Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số :

a) Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm số.

b) Sự biến thiên

– Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm\[y\];

+ Tìm các điểm tại đó \[y=0\] hoặc không xác định;

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị của hàm số (nếu có).

– Tìm giới hạn tại vô cực, các giới hạn tại vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

– Lập bảng biến thiên (ghi lại các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

c) Đồ thị

Xác định tọa độ 1 vài điểm mà đồ thị hàm số đi qua. Sau đó, dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Chú ý:

• Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \[T\] thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \[Ox\] .
• Lưu ý đến tính chẵn lẻ và tính đối xứng của đồ thị.

II. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức

1. Hàm số bậc ba \[y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{  }\left( a\ne 0 \right)\]

2. Hàm số bậc bốn trùng phương \[y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\text{  }\left( a\ne 0 \right)\]

3. Hàm số bậc nhất trên bậc nhất \[y=\frac{ax+b}{cx+d}\text{   }\left( c\ne 0,\text{ }ad-bc\ne 0 \right)\]

III. Sự tương giao của các đồ thị

Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( {{C}_{1}} \right)\] và hàm số \[y=g\left( x \right)\] có đồ thị \[\left( {{C}_{2}} \right)\] . Để tìm hoành độ giao điểm của đồ thị \[\left( {{C}_{1}} \right)\] và \[\left( {{C}_{2}} \right)\] , ta giải phương trình \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\] để tìm nghiệm.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Nhận diện đồ thị các hàm số

Cách giải:

Từ hình dáng đồ thị, chiều biến thiên, số điểm cực trị, tiệm cận… ta xác định được đồ thị hàm số cần tìm.

Dạng 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Cách giải:

Áp dụng sơ đồ khảo sát hàm số

Dạng 3. Xác định giao điểm của hai đồ thị hàm số

Cách giải:

• Phương trình hoành độ giao điểm \[f\left( x \right)=g\left( x \right)\]
• Giải phương trình, tìm nghiệm. Nghiệm vừa tìm được chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Dạng 4. Giải và biện luận theo \[m\] về số nghiệm của phương trình \[f\left( x,m \right)=0\]

Cách giải:

• Biến đổi phương trình về dạng \[g\left( x \right)=h\left( m \right)\]
• Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=g\left( x \right)\] vfa đường thẳng \[y=h\left( m \right)\] .
• Vẽ đồ thị hàm số \[y=g\left( x \right)\] và biện luận theo \[m\] về số giao điểm.

Dạng 5. Tìm \[m\] để đồ thị hàm số \[y=f\left( x;m \right)\,\,\,\,\left( C \right)\] đi qua điểm \[M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\] cho trước

Cách giải:

Vì \[M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \,\left( C \right)\] nên \[{{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}};m \right)\] . Từ đó tìm được giá trị của tham số \[m\] .

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 43 SGK Giải tích 12)

a) \[y=2+3x-{{x}^{3}}\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2+3x-{{x}^{3}} \right)=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2+3x-{{x}^{3}} \right)=+\infty \] 

Ta có \[y'=-3{{x}^{2}}+3;y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\]

Với \[x=1\Rightarrow y=4\]

Với \[x=-1\Rightarrow y=0\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số đồng biến trên \[\left( -1;1 \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty  \right)\] .

Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\] ; \[{{y}_{CD}}=4\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\] ; \[{{y}_{CT}}=0\]

• Đồ thị

Ta có

b) \[y=-{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-4x\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-4x \right)=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-4x \right)=+\infty \] 

Ta có \(y' = - 3{x^2} + 8x - 4;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Với \[x=2\Rightarrow y=0\]

Với \[x=\frac{2}{3}\Rightarrow y=-\frac{32}{27}\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số đồng biến trên \[\left( \frac{2}{3};2 \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;\frac{2}{3} \right)\] và \[\left( 2;+\infty  \right)\] .

Hàm số đạt cực đại tại \[x=2\] ; \[{{y}_{CD}}=0\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=\frac{2}{3}\] ; \[{{y}_{CT}}=-\frac{32}{27}\]

• Đồ thị

Ta có

c) \[y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x \right)=-\infty \] 

Ta có \[y'=-6x\le 0,\forall x\in D\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số luôn đồng biến trên \[D\] .

Hàm số không có cực đại, cực tiểu.

• Đồ thị

Ta có

d) \[y=-2{{x}^{3}}+5\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+5 \right)=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+5 \right)=+\infty \] 

Ta có \[y'=-6x\le 0,\forall x\in D\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số luôn nghịch biến trên \[D\] .

Hàm số không có cực đại, cực tiểu.

• Đồ thị

Ta có

Bài 2. (trang 43 SGK Giải tích 12)

a) \[y=-{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1 \right)=-\infty \] 

Ta có \(y' = - 4{x^3} + 16x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 2 \end{array} \right.\)

Với \[x=0\Rightarrow y=-1\]

Với \[x=\pm 2\Rightarrow y=15\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số nghịch biến trên \[\left( -2;0 \right)\] và \[\left( 2;+\infty  \right)\] ; hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;-2 \right)\] và \[\left( 0;2 \right)\] .

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\] ; \[{{y}_{CT}}=-1\]

Hàm số đạt cực đại tại \[x=\pm 2\] ; \[{{y}_{CD}}=15\]

• Đồ thị

Với \[x=\pm 3\Rightarrow y=-10\]

b) \[y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2 \right)=+\infty \] 

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

Với \[x=0\Rightarrow y=2\]

Với \[x=\pm 1\Rightarrow y=1\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( 0;1 \right)\] ; hàm số đồng biến trên \[\left( -1;0 \right)\] và \[\left( 1;+\infty  \right)\] .

Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\] ; \[{{y}_{CD}}=2\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=\pm 1\] ; \[{{y}_{CT}}=1\]

• Đồ thị

Với \[x=\pm \frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{41}{16}\]

c) \[y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\frac{3}{2}\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\frac{3}{2} \right)=+\infty \] 

Ta có \[y'=2{{x}^{3}}+2x;y'=0\Leftrightarrow x=0\]

Với \[x=0\Rightarrow y=-\frac{3}{2}\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;0 \right)\] ; hàm số đồng biến trên \[\left( 0;+\infty  \right)\] .

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\] ; \[{{y}_{CT}}=-\frac{3}{2}\]

• Đồ thị

Với \[x=\pm 1\Rightarrow y=0\]

d) \[y=-2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3 \right)=-\infty \] 

Ta có \[y'=-4x-4{{x}^{2}};y'=0\Leftrightarrow x=0\]

Với \[x=0\Rightarrow y=3\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số nghịch biến trên \[\left( 0;+\infty  \right)\] ; hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;0 \right)\] .

Hàm số đạt cực đại tại \[x=0\] ; \[{{y}_{CD}}=3\]

• Đồ thị

Với \[x=\pm 1\Rightarrow y=0\]

Bài 3. (trang 43 SGK Giải tích 12)

a) \[y=\frac{x+3}{x-1}\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{x-1}=1\Rightarrow y=1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{x-1}=+\infty ,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{x-1}=-\infty \Rightarrow x=1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[y'=-\frac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in D\]

\[\Rightarrow \] Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Bảng biến thiên

• Đồ thị hàm số

b) \[y=\frac{1-2x}{2x-4}\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-2x}{2x-4}=-1\Rightarrow y=-1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-2x}{2x-4}=-\infty ,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-2x}{2x-4}=+\infty \Rightarrow x=2\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[y'=\frac{6}{{{\left( 2x-4 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D\]

\[\Rightarrow \] Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bảng biến thiên

• Đồ thị hàm số

c) \[y=\frac{-x+2}{2x+1}\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+2}{2x+1}=-\frac{1}{2}\Rightarrow y=-\frac{1}{2}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\underset{x\to {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+2}{2x+1}=+\infty ,\underset{x\to {{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+2}{2x+1}=-\infty \Rightarrow x=-\frac{1}{2}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[y'=-\frac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in D\]

\[\Rightarrow \] Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Bảng biến thiên

• Đồ thị hàm số

Bài 4. (trang 44 SGK Giải tích 12)

a) \[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\]

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\] và đường thẳng \[y=0\] .

Xét \[y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5 \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5 \right)=-\infty \] 

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0 \end{array} \right.\)

Với \[x=2\Rightarrow y=1\]

Với \[x=0\Rightarrow y=5\]

• BBT

• Đồ thị

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \[y=0\] cắt đồ thị hàm số tại một điểm.

\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

b) \[-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\]

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\] và đường thẳng \[y=0\] .

Xét \[y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)=+\infty \] 

Ta có \(y' = - 6{x^2} + 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 0 \end{array} \right.\)

Với \[x=1\Rightarrow y=-1\]

Với \[x=0\Rightarrow y=-2\]

• BBT

• Đồ thị

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \[y=0\] cắt đồ thị hàm số tại một điểm.

\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

c) \[2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\]

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}\] và đường thẳng \[y=-1\] .

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right)=-\infty \] 

Ta có \(y' = 4x - 4{x^3};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

Với \[x=0\Rightarrow y=0\]

Với \[x=\pm 1\Rightarrow y=1\]

• BBT

• Đồ thị

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng \[y=-1\] cắt đồ thị hàm số tại hai điểm.

\[\Rightarrow \] Phương trình đã cho có hai nghiệm.

Bài 5. (trang 44 SGK Giải tích 12)

a) \[y=-{{x}^{3}}+3x+1\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)=-\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)=+\infty \] 

Ta có \[y'=-3{{x}^{2}}+3;y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\]

Với \[x=-1\Rightarrow y=-1\]

Với \[x=1\Rightarrow y=3\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số đồng biến trên \[\left( -1;1 \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty  \right)\] .

Hàm số đạt cực đại tại \[x=1\] ; \[{{y}_{CD}}=3\]

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=-1\] ; \[{{y}_{CT}}=-1\]

• Đồ thị

Ta có

b) Ta có \[{{x}^{3}}-3x+m=0\left( * \right)\Leftrightarrow -{{x}^{3}}+3x+1=m+1\]

Số nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=-{{x}^{3}}+3x+1\] và đường thẳng \[y=m+1\] .

Từ đồ thị ta có :

• \(\left[ \begin{array}{l} m + 1 < - 1\\ m + 1 > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 2\\ m > 2 \end{array} \right.\) : Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại một điểm \[\Rightarrow \] Phương trình có nghiệm duy nhất.
• \(\left[ \begin{array}{l} m + 1 = - 1\\ m + 1 = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = \pm 2\) : Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm \[\Rightarrow \] Phương trình có hai nghiệm.
• \[-1 : Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm \[\Rightarrow \] Phương trình có ba nghiệm.

Bài 6. (trang 44 SGK Giải tích 12)

a) TXĐ : \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{m}{2} \right\}\]

Ta có : \[\text{y}=\frac{\text{mx}-1}{2\text{x}+\text{m}}\Rightarrow y'=\frac{{{\text{m}}^{2}}+2}{{{(2\text{x}+\text{m})}^{2}}}>0,\forall \text{m}\in R,\forall \text{x}\in \text{D}\]

Vậy \[\forall \text{m}\in \mathbb{R}\] , hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Ta có \[\underset{x\to {{\left( -\frac{m}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{mx-1}{2x+m}=-\infty \Rightarrow x=-\frac{m}{2}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Để tiệm cận đứng đi qua điểm \[A\left( -1;\sqrt{2} \right)\] thì \[-1=-\frac{m}{2}\Leftrightarrow m=2\]

c) Với \[m=2\] ta có \[y=\frac{2x-1}{2x+2}\] .

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{2x+2}=1\Rightarrow y=1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{2x+2}=-\infty ,\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{2x+2}=+\infty \Rightarrow x=-1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[y'=\frac{6}{{{\left( 2x+2 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D\]

\[\Rightarrow \] Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bảng biến thiên

• Đồ thị hàm số

Bài 7. (trang 44 SGK Giải tích 12)

a) Đồ thị đi qua điểm \[\left( -1;1 \right)\]

\[\Leftrightarrow \frac{1}{4}{{\left( -1 \right)}^{4}}+\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}+\text{m}=1\Leftrightarrow \text{m}=\frac{1}{4}\]

b) Với \[m=1\] ta có \[y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+1\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
• Sự biến thiên
• \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+1 \right)=+\infty \] 

Ta có \[y'={{x}^{3}}+x;y'=0\Leftrightarrow x=0\]

Với \[x=0\Rightarrow y=1\]

• BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy :

Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;0 \right)\] ; hàm số đồng biến trên \[\left( 0;+\infty  \right)\] .

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\] ; \[{{y}_{CT}}=1\]

• Đồ thị

Với \[x=\pm 2\Rightarrow y=7\]

c) Điểm thuộc \[\left( C \right)\] có tung độ bằng \[\frac{7}{4}\] nên hoành độ của điểm đó là nghiệm của phương trình:

\(\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} + 1 = \frac{7}{4} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - 1}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\)

\[\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-2;y'\left( 1 \right)=2\]

+ Phương trình tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[\left( 1;\frac{7}{4} \right)\] là

\[y=2\left( x-1 \right)+\frac{7}{4}\Leftrightarrow y=2x-\frac{1}{4}\]

+ Phương trình tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[\left( -1;\frac{7}{4} \right)\] là :

\[\text{y}=-2\left( \text{x}+1 \right)+\frac{7}{4}\Leftrightarrow y=-2x-\frac{1}{4}\] 

Bài 8. (trang 44 SGK Giải tích 12)

a) Ta có \[y'=3{{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x\Rightarrow y''=6x+2\left( m+3 \right)\]

Để hàm số có điểm cực đại \[x=-1\] thì \(\left\{ \begin{array}{l} y'\left( { - 1} \right) = 0\\ y''\left( { - 1} \right) < 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 - 2(\;{\rm{m}} + 3) = 0}\\ { - 6 + 2(\;{\rm{m}} + 3) < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 2\;{\rm{m}} - 3 = 0}\\ {2\;{\rm{m}} < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{m}} = - \frac{3}{2}\)

Thử lại, với \[m=-\frac{3}{2}\] ta có:

\(y' = 3{x^2} + 3x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1 \end{array} \right.\)

\[y''=6x+3\Rightarrow y''\left( -1 \right)=-3<0\Rightarrow x=-1\] là điểm cực đại của hàm số.

Vậy với \[m=-\frac{3}{2}\] , hàm số có điểm cực đại \[x=-1\] .

b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \[x=-2\]

\[\Leftrightarrow y\left( -2 \right)=0\] 

\[\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{3}}+\left( m+3 \right){{\left( -2 \right)}^{2}}+1-m=0\]

\[\Leftrightarrow -8+4\left( m+3 \right)+1-m=0\]

\[\Leftrightarrow 3m+5=0\Leftrightarrow m=-\frac{5}{3}\]

Vậy với \[m=-\frac{5}{3}\] , đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \[x=-2\] .

Bài 9. (trang 44 SGK Giải tích 12)

a) Đồ thị \[\left( G \right)\] đi qua điểm \[\left( 0;-1 \right)\]

\[\Leftrightarrow \frac{(\text{m}+1).0-2~\text{m}+1}{0-1}=-1\Leftrightarrow 2~\text{m}-1=-1\Leftrightarrow \text{m}=0\]

b) Với \[m=0\] , ta có \[y=\frac{x+1}{x-1}\]

• TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
• Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-1}=1\Rightarrow y=1\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-1}=+\infty ,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-1}=-\infty \Rightarrow x=1\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có \[y'=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in D\]

\[\Rightarrow \] Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Bảng biến thiên

• Đồ thị

c) Đồ thị cắt trục tung tại điểm \[P\left( 0;-1 \right)\], khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm \[P\left( 0;-1 \right)\] là:

\[y=y'\left( 0 \right).\left( x-0 \right)-1\]\[\Leftrightarrow y=-2x-1\]

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \[y=-2x1\].

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ