ÔN TẬP CHƯƠNG 2
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 90 SGK Giải tích 12)
Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:
Cho \[a,b\] là các số thực dương; \[\alpha ,\beta \] là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
- \[{{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\]
- \[\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\]
- \[{{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\]
- \[{{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}{{a}^{\beta }}\]
- \[{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\]
- Nếu \[a>1\] thì \[{{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta \] ;
- Nếu \[0 thì \[{{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta \] .
Bài 2. (trang 90 SGK Giải tích 12)
| \[\alpha >0\] | \[\alpha <0\] |
| Đạo hàm | \[y'=\alpha {{x}^{\alpha \text{ }-\text{ }1}}~>0\] | \[y'=\alpha {{x}^{\alpha \text{ }-\text{ }1}}<0\] |
| Chiều biến thiên | Hàm số đồng biến | Hàm số nghịch biến |
| Tiệm cận | Không có | Trục Ox là tiệm cận ngang Trục Oy là tiệm cận đứng |
| Đồ thị | Đồ thị luôn đi qua điểm \[\left( 1;1 \right)\]. | |
Bài 3. (trang 90 SGK Giải tích 12)
| \[y={{a}^{x}}\] | \[y={{\log }_{a}}x\] |
Tập xác định | \[\left( -\infty ;+\infty \right)\] | \[\left( 0;+\infty \right)\] |
Đạo hàm | \[y'={{a}^{x}}\ln a\] | \[y'=\frac{1}{x\ln a}\] |
Chiều biến thiên | \[a>1\] : hàm số luôn đồng biến; \[0 : hàm số luôn nghịch biến | \[a>1\] : hàm số luôn đồng biến; \[0 : hàm số luôn nghịch biến |
Tiệm cận | \[Ox\] là tiệm cận ngang | \[Oy\] là tiệm cận ngang |
Đồ thị | Đi qua các điểm \[\left( 0;1 \right)\] và \[\left( 1;a \right)\] , nằm phía trên trục hoành \(\left( {y = {a^x} > 0,\forall x \in R} \right)\) | Đi qua các điểm \[\left( 1;0 \right)\] và \[\left( a;1 \right)\] , nằm phía bên phải trục tung |
Bài 4. (trang 90 SGK Giải tích 12)
a) Hàm số \[\text{y}=\frac{1}{{{3}^{\text{x}}}-3}\] xác định \[\Leftrightarrow {{3}^{x}}-3\ne 0\Leftrightarrow {{3}^{x}}\ne 3\Leftrightarrow x\ne 1\]
Vậy hàm số có tập xác định \[D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\] .
b) Hàm số \[y=\log \frac{x-1}{2x-3}\] xác định\( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2x - 3}} > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > \frac{3}{2}}\\ {x < 1} \end{array}} \right.\)
Vậy hàm số có tập xác định \[\text{D}=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( \frac{3}{2};+\infty \right)\] .
c) Hàm số \[y=\log \sqrt{{{x}^{2}}-x-12}\] xác định \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 3}\\ {x > 4} \end{array}} \right.\)
Vậy hàm số có tập xác định \[\text{D}=\left( -\infty ;-3 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)\] .
d) Hàm số \[y=\sqrt{{{25}^{x}}-{{5}^{x}}}\] xác định
\[\Leftrightarrow {{25}^{x}}-{{5}^{x}}\ge 0\Leftrightarrow {{5}^{x}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{5}^{x}}-1\ge 0\Leftrightarrow {{5}^{x}}\ge 1\Leftrightarrow x\ge 0\]
Vậy hàm số có tập xác định \[\text{D}=\left[ 0;+\infty \right)\] .
Bài 5. (trang 90 SGK Giải tích 12)
Ta có \[{{\left( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}} \right)}^{2}}={{2}^{2x}}+{{2.2}^{x}}{{.2}^{-x}}+{{2}^{-2x}}={{4}^{x}}+2+{{4}^{-x}}=\left( {{4}^{x}}+{{4}^{-x}} \right)+2=23+2=25\]
Mà \[{{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0\Rightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=5\]
Bài 6. (trang 90 SGK Giải tích 12)
a) Ta có \[{{\log }_{a}}x={{\log }_{a}}\left( {{a}^{3}}{{b}^{2}}\sqrt{c} \right)={{\log }_{a}}{{a}^{3}}+{{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{a}}\sqrt{c}\]
\[=3+2{{\log }_{a}}b+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}c=3+2.3-1=8\]
b) Ta có \[{{\log }_{a}}\frac{{{a}^{4}}\sqrt[3]{b}}{{{c}^{3}}}={{\log }_{a}}{{a}^{4}}+{{\log }_{a}}\sqrt[3]{b}-{{\log }_{a}}{{c}^{3}}\]
\[=4+\frac{1}{3}{{\log }_{a}}b-3{{\log }_{a}}c=4+\frac{1}{3}.3-3.\left( -2 \right)=11\]
Bài 7. (trang 90 SGK Giải tích 12)
a) \[{{3}^{x+4}}+{{3.5}^{x+3}}={{5}^{x+4}}+{{3}^{x+3}}\]
\[\Leftrightarrow {{3}^{x+3}}.3-{{3}^{x+3}}={{5}^{x+3}}.5-{{3.5}^{x+3}}\]
\[\Leftrightarrow {{2.3}^{x+3}}={{2.5}^{x+3}}\] \[\Leftrightarrow {{3}^{x+3}}={{5}^{x+3}}\]
\[\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x+3}}=1\Leftrightarrow \text{x}+3=0\Leftrightarrow x=-3\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=-3\] .
b) \({25^x} - {6.5^x} + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{5^x}} \right)^2} - {6.5^x} + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{5^{\rm{x}}} = 5}\\ {{5^{\rm{x}}} = 1} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}} = 1}\\ {{\rm{x}} = 0} \end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=1\] .
c) \[{{4.9}^{x}}+{{12}^{x}}-{{3.16}^{x}}=0\]
\[\Leftrightarrow 4\cdot \frac{{{9}^{x}}}{{{16}^{x}}}+\frac{{{12}^{x}}}{{{16}^{x}}}-3=0\]
\[\Leftrightarrow 4.{{\left( \frac{9}{16} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}-3=0\]
\[\Leftrightarrow 4.{{\left[ {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}} \right]}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}-3=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{\rm{x}}} = \frac{3}{4}}\\ {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{\rm{x}}} = - 1} \end{array}} \right.\)
\[\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{x}}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=1\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=1\] .
d) Điều kiện \[x>1\]
Ta có \[{{\log }_{7}}\left( \text{x}-1 \right).{{\log }_{7}}\text{x}={{\log }_{7}}\text{x}\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\left( \text{x}-1 \right).{{\log }_{7}}\text{x}-{{\log }_{7}}\text{x}=0\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{7}}\text{x}.\left[ {{\log }_{7}}\left( \text{x}-1 \right)-1 \right]=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_7}{\rm{x}} = 0}\\ {{{\log }_7}\left( {{\rm{x}} - 1} \right) - 1 = 0} \end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_7}{\rm{x}} = 0}\\ {{{\log }_7}\left( {{\rm{x}} - 1} \right) = 1} \end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{x}} = 1\left( {loai} \right)}\\ {{\rm{x}} = 8\left( {t/m} \right)} \end{array}} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=8\] .
e) Điều kiện \[x>0\]
Ta có \[{{\log }_{3}}x+{{\log }_{\sqrt{3}}}x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}x=6\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{\frac{1}{32}}}x+{{\log }_{{{3}^{-1}}}}x=6\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+2{{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}x=6\]
\[\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}x=6\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=3\Leftrightarrow x=27\] (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=27\] .
f) Điều kiện \[x>1\]
Ta có \[\log \frac{x+8}{x-1}=\log x\Leftrightarrow \frac{x+8}{x-1}=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=x+8\]
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\left( {loai} \right)\\ x = 4\left( {t/m} \right) \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm \[x=4\] .
Bài 8. (trang 90 SGK Giải tích 12)
a) \[{{2}^{2x-1}}+{{2}^{2x-2}}+{{2}^{2x-3}}\ge 448\]
\[\Leftrightarrow {{2}^{2x-3}}{{.2}^{2}}+{{2}^{2x-3}}.2+{{2}^{2x-3}}\ge 448\]
\[\Leftrightarrow {{2}^{2x-3}}.\left( {{2}^{2}}+2+1 \right)\ge 448\]
\[\Leftrightarrow {{2}^{2x-3}}\ge 64\]
\[\Leftrightarrow 2x-3\ge {{\log }_{2}}64\]
\[\Leftrightarrow 2x-3\ge 6\Leftrightarrow x\ge \frac{9}{2}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[\text{S}=\left[ \frac{9}{2};+\infty \right)\] .
b) \[{{\left( 0,4 \right)}^{x}}-{{\left( 2,5 \right)}^{x+1}}>1,5\]
\[\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}-{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x+1}}>1,5\]
\[\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}-\frac{5}{2}\cdot {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}>1,5\]
Đặt \[t={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\] . Bất phương trình trở thành:
\[t-\frac{5}{2}.\frac{1}{t}>1,5\] \( \Leftrightarrow {{\rm{t}}^2} - 1,5{\rm{t}} - \frac{5}{2} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t > \frac{5}{2}\left( {t/m} \right)\\ {\rm{t}} < - 1\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow \text{ }{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{\text{x}}}>\frac{5}{2}\] \[\Leftrightarrow \text{x}<{{\log }_{\frac{2}{5}}}\left( \frac{5}{2} \right)\Leftrightarrow \text{x}<-1\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S=\left( -\infty ;-1 \right)\] .
c) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 1} \right) > 0}\\ {{x^2} - 1 > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 < {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^0} = 1}\\ {{x^2} - 1 > 0} \end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 1}\\ {x < - 1} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2 < x < - 1\\ 1 < x < \sqrt 2 \end{array} \right.} \right.\)
Ta có \[{{\log }_{3}}\left[ {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right]<1\]
\[\Leftrightarrow 0<{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-1 \right)<{{3}^{1}}=3\]
\[\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}<{{x}^{2}}-1<{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{0}}\]
\[\Leftrightarrow \frac{9}{8}<{{\text{x}}^{2}}<2\]
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < \frac{{ - 3\sqrt 2 }}{4}}\\ {x > \frac{{3\sqrt 2 }}{4}} \end{array}} \right.}\\ { - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
Kết hợp với điều kiện ta có \(\left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2 < x < - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\ \frac{{3\sqrt 2 }}{4} < x < \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S=\left( -\sqrt{2};\frac{-3\sqrt{2}}{4} \right)\cup \left( \frac{3\sqrt{2}}{4};\sqrt{2} \right)\] .
d) Điều kiện \[x>0\]
Ta có \[\log _{0,2}^{2}\text{x}-5{{\log }_{0,2}}\text{x}<-6\]
\[\Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{0,2}}\text{x} \right)}^{2}}-5{{\log }_{0,2}}\text{x}+6<0\]
\[\Leftrightarrow 2<{{\log }_{0,2}}\text{x}<3\]
\[\Leftrightarrow 0,{{2}^{3}}<\text{x}<0,{{2}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{125}<\text{x}<\frac{1}{25}\]
Kết hợp với điều kiện ta có \[\frac{1}{125}<\text{x}<\frac{1}{25}\]
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \[S=\left( \frac{1}{125};\frac{1}{25} \right)\] .
Bài tập trắc nghiệm
1B | 2C | 3B | 4C | 5B | 6C | 7B |
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 2 giải tích 12, toán 12 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.