BÀI 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khối đa diện lồi
Khối đa diện \[\left( H \right)\] được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của \[\left( H \right)\] luôn thuộc \[\left( H \right)\] . Khi đó đa diện xác định \[\left( H \right)\] được gọi là đa diện lồi.
Người ta chứng minh được rằng một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.
II. Khối đa diện đều
Định nghĩa:
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
- Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
- Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy đucợ gọi là khối đa diện đều loại \[\left\{ p;q \right\}\] .
Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.
Người ta chứng minh được định lí sau:
Định lí:
Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại \[\left\{ 3;3 \right\}\] , loại \[\left\{ 4;3 \right\}\] , loại \[\left\{ 3;4 \right\}\] , loại \[\left\{ 5;3 \right\}\] và loại \[\left\{ 3;5 \right\}\] .
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự được gọi là các khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều ( hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Loại | Tên gọi | Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt |
\[\left\{ 3;3 \right\}\] | Tứ diện đều | 4 | 6 | 4 |
\[\left\{ 4;3 \right\}\] | Lập phương | 8 | 12 | 6 |
\[\left\{ 3;4 \right\}\] | Bát diện đều | 6 | 12 | 8 |
\[\left\{ 5;3 \right\}\] | Mười hai mặt đều | 20 | 30 | 12 |
\[\left\{ 3;5 \right\}\] | Hai mươi mặt đều | 12 | 30 | 20 |
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính diện tích toàn phần hình đa diện đều
Cách giải:
Diện tích toàn phần của đa diện đều bằng tổng diện tích tất cả các mặt của đa diện đều đó.
Dạng 2. Chứng minh tính chất của đa diện đều
Cách giải:
- Áp dụng các định lí, tính chất trong tam giác như định lí Ta-lét, định lí Pi-ta-go, tính chất trọng tâm trong tam giác,…để giải bài toán.
+ Tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
+ Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của khối bát diện đều gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
- Ba đường chéo bằng nhau.
- Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
- Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 18)
Cắt giấy theo mẫu đã cho và làm theo hướng dẫn sách giáo khoa để có được các hình tương ứng.
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 18)
Gọi cạnh hình lập phương \[ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\]là a.
\[\Rightarrow \] Diện tích toàn phần của hình lập phương \[\left( H \right)\] là: \[{{S}_{H}}=\text{ }6.{{a}^{2}}~\]
Gọi tâm các mặt của hình lập phương \[\left( H \right)\] lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.
\[\Rightarrow \] \[\left( H' \right)\] là bát diện đều\[EMNPQF\].
+ Áp dụng định lí Pi-ta-go vào \[\Delta AAD\] vuông tại A ta có:
\[AD\text{ }=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{2A{{D}^{2}}}=AD\sqrt{2}\text{= }a\sqrt{2}\]
+ Ta có: ME là đường trung bình của \[\Delta BAD\]
\[\Rightarrow ME=\frac{1}{2}A'D=\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\]
\[\Rightarrow \] (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng \[\frac{a}{\sqrt{2}}\]
\[\Rightarrow \] Diện tích một mặt của (H’) là: \[{{S}_{1}}=\frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\sin {{60}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\]
\[\Rightarrow \] Diện tích toàn phần của (H’) là: \[{{S}_{tp\left( H' \right)}}=8{{S}_{1}}={{a}^{2}}\sqrt{3}\]
Vậy tỉ số diện tích cần tính là: \[\frac{{{S}_{H}}}{{{S}_{H'}}}=\frac{6{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\]
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 18)
Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a.
Gọi tâm của các tam giác\[\Delta BCD,\Delta ACD,\Delta ABD,\Delta ABC\] lần lượt là \[{{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}~\]và M là trung điểm của BC.
Xét \[\Delta AMD\]có: \[\frac{M{{G}_{4}}}{AM}=\frac{1}{3};\frac{M{{G}_{1}}}{DM}=\frac{1}{3}\] ( tính chất trọng tâm của tam giác)
\[\Rightarrow \frac{M{{G}_{4}}}{AM}=\frac{M{{G}_{1}}}{DM}\left( =\frac{1}{3} \right)\]
\[\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{4}}//AD\] ( định lí Ta-lét đảo)
\[\Rightarrow \frac{M{{G}_{4}}}{AM}=\frac{M{{G}_{1}}}{DM}=\frac{{{G}_{1}}{{G}_{4}}}{AD}=\frac{1}{3}\]
\[\Rightarrow {{G}_{1}}{{G}_{4}}=\frac{1}{3}AD=\frac{a}{3}\]
Tương tự: \[{{G}_{1}}{{G}_{2}}~={{G}_{2}}{{G}_{3}}~=\text{ }{{G}_{3}}{{G}_{4}}~=\text{ }{{G}_{1}}{{G}_{3}}~=\text{ }{{G}_{1}}{{G}_{4}}~=\text{ }{{G}_{2}}{{G}_{4}}~=~\frac{a}{3}\]
Tâm của các mặt của hình tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện\[{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}\] có độ dài mỗi cạnh bằng \[\frac{a}{3}\] .
Vậy tứ diện \[{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}\] là tứ diện đều.
Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 18)
a) Giả sử hình bát diện đều \[ABCDEF\]có cạnh bằng a.
\[\Rightarrow \] B, C, D, E cách đều A và F
\[\Rightarrow \] B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Xét \[mp\left( BCDE \right)\]có: \[BC=CD=DE=EB =a\]
\[\Rightarrow \] BCDE là hình thoi
\[\Rightarrow BD\bot CE\] và BD, CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( tính chất của hình thoi)
Chứng minh tương tự ta được: AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Gọi trung điểm của AF, BD, CE là O.
Ta có: \[OA\bot OB\Rightarrow AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}}\] ; \[OA\bot OE\Rightarrow AE=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}}\]
Mà \[AB\text{ }=\text{ }AE\text{ = a}\]
\[\Rightarrow OB=OE\Rightarrow BD=CE\]
\[\Rightarrow \] Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Khối đa diện lồi và khối đa diện đều do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.