ÔN TẬP CHƯƠNG I
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 26)
Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn các tính chất sau :
- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh, ba mặt.
- Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt.
- Hai mặt bất kì không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có đúng một cạnh chung.
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 26)
Các hình trên không phải đa diện.
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 26)
Khối đa diện lồi :
Khối đa diện không lồi :
Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 26)
Gọi diện tích đáy và chiều cao của hình lăng trụ và của hình chóp lần lượt là S và h.
Khi đó ta có :
Thể tích khối lăng trụ là: \[{{V}_{1}}~=Sh\]
Thể tích khối chóp là: \[{{V}_{2}}=\frac{Sh}{3}\]
Vậy \[\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3Sh}{Sh}=3\] .
Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 26)
Dựng \[AE\bot BC=E\] , \[OH\bot AE\] .
Ta có : \[OA\bot OB;OA\bot OC\] ; OB và OC cắt nhau trong \[\left( OBC \right)\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)\\ \Rightarrow OA \bot BC \end{array}\)
Mà \[AE\bot BC\]
\[\Rightarrow BC\bot \left( OAE \right)\]
\[\Rightarrow \left( ABC \right)\bot \left( OAE \right);BC\bot OE\]
\[\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\] vì \[OH\in \left( OAE \right)\]
\[\Rightarrow OH\] là đường cao của hình chóp tam giác \[O.ABC\]
Xét \[\Delta OBC\] vuông tại O đường cao OE có :
\[\frac{1}{O{{E}^{2}}}=\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}\left( 1 \right)\] ( tính chất đường cao trong tam giác vuông)
Xét \[\Delta OAE\] vuông tại O đường cao OH có :
\[\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{E}^{2}}}\left( 2 \right)\] ( tính chất đường cao trong tam giác vuông)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}\]
\[\Rightarrow OH=\frac{abc}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}}\]
Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 26)
Gọi hình chiếu của S trên \[\left( ABC \right)\] là H
\[\Rightarrow \] AH là hình chiếu của AS trên \[\left( ABC \right)\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {AS;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAH}\\ \Rightarrow \widehat {SAH} = {60^0} \end{array}\)
Gọi E là trung điểm của BC
\[\Rightarrow AE=AC.\sin C=a.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Gọi H là tâm của \[\Delta ABC\] đều
\[\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AE=\frac{a}{\sqrt{3}}\]
Vì \[\Delta SAH\] vuông tại H
\[\Rightarrow AS=\frac{AH}{\cos \widehat{SAH}}=\frac{a}{\sqrt{3}}:\frac{1}{2}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\]
Ta có : \[AS\bot \left( ADE \right)\Rightarrow AS\bot DE\]
\[\Rightarrow \Delta ADE\] vuông tại D
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AD = AE.\cos A = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\cos {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow SD = AS - AD = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} - \frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{5a}}{{4\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SD}}{{SA}} = \frac{{5a}}{{4\sqrt 3 }}:\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{5}{8} \end{array}\)
b) Xét \[\Delta SAH\] vuông tại H có : \[SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a\]
\[\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}.A{{B}^{2}}.\sin {{60}^{0}} \right).SH=\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.a=\frac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{3}}\]
\[\Rightarrow {{V}_{S.DBC}}=\frac{5}{8}{{V}_{S.ABC}}=\frac{5}{8}.\frac{{{a}^{3}}}{4\sqrt{3}}=\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}\]
Bài 7. (SGK Hình học 12 trang 26)
Dựng \[SH\bot \left( ABC \right);H\in \left( ABC \right)\] và \[HE\bot AB;HI\bot AC;HF\bot BC\]
\[\Rightarrow SE\bot AB;SI\bot AC;SF\bot BC\]
Ta có : \[\widehat{SEH}=\widehat{SIH}=\widehat{SFH}={{60}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta SHE=\Delta SHI=\Delta SHF\]
\[\Rightarrow EH=IH=FH=r\] ( r là bán kính đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\] )
Chu vi \[\Delta ABC\] là : \[{{P}_{ABC}}=2p=AB+AC+BC=5a+7a+6a=18a\]
Diện tích \[\Delta ABC\] là : \[{{S}_{ABC}}=\sqrt{9.4.3.2{{a}^{4}}}=6{{a}^{2}}\sqrt{6}\] ( công thức Hê-rông)
Ta có : \[S=p.r\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{6{{a}^{2}}\sqrt{6}}{9a}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}\]
\[\Rightarrow SH=EH.\tan \widehat{SEH}=r.\tan {{60}^{0}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3}=2a\sqrt{2}\]
Thể tích khối chóp là : \[{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}.SH=\frac{1}{3}.6{{a}^{2}}\sqrt{6}.2a\sqrt{2}=8{{a}^{3}}\sqrt{3}\]
Bài 8. (SGK Hình học 12 trang 26)
Ta có : \[SA\bot BC;AB\bot BC\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AB' \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right)\\ \Rightarrow AB' \bot SC\left( 1 \right) \end{array}\)
Chứng minh tương tự : \[AD'\bot \left( SCD \right)\Rightarrow AD'\bot SC\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow SC\bot \left( AB'D' \right)\]
Ta có :
\(\begin{array}{l} SB = \sqrt {A{B^2} + S{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \\ SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}\)
Lại có :
\(\begin{array}{l} {S_{SAB}} = \frac{1}{2}SA.AB = \frac{1}{2}SB.AB'\\ \Rightarrow SA.AB = SB.AB'\\ \Rightarrow AB' = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{ac}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} \end{array}\)
Tương tự : \[AD'=\frac{bc}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}};AC'=\frac{c\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\]
Xét \[\Delta SAB'\] vuông tại B’ có : \[S{{A}^{2}}=AB{{'}^{2}}+SB{{'}^{2}}\] ( định lí Pi-ta-go)
\[\Rightarrow SB'=\sqrt{S{{A}^{2}}-AB{{'}^{2}}}=\sqrt{{{c}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\]
Tương tự : \[SC'=\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}};SD'=\frac{{{c}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\]
Ta có : \[\Delta SBC\backsim \Delta SC'B'\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{B'C'}}{{SC'}} = \frac{{BC}}{{SB}}\\ \Rightarrow B'C' = \frac{{SC'.BC}}{{SB}} = \frac{{b.\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }} = \frac{{b{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \end{array}\)
Tương tự : \[C'D'=\frac{a{{c}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\]
Vì \[AB'\bot B'C';AD'\bot C'D'\]
\[\Rightarrow {{S}_{AB'C'}}=\frac{1}{2}B'C'.AB'=\frac{1}{2}.\frac{b{{c}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}.\frac{ac}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{ab{{c}^{3}}}{2\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right).\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\]
Tương tự : \[{{S}_{AC'D'}}=\frac{ab{{c}^{3}}}{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right).\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\]
\[\Rightarrow {{V}_{S.AB'C'D'}}=\frac{1}{3}{{S}_{AB'C'D'}}.SC'=\frac{1}{3}\left( {{S}_{AB'C'}}+{{S}_{AC'D'}} \right).SC'\]
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{ab{c^3}}}{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right).\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} + \frac{{ab{c^3}}}{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right).\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} \right).\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\\ = \frac{1}{6}.\frac{{ab{c^3}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.\left( {\frac{1}{{{a^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}}} \right).\frac{{{c^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\\ = \frac{1}{6}.\frac{{ab{c^5}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.\frac{{{a^2} + {b^2} + 2{c^2}}}{{\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} = \frac{{ab{c^5}\left( {{a^2} + {b^2} + 2{c^2}} \right)}}{{6\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}} \end{array}\)
Bài 9. (SGK Hình học 12 trang 26)
Ta có : \[AC\bot BD;SH\bot BD\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow EF \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow EF \bot AM;EF \bot SM\left( 1 \right) \end{array}\)
Lại có : \[IE=IF=\frac{2}{3}DH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}\]
Ta có : \[SA=AC=a;\widehat{SCH}={{60}^{0}}\]
\[\Rightarrow \Delta SAC\] là tam giác đều cạnh bằng \[a\sqrt{2}\]
\[\Rightarrow AM=\frac{\left( a\sqrt{2} \right).\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2};SM=\frac{1}{2}SC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
\[\Rightarrow {{S}_{AEMF}}=\frac{1}{2}AM.EF=AM.IE=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{3}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}\]
Ta có : \[SM\bot AM\] ( Vì \[\Delta SAC\] là tam giác đều ) (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow SM\bot \left( AEMF \right)\]
\[\Rightarrow {{V}_{S.AEMF}}=\frac{1}{3}{{S}_{AEMF}}.SM=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18}\]
Bài 10. (SGK Hình học 12 trang 27)
a) Chia khối lăng trụ thành các hình chóp \[A.ABC,C.ABC,C.ABB\]
Ta có : \[{{V}_{A.ABC}}~=\text{ }{{V}_{ABC}}~=\frac{1}{3}Sh\] ( S là diện tích đáy \[S={{S}_{ABC~}}={{S}_{ABC}}~\]; h là chiều cao của hình lăng trụ)
Lại có : \[{{V}_{ABC.ABC}}~=\text{ }Sh\]
\[\Rightarrow {{V}_{A'BB'C}}=Sh-\frac{1}{3}Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh\]
Vì \[\Delta ABC\] là tam giác đều cạnh bằng a
\[\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\]
\[\Rightarrow {{V}_{A'BB'C}}=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\]
b) Gọi trung điểm của AB và A’B’ lần lượt là I, K; G là trọng tâm \[\Delta ABC\] .
Đường thẳng qua G song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F
Ta có : \[CI\bot AB\] ( \[\Delta ABC\] đều) ; \[CC'\bot AB\]
\[\Rightarrow AB\bot \left( CC'KI \right)\left( 1 \right)\]
Lại có : \[EF//AB\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow EF \bot \left( {CC'KI} \right)\\ \Rightarrow \left( {A'B'FE} \right) \bot \left( {CC'KI} \right)\\ \Rightarrow d\left( {C,\left( {A'B'FE} \right)} \right) = d\left( {C,GK} \right) \end{array}\)
Ta có : \[CI=\frac{a\sqrt{3}}{2};IG=\frac{1}{2}IC=\frac{a\sqrt{3}}{6}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow GK = \sqrt {I{K^2} + I{G^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{{36}}} = a\sqrt {\frac{{13}}{{12}}} \\ \Rightarrow {S_{CGK}} = \frac{1}{2}IK.CG = \frac{1}{2}IK.\frac{2}{3}IC = \frac{1}{3}a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\\ \Rightarrow d\left( {C,GK} \right) = \frac{{2{S_{CGK}}}}{{GK}} = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{6}:a\sqrt {\frac{{13}}{{12}}} = \frac{{2a\sqrt {13} }}{{13}} \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{C.A'B'FE}} = \frac{1}{2}\left( {A'B + EF} \right).GK = \frac{1}{2}\left( {a + \frac{{2a}}{3}} \right).a\sqrt {\frac{{13}}{{12}}} = \frac{{5{a^2}}}{{12}}.\sqrt {\frac{{13}}{3}} \\ \Rightarrow {V_{C.A'B'FE}} = \frac{1}{3}{S_{A'B'FE}}.d\left( {C,GK} \right) = \frac{1}{3}.\frac{{5{a^2}}}{{12}}.\sqrt {\frac{{13}}{3}} .\frac{{2a\sqrt {13} }}{{13}} = \frac{{5{a^3}}}{{18\sqrt 3 }} \end{array}\)
Bài 11. (SGK Hình học 12 trang 27)
Gọi O là tâm hình hộp và tâm của hình bình hành BB’D’D
\[\Rightarrow \] O là trung điểm của EF
Ta có : \[A\in OC\text{ }\left( 1 \right)\]; \[OC\subset \left( CEF \right)\left( 2 \right)\]
Lại có : \[AE//CF,\text{ }AF//CE\]
\[\Rightarrow \left( CEF \right)\] hình hộp theo thiết diện là hình bình hành\[AECF\]
\[\Rightarrow \left( CEF \right)\] chia hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện (H) và (H’)
Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A ; (H’) là khối đa diện chứa đỉnh C’
\[\Rightarrow \] Phép đối xứng tâm O biến các đỉnh A, B, C, D, A’, E, F của đa diện (H) lần lượt thành các đỉnh C’, D’, A’, B’, C, F, E của đa diện (H’)
\[\Rightarrow \] Phép đối xứng tâm O biến (H) thành (H’) hay hai đa diện (H) và (H’) bằng nhau.
\[\Rightarrow \] Tỉ số thể tích của hai khối đa diện bằng 1.
Bài 12. (SGK Hình học 12 trang 27)
a) Gọi M’ là hình chiếu của M xuống \[\left( ABCD \right)\]
Dựng \[N{{K}_{1}}\bot AD\]
Ta có : \[{{S}_{ABCD}}={{S}_{ABN}}+{{S}_{CDN}}+{{S}_{ADN}}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}a.a + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}a.a + {S_{ADN}}\\ \Rightarrow {S_{ADN}} = \frac{1}{2}{a^2} \end{array}\)
\[\Rightarrow {{V}_{ADMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{ADN}}.MM'=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}.a=\frac{{{a}^{3}}}{6}\]
b) Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương theo thiết diện MEDNF có : \[EM//\text{ }DN,NF//DE\]và chia khối lập phương thành hai khối đa diện (H) và (H’)
Chia (H) thành các hình chóp là : \[F.DBN,D.ABFMA,D.AEM\]
Ta có : \[NF//DE\] \[\Rightarrow \Delta BNF;\Delta D'ED\] đồng dạng với nhau.
\[\Rightarrow \frac{BF}{BN}=\frac{DD'}{D'E}=\frac{4}{3}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BF = \frac{4}{3}BN = \frac{2}{3}a\\ \Rightarrow {S_{BDN}} = \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {V_{F.BDN}} = \frac{1}{3}{S_{BDN}}.BF = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{4}.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^3}}}{{18}} \end{array}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l} {S_{B'MF}} = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^2}}}{{12}}\\ \Rightarrow {S_{ABFMA'}} = {a^2} - {S_{B'MF}} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{{12}} = \frac{{11{a^2}}}{{12}}\\ \Rightarrow {V_{D.ABFMA'}} = \frac{1}{3}.\frac{{11{a^2}}}{{12}}.a = \frac{{11{a^3}}}{{36}} \end{array}\)
Lại có : \[{{S}_{A'ME}}=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{4}=\frac{{{a}^{2}}}{16}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{A.A'ME}} = \frac{1}{3}{S_{A'ME}}.DD' = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{{16}}.a = \frac{{{a^3}}}{{48}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {V_H} = \frac{{{a^3}}}{{18}} + \frac{{11{a^3}}}{{36}} + \frac{{{a^3}}}{{48}} = \frac{{55{a^3}}}{{144}}\\ {V_{H'}} = {a^3} - \frac{{55{a^3}}}{{144}} = \frac{{89{a^3}}}{{144}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{V_H}}}{{{V_{H'}}}} = \frac{{55}}{{89}} \end{array}\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Ôn tập chương I do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ