BÀI 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số \[y=f(x)\] xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng \[\left( a;+\infty \right),\left( -\infty ;b \right)\] hoặc \[\left( -\infty ;+\infty \right)\]). Đường thẳng \[y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \[y=f(x)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\]
2. Đường tiệm cận đứng
Đường thẳng \[x={{x}_{0}}\] được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \[y=f(x)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]
Lưu ý: Đồ thị hàm số \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{ }\left( c\ne 0;\text{ }ad-bc\ne 0 \right)\] luôn có tiệm cận ngang là \[y=\frac{a}{c}\] và tiệm cận đứng \[x=-\frac{d}{c}.\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số
Cách giải:
- Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}},\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)={{y}_{0}}\]\[\Rightarrow y={{y}_{0}}\] là đường tiệm cận ngang
- Tính \[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\]\[\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \]\[\Rightarrow x={{x}_{0}}\] được gọi là đường tiệm cận đứng
Dạng 2. Khoảng cách từ điểm tới đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Cách giải:
- Xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và các dữ kiện liên quan để tính toán
\[d\left( {{M}_{0}};\Delta \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\] với \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 30 SGK Giải tích 12)
a) Ta có:
- \[\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=+\infty ;\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=-\infty \Rightarrow x=2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{x}{2-x}\] .
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{2-x}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{x}{2-x}\] .
b) Ta có
- \[\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=-\infty ;\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{-x+7}{x+1}\] .
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+7}{x+1}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{-x+7}{x+1}\] .
c) Ta có
- \[\underset{x\to {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=-\infty ;\underset{x\to {{\left( \frac{2}{5} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=+\infty \Rightarrow x=\frac{2}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\] .
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-5}{5x-2}=\frac{2}{5}\Rightarrow y=\frac{2}{5}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{2x-5}{5x-2}\] .
d) Ta có:
- \[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=+\infty ;\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=-\infty \Rightarrow x=0\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y=\frac{7}{x}-1\] .
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{7}{x}-1 \right)=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y=\frac{7}{x}-1\] .
Bài 2. (trang 30 SGK Giải tích 12)
a) Ta có \[y=\frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}\]
- \[\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=+\infty \Rightarrow x=3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- \[\underset{x\to {{(-3)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{\left( 3-x \right)\left( 3+x \right)}=+\infty \Rightarrow x=-3\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{2}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}}{\frac{9}{{{x}^{2}}}-1}=0\Rightarrow y=0\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Ta có \[\text{y}=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}{3-2\text{x}-5{{\text{x}}^{2}}}=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}\]
- \[\underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}=-\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- \[\underset{x\to {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left( \text{x}+1 \right)\left( 3-5\text{x} \right)}=-\infty \Rightarrow x=\frac{3}{5}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{\frac{3}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{x}-5}=-\frac{1}{5}\Rightarrow y=-\frac{1}{5}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Ta có:
- \[\underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=+\infty \Rightarrow \] Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
d) Ta có:
- \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty \Rightarrow x=1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}=1\Rightarrow y=1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 4. Đường tiệm cận do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ