Bài 1. Nguyên hàm

CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 1: NGUYÊN HÀM

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

Định nghĩa:

Cho hàm số $$f\left(x\right)$$ xác định trên $$K$$ ( $$K$$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của $$\mathbb{R}$$ ).

Hàm số $$F\left(x\right)$$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $$f\left(x\right)$$ trên $$K$$ nếu $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$ với mọi $$x\in K$$ .

Định lí 1:

Nếu $$F\left(x\right)$$ là một nguyên hàm của hàm số $$f\left(x\right)$$ trên $$K$$ thì với mỗi hằng số $$C$$ , hàm số $$G\left(x\right)=F\left(x\right)+C$$ cũng là một nguyên hàm của $$f\left(x\right)$$ trên $$K$$ .

Định lí 2:

Nếu $$F\left(x\right)$$ là một nguyên hàm của hàm số $$f\left(x\right)$$ trên $$K$$ thì mọi nguyên hàm của $$f\left(x\right)$$ trên $$K$$ đều có dạng $$F\left(x\right)+C$$ , với $$C$$ là một hằng số.

Do đó, $$F\left(x\right)+C,C\in \mathbb{R}$$ là họ tất cả các nguyên hàm của $$f\left(x\right)$$ trên $$K$$ .

Kí hiệu: $$\int f\left(x\right)d\text{x}=F\left(x\right)+C$$ .

Chú ý:

Biểu thức $$f\left(x\right)dx$$ chính là vi phân của nguyên hàm $$F\left(x\right)$$ của $$f\left(x\right)$$ , vì $$dF\left(x\right)=F^{\prime }\left(x\right)dx=f\left(x\right)dx$$

2. Tính chất của nguyên hàm

• $$\int f^{\prime }\left(x\right)d\text{x}=f\left(x\right)+C$$ 
• $$\int kf\left(x\right)d\text{x}=k\int f\left(x\right)d\text{x}$$ với $$k$$ là hằng số khác $$0$$ .
• $$\int [f\left(x\right)\pm g\left(x\right)]d\text{x}=\int f\left(x\right)d\text{x}\pm \int g\left(x\right)d\text{x}$$

3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số $$f\left(x\right)$$ liên tục trên $$K$$ đều có nguyên hàm trên $$K$$ .

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến

Định lí 1:

Nếu $$\int f(u)du=F(u)+C$$ và $$u=u\left(x\right)$$ là hàm số có đạo hàm liên tục thì

$$\int f\left(u\left(x\right)\right)u^{\prime }\left(x\right)dx=F\left(u\left(x\right)\right)+C$$

Hệ quả:

Với $$u=ax+b(a\ne 0)$$ , ta có $$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$$

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2:

Nếu hai hàm số $$u=u\left(x\right)$$ và $$v=v\left(x\right)$$ có đạo hàm liên tục trên K thì

$$\int u(x).v^{\prime }(x)dx=u(x).v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$$

Hay $$\int udv=uv-\int vdu$$ ( với $$du=u\left(x\right)dx,dv=v\left(x\right)dx$$ )

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa và tính chất

Cách giải:

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa biến.

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa biến về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

Dạng 2. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Cách giải:

Bước 1: Đặt $$t=u\left(x\right)$$ .

Bước 2: Tính vi phân hai vế : $$dt=u^{\prime }\left(x\right)dx$$ .

Bước 3: Biểu thị : $$f(x)dx=g(t)dt$$ . Khi đó : $$I=\int f(x)dx=\int g(t)dt=G(t)+C$$

Dấu hiệu nhận biết:

Dạng 3. Xác định nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Cách giải:

Bước 1: Ta biến đổi nguyên hàm ban đầu về dạng : $$I=\int f(x)dx=\int f_1(x).f_2(x)dx$$

Bước 2: Đặt : $\{\begin{array}{l}u=f_1(x)\\ dv=f_2(x)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=f{}_1^{\prime }(x)dx\\ v=\int f_2(x)dx\end{array}$

Bước 3: Khi đó : $$\int u.dv=u.v-\int v.du$$ 

Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Tính nguyên hàm $I=\int P(x).\left[\begin{array}{l}\sin \left(ax+b\right)\\ \cos \left(ax+b\right)\\ e^{ax+b}\end{array}\right].dx$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=P(x)\\ dv=\left[\begin{array}{c}\sin \left(ax+b\right)\\ \cos \left(ax+b\right)\\ e^{ax+b}\end{array}\right].dx\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=P^{\prime }(x)dx\\ v=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{a}\cos \left(ax+b\right)\\ \frac{1}{a}\sin \left(ax+b\right)\\ \frac{1}{a}{e}^{ax+b}\end{array}\right]\end{array}$

Khi đó, $I=\frac{1}{a}P(x).\left[\begin{array}{l}-\cos \left(ax+b\right)\\ \sin \left(ax+b\right)\\ e^{ax+b}\end{array}\right]$$-\frac{1}{a}\int \left[\begin{array}{l}-\cos \left(ax+b\right)\\ \sin \left(ax+b\right)\\ e^{ax+b}\end{array}\right].P^{\prime }(x)dx$

Bài toán 2: Tính nguyên hàm $$I=\int P(x).\ln xdx$$.

Đặt $\{\begin{array}{l}u=\ln x\\ dv=P(x)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\ v=\int P(x)dx=Q(x)\end{array}$

Khi đó, $$I=lnx.Q\left(x\right)-\int Q(x).\frac{1}{x}dx$$

Bài toán 3: Tính nguyên hàm $I=\int e^{mx+n}\left[\begin{array}{l}\sin \left(ax+b\right)\\ \cos \left(ax+b\right)\end{array}\right]dx$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=e^{mx+n}\\ dv=\left[\begin{array}{c}\sin \left(ax+b\right)\\ \cos \left(ax+b\right)\end{array}\right]dx\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=m{e}^{mx+n}dx\\ v=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{a}\cos \left(ax+b\right)\\ \frac{1}{a}\sin \left(ax+b\right)\end{array}\right]\end{array}$

Khi đó, $I=\frac{1}{a}{e}^{mx+n}\left[\begin{array}{l}-\cos \left(ax+b\right)\\ \sin \left(ax+b\right)\end{array}\right]-\frac{m}{a}\int \left[\begin{array}{l}-\cos \left(ax+b\right)\\ \sin \left(ax+b\right)\end{array}\right]e^{mx+n}dx$

Bằng phương pháp tương tự ta tính được $\int \left[\begin{array}{l}-\cos \left(ax+b\right)\\ \sin \left(ax+b\right)\end{array}\right]e^{mx+n}dx$ sau đó thay vào $$I$$

Dạng 4. Xác định nguyên hàm của hàm phân thức $$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$

Cách giải:

- Nếu bậc của $$f\left(x\right)$$ lớn hơn bậc của $$g\left(x\right)$$ thì chia $$f\left(x\right)$$ cho $$g\left(x\right)$$ được thương và phần dư.

- Nếu bậc của $$f\left(x\right)$$ nhỏ hơn bậc của $$g\left(x\right)$$ thì phân tích $$g\left(x\right)$$ thành nhân tử rồi sử dụng hệ số bất định để tách $$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$ thành tổng các phân thức. Trong trường hợp $$g\left(x\right)$$ không phân tích được thành các nhân tử thì biến đổi để đưa về dạng lượng giác.

Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Tính nguyên hàm $$I=\int \frac{dx}{a{x}^2+bx+c}(a\ne 0)$$

TH1: Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt

Biến đổi $$\frac{1}{a{x}^2+bx+c}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}$$ (tìm $$A,B$$ bằng cách đồng nhất thức)

Khi đó $$I=\int (\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2})dx=\int \frac{A}{x-x_1}dx+\int \frac{B}{x-x_2}dx$$

TH2: Mẫu số có nghiệm kép

Biến đổi $$\frac{1}{a{x}^2+bx+c}=\frac{1}{a{(x-x_0)}^2}$$

Khi đó $$I=\frac{1}{a}\int {(x-x_0)}^{-2}dx$$

TH3: Mẫu số vô nghiệm

Biến đổi $$\frac{1}{a{x}^2+bx+c}=\frac{1}{a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}]}$$

Đặt $$x+\frac{b}{2a}=\sqrt{-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}}\tan t$$

Bài toán 2: Tính nguyên hàm $$I=\int \frac{dx}{a{x}^3+b{x}^2+cx+d}(a\ne 0)$$

TH1: Mẫu số có 3 nghiệm phân biệt

Biến đổi $$\frac{1}{a{x}^3+b{x}^2+cx+d}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}+\frac{C}{x-x_3}$$ (tìm $$A,B,C$$ bằng cách đồng nhất thức)

Khi đó $$I=\int (\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}+\frac{C}{x-x_3})dx=\int \frac{A}{x-x_1}dx+\int \frac{B}{x-x_2}dx+\int \frac{C}{x-x_3}dx$$

TH2: Mẫu số có nghiệm duy nhất

Biến đổi $$\frac{1}{a{x}^3+b{x}^2+cx+d}=\frac{A}{x-x_1}+\frac{mx+n}{p{x}^2+qx+r}$$

Khi đó $$I=\int \frac{A}{x-x_1}dx+\int \frac{mx+n}{p{x}^2+qx+r}dx$$

TH3: Mẫu số có nghiệm bội ba

Biến đổi $$\frac{1}{a{x}^3+b{x}^2+cx+d}=\frac{1}{a{(x-x_0)}^3}$$

Khi đó $$I=\frac{1}{a}\int {(x-x_0)}^{-3}dx$$

Bài toán 3: Tính nguyên hàm $$I=\int \frac{{(ax+b)}^n}{{(cx+d)}^{n+2}}dx=\int \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)\frac{1}{{(cx+d)}^2}dx$$

Đặt $$t=\frac{ax+b}{cx+d}$$

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1.(trang 100 SGK Giải tích 12)

a)

Cách 1:

Ta có $${(-e^{-x})}^{\prime }=-e^x.{\left(x\right)}^{\prime }=e^{-x}$$ $$\Rightarrow -e^{-x}$$ là một nguyên hàm của hàm số $$e^{-x}$$

Mặt khác, $${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=e^{-x}.{(-x)}^{\prime }=-e^{-x}\Rightarrow e^{-x}$$ là một nguyên hàm của hàm số $$-e^{-x}$$

Cách 2:

Ta có $$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C\Rightarrow -e^{-x}$$ là một nguyên hàm của hàm số $$e^{-x}$$

Mặt khác, $$\int -e^{-x}dx=e^{-x}+C\Rightarrow e^{-x}$$ là một nguyên hàm của hàm số $$-e^{-x}$$

b)

Cách 1:

Ta có $${\left({\sin }^{2}x\right)}^{\prime }=2\sin x.{(\sin x)}^{\prime }=2\sin x.\cos x=\sin 2x$$ $$\Rightarrow {\sin }^{2}x$$ là một nguyên hàm của hàm số $$\sin 2x$$

Cách 2:

Ta có $$\int \sin 2xdx=\int 2\sin x\cos xdx=2\int \sin xd(\sin x)=2.\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C={\sin }^{2}x+C$$

$$\Rightarrow {\sin }^{2}x$$ là một nguyên hàm của hàm số $$\sin 2x$$

c) Ta có $${\left((1-\frac{4}{x})e^x\right)}^{\prime }={\left((1-\frac{4}{x})\right)}^{\prime }.e^x+(1-\frac{4}{x}){\left(e^x\right)}^{\prime }$$ $$=\frac{4}{x^2}{e}^x+(1-\frac{4}{x})e^x=(\frac{4}{x^2}+1-\frac{4}{x})e^x={(1-\frac{2}{x})}^2{e}^x$$

$$\Rightarrow (1-\frac{4}{x})e^x$$ là một nguyên hàm của hàm số $${(1-\frac{2}{x})}^2{e}^x$$

Bài 2.(trang 100 SGK Giải tích 12)

a) $$\int \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}dx=\int (\frac{x}{\sqrt[3]{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}})dx$$

$\begin{array}{l}=\int \left(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{6}}+x^{-\frac{1}{3}}\right)dx=\int x^{\frac{2}{3}}dx+\int x^{\frac{1}{6}}dx+\int x^{-\frac{1}{3}}dx\\ =\frac{3}{5}{x}^{\frac{5}{3}}+\frac{6}{7}{x}^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C\end{array}$

b) $$\int \frac{2^x-1}{e^x}dx=\int {\left(\frac{2}{e}\right)}^{x}dx-\int \frac{1}{e^x}dx=\frac{{\left(\frac{2}{e}\right)}^x}{\ln \frac{2}{e}}+\frac{1}{e^x}+C=\frac{2^x}{e^x(\ln 2-1)}+\frac{1}{e^x}+C=\frac{2^x+\ln 2-1}{e^x(\ln 2-1)}+C$$

c) $$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx=\int \frac{4}{4{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}dx=4\int \frac{1}{{\sin }^{2}2x}dx=-2\cot 2x+C$$

d) $$\int \sin 5x.\cos 3xdx=\frac{1}{2}\int (\sin 8x+\sin 2x)dx$$

$$=\frac{1}{2}(\int \sin 8xdx+\int \sin 2xdx)=\frac{1}{2}(-\frac{1}{8}\cos 8x-\frac{1}{2}\cos 2x)+C$$

$$=-\frac{1}{16}\cos 8x-\frac{1}{4}\cos 2x+C$$

e) $$\int {\tan }^{2}xdx=\int (\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1)dx=\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}-\int dx=\tan x-x+C$$

g) $$\int e^{3-2x}dx=-\frac{1}{2}\int e^{3-2x}d(3-2x)=-\frac{1}{2}{e}^{3-2x}+C$$ (hoặc có thể sử dụng phương pháp đổi biến đặt $$t=3-2x$$ )

h) $$\int \frac{dx}{(1+x)(1-2x)}=\int \frac{2(1+x)+(1-2x)}{3(1+x)(1-2x)}dx=\frac{1}{3}\int (\frac{2}{1-2x}+\frac{1}{1+x})dx$$

$\begin{array}{l}=\frac{2}{3}\int \frac{dx}{1-2x}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{1+x}\\ =\frac{2}{3}\int \frac{d\left(1-2x\right)}{-2\left(1-2x\right)}+\frac{1}{3}\int \frac{d\left(1+x\right)}{1+x}\\ =-\frac{1}{3}\ln \left|1-2x\right|+\frac{1}{3}\ln \left|1+x\right|\\ =\frac{1}{3}\ln \left|\frac{1+x}{1-2x}\right|\end{array}$

Bài 3.(trang 101 SGK Giải tích 12)

a) $$I=\int {(1-x)}^{9}dx$$

Đặt $$t=1-x\Rightarrow dt=-dx\iff -dt=dx$$

Khi đó, $$I=-\int t^{9}dt=-\frac{t^{10}}{10}+C$$ hay $$I=-\frac{{(1-x)}^{10}}{10}+C$$

b) $$I=\int x{(1+x^2)}^{\frac{3}{2}}dx$$

Đặt $$t=1+x^2\Rightarrow dt=2xdx\iff \frac{dt}{2}=xdx$$

Khi đó, $$I=\int t^{\frac{3}{2}}\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}.\frac{2}{5}{t}^{\frac{5}{2}}+C=\frac{1}{5}{t}^{\frac{5}{2}}+C$$ hay $$I=\frac{1}{5}{(1+x^2)}^{\frac{5}{2}}+C$$

c) $$I={\cos }^{3}x\sin xdx$$

Đặt $$t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx\iff -dt=\sin xdx$$

Khi đó, $$I=-\int t^3\frac{dt}{2}dt=-\frac{t^4}{4}+C$$ hay $$I=-\frac{{\cos }^{4}x}{4}+C$$

d) $$I=\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}=\int \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+2.e^x+1}=\int \frac{e^{x}dx}{{(e^x+1)}^2}$$

Đặt $$t=e^x+1\Rightarrow dt=e^{x}dx$$

Khi đó, $$I=\int \frac{dt}{t^2}=\int t^{-2}dt=-t^{-1}+C=-\frac{1}{t}+C$$ hay $$I=-\frac{1}{e^x+1}+C$$

Bài 4.(trang 101 SGK Giải tích 12)

a) $$I=\int x\ln (1+x)dx$$

Đặt$\{\begin{array}{l}u=\ln \left(1+x\right)\\ dv=xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=\frac{x^2}{2}\end{array}$

Khi đó, $$I=\frac{x^2}{2}\ln (1+x)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x}dx$$

$\begin{array}{l}=\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2-1+1}{1+x}dx\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\int \left(x-1+\frac{1}{1+x}\right)dx\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\left(\int \left(x-1\right)dx+\int \frac{1}{1+x}dx\right)\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}-x+\int \frac{d\left(1+x\right)}{1+x}\right)\\ =\frac{x^2}{2}\ln \left(1+x\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln \left|1+x\right|\right)+C\end{array}$

$$=\frac{1}{2}(x^2-1)\ln (1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}+C$$ (vì $$1+x>0$$ nên $$\ln |1+x|=\ln (1+x)$$ )

b) $$I=\int (x^2+2x-1)e^{x}dx$$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x^2+2x-1\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=\left(2x+2\right)dx\\ v=e^x\end{array}$

Khi đó, $$I=(x^2+2x-1)e^x-2\int (x+1)e^{x}dx$$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x+1\\ dv=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=e^x\end{array}$

Khi đó, $$I=(x^2+2x-1)e^x-2((x+1)e^x-\int e^{x}dx)$$

$\begin{array}{l}=\left(x^2+2x-1\right)e^x-2\left(\left(x+1\right)e^x-e^x\right)\\ =\left(x^2-1\right)e^x+C\end{array}$

c) $$I=\int x\sin (2x+1)dx$$ 

Đặt $\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\sin \left(2x+1\right)dx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\frac{\cos \left(2x+1\right)}{2}\end{array}$

Khi đó, $$I=-\frac{1}{2}x\cos (2x+1)+\frac{1}{2}\int \cos (2x+1)dx$$

$\begin{array}{l}=-\frac{1}{2}\cos \left(2x+1\right)+\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sin \left(2x+1\right)+C\\ =-\frac{1}{2}\cos \left(2x+1\right)+\frac{1}{4}\sin \left(2x+1\right)+C\end{array}$

d) $$I=\int (1-x)\cos xdx$$

Đặt $\{\begin{array}{l}u=1-x\\ dv=\cos xdx\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}du=-dx\\ v=\sin x\end{array}$

Khi đó, $$I=(1-x)\sin x+\int \sin xdx$$

$$=(1-x)\sin x-\cos x+C$$

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa nguyên hàm lớp 12, toán 12 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.