BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] xác định trên tập \[D.\]
- Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \le M,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = M \end{array} \right.\). Kí hiệu: \[M=\underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f(x)\].
- Số \[m\] gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y=f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} f(x) \ge m,\forall x \in D\\ \exists {x_0} \in D,f({x_0}) = m \end{array} \right.\). Kí hiệu: \[m=\underset{x\in D}{\mathop{\min }}\,f(x)\].
2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp
- Bước 1: Tính \[{f}'\left( x \right)\] và tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\in D\] mà tại đó \[{f}'\left( x \right)=0\] hoặc hàm số không có đạo hàm.
- Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right].\] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ a;b \right].\]
- Bước 1: Tìm các điểm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\] trên khoảng \[\left( a;b \right)\] , tại đó \[{f}'\left( x \right)=0\] hoặc \[{f}'\left( x \right)\] không xác định.
- Bước 2: Tính \[f\left( a \right),f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( b \right).\]
- Bước 3: Khi đó:
\[\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{max}}}\,f\left( x \right)=\text{max}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\]
\[\underset{\left[ a,b \right]}{\mathop{\text{min}}}\,f\left( x \right)=\text{min}\left\{ f\left( {{x}_{1}} \right),f\left( {{x}_{2}} \right),...,f\left( {{x}_{n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right) \right\}.\]
c. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng
- Bước 1: Tính \[{f}'(x)\] .
- Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm \[{{x}_{i}}\in (a;b)\] của phương trình \[{f}'(x)=0\] và tất cả các điểm \[{{\alpha }_{i}}\in (a;b)\] làm cho \[{f}'(x)\] không xác định.
- Bước 3. Tính \[A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\] , \[B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\] , \[f({{x}_{i}})\] , \[f({{\alpha }_{i}})\] .
- Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận \[M=\underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\,f(x)\], \[m=\underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\,f(x)\].
Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Chú ý:
- Nếu \[y=f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left[ a;b \right]\] thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \end{array} \right.\)
- Nếu \[y=f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[\left[ a;b \right]\] thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( b \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( a \right) \end{array} \right..\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn,…
Cách giải:
Áp dụng các phương pháp trong phần kiến thức cần nhớ.
Dạng 2. Bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cách giải:
- Gọi một thông số theo biến \[x\] và biểu diễn các thông số còn lại theo \[x\] .
- Từ yêu cầu bài toán lập phương trình hàm số theo biến x và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo biến rồi rút ra kết luận
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 24 SGK Giải tích 12)
a) \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\]
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( b \right)\\ \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f\left( a \right) \end{array} \right..\)
Khi đó, \[y\left( -1 \right)=40;\,\,\,y\left( 3 \right)=8\]
- Xét hàm số trên \[\left[ -4;4 \right]\] ta có: \[y\left( -4 \right)=-41;y\left( 4 \right)=15\]
\[\Rightarrow \underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( -4 \right)=-41;\,\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -1 \right)=40\]
- Xét hàm số trên \[\left[ 0;5 \right]\] ta có: \[y\left( 0 \right)=35;\,\,y\left( 5 \right)=40\]
\[\Rightarrow \underset{\left[ 0;5 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 3 \right)=8;\,\underset{\left[ 0;5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 5 \right)=40\]
b) \[y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\]
Ta có \(y' = 4{x^3} - 6x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}} = 0}\\ {x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} } \end{array}} \right.\)
Khi đó, \[y\left( 0 \right)=2;\,\,\,y\left( 3 \right)=8\]
- Xét hàm số trên \[\left[ 0;3 \right]\] ta có: \[y\left( 0 \right)=2;y\left( 3 \right)=56;y\left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right)=-\frac{1}{4}\]
\[\Rightarrow \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( \sqrt{\frac{3}{2}} \right)=-\frac{1}{4};\,\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 3 \right)=56\]
- Xét hàm số trên \[\left[ 2;5 \right]\] ta có: \[y\left( 2 \right)=6;\,\,y\left( 5 \right)=552\]
\[\Rightarrow \underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 2 \right)=6;\,\underset{\left[ 2;5 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 5 \right)=552\]
c) \[y=\frac{2-x}{1-x}\]
TXĐ: \[D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\]
Ta có \[y'=\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0;\forall x\in D\]
\[\Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng xác định
\[\Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên \[\left[ 2;4 \right]\] và \[\left[ -3;-2 \right]\]
\[\Rightarrow \underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 2 \right)=0;\,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( 4 \right)=\frac{2}{3}\]
\[\underset{\left[ -3;-2 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( -3 \right)=\frac{5}{4};\,\underset{\left[ -3;-2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -2 \right)=\frac{4}{3}\]
d) \[y=\sqrt{5-4x}\]
TXĐ: \[D=\left( -\infty ;\frac{5}{4} \right]\]
Ta có \[\text{y}'=\frac{-2}{\sqrt{5-4\text{x}}}<0;\forall x\in D\]
\[\Rightarrow \]Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định
\[\Rightarrow \]Hàm số luôn đồng biến trên \[\left[ -1;1 \right]\]
\[\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,\text{y}=\text{y}\left( 1 \right)=1;\,\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\text{y}\left( -1 \right)=3\]
Bài 2. (trang 24 SGK Giải tích 12)
Nửa chu vi hình chữ nhật là: \[16:2=8cm\].
Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \[x\left( cm \right)\]\[\left( x>0 \right)\]
\[\Rightarrow \] Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là : \[8x\left( cm \right)\]
\[\Rightarrow \] Diện tích của hình chữ nhật là:
\[S=x\left( 8x \right)=8x{{x}^{2}}=16\left( 168x+{{x}^{2}} \right)=16{{\left( x4 \right)}^{2}}\le 16\].
\[\Rightarrow {{S}_{\max }}=16\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[{{\left( x4 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=4\].
Vậy trong các hình chữ nhật có chu vi 16cm thì hình vuông cạnh bằng 4cm có diện tích lớn nhất bằng \[16c{{m}^{2}}\] .
Bài 3. (trang 24 SGK Giải tích 12)
Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là \[x\left( m \right)\] \[\left( x>0 \right)\].
Vì diện tích hình chữ nhật là \[48c{{m}^{2}}\] nên độ dài cạnh còn lại : \[\frac{48}{x}\left( m \right)\]
⇒ chu vi hình chữ nhật là: \[\text{P}\left( x \right)=2\left( \text{x}+\frac{48}{\text{x}} \right)=2\text{x}+\frac{96}{\text{x}}\]
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \[2x;\frac{96}{x}\] ta có
\[2x+\frac{96}{x}\ge 2\sqrt{2x.\frac{96}{x}}=16\sqrt{3}\]
Dấu “=” xảy ra \[\Leftrightarrow 2x=\frac{96}{x}\Leftrightarrow x=4\sqrt{3}\]
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích \[48{{m}^{2}}\] thì hình vuông cạnh \[4\sqrt{3}m\]có chu vi nhỏ nhất.
Cách 2: Xét hàm số \[P(x)=2x+\frac{96}{x}\] trên \[\left( 0;+\infty \right)\].
Ta có \[\text{P}'\left( x \right)=2-\frac{96}{{{\text{x}}^{2}}};\text{P}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2-\frac{96}{{{\text{x}}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}=48\Leftrightarrow \text{x}=4\sqrt{3}\]
Bảng biến thiên
\[\Rightarrow \underset{[0,+\infty )}{\mathop{\min }}\,\text{P}\left( x \right)=\text{P}\left( 4\sqrt{3} \right)=16\sqrt{3}\]
Vậy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích \[48{{m}^{2}}\] thì hình vuông cạnh \[4\sqrt{3}m\]có chu vi nhỏ nhất.
Bài 4. (trang 24 SGK Giải tích 12)
a) TXĐ: \[D=R\]
Ta thấy: \(1 + {x^2} \ge 1\) \[\Rightarrow 0<\text{y}=\frac{4}{1+{{\text{x}}^{2}}}\le 4\]
\[\Rightarrow \underset{R}{\mathop{\max }}\,\text{y}=4\] đạt được khi \[1+{{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=0\].
b) TXĐ : \[D=R\]
Ta có \[y'=12{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}\]; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy: \[\underset{R}{\mathop{\max }}\,\text{y}=1\Leftrightarrow x=1\]
Bài 5. (trang 24 SGK Giải tích 12)
a) \[\text{y}=\left| x \right|\]
Cách 1: Ta có: \[y=\left| x \right|\ge 0,\forall x\]
\[\Rightarrow \] Hàm số có giá trị nhỏ nhất là \[\min y=0\] khi \[x=0\].
Cách 2: Ta có \({\rm{y}} = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} x\,\,\,;\,\,x > 0\\ - x;\,\,x \le 0 \end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên\[\Rightarrow \] \[\underset{R}{\mathop{\min }}\,y=0\] khi \[x=0\].
b) \[\text{y}=\text{x}+\frac{4}{\text{x}}\quad \left( \text{x}>0 \right)\]
Xét trên \[D=\left( 0;+\infty \right)\] ta có:
\[\text{y}'=1-\frac{4}{{{\text{x}}^{2}}};\,\,\text{y}'=0\Leftrightarrow 1-\frac{4}{{{\text{x}}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}=4\Leftrightarrow \text{x}=2\]
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên\[\Rightarrow \] \[\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,y=4\] khi \[x=2\].
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ