=\frac{9}{2}\]b) Phương trình hoành độ giao điểm:\(\left| {\ln x} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \ln x = - 1\\ \ln x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{e}\\ x = e \end{array} \right.\)Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là :\(\begin{array}{l} S = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\left| {\left| {\ln x} \right| - 1} \right|dx} = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\left( {1 - \left| {\ln x} \right|} \right)dx} = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left( {1 + \ln x} \right)dx} + \int\limits_1^e {\left( {1 - \ln x} \right)dx} \\ = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {dx} + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx} - \int\limits_1^e {\ln xdx} = \left. x \right|_{\frac{1}{e}}^e + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx} - \int\limits_1^e {\ln xdx} \end{array}\)Xét \[\int{\ln xdx}\] ta có:Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{x}\\ v = x \end{array} \right.\)Khi đó,\(\begin{array}{l} S = \left. x \right|_{\frac{1}{e}}^e + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx} - \int\limits_1^e {\ln xdx} \\ = \left. x \right|_{\frac{1}{e}}^e + \left( {\left. {x\ln x} \right|_{\frac{1}{e}}^1 - \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {dx} } \right) - \left( {\left. {x\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {dx} } \right)\\ = \left. x \right|_{\frac{1}{e}}^e + \left. {\left( {x\ln x - x} \right)} \right|_{\frac{1}{e}}^1 - \left. {\left( {x\ln x - x} \right)} \right|_1^e\\ = e + \frac{1}{e} - 2 \end{array}\)c) Phương trình hoành độ giao điểm:\({\left( {x - 6} \right)^2} = 6x - {x^2} \Leftrightarrow \left( {x - 6} \right)\left( {2x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 6 \end{array} \right.\)Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là :\[S=\int\limits_{3}^{6}{\left| {{\left( x-6 \right)}^{2}}-\left( 6x-{{x}^{2}} \right) \right|dx}=\int\limits_{3}^{6}{\left( -2{{x}^{2}}+18x-36 \right)dx}=\left. \left( -\frac{2}{3}{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-36x \right) \right|_{3}^{6}=9\]<h3>Bài 2. (trang 121 SGK Giải tích 12)</h3>Ta có \[y'=2x\Rightarrow y'\left( 2 \right)=4\]Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[M\left( 5;2 \right)\] có dạng:\[y=4\left( x-2 \right)+5=4x-3\]Tiếp tuyến và đồ thị hàm số tiếp xúc tại điểm có hoành độ \[x=2\]\[\Rightarrow \] Diện tích hình phẳng cần tìm là\[S=\int\limits_{0}^{2}{\left| \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( 4x-3 \right) \right|dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)dx}=\left. \left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4x \right) \right|_{0}^{2}=\frac{8}{3}\]<h3>Bài 3.(trang 121 SGK Giải tích 12)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_C03_NH_TP_B03_BT_03_9922f1d0ab.PNG?23184665.504999984" alt="">Gọi \[{{S}_{1}};{{S}_{2}}\] lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường như hình vẽ.Đương tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\] , bán kính \[r=2\sqrt{2}\] có phương trình: \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\]\[\Rightarrow \] Nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có phương trình: \[y=\sqrt{8-{{x}^{2}}}\]Phương trình hoành độ giao điểm:\[\sqrt{8-{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}}{2}\Leftrightarrow 4\left( 8-{{x}^{2}} \right)={{x}^{4}}\Leftrightarrow x=\pm 2\]Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y=\frac{{{x}^{2}}}{2}\] và nửa đường tròn \[y=\sqrt{8-{{x}^{2}}}\] là:\[{{S}_{1}}=\int\limits_{-2}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right)dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx}-\int\limits_{-2}^{2}{\frac{{{x}^{2}}}{2}dx}=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx}-\left. \frac{{{x}^{3}}}{6} \right|_{-2}^{2}=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx}-\frac{8}{3}\]Xét \[I=\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx}\]Đặt \[x=2\sqrt{2}\sin t\left( -\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow dx=2\sqrt{2}\cos tdt\]Đổi cận: \[x=-2\Rightarrow t=-\frac{\pi }{4};x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}\]Khi đó, \[I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\sqrt{8-8{{\sin }^{2}}t}.2\sqrt{2}\cos tdt}=8\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{{{\cos }^{2}}tdt}=4\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt}=\left. 4\left( t+\frac{\sin 2t}{2} \right) \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=2\pi +4\]\[\Rightarrow {{S}_{1}}=2\pi +\frac{4}{3}\]Diện tích hình tròn là \[S=\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\pi \]\[ \Rightarrow {S_2} = S - {S_1} = 6\pi &nbsp;- \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi &nbsp;+ 2}}{{9\pi &nbsp;- 2}}\]<h3>Bài 4.(trang 121 SGK Giải tích 12)</h3>a) Phương trình hoành độ giao điểm:\[1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\]Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là :\[V=\pi \int\limits_{-1}^{1}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{2}}dx}=\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-2{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)dx}=\pi \left. \left( x-\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\frac{1}{5}{{x}^{5}} \right) \right|_{-1}^{1}=\frac{16\pi }{15}\]b) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là :\[V=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{2}}xdx}=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{1+\cos 2x}{2}dx}=\frac{1}{2}\pi \left. \left( x+\frac{1}{2}\sin 2x \right) \right|_{0}^{\pi }=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}\]c) Thể tích khối tròn xoay cần tìm là :\[V=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{{{\tan }^{2}}xdx}=\pi \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\pi -\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\]Bài 5.a) Phương trình đường thẳng \[OM\] có hệ số góc \[k=\tan \alpha \] là: \[y=x.\tan \alpha \]Ta có: \[OP=OM.\cos \alpha =R\cos \alpha \]Khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \[y=x.\tan \alpha ;y=0;x=0;x=R.\cos \alpha \] quay quanh trục Ox có thể tích là:\[V=\pi \int\limits_{0}^{R\cos \alpha }{{{x}^{2}}{{\tan }^{2}}\alpha dx}=\left. \left( \pi {{\tan }^{2}}\alpha&nbsp; \right)\frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{R\cos \alpha }=\frac{1}{3}\pi {{R}^{3}}{{\tan }^{2}}\alpha {{\cos }^{3}}\alpha =\frac{1}{3}\pi {{R}^{3}}\left( \cos \alpha -{{\cos }^{3}}\alpha&nbsp; \right)\]b) Đặt \[x=\cos \alpha \Rightarrow V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{3}}\left( x-{{x}^{3}} \right)\] .Ta có \[\alpha \in \left[ 0;\frac{\pi }{3} \right]\Rightarrow x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\]Xét hàm số \[V\left( x \right)=\frac{1}{3}\pi {{R}^{3}}\left( x-{{x}^{3}} \right)\] trên \[\left[ \frac{1}{2};1 \right]\]\( \Rightarrow V'\left( x \right) = \frac{1}{3}\pi {R^3}\left( {1 - 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {TM} \right)\\ x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( L \right) \end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow V\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{8}\pi {R^3}\\ V\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\pi {R^3}\\ V\left( 1 \right) = 0 \end{array}\)Vậy \[{{V}_{\max }}=\frac{2\sqrt{3}}{27}\pi {{R}^{3}}\] khi \[x=\frac{\sqrt{3}}{3}\] hay \[\alpha =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}\] .Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ứng dụng của tích phân trong hình học, toán 12 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học

Ứng dụng của tích phân trong hình học

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Khái niệm về thể tích khối đa diện</h3>Định lí:Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.- Thể tích khối hình hộp chữ nhật có ba kích thước là những số nguyên dương a, b, c là \[V=abc\] .- Thể tích khối lập phương cạnh bằng a là \[V={{a}^{3}}\] .<h3>II. Thể tích khối lăng trụ</h3>Định lí:Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: \[V=Bh\] .III. Thể tích khối chópĐịnh lí:Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là \[V=\frac{1}{3}S.h\]Ta cũng có thể gọi thể tích các khối đa diện, khối lăng trụ, khối chóp đã nói ở trên lần lượt là thể tích các hình đa diện, hình lăng trụ, hình chóp xác định chúng.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện</h3>Cách giải:Áp dụng các công thức tính diện tích, thể tích để giải bài toán:- Diện tích tam giác đều cạnh a là \[S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\] .- Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là \[V=\frac{1}{3}S.h\]- Thể tích khối hình hộp chữ nhật có ba kích thước là những số nguyên dương a, b, c là \[V=abc\] .- Thể tích khối lập phương cạnh bằng a là \[V={{a}^{3}}\] .Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: \[V=Bh\] .<h3>Dạng 2. Tính tỉ số thể tích giữa hai đa diện</h3>Cách giải:- Tính thể tích của hai khối đa diện.- Lấy tỉ số thể tích.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 25)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B03_BT_01_cd2b709b63.PNG?1246364.2950000067" alt="">Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD.Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\] là H\[\Rightarrow HB=HC=HD\]\[\Rightarrow \] H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\left( 1 \right)\]&nbsp;Lại có: ABCD là tứ diện đều\[\Rightarrow AB=AC=AD\]\[\Rightarrow \] AH là trục đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\]\[~\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\]Vì \[\Delta BCD\] là tam giác đều nên H là trọng tâm \[\Delta BCD\] .Gọi trung điểm của CD là MXét \[\Delta BCD\] có: \[BM=BD.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]Lại có: \[BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]Xét \[\Delta ABH\] vuông tại H ta có: \[A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\] ( Định lí: Pi-ta-go)\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{2{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là: \[{{S}_{BCD}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\]&nbsp;Thể tích khối tứ diện đều ABCD là: \[V=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\]&nbsp;<h3>Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 25)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B03_BT_02_e2db849683.PNG?1294982.1200000006" alt="">Gọi khối bát diện đều cạnh a là SABCDS’.Chia khối bát diện thành hai khối chóp tứ giác đều bằng nhau là: \[S.\text{ }ABCD\]và \[S.\text{ }ABCD\]có cạnh bằng a.Khi đó \[{{V}_{SABCDS}}~=\text{ }{{V}_{S.ABCD}}~+\text{ }{{V}_{S.ABCD}}~=\text{ }2{{V}_{S.ABCD}}\]Gọi giao điểm của AC và BD là O\[\Rightarrow OS\bot \left( ABCD \right)\]Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là: \[{{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\]Ta có: \[AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\]\[\Rightarrow OA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]Xét \[\Delta OSA\] vuông tại O ta có: \[A{{S}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{S}^{2}}\] ( Định lí: Pi-ta-go)\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{S^2} = A{S^2} - O{A^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow OS = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \end{array}\)Thể tích khối tứ diện đều S.ABCD là: \[{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.OS=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{2}}\]Thể tích khối bát diện đều cạnh a là: \[{{V}_{SABCDS'}}=2{{V}_{S.ABCD}}=2.\frac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\]<h3>Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 25)</h3>&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B03_BT_03_fd6708665a.PNG?1318622.4300000176" alt="">Gọi diện tích đáy và chiều cao của khối hộp lần lượt là S và h.Ta chia khối hộp như sau:+ Tứ diện \[ACB'D'\] .+ Bốn khối chóp \[A.A'B'D',C.C'B'D',B'.BAC,D'.DAC\] có diện tích đáy bằng \[\frac{S}{2}\] và chiều cao h\[\Rightarrow \] Tổng thể tích của bốn khối chóp là \[4.\left( \frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h \right)=\frac{2}{3}Sh\]\[\Rightarrow \] Thể tích tứ diện \[ACB'D'\] là \[V'=Sh-\frac{2}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh\]Tỉ số thể tích của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] và thể tích của khối tứ diện \[ACB'D'\] là:\[\frac{V}{V'}=\frac{Sh}{\frac{1}{3}Sh}=3\]<h3>Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 25)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B03_BT_04_15fa57dd9f.PNG?1343590.205000015" alt="">Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ trên \[\left( SBC \right)\]Đặt \[AH\text{ }=\text{ }{{h}_{1}}~\]và \[AK\text{ }=\text{ }{{h}_{2}}~\]Gọi \[{{S}_{1}},{{S}_{2}}~\]lần lượt là diện tích của \[\Delta SBC,\Delta SB'C'\]Ta có: \[AH\bot \left( SBC \right);A'K\bot \left( SBC \right)\]\[\Rightarrow AH//A'K\]\[\Rightarrow \] A, A’, K, H đồng phẳng (1)Lại có: S, A, H đồng phẳng (2)Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] S, A, A’, H, K đồng phẳngXét \[\left( SAH \right)\] có: \[A'K\bot SK;AH\bot SH;AH//A'K\]\[\Rightarrow SK\equiv SH\]\[\Rightarrow \] S, H, K thẳng hàngTa có: \[\frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{A'K}{AH}=\frac{A'S}{AS}\] ; \[\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\frac{1}{2}\sin \widehat{B'SC'}.SB'.SC'}{\frac{1}{2}\sin \widehat{BSC}.SB.SC}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\]\[\Rightarrow \frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{\frac{1}{3}{{S}_{2}}.{{h}_{2}}}{\frac{1}{3}{{S}_{1}}.{{h}_{1}}}=\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}.\frac{{{h}_{2}}}{{{h}_{1}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\] ( điều phải chứng minh)<h3>Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 26)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B03_BT_05_0366757804.PNG?1372365.7150000217" alt="">Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot CD\\ AB \bot AC \end{array} \right.\)\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB \bot \left( {ACD} \right)\\ \Rightarrow AB \bot CE\left( 1 \right) \end{array}\)Lại có: \[BD\bot \left( CEF \right)\Rightarrow BD\bot CE\left( 2 \right)\]Từ (1) và (2) \[\Rightarrow CE\bot \left( ABD \right)\]\[\Rightarrow CE\bot AD;CE\bot EF\]Xét \[\Delta ACD\] vuông cân tại C có: \[AC=CD=a\]\(\begin{array}{l} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \\ \Rightarrow CE = \frac{1}{2}AD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)Ta có: \[BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2};BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}\]Vì \[\Delta BCD\] vuông tại C có đường cao CF\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD.CF = BC.CD\\ \Rightarrow CF = \frac{{BC.CD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 2 .a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)Ta có:\(\begin{array}{l} EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}} = \sqrt {\frac{2}{3}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\\ DF = \sqrt {C{D^2} - C{F^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{2}{3}{a^2}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\\ {S_{CEF}} = \frac{1}{2}CE.EF = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} \end{array}\)\[\Rightarrow {{V}_{CDEF}}={{V}_{D.CEF}}=\frac{1}{3}{{S}_{CEF}}.DF=\frac{1}{3}\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{{{a}^{3}}}{36}\]<h3>Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 26)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B03_BT_06_56c3192577.PNG?1396077.9050000128" alt="">Gọi khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng d và d’ lần lượt là h và \[\alpha \] .Vẽ hai hình bình hành ABFC và ACDE.Khi đó, \[ABE.CFD\] là hình lăng trụ tam tam giác có chiều cao bằng h, \[AE=CD=b\]\(a = \left\{ \begin{array}{l} \widehat {BAE},\widehat {BAE} \le {90^0}\\ {180^0} - \widehat {BAE},\widehat {BAE} &gt; {90^0} \end{array} \right.\)Gọi diện tích đáy hình lăng trụ là SChia lăng trụ \[ABE.CFD\]thành ba hình chóp tam giác là: \[D.ABE,B.CFD,D.ABC\]Ta có: \[{{V}_{D.ABE}}={{V}_{B.CDF}}=\frac{1}{3}Sh\]\[\Rightarrow {{V}_{D.ABE}}=Sh-\frac{1}{3}Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}AB.AE.\sin \widehat{BAE} \right).h=\frac{abh.\sin \alpha }{6}\]\[\Rightarrow \] Thể tích khối tứ diện ABCD không đổi (điều phải chứng minh)Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Khái niệm về thể tích của khối đa diện do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ

Bài 3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Khái niệm về thể tích của khối đa diện

BÀI 3: PHÉP CHIA SỐ PHỨC<h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp</h3>Cho số phức \[z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)\] . Khi đó,\(\begin{array}{l} z + \overline z = 2a\\ z.\overline z = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} \end{array}\)Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.<h3>2. Phép chia hai số phức</h3>Cho hai số phức \[z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }z'=a'+b'\text{ }i\text{ }(a',b'\in \mathbb{R})\]\[\frac{z}{z'}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a'-b'i \right)}{\left( a'+b'i \right)\left( a'-b'i \right)}=\frac{aa'+bb'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}+\frac{ba'-ab'}{a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}}i\]<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Giải các phương trình phức (phương trình bậc nhất đối với biến \[z\] )Cách giải:Cho phương trình \[az+b=0\left( a,b\in \mathbb{C} \right)\] . Khi đó, phương trình tương đương \[z=\frac{a}{b}\]Thực hiện phép chia hai số phức, đưa nghiệm \[z\] về dạng \[x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(trang 138 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\frac{2+i}{3-2i}=\frac{\left( 2+i \right)\left( 3+2i \right)}{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=\frac{\left( 2.3-1.2 \right)+\left( 2.2+1.3 \right)i}{13}=\frac{4+7i}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i\]b) \[\frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}=\frac{\left( 1+i\sqrt{2} \right)\left( 2-i\sqrt{3} \right)}{{{2}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\frac{2+\sqrt{6}+\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)i}{7}=\frac{2+\sqrt{6}i}{7}+\frac{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)i}{7}\]c) \[\frac{5i}{2-3i}=\frac{5i\left( 2+3i \right)}{4+9}=\frac{-15+10i}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i\]d) \[\frac{5-2i}{i}=\frac{i\left( 5-2i \right)}{-1}=-2-5i\]<h3>Bài 2.(trang 138 SGK Giải tích 12)</h3>a) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{1+4}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]&nbsp;b) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{2+9}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\]&nbsp;c) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{i}=-i\]d) Ta có \[\frac{1}{z}=\frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{1+4}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i\]&nbsp;<h3>Bài 3.(trang 138 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[2i\left( 3+i \right)\left( 2+4i \right)=\left( 6i-2 \right)\left( 2+4i \right)=12i-24-4-8i=-28+4i\]b) \[\frac{{{\left( 1+i \right)}^{2}}{{\left( 2i \right)}^{3}}}{-2+i}=\frac{2i.\left( -8i \right)}{-2+i}=\frac{16}{-2+i}=\frac{16\left( -2-i \right)}{4+1}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i\]c) \[3+2i+\left( 6+i \right)\left( 5+i \right)=3+2i+30+6i+5i-1=32+13i\]d) \[4-3i+\frac{5+4i}{3+6i}=4-3i+\frac{\left( 5+4i \right)\left( 3-6i \right)}{9+36}\]\[=4-3i+\frac{15-30i+12i+24}{45}=4-3i+\frac{13}{15}-\frac{2}{5}i=\frac{73}{15}-\frac{17}{5}i\]<h3>Bài 4.(trang 138 SGK Giải tích 12)</h3>a) \[\left( 3-2i \right)z+\left( 4+5i \right)=7+3i\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - 2i} \right)z = 7 + 3i - \left( {4 + 5i} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {3 - 2i} \right)z = 3 - 2i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{3 - 2i}}{{3 - 2i}}\\ \Leftrightarrow z = 1 \end{array}\)b) \[\left( 1+3i \right)z-\left( 2+5i \right)=\left( 2+i \right)z\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 + 3i} \right)z - \left( {2 + i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( {1 + 3i - 2 - i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( { - 1 + 2i} \right)z = 2 + 5i\\ \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ - 1 + 2i}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{\left( {2 + 5i} \right)\left( { - 1 - 2i} \right)}}{{1 + 4}}\\ \Leftrightarrow z = \frac{{8 - 9i}}{5} = \frac{8}{5} - \frac{9}{5}i \end{array}\)c) \[\frac{z}{4-3i}+\left( 2-3i \right)=5-2i\]\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = \left( {5 - 2i} \right) - \left( {2 - 3i} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{z}{{4 - 3i}} = 3 + i\\ \Leftrightarrow z = \left( {3 + i} \right)\left( {4 - 3i} \right)\\ \Leftrightarrow z = 15 - 5i \end{array}\)Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phép chia số phức, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.

Bài 3. Phép chia số phức

Phép chia số phức

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Khối lăng trụ và khối chóp</h3>Khối lập phương là phần không gian được giới hạn bởi một hình lập phương, kể cả hình lập phương ấy.Tương tự, khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy, khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy, khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy…của một hình lăng trụ ( hình chóp, hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy…của khối lăng trụ ( khối chóp, hay khối chóp cụt) tương ứng.Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.<h3>II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện</h3>1. Khái niệm về hình đa diện<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_01_829bdf51fd.PNG?135161.09500001767" alt=""><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_02_73cad43ce2.PNG?197214.64500000002" alt="">Quan sát các hình lăng trụ, hình chóp trên ta thấy chúng đều là những hình không gian tạo bỏi một số hữu hạn đa giác. Các đa giác ấy đều có tính chất:<ol><li>Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.</li><li>Mỗi cạnh của đa giác nao cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.</li></ol>Người ta còn gọi các hình đó là các hình đa diện.Nói một cách tổng quát, hình đa diện ( gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất trên. Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_03_95948b63d8.PNG?262294.8200000101" alt="">2. Khái niệm về khối đa diệnKhối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.Mỗi khối đa diện được xác định bởi hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của hình đa diện tương ứng.Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_04_ac16d21075.PNG?298239.6450000233" alt=""><h3>III. Hai đa diện bằng nhau</h3>1. Phép dời hình trong không gianPhép biến hình và phép dời hình trong không gian được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.Định nghĩa:Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.Trong không gian, những phép biến hình sau đây là những phép dời hình:a) Phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\] , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\] .b) Phép đối xứng qua mặt phẳng \[\left( P \right)\] , là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc \[\left( P \right)\] thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc \[\left( P \right)\] thành điểm M’ sao cho \[\left( P \right)\] là mặt phẳng trung trực của MM’.nếu phép đối xứng qua mặt phẳng \[\left( P \right)\] biến hình \[\left( H \right)\] thành chính nó thì \[\left( P \right)\] được gọi là mặt phẳng đối xứng của \[\left( H \right)\] .c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biễn điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.Nếu phép đối xứng tâm O biến hình \[\left( H \right)\] thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của \[\left( H \right)\] .d) Phép đối xứng qua đường thẳng \[\Delta \] ( hay phép đối xứng qua trục \[\Delta \] ), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng \[\Delta \] thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc \[\Delta \] thành điểm M’ sao cho \[\Delta \] là đường trung trực của MM’.Nếu phép đối xứng qua đường thẳng \[\Delta \] biến hình \[\left( H \right)\] thành chính nó thì \[\Delta \] được gọi là trục đối xứng của \[\left( H \right)\] .Nhận xét:<ul><li>Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.</li><li>Phép dời hình biến đa diện \[\left( H \right)\] thành đa diện \[\left( H' \right)\] , biến đỉnh, cạnh, mặt của \[\left( H \right)\] thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của \[\left( H' \right)\] .</li></ul>2. Hai hình bằng nhauHai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.Đăc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.<h3>IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện</h3>Nếu khối đa diện \[\left( H \right)\] là tập hợp của hai khối đa diện \[\left( {{H}_{1}} \right),\left( {{H}_{2}} \right)\] sao cho \[\left( {{H}_{1}} \right)\] và \[\left( {{H}_{2}} \right)\] không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện \[\left( H \right)\] thành hai khối đa diện \[\left( {{H}_{1}} \right)\] và \[\left( {{H}_{2}} \right)\] , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện \[\left( {{H}_{1}} \right)\] và \[\left( {{H}_{2}} \right)\] với nhau để được khối đa diện \[\left( H \right)\] .<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_05_728b9aa173.PNG?364063.8850000105" alt=""><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_06_53620267c7.PNG?395204.8950000026" alt=""><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_LT_07_b54a1d6f9f.PNG?462077.0500000217" alt="">Nhận xétMột khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Chứng minh tính chất của đa diệnCách giải:Áp dụng khái niệm hình đa diện và khối đa diện để giải bài toán.Dạng 2. Phân chia, lắp ghép khối đa diệnCách giải:Áp dụng quy tắc phân chia và lắp ghép các khối đa diện để giải bài toán.<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 12)</h3>Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là a và b.Các mặt của đa diện là những tam giác nên mỗi mặt có ba cạnh, mỗi cạnh là cạnh chung của lần lượt hai mặt.\[\Rightarrow 2a=3b\]Vì \[2a\vdots 2\Leftrightarrow 3b\vdots 2\Leftrightarrow b\vdots 2\]\[\Rightarrow \] b là số chẵn ( điều phải chứng minh)Ví dụ:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_BT_01_95c186bb6f.PNG?534254.2700000049" alt=""><h3>Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 12)</h3>Gọi \[{{B}_{1}},\text{ }{{B}_{2}},\ldots ,\text{ }{{B}_{n}}~\] và \[{{M}_{1}},\text{ }{{M}_{2}},\ldots ,\text{ }{{M}_{n}}~\]lần lượt là các đỉnh của khối đa diện G và số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:\[C=\frac{{{M}_{1}}~+\text{ }{{M}_{2}}~+\text{ }\ldots \text{ }+\text{ }{{M}_{n}}}{2}\]Vì \(C \in {\rm Z}\)\[\Rightarrow {{M}_{1}}~+\text{ }{{M}_{2}}~+\text{ }\ldots \text{ }+\text{ }{{M}_{n}}~\]là số chẵn.Mà \[{{M}_{1}}~,{{M}_{2}}~,\text{ }...,\text{ }{{M}_{n}}~\]là n số tự nhiên lẻ\[\Rightarrow \] Tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.Ví dụ: Hình chóp ngũ giác\[{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{B}_{3}}{{B}_{4}}{{B}_{5}}{{B}_{6}}\] có: \[{{B}_{1}}\] là đỉnh chung của 5 mặt bên và có 6 đỉnh là \[{{B}_{1}},\text{ }{{B}_{2}},\text{ }{{B}_{3}},\text{ }{{B}_{4}},\text{ }{{B}_{5}},\text{ }{{B}_{6}}~\].<h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_BT_02_f53216a230.PNG?577014.835000009" alt=""> Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 12)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_BT_03_89356518b8.PNG?650124.2050000001" alt="">Ta có thể chia khối lập phương thành năm khối tứ diện là \[AABD,CCBD,\] \[DADC,BBAC\] và \[DBAC\].<h3>Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 12)</h3>* Cách chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau:+ Chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau là \[ABD.ABD\]và\[BCD.BCD\].<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_BT_04_67910094ea.PNG?736871.3500000013" alt="">+ Sau đó lần lượt chia khối lăng trụ \[ABD.ABD\]và \[BCD.BCD\]thành ba tứ diện lần lượt là: \[DABB,\text{ }DAAB,DA'B'D'\]và\[DCBB,\text{ }DCCB,\text{ }DDCB\].<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B01_BT_05_a56622edbf.PNG?691976.1149999977" alt="">Ta được sáu khối tứ diện bằng nhau.* Chứng minh:+ Hai khối tứ diện \[DABB\] và \[DAAB\] bằng nhau vì đối xứng nhau qua \[\left( DAB \right)\](1)+ Hai khối tứ diện\[~DAAB\] và \[DDAB\] bằng nhau vì đối xứng nhau qua \[\left( BAD \right)\](2)Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] Ba khối tứ diện \[DABB,\text{ }DAAB\]và \[DDAB\] bằng nhau.Chứng minh tương tự ta có ba khối tứ diện \[DCBB,\text{ }DCCB,\text{ }DDCB\] bằng nhau.Vậy khối lập phương \[ABCD.ABCD\]được chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Khái niệm về khối đa diện do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Bài 1. Khái niệm về khối đa diện

Khái niệm về khối đa diện

Ôn tập cuối năm (giải tích)

Ôn tập cuối năm

Bài 1. Nguyên hàm

Nguyên hàm

Bài 1. Khái niệm về khối tròn xoay

Khái niệm về khối tròn xoay

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. Khối đa diện lồi</h3>Khối đa diện \[\left( H \right)\] được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \[\left( H \right)\] luôn thuộc \[\left( H \right)\] . Khi đó đa diện xác định \[\left( H \right)\] được gọi là đa diện lồi.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B02_LT_01_bb6c86ca88.PNG?950039.6400000027" alt=""><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B02_LT_02_4047f1e4e1.PNG?1016926.4150000236" alt="">Người ta chứng minh được rằng một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.<h3>II. Khối đa diện đều</h3>Định nghĩa:Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:<ol><li>Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.</li><li>Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.</li></ol>Khối đa diện đều như vậy đucợ gọi là khối đa diện đều loại \[\left\{ p;q \right\}\] .Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.Người ta chứng minh được định lí sau:Định lí:Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại \[\left\{ 3;3 \right\}\] , loại \[\left\{ 4;3 \right\}\] , loại \[\left\{ 3;4 \right\}\] , loại \[\left\{ 5;3 \right\}\] và loại \[\left\{ 3;5 \right\}\] .Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự được gọi là các khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều ( hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">Loại</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">Tên gọi</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">Số đỉnh</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">Số cạnh</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:125px;">Số mặt</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">\[\left\{ 3;3 \right\}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">Tứ diện đều</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">6</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">4</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">\[\left\{ 4;3 \right\}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">Lập phương</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">8</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">12</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">6</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">\[\left\{ 3;4 \right\}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">Bát diện đều</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">6</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">12</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">8</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">\[\left\{ 5;3 \right\}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">Mười hai mặt đều</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">20</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">30</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">12</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">\[\left\{ 3;5 \right\}\]</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">Hai mươi mặt đều</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">12</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">30</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:125px;">20</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính diện tích toàn phần hình đa diện đều</h3>Cách giải:Diện tích toàn phần của đa diện đều bằng tổng diện tích tất cả các mặt của đa diện đều đó.<h3>Dạng 2. Chứng minh tính chất của đa diện đều</h3>Cách giải:- Áp dụng các định lí, tính chất trong tam giác như định lí Ta-lét, định lí Pi-ta-go, tính chất trọng tâm trong tam giác,…để giải bài toán.+ Tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.+ Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của khối bát diện đều gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:<ul><li>Ba đường chéo bằng nhau.</li><li>Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.</li><li>Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.</li></ul><h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 18)</h3>Cắt giấy theo mẫu đã cho và làm theo hướng dẫn sách giáo khoa để có được các hình tương ứng.&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B02_BT_01_8094dda967.PNG?1057087.3900000006" alt=""><h3>Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 18)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B02_BT_02_b29164e8ea.PNG?1084831.8000000145" alt="">Gọi cạnh hình lập phương \[ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\]là a.\[\Rightarrow \] Diện tích toàn phần của hình lập phương \[\left( H \right)\] là: \[{{S}_{H}}=\text{ }6.{{a}^{2}}~\]Gọi tâm các mặt của hình lập phương \[\left( H \right)\] lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.\[\Rightarrow \] \[\left( H' \right)\] là bát diện đều\[EMNPQF\].+ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào \[\Delta AAD\] vuông tại A ta có:\[AD\text{ }=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{2A{{D}^{2}}}=AD\sqrt{2}\text{= }a\sqrt{2}\]+ Ta có: ME là đường trung bình của \[\Delta BAD\]\[\Rightarrow ME=\frac{1}{2}A'D=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\]&nbsp;\[\Rightarrow \] (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng \[\frac{a}{\sqrt{2}}\]\[\Rightarrow \] Diện tích một mặt của (H’) là: \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\sin {{60}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\]\[\Rightarrow \] Diện tích toàn phần của (H’) là: \[{{S}_{tp\left( H' \right)}}=8{{S}_{1}}={{a}^{2}}\sqrt{3}\]Vậy tỉ số diện tích cần tính là: \[\frac{{{S}_{H}}}{{{S}_{H'}}}=\frac{6{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]<h3>Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 18)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B02_BT_03_ff26fd52ce.PNG?1130527.4800000188" alt="">Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a.Gọi tâm của các tam giác\[\Delta BCD,\Delta ACD,\Delta ABD,\Delta ABC\] lần lượt là \[{{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}~\]và M là trung điểm của BC.Xét \[\Delta AMD\]có: \[\frac{M{{G}_{4}}}{AM}=\frac{1}{3};\frac{M{{G}_{1}}}{DM}=\frac{1}{3}\] ( tính chất trọng tâm của tam giác)\[\Rightarrow \frac{M{{G}_{4}}}{AM}=\frac{M{{G}_{1}}}{DM}\left( =\frac{1}{3} \right)\]\[\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{4}}//AD\] ( định lí Ta-lét đảo)\[\Rightarrow \frac{M{{G}_{4}}}{AM}=\frac{M{{G}_{1}}}{DM}=\frac{{{G}_{1}}{{G}_{4}}}{AD}=\frac{1}{3}\]\[\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{4}}=\frac{1}{3}AD=\frac{a}{3}\]Tương tự: \[{{G}_{1}}{{G}_{2}}~={{G}_{2}}{{G}_{3}}~=\text{ }{{G}_{3}}{{G}_{4}}~=\text{ }{{G}_{1}}{{G}_{3}}~=\text{ }{{G}_{1}}{{G}_{4}}~=\text{ }{{G}_{2}}{{G}_{4}}~=~\frac{a}{3}\]Tâm của các mặt của hình tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện\[{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}\] có độ dài mỗi cạnh bằng \[\frac{a}{3}\] .Vậy tứ diện \[{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}\] là tứ diện đều.<h3>Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 18)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C01_B02_BT_04_fbbb2470c3.PNG?1152751.2250000145" alt="">a) Giả sử hình bát diện đều \[ABCDEF\]có cạnh bằng a.\[\Rightarrow \] B, C, D, E cách đều A và F\[\Rightarrow \] B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AFXét \[mp\left( BCDE \right)\]có: \[BC=CD=DE=EB =a\]\[\Rightarrow \] BCDE là hình thoi\[\Rightarrow BD\bot CE\] và BD, CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( tính chất của hình thoi)Chứng minh tương tự ta được: AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.b) Gọi trung điểm của AF, BD, CE là O.Ta có: \[OA\bot OB\Rightarrow AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}\] ; \[OA\bot OE\Rightarrow AE=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}}\]Mà \[AB\text{ }=\text{ }AE\text{ = a}\]\[\Rightarrow OB=OE\Rightarrow BD=CE\]\[\Rightarrow \] Hình thoi BCDE là hình vuông.Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Khối đa diện lồi và khối đa diện đều do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.

Bài 2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

<h2 style="text-align:center;">&nbsp;</h2><h2 style="text-align:center;">BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN</h2><h2>A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I Tọa độ của điểm và của vectơ</h3>1. Hệ tọa độTrong không gian, cho ba trục \[x'\text{O}x\], \[y'Oy\] , \[z'Oz\] vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi \[\overrightarrow{i}\] , \[\overrightarrow{j}\] , \[\overrightarrow{k}\] lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \[x'\text{O}x\], \[y'Oy\] , \[z'Oz\] .Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc \[\text{O}xyz\] trong không gian, hay đơn giản được gọi là hệ tọa độ \[\text{O}xyz\].<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_B01_LT_01_f851b85545.PNG?54333.06999999331" alt="">Điểm O được gọi là gốc tọa độ.Các mặt phẳng \[\text{(Ox}y),(Oyz),(\text{Ozx})\] đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.Không gian với hệ tọa độ \[\text{O}xyz\] còn được gọi là không gian \[\text{O}xyz\].Vì \[\overrightarrow{i}\] , \[\overrightarrow{j}\] , \[\overrightarrow{k}\] là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:\[{{\overrightarrow{i}}^{2}}={{\overrightarrow{j}}^{2}}={{\overrightarrow{k}}^{2}}=1\]và \[\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=0\] .2. Tọa độ của một điểmTrong không gian \[\text{O}xyz\], cho một diểm M tùy ý. Vì ba vectơ \[\overrightarrow{i}\] , \[\overrightarrow{j}\] , \[\overrightarrow{k}\] không đồng phẳng nên có một bộ ba số \[(x;y;z)\] duy nhất sao cho:\[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\]&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_B01_LT_02_912c5fddf3.PNG?54345.52999999141" alt="">Ngược lại, với bộ ba số \[(x;y;z)\] ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức \[\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\] .Ta gọi bộ ba số \[(x;y;z)\] đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ \[\text{O}xyz\] đã cho và viết:\[M=(x;y;z)\] hoặc \[M(x;y;z)\] .3. Tọa độ của vectơTrong không gian \[\text{O}xyz\] cho vectơ \[\overrightarrow{a}\] , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số \[(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] sao cho: \[\overrightarrow{a}=a_{1}^{{}}\overrightarrow{i}+a_{2}^{{}}\overrightarrow{j}+a_{3}^{{}}\overrightarrow{k}.\]Ta gọi bộ ba số \[(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] đó là tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{a}\] đối với hệ tọa độ \[\text{O}xyz\] cho trước và viết \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] hoặc \[\overrightarrow{a}(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] .Nhận xét : Trong hệ tọa độ \[\text{O}xyz\], tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ \[\overrightarrow{OM}\] .Ta có: \[M=(x;y;z)\] \[\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x;y;z).\]<h3>II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ</h3>Định lý : Trong không gian \[\text{O}xyz\] cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] . Ta có:<ol><li>\[\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}^{{}}+b_{1}^{{}};a_{2}^{{}}+b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}+b_{3}^{{}}),\]</li><li>\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}^{{}}-b_{1}^{{}};a_{2}^{{}}-b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}-b_{3}^{{}}),\]</li><li>\[k\overrightarrow{a}=k(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})=(ka_{1}^{{}};ka_{2}^{{}};ka_{3}^{{}})\] với k là một số thực.</li></ol>Hệ quả :<ol><li>Cho hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] .</li></ol>Ta có: \[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_{1}^{{}}=b_{1}^{{}};a_{2}^{{}}=b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}=b_{3}^{{}}.\]<ol><li>Vectơ \[\overrightarrow{0}\] có tọa độ là \[(0;0;0)\] .</li><li>Với \[\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\] thì hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho : \[a_{1}^{{}}=kb_{1}^{{}};a_{2}^{{}}=kb_{2}^{{}};a_{3}^{{}}=kb_{3}^{{}}.\]</li><li>Trong không gian \[\text{O}xyz\], nếu cho hai điểm \[A(x_{A}^{{}};y_{A}^{{}};z_{A}^{{}}),B(x_{B}^{{}};y_{B}^{{}};z_{B}^{{}})\] thì :</li></ol><ul><li>\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}^{{}}-x_{A}^{{}};y_{B}^{{}}-y_{A}^{{}};z_{B}^{{}}-z_{A}^{{}}).\]</li><li>Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là \[M\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2};\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}}{2} \right).\]</li></ul><h3>III. Tích vô hướng</h3>1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướngĐịnh lý : Trong không gian \[\text{O}xyz\], tích vô hướng của hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] được xác định bởi công thức\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_{1}^{{}}.b_{1}^{{}}+a_{2}^{{}}.b_{2}^{{}}+a_{3}^{{}}.b_{3}^{{}}\]2. Ứng dụng<ol><li>Độ dài của một vectơ. Cho vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] .</li></ol>Ta biết rằng \[{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{a}}^{2}}\] hay \[\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{a}}^{2}}}\] . Do đó\[\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\]<ol><li>Khoảng cách giữa hai điểm. Trong không gian \[\text{O}xyz\], cho hai điểm \[A(x_{A}^{{}};y_{A}^{{}};z_{A}^{{}})\] và \[B(x_{B}^{{}};y_{B}^{{}};z_{B}^{{}})\] . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vectơ \[\overrightarrow{AB}\] . Do đó ta có :</li></ol>\[AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{(x_{B}^{{}}-x_{A}^{{}})}^{2}}+{{(y_{B}^{{}}-y_{A}^{{}})}^{2}}+{{(z_{B}^{{}}-z_{A}^{{}})}^{2}}}.\]<ol><li>Góc giữa hai vectơ. Nếu φ là góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và \[\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] với \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] khác 0 thì cos φ \[=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\] . Do đó :</li></ol>cos φ \[=c\text{os(}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}^{{}}b_{1}^{{}}+a_{2}^{{}}b_{2}^{{}}+a_{3}^{{}}b_{3}^{{}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\]Từ đó ta suy ra \[\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_{1}^{{}}b_{1}^{{}}+a_{2}^{{}}b_{2}^{{}}+a_{3}^{{}}b_{3}^{{}}=0\] .<h3>IV. Phương trình mặt cầu</h3>Định lý : Trong không gian \[\text{O}xyz\], mặt cầu (S) tâm \[I(a;b;c)\] bán kính r có phương trình là :\[{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{r}^{2}}\]Nhận xét : Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng :\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\] với \[d={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{r}^{2}}\] .Từ đó người ta chứng minh được rằng phương trình dạng \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2Ax+2By+2Cz+D=0\] với điều kiện \[{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-D&gt;0\] là phương trình của mặt cầu tâm \[I(-A;-B;-C)\] có bán kính \[r=\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}-D}\] .<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng 1. Tìm tọa độ và các yếu tố liên quan đến vectơ từ các yếu tố đã biếtCách giải:Sử dụng các định lý và hệ quả của các phép toán vectơ cùng định nghĩa và tính chất của vectơ để giải bài toán.Dạng 2. Tính tích vô hướng và sử dụng ứng dụng đó để giải toánCách giải:Áp dụng định lý biểu thức tọa độ của tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng để giải bài toán.Kết hợp sử dụng các công thức liên quan đến vectơ để hoàn thành bài toán.Dạng 3. Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình mặt cầu đã biếtCách giải:Dựa vào định lý phương trình mặt cầu để giải bài toán: Trong không gian \[\text{O}xyz\], mặt cầu (S) tâm \[I(a;b;c)\] bán kính r có phương trình là :\[{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{r}^{2}}\]Dạng 4. Lập phương trình mặt cầu dựa vào yếu tố đề bàiCách giải:Dựa vào định lý phương trình mặt cầu để giải bài toán: Trong không gian \[\text{O}xyz\], mặt cầu (S) tâm \[I(a;b;c)\] bán kính r có phương trình là :\[{{(x-a)}^{2}}+{{(y-b)}^{2}}+{{(z-c)}^{2}}={{r}^{2}}\]<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)</h3>a) Ta có: \[4\overrightarrow{a}=(8;-20;12)\] ; \[\frac{1}{3}\overrightarrow{b}=(0;\frac{2}{3};\frac{-1}{3})\] ; \[3\overrightarrow{c}=(3;21;6)\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}=(11;\frac{1}{3};\frac{55}{3})\] .b) Ta có: \[4\overrightarrow{b}=(0;8;-4)\] ; \[2\overrightarrow{c}=(2;14;4)\]\[\Leftrightarrow \overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}=(0;-27;3)\] .<h3>Bài 2.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)</h3>Ta có G là trọng tâm \[\Delta ABC\]\(\left\{ \begin{array}{l} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{2}{3}\\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 0\\ {z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{4}{3} \end{array} \right.\)Vậy tọa độ trọng tâm \[\Delta ABC\] là \[G(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}).\]<h3>Bài 3.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_B01_BT_03_e3cbaef1bc.PNG?54330.045000009704" alt="">&nbsp;Ta có : \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} = (1;1;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_C} = {x_D} + 1 = 2\\ {y_C} = {y_D} + 1 = 0\\ {z_C} = {z_D} + 1 = 2 \end{array} \right. \Rightarrow C(2;0;2).\)\(\begin{array}{l} \overrightarrow {C'D'} = \overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {DC} = ( - 1; - 1; - 1)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{D'}} = {x_{C'}} - 1 = 3\\ {y_{D'}} = {y_{C'}} - 1 = 4\\ {z_{D'}} = {z_{C'}} - 1 = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow D'(3;4; - 6) \end{array}\)\(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {CC'} = (2;5; - 7) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{B'}} = {x_B} + 2 = 4\\ {y_{B'}} = {y_B} + 5 = 6\\ {z_{B'}} = {z_B} - 7 = - 5 \end{array} \right. \Rightarrow B'(4;6; - 5)\)\(\overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {C'C} = ( - 2; - 5;7) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = {x_A} + 2 = 3\\ {y_{A'}} = {y_A} + 5 = 5\\ {z_{A'}} = {z_A} - 7 = - 6 \end{array} \right. \Rightarrow A'(3;5; - 6)\)<h3>Bài 4.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)</h3>a) \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+0.(-4)+(-6).0=6\] .b) \[\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=1.4+(-5).3+2.(-5)=-21\] .<h3>Bài 5.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)</h3>a) \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-2y+1=0\Leftrightarrow {{(x-4)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}={{4}^{2}}\] .Tâm mặt cầu là điểm \[I(4;1;0)\] và bán kính \[r=4\] .b) \[3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x+8y+15z-3=0\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+\frac{8}{3}y+5z=1\]\[\Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}+{{\left( y+\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{5}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{19}{6} \right)}^{2}}\]Tâm mặt cầu là điểm \[I(1;-\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\] và bán kính \[r=\frac{19}{6}\] .<h3>Bài 6.(trang 68 SGK Hình học lớp 12)</h3>a) Gọi I là tâm mặt cầu.Ta có : \[\overrightarrow{AB}=(-2;4;-4)\Leftrightarrow AB=6.\]Mặt cầu có đường kính AB nên tâm mặt cầu là trung điểm của AB\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = 3\\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = - 1\\ {z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = 5 \end{array} \right. \Rightarrow I(3; - 1;5)\) và bán kính \[r=\frac{AB}{2}=3.\]Vậy phương trình mặt cầu là : \[{{(x-3)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=9.\]b) Ta có : \[\overrightarrow{AC}=(-2;-1;0)\Leftrightarrow AC=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{0}^{2}}}=\sqrt{5}\]Vì mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là C nên bán kính mặt cầu bằng AC.Vậy phương trình mặt cầu là : \[{{(x-3)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=5.\]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hệ tọa độ trong không gian hình học 12, toán 12 tọa độ lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian

Ôn tập chương I (hình học)

Ôn tập chương 1 (trang 26-28)

Bài 3. Phương trình đường thẳng trong không gian

Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng

Bài 2. Mặt cầu

Mặt cầu

<h2 style="text-align:center;">ÔN TẬP CHƯƠNG II</h2><h2>GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3>a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.<h3>Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C03_OTC_BT_02_5f4b9e8a91.PNG?68005.23000000976">Ta có : \[AD\bot \left( ABC \right)\]\[\Rightarrow AD\bot AB\]\[\Rightarrow \Delta ABD\] vuông tại A\[\Rightarrow \widehat{ABD}&lt;{{90}^{0}}\]Khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB ta được hình nón tròn xoay đỉnh B, đường cao AB, đường tròn đáy có tâm A bán kính AD.Đường cao của khối nón là : \[h=AB=a\]Bán kính hình tròn đáy khối nón là : \[r=AD=a\]Đường sinh của khối nón là : \[l=BD=a\sqrt{2}\]Diện tích xung quanh khối nón là : \[{{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a.a\sqrt{2}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}\]Thể tích khối nón là : \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{a}^{3}}\]<h3>Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3>Hình chóp \[S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}~\]có tất cả các cạnh bên bằng nhauGọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáyTa có : \[S{{A}_{1}}~=S{{A}_{2}}~=S{{A}_{3}}~=...=S{{A}_{n}}\]\[\Rightarrow \Delta SI{{A}_{1}}=\text{ }\Delta SI{{A}_{2}}~=\text{ }\Delta SI{{A}_{3}}~=\text{ }...\text{ }=\text{ }\Delta SI{{A}_{n}}\]\[\Rightarrow I{{A}_{1}}~=I{{A}_{2}}~=I{{A}_{3}}~=...=I{{A}_{n}}\]\[\Rightarrow \] \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}\] là đa giác nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA, đường cao SIXét \[\left( SIA \right)\] có đường trung trực của\[S{{A}_{1}}\] cắt SI tại O\[\Rightarrow OS=O{{A}_{1}},O{{A}_{1}}~=O{{A}_{2}}~=O{{A}_{3}}~=...=O{{A}_{n}}~\]\[\Rightarrow OS=O{{A}_{1}}~=O{{A}_{2}}~=O{{A}_{3}}~=...=O{{A}_{n}}\]\[\Rightarrow \] Hình chóp \[S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}~\]nội tiếp được trong một mặt cầu ( điều phải chứng minh)<h3>Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C03_OTC_BT_04_d324778c7a.PNG?44410.4450000159">Giả sử mặt cầu đã cho là mặt cầu \[\left( O;r \right)\]Gọi trung điểm của AB, BC, AC và tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu lần lượt là M, N, P, I, J, K\[\Rightarrow SA\bot OI;AB\bot OM\]Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OMA\] có :Cạnh chung OA\(\begin{array}{l} OI = OM = r\\ \widehat {OIA} = \widehat {OMA} = {90^0} \end{array}\)\[\Rightarrow \Delta OIA\text{ }=\Delta OMA\] ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )\[\Rightarrow AM=AI\]Chứng minh tương tự : \[BM=BJ,SI=SJ\left( 1 \right)\]Lại có : \[AM=BM\Rightarrow AI=BJ\left( 2 \right)\]Từ (1) và (2) \[\Rightarrow SI+AI=SJ+BJ\Leftrightarrow SA=SB\left( 3 \right)\]Chứng minh tương tự : \[SB=SC\left( 4 \right)\]Từ (3) và (4) \[\Rightarrow SA=SB=SC\](*)Lại có : \[BM=BN\left( =BJ \right),CN=CP\left( =CK \right)\]\[\Rightarrow AB=2BM=BC=2CN=2CP=AC\]\[\Rightarrow \Delta ABC\] đều (**)Từ (*) và (**) \[\Rightarrow \] S. ABC là hình chóp tam giác đều ( điều phải chứng minh)<h3>Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C03_OTC_BT_05_f495648e1c.PNG?85565.95000001835">a) Kẻ \[AH\bot \left( BCD \right)\]Xét \[\Delta ABH,\Delta ACH,\Delta ADH\]có :\[AB=AC=AD\] (ABCD là tứ diện đều)Cạnh chung AH\[\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\widehat{AHD}={{90}^{0}}\]\[=&gt;\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\] ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)\[\Rightarrow HB=HC=HD\]\[\Rightarrow \] H là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\]Vì \[\Delta BCD\] là tam giác đều\[\Rightarrow \] H là trọng tâm \[\Delta BCD\]Gọi M là trung điểm CD\(\begin{array}{l} \Rightarrow MB = a.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow BH = \frac{2}{3}MB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)Xét \[\Delta ABH\] vuông tại H có : \[A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\] ( định lí Pi-ta-go)\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\\ \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}\)b) Ta có : \[h=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3},r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]Diện tích xung quanh khối trụ là : \[S=2\pi rh=2\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{2\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}\]Thể tích của khối trụ là : \[V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}\]<h3>Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/Toan_12_HH_C03_OTC_BT_06_11a057c152.PNG?106479.77500001434">Gọi H là trung điểm của SAĐường thẳng qua H vuông góc với SA cắt SO tại I \[\Rightarrow SI=SA\left( 1 \right)\]Xét \[\Delta SOA\] và \[\Delta SHI\] có : \[\widehat{S}\] chung , \[\widehat{SOA}=\widehat{SHI}={{90}^{0}}\]\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta SOA\Delta SHI\\ \Rightarrow \frac{{SA}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SH}}\\ \Rightarrow SI = \frac{{SA}}{{SO}}.SH = \frac{{SA}}{{SO}}.\frac{{SA}}{2} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{S{O^2} + O{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}}} = \frac{{3a}}{4} \end{array}\)Ta có : \[IA=IB=IC=ID\left( 2 \right)\] ( vì I thuộc trục SO của tứ diện S.ABCD)Từ (1) và (2) \[\Rightarrow SI=IA=IB=IC=ID=\frac{3a}{4}\]\[\Rightarrow \] Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là điểm I và bán kính \[r=\frac{3a}{4}\]Diện tích mặt cầu là : \[S=4\pi {{r}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}=\frac{9\pi {{a}^{2}}}{4}\]Thể tích khối cầu là : \[V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{3}}=\frac{9\pi {{a}^{3}}}{16}\]<h3>Bài 7. (SGK Hình học 12 trang 50)</h3>a) Ta có : Trục của hình trụ là \[OO=2r\]\[\Rightarrow \] Chiều cao của hình trụ là \[h=2r\]Mặt cầu đường kính \[OO=2r\]\[\Rightarrow \] Bán kính của mặt cầu bằng \[R=r\]Diện tích mặt cầu là : \[S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{r}^{2}}\]Diện tích xung quanh hình trụ là : \[{{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi r.2r=4\pi {{r}^{2}}\]\[\Rightarrow \] Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh mặt trụ.b) Thể tích khối trụ là : \[{{V}_{t}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}.2r=2\pi {{r}^{3}}\]Thể tích khối cầu là : \[{{V}_{c}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\]\[\Rightarrow \] Thể tích khối trụ lớn hơn thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải bài tậpcơ bản chương 2 hình học 12 , toán 12 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.

Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Chương 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chương 4: SỐ PHỨC

Chương 1: KHỐI ĐA DIỆN

Chương 2: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN