BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Phương trình mũ
1. Phương trình mũ cơ bản \[{{a}^{x}}=b\left( a>0,a\ne 1 \right)\].
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi \[b>0\].
● Phương trình vô nghiệm khi \[b\le 0\].
2. Các cách giải một số phương trình mũ đơn giản
a. Biến đổi, quy về cùng cơ số
\[{{a}^{f(x)}}={{a}^{g(x)}}\Leftrightarrow a=1\] hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < a \ne 1}\\ {f\left( x \right) = g\left( x \right)} \end{array}} \right.\)
b. Đặt ẩn phụ
\(f\left[ {{a^{g(x)}}} \right] = 0\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {a^{g\left( x \right)}} > 0}\\ {f\left( t \right) = 0} \end{array}} \right.\)
Ta thường gặp các dạng:
● \[m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{a}^{f\left( x \right)}}+p=0\]
● \[m.{{a}^{f(x)}}+n.{{b}^{f(x)}}+p=0\], trong đó \[a.b=1\]. Đặt \[t={{a}^{f(x)}}.t>0\], suy ra \[{{b}^{f\left( x \right)}}=\frac{1}{t}\].
● \[m.{{a}^{2f\left( x \right)}}+n.{{\left( a.b \right)}^{f\left( x \right)}}+p.{{b}^{2f\left( x \right)}}=0\]. Chia hai vế cho \[{{b}^{2f\left( x \right)}}\] và đặt \[{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{f\left( x \right)}}=t>0\].
c. Logarit hóa
● Phương trình \({a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < a \ne 1,b > 0}\\ {f\left( x \right) = {{\log }_a}b} \end{array}} \right.\)
● Phương trình \[{{a}^{f\left( x \right)}}={{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{a}}{{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right).{{\log }_{a}}b\]
hoặc \[{{\log }_{b}}{{a}^{f\left( x \right)}}={{\log }_{b}}{{b}^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right).{{\log }_{b}}a=g\left( x \right)\]
d. Giải bằng phương pháp đồ thị
Giải phương trình: \[{{a}^{x}}=f\left( x \right)\left( 0 .
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y={{a}^{x}}\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\]. Khi đó ta thực hiện hai bước:
- Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số \[y={{a}^{x}}\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\].
- Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Tính chất 1. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[D\] thì số nghiệm của phương trình \[f\left( x \right)=k\] trên \[D\] không nhiều hơn một và \[f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v,\forall u,v\in D\].
Tính chất 2. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \[y=g\left( x \right)\] liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] không nhiều hơn một.
Tính chất 3. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình \[f\left( u \right)>f\left( v \right)\Leftrightarrow u>v\] (hoặc \[u), \[\forall u,v\in D\].
f. Sử dụng đánh giá
Giải phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\].
Nếu ta đánh giá được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge m}\\ {g\left( x \right) \le m} \end{array}} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = m}\\ {g\left( x \right) = m} \end{array}} \right.\)
II. Phương trình logarit
1. Phương trình logarit đơn giản
Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarrit.
Phương trình logarit cơ bản có dạng: \[{{\log }_{a}}x=b\left( 0 luôn có nghiệm duy nhất \[x={{a}^{b}}\].
2. Các cách giải một số phương trình logarit đơn giản
a. Biến đổi, quy về cùng cơ số
\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < a \ne 1}\\ {f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0} \end{array}} \right.\)
b. Đặt ẩn phụ
\(f\left[ {{{\log }_a}g\left( x \right)} \right] = 0\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {t = {{\log }_a}g\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = 0} \end{array}} \right.\)
c. Mũ hóa hai vế
\({\log _a}g\left( x \right) = f\left( x \right)\left( {0 < a \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {g\left( x \right) > 0}\\ {g\left( x \right) = {a^{f\left( x \right)}}} \end{array}} \right.\)
d. Phương pháp đồ thị
Giải phương trình: \[{{\log }_{a}}x=g\left( x \right)\left( 0 .
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \[y={{\log }_{a}}x\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\] . Khi đó ta thực hiện hai bước:
- Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số \[y={{\log }_{a}}x\left( 0 và \[y=f\left( x \right)\].
- Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.
e. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Tính chất 1. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[D\] thì số nghiệm của phương trình \[f\left( x \right)=k\] trên \[D\] không nhiều hơn một và \[f\left( u \right)=f\left( v \right)\Leftrightarrow u=v,\forall u,v\in D\].
Tính chất 2. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số \[y=g\left( x \right)\] liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] không nhiều hơn một.
Tính chất 3. Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình \[f\left( u \right)>f\left( v \right)\Leftrightarrow u>v\] (hoặc \[u), \[\forall u,v\in D\].
f. Sử dụng đánh giá
Giải phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\].
Nếu ta đánh giá được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) \ge m}\\ {g\left( x \right) \le m} \end{array}} \right.\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {f\left( x \right) = m}\\ {g\left( x \right) = m} \end{array}} \right.\)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình mũ, logarit
Cách giải:
Áp dụng các phương pháp như quy về cùng cơ số, mũ hóa (logarit hóa),…
Dạng 2. Bài toán chứa tham số
Cách giải:
Bước 1. Áp dụng các phương pháp biến đổi đưa phương trình về dạng \[f\left( x,m \right)=0\]
Bước 2. Biện luận nghiệm của phương trình thông qua 2 cách
Cách 1. Sử dụng tam thức bậc hai
Cách 2. Cô lập tham số \[m\] : \[g\left( x \right)=h\left( m \right)\] . Sau đó, xét sự tương giao của đồ thị hàm số \[y=g\left( x \right)\] và đường thẳng \[y=h\left( m \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 84 SGK Giải tích 12)
a) \[{{\left( 0,3 \right)}^{3x-2}}=1={{(0,3)}^{0}}\Leftrightarrow 3x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\]
b) \[{{\left( \frac{1}{5} \right)}^{x}}=25\Leftrightarrow {{5}^{-x}}={{5}^{2}}\Leftrightarrow x=-2\]
c) \({2^{{x^2} - 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\)
d) \[{{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}=2\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x+7+1-2x}}=2\Leftrightarrow {{2}^{x-8}}={{2}^{1}}\Leftrightarrow x-8=1\Leftrightarrow x=9\]
Bài 2. (trang 84 SGK Giải tích 12)
a) \[{{3}^{2x-1}}+{{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow \frac{1}{3}\cdot {{3}^{2x}}+{{3}^{2x}}=108\]
\[\Leftrightarrow \frac{4}{3}\cdot {{3}^{2x}}=108\Leftrightarrow {{3}^{2x}}=81\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=2\] .
b) \[{{2}^{x+1}}+{{2}^{x-1}}+{{2}^{x}}=28\]
\[\Leftrightarrow {{2.2}^{x}}+\frac{1}{2}{{.2}^{x}}+{{2}^{x}}=28\]
\[\Leftrightarrow \frac{7}{2}\cdot {{2}^{x}}=28\Leftrightarrow {{2}^{x}}=8\Leftrightarrow x=3\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=3\] .
c) \[{{64}^{x}}-{{8}^{x}}-56=0\Leftrightarrow {{\left( {{8}^{x}} \right)}^{2}}-{{8}^{x}}-56=0\]
Đặt \[t={{8}^{x}}\left( t>0 \right)\] . Phương trình trở thành:
\({t^2} - t - 56 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 8\\ t = - 7\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow {{8}^{x}}=8\Leftrightarrow x=1\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=1\] .
d) \[{{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}={{9}^{x}}\]
\[\Leftrightarrow {{3.4}^{x}}-{{2.6}^{x}}-{{9}^{x}}=0\]
Chia cả hai vế của phương trình cho \[{{9}^{x}}\] ta có:
\[3.\frac{{{4}^{x}}}{{{9}^{x}}}-2.\frac{{{6}^{x}}}{{{9}^{x}}}-1=0\]
\[\Leftrightarrow 3.{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}-2.{{\left( \frac{6}{9} \right)}^{x}}-1=0\]
\[\Leftrightarrow 3.{{\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}} \right]}^{2}}-2.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}-1=0\]
Đặt \[{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=t\left( t>0 \right)\] . Phương trình trở thành:
\(3{t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = - \frac{1}{3}\left( {loai} \right) \end{array} \right.\)
\[\Rightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{x}}=1\Leftrightarrow x=0\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=0\] .
Bài 3. (Trang 84 SGK Giải tích 12)
a) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {5x + 3 > 0}\\ {7x + 5 > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x > - \frac{3}{5}\)
Ta có \[{{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right)\Leftrightarrow 5x+3=7x+5\Leftrightarrow x=-1\] (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 > 0\\ 2x - 11 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{11}}{2}\)
Ta có \[\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2\]
\[\Leftrightarrow \log \frac{x-1}{2x-11}=\log 2\Leftrightarrow \frac{x-1}{2x-11}=2\]
\[\Leftrightarrow x-1=4x-22\Leftrightarrow 3x=21\Leftrightarrow x=7\] (t/m)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=7\] .
c) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x - 5 > 0}\\ {x + 2 > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 5}\\ {x > - 2} \end{array} \Leftrightarrow x > 5} \right.} \right.\)
Ta có \[{{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( x-5 \right)\left( x+2 \right) \right]=3\]
\[\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x+2 \right)={{2}^{3}}\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-10=8\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-18=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 6\left( {t/m} \right)}\\ {x = - 3\left( {loai} \right)} \end{array}} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 6\).
d) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 6x + 7 > 0}\\ {x - 3 > 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > 3 + \sqrt 2 }\\ {x < 3 - \sqrt 2 }\\ {x > 3} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x > 3 + \sqrt 2 \)
Ta có: \[\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right)\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+7=x-3\]
\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 5}&{(tm)}\\ {x = 2}&{(loai)} \end{array}} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=5\] .
Bài 4. (Trang 85 SGK Giải tích 12)
a) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x - 5 > 0}\\ {5x > 0}\\ {\frac{1}{{5x}} > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ \begin{array}{l} x > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\ x < \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right.} \end{array}\\ x > 0 \end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\)
Ta có: \[\frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log \left( 5x.\frac{1}{5x} \right)\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 1\]
\[\Leftrightarrow \log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=0\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-5={{10}^{0}}=1\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 3\quad (loai)}\\ {x = 2\quad (t/m)} \end{array}} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=2\] .
b) Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 4x - 1 > 0}\\ {8x > 0}\\ {4x > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ \begin{array}{l} x > 2 + \sqrt 5 \\ x < 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.} \end{array}\\ x > 0 \end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow x > 2 + \sqrt 5 \)
Ta có: \[\frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log \frac{8x}{4x}\]
\[\Leftrightarrow \log \sqrt{{{x}^{2}}-4x-1}=\log 2\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-4x-1}=2\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-1=4\]
\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 1\quad \left( {loai} \right)}\\ {x = 5\quad \left( {t/m} \right)} \end{array}} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=5\] .
c) Điều kiện \[x>0\]
Ta có: \[{{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}x+4{{\log }_{2}}x+{{\log }_{{{2}^{3}}}}x=13\]
\[\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}x+4.\frac{1}{2}{{\log }_{x}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=13\]
\[\Leftrightarrow \frac{13}{3}{{\log }_{2}}x=13\]
\[\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=3\Leftrightarrow x={{2}^{3}}=8\] (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x=8\] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình mũ và logarit, toán 12 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.