BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Phương trình tham số của đường thẳng
Định lí:
Trong không gian \[Oxyz\] cho đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] và nhận \[\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)\] làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm \[M(x;y;z)\] nằm trên \[\Delta \] là có một số thực t sao cho \(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt\\ z = {z_0} + ct \end{array} \right.\)
Định nghĩa:
Phương trình tham số của đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)\] là phương trình có dạng
\(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + at\\ y = {y_0} + bt\\ z = {z_0} + ct \end{array} \right.\)
Trong đó t là tham số.
Chú ý: Nếu \[a;b;c\] đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng \[\Delta \] dưới dạng chính tắc như sau:
\[\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}\].
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
1. Điều kiện để hai đường thẳng song song
Gọi \[\overrightarrow{a}=({{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}})\] và \[\overrightarrow{a'}=(a_{1}^{'};a_{2}^{'};a_{3}^{'})\] lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d’. Lấy điểm \[M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\] trên d.
Ta có d song song với d’ khi và chỉ khi \[\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'};M\notin d'\] .
Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi \[\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a'};M\in d'\] .
2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t' sau
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_0} + t{a_1} = {x_0}' + t'{a_1}'\\ {y_0} + t{a_2} = {y_0}' + t'{a_2}'\\ {z_0} + t{a_3} = {z_0}' + t'{a_3}' \end{array} \right.\left( I \right)\)có đúng một nghiệm.
Chú ý:
Giả sử hệ (I) có nghiệm \[({{t}_{0}};t_{0}^{'})\] , để tìm giao điểm \[{{M}_{0}}\] của d và d’ ta có thể thay \[{{t}_{0}}\] vào phương trình tham số của d hoặc thay \[t_{0}^{'}\] vào phương trình tham số của d’.
3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau
Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy, hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{a'}\] không cùng phương và hệ phương trình vô nghiệm.
Nhận xét:
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right):Ax+By+Cz+D=0\] và đường thẳng d:\(\left\{ \begin{array}{l} {x_0} + t{a_1} = {x_0}' + t'{a_1}'\\ {y_0} + t{a_2} = {y_0}' + t'{a_2}'\\ {z_0} + t{a_3} = {z_0}' + t'{a_3}' \end{array} \right.\left( I \right)\)
Xét phương trình \[A\left( {{x}_{0}}+t{{a}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{0}}+t{{a}_{2}} \right)+C\left( {{z}_{0}}+t{{a}_{3}} \right)+D=0\] (t là ẩn). (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và \[\left( \alpha \right)\] không có điểm chung, vậy \[d//\left( \alpha \right)\] .
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm \[t={{t}_{0}}\] thì d cắt \[\left( \alpha \right)\] tại điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}}+{{t}_{0}}{{a}_{1}};{{y}_{0}}+{{t}_{0}}{{a}_{2}};{{z}_{0}}+{{t}_{0}}{{a}_{3}} \right)\] .
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc \[\left( \alpha \right)\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng
Cách giải:
+ Xác định vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và điểm cố định \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] thuộc đường thẳng \[\vartriangle \] .
+ Phương trình tham số của đường thẳng có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + t{a_1}\\ y = {y_0} + t{a_2}\\ z = {z_0} + t{a_3} \end{array} \right.\)
Dạng 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cách giải:
+ Xác định một điểm cố định M và vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{a}\] của đường thẳng \[\Delta \] . Xác định điểm cố định M’ và vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{a'}\] của đường thẳng \[\Delta '\] .
+ Tính tích có hướng giữa hai vectơ chỉ phương: \[\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a};\overrightarrow{a'} \right]\]
+ Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
\[\Delta //\Delta '\Leftrightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0};M\notin \Delta '\]
\[\Delta \equiv \Delta '\Leftrightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{0};M\in \Delta '\]
\[\Delta \] cắt \[\Delta '\Leftrightarrow \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0};\overrightarrow{n}.\overrightarrow{MM'}\ne 0\]
\[\Delta \] và \[\Delta '\] chéo nhau \[\Leftrightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{MM'}\ne 0\]
Dạng 3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cách giải:
Trong không gian cho đường thẳng d đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}})\] và phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + t{a_1}\\ y = {y_0} + t{a_2}\\ z = {z_0} + t{a_3} \end{array} \right.\)
Và mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có phương trình \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow{n}\left( A;B;C \right)\] .
Cách 1:
Dựa vào tích vô hướng của \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{n}\] :
- Nếu \[\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0;{{M}_{0}}\notin \left( \alpha \right)\Leftrightarrow d//\left( \alpha \right)\] .
- Nếu \[\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}=0;{{M}_{0}}\in \left( \alpha \right)\Leftrightarrow d\] nằm trong \[\left( \alpha \right)\] .
- Nếu \[\overrightarrow{n}.\overrightarrow{a}\ne 0\Leftrightarrow d\] cắt \[\left( \alpha \right)\] .
- Nếu \[\overrightarrow{n}=k\overrightarrow{a}\Leftrightarrow d\bot \left( \alpha \right)\] .
Cách 2:
Xét phương trình \[A\left( {{x}_{0}}+t{{a}_{1}} \right)+B\left( {{y}_{0}}+t{{a}_{2}} \right)+C\left( {{z}_{0}}+t{{a}_{3}} \right)+D=0\] (t là ẩn). (1)
- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và \[\left( \alpha \right)\] không có điểm chung, vậy \[d//\left( \alpha \right)\] .
- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm \[t={{t}_{0}}\] thì d cắt \[\left( \alpha \right)\] tại điểm \[{{M}_{0}}\left( {{x}_{0}}+{{t}_{0}}{{a}_{1}};{{y}_{0}}+{{t}_{0}}{{a}_{2}};{{z}_{0}}+{{t}_{0}}{{a}_{3}} \right)\] .
- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc \[\left( \alpha \right)\] .
- Nếu \[\left( A;B;C \right)=k\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right)\Leftrightarrow d\bot \left( \alpha \right)\] .
Dạng 4. Tính khoảng cách
Cách giải:
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] đến mặt phẳng \[(\alpha )\] : \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\], kí hiệu là \[d(M_{0}^{{}},(\alpha ))\] , được tính theo công thức:
\[d(M_{0}^{{}},(\alpha ))=\frac{\left| Ax_{0}^{{}}+By_{0}^{{}}+Cz_{0}^{{}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\]
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Lấy một điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] thuộc đường thẳng. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là khoảng cách giữa điểm đó và mặt phẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho đường thẳng \[\Delta \] và điểm A. Gọi M là điểm bất kì thuộc đường thẳng \[\Delta \] , \[\overrightarrow{u}\] là vectơ chỉ phương của \[\Delta \] . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng \[\Delta \] là
\[d\left( A,\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}\] .
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0} + t{a_1}\\ y = {y_0} + t{a_2}\\ z = {z_0} + t{a_3} \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = {x_0}' + t{a_1}'\\ y = {y_0}' + t{a_2}'\\ z = {z_0}' + t{a_3}' \end{array} \right.\)
Cách 1: Viết phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] :\[\text{Ax}+By+Cz+D=0\] chứa d và song song với d’. Lấy \[M_{0}^{'}(x_{0}^{'};y_{0}^{'};z_{0}^{'})\in d'\] . Khi đó khoảng cách giữa d và d’ bằng khoảng cách giữa mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và d’.
Cách 2: Gọi \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{u'}\] lần lượt là hai vectơ chỉ phương của d và d’, M và M’ lần lượt thuộc d và d’. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng là \[d=\frac{\left| \overrightarrow{M{{M}^{'}}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{u'} \right] \right|}\]
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 89 SGK Hình học 12)
a) Phương trình tham số của đường thẳng là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + 2t\\ y = 4 - 3t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\)
b) d vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]
\[\Rightarrow \] vectơ chỉ phương của d là vtpt \[\left( 1;1;-1 \right)\] của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 1 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\)
c) d song song với đường thẳng \[\vartriangle \]
\[\Rightarrow \] vectơ chỉ phương của d bằng vectơ chỉ phương \[\left( 2;3;4 \right)\] của đường thẳng \[\vartriangle \]
Phương trình đường thẳng d là:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t\\ y = 3t\\ z = - 3 + 4t \end{array} \right.\)
d) Ta có: \[\overrightarrow{PQ}=\left( 4;2;1 \right)\]
Đường thẳng d đi qua hai điểm P và Q nên d nhận \[\overrightarrow{PQ}\] làm vectơ chỉ phương
Phương trình đường thẳng d là:
\(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t\\ y = 2 + 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\)
Bài 2.(trang 89 SGK Hình học 12)
Với \[t=0\] ta có \[A\left( 2;-3;1 \right)\in d\]
Với \[t=1\] ta có \[B\left( 3;-1;4 \right)\in d\]
a) Hình chiếu của A trên \[\left( Oxy \right)\] là \[A'\left( 2;-3;0 \right)\]
Hình chiếu của B trên \[\left( Oxy \right)\] là \[B'\left( 3;-1;0 \right)\]
Ta có: \[\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;0 \right)\] với \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}\] là vectơ chỉ phương của d.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng \[\left( Oxy \right)\] là d’: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 3 + 2t\\ z = 0 \end{array} \right.\)
b) Hình chiếu của A trên \[\left( Oyz \right)\] là \[A'\left( 0;-3;1 \right)\]
Hình chiếu của B trên \[\left( Oyz \right)\] là \[B'\left( 0;-1;4 \right)\]
Ta có: \[\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 0;2;3 \right)\] với \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}\] là vectơ chỉ phương của d.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng \[\left( Oyz \right)\] là d’: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = - 3 + 2t\\ z = 1 + 3t \end{array} \right.\)
Bài 3.(trang 90 SGK Hình học 12)
a) Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \[\overrightarrow{u}=\left( 2;3;4 \right)\] và \[\overrightarrow{u'}=\left( 1;-4;1 \right)\]
Vì không tồn tại số k để \[\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u'}\] nên \[\overrightarrow{u}\] và \[\overrightarrow{u'}\] không cùng phương. Từ đó suy ra d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = 5 + t'\\ - 2 + 3t = - 1 - 4t'\\ 6 + 4t = 20 + t' \end{array} \right.\)
Từ hai phương trình đầu ta được \[t=3;t'=-2\] . Thay vào phương trình cuối thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
\[\Rightarrow \] Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có tọa độ \[\left( 3;7;18 \right)\]
b) Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \[\overrightarrow{u}=\left( 1;1;-1 \right)\] và \[\overrightarrow{u'}=\left( 2;2;-2 \right)\]
Ta thấy: \[\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{u'}\] và điểm \[M\left( 1;2;3 \right)\in d\] ; \[M\notin d'\]
\[\Rightarrow \] Hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Bài 4.(trang 90 SGK Hình học 12)
Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
\(\left\{ \begin{array}{l} 1 + at = 1 - t'\\ t = 2 + 2t'\\ - 1 + 2t = 3 - t' \end{array} \right.\)
Từ hai phương trình sau ta được \[t=2;t'=0\] . Thay vào phương trình đầu ta được \[a=0\] .
Vậy với \[a=0\] thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau.
Bài 5.(trang 90 SGK Hình học 12)
a) Xét phương trình:
\[3\left( 12+4t \right)+5\left( 9+3t \right)-\left( 1+t \right)-2=0\Leftrightarrow 26t+78=0\Leftrightarrow t=-3\] .
Phương trình trên có một nghiệm nên d và \[\left( \alpha \right)\] giao nhau tại một điểm có tọa độ \[\left( 0;0;-2 \right)\] .
b) Xét phương trình:
\[\left( 1+t \right)+3\left( 2-t \right)+\left( 1+2t \right)+1=0\Leftrightarrow 0t+9=0\Leftrightarrow \] Phương trình vô nghiệm.
Vậy d và \[\left( \alpha \right)\] không giao nhau.
c) Xét phương trình:
\[\left( 1+t \right)+\left( 1+2t \right)+\left( 2-3t \right)-4=0\Leftrightarrow 0=0\Leftrightarrow \] Phương trình có vô số nghiệm.
Vậy đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] .
Bài 6.(trang 90 SGK Hình học 12)
Với \[t=0\] ta có điểm \[M\left( -3;-1;-1 \right)\in d\] .
Ta có: \[d\left( \Delta ;(\alpha ) \right)=d\left( M;(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.(-3)-2.(-1)+(-1)+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{2}{3}\] .
Bài 7.(trang 91 SGK Hình học 12)
a) Ta có điểm \[H\left( 2+t;1+2t;t \right)\in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 1+t;1+2t;t \right)\]
Do H là hình chiếu vuông góc của A lên \[\Delta \] nên \[AH\bot \Delta \] . Lại có vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \[\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\left( 1;2;1 \right)\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow \left( 1+t \right)+2\left( 1+2t \right)+t=0\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow H\left( \frac{3}{2};0;\frac{-1}{2} \right)\]
b) Do A’ đối xứng với A qua \[\Delta \] nên H là trung điểm của AA’.
\(\left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2\\ {y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 0\\ {z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 1 \end{array} \right.\)
Vậy tọa độ điểm \[A'\left( 2;0;-1 \right)\] .
Bài 8.(trang 91 SGK Hình học 12)
a) H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] nên \[MH\bot \left( \alpha \right)\]
\[\Rightarrow \] vectơ chỉ phương của MH bằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)\]
Phương trình tham số của đường MH là: \[x=1+t;y=4+t;z=2+t\]
Vì H thuộc MH nên ta có tọa độ điểm \[H\left( 1+t;4+t;2+t \right)\] .
\[H\in \left( \alpha \right)\] nên thay tọa độ của H vào phương trình mặt phẳng ta được:
\[\left( 1+t \right)+\left( 4+t \right)+\left( 2+t \right)-1=0\Leftrightarrow t=-2\Leftrightarrow H\left( -1;2;0 \right)\]
b) M’ đối xứng với M qua \[\left( \alpha \right)\]
\[\Rightarrow \] H là trung điểm của MM’
\[\Rightarrow \] \(\left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = - 3\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 0\\ {z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = - 2 \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 3;0; - 2} \right)\)
c) Khoảng cách từ điểm M xuống mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] là \[d\left( M;(\alpha ) \right)=\frac{\left| 1+4+2-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=2\sqrt{3}\]
Bài 9.(trang 91 SGK Hình học 12)
Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng là \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;2;3 \right)\] và \[\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left( 1;-2;0 \right)\] .
Vì không tồn tại số k để \[\overrightarrow{{{u}_{d}}}=k\overrightarrow{{{u}_{d'}}}\] nên d và d’ không song song với nhau.
Xét hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l} 1 - t = 1 + t'\\ 2 + 2t = 3 - 2t'\\ 3t = 1 \end{array} \right.\)
Hệ phương trình trên vô nghiệm.
\[\Rightarrow \] d và d’ chéo nhau.
\[\Rightarrow \] Điều phải chứng minh.
Bài 10.(trang 91 SGK Hình học 12)
Đặt hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho \[A\equiv O\] .
Hình lập phương có cạnh bằng 1 nên ta có tọa độ các điểm như sau:
\[B\left( 1;0;0 \right);C\left( 1;1;0 \right);D\left( 0;1;0 \right);A'\left( 0;0;1 \right);B'\left( 1;0;1 \right);C'\left( 1;1;1 \right);D'\left( 0;1;1 \right)\]
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (A’BD) là \[\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1\Leftrightarrow x+y+z-1=0\]
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD) là \[d\left( A;(A'BD) \right)=\frac{\left| 0+0+0-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\]
Ta có: \[CD'//A'B;B'C//A'D\Leftrightarrow \left( A'BD \right)//\left( B'D'C \right)\]
Phương trình mặt phẳng \[\left( B'D'C \right)\] có dạng: \[x+y+z+D=0\]
Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng \[\left( B'D'C \right)\] ta có \[D=-2\] .
\[\Rightarrow \] Phương trình mặt phẳng \[\left( B'D'C \right)\] là \[x+y+z-2=0\] .
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \[\left( B'D'C \right)\] là \(d\left(A ;\left(B^{\prime} D^{\prime} C\right)\right)=\frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\).
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phươn trình đường thẳng hình học 12, toán 12đường thẳng lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.