Bài 2. Cực trị của hàm số

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Định nghĩa:

Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\]xác định và liên tục trên khoảng \[\left( a;b \right)\] , ( có thể a là\[-\infty \], b là \[+\infty \]) và điểm\[{{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\].

– Nếu tồn tại số \[h>0\] sao cho \[f\left( x \right) thì ta nói hàm số \[f\left( x \right)\] đạt cực đại tại \[{{x}_{0}}\].

– Nếu tồn tại số \[h>0\] sao cho \[f\left( x \right)>f\left( {{x}_{0}} \right),\forall x\in ({{x}_{0}}h;{{x}_{0}}+h),x\ne {{x}_{0}}\] thì ta nói hàm số \[f\left( x \right)\] đạt cực tiểu tại \[{{x}_{0}}\].

Chú ý:

\[{{x}_{0}}\] được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; \[f\left( {{x}_{0}} \right)\] được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại (cực đại) và giá trị cực tiểu (cực tiểu) gọi chung là cực trị của hàm số.
Nếu \[{{x}_{0}}\] là điểm cực trị của hàm số thì điểm \[\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \[f\] .

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1:

Giả sử hàm số \[y=f\left( x \right)\]liên tục trên khoảng \[K=\left( {{x}_{0}}h;{{x}_{0}}+h \right)\]và có đạo hàm trên K hoặc trên\[K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\], với\[h>0\].

Nếu \[f'\left( x \right)>0\] trên khoảng \[\left( {{x}_{0}}h;{{x}_{0}} \right)\] và \[f'\left( x \right)<0\]trên khoảng \[\left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h \right)\] thì \[{{x}_{0}}\] là một điểm cực đại của hàm số\[f\left( x \right)\].

Nếu \[f'\left( x \right)<0\] trên khoảng \[\left( {{x}_{0}}h;{{x}_{0}} \right)\] và \[f'\left( x \right)>0\]trên khoảng \[\left( {{x}_{0}};{{x}_{0}}+h \right)\] thì \[{{x}_{0}}\] là một điểm cực tiểu của hàm số\[f\left( x \right)\].

III. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1:

Tìm tập xác định.
Tính \[{f}'\left( x \right).\] Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\] \[\left( i=1;2;... \right)\] mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Định lí 2:

Giả sử \[y=f\left( x \right)\] có đạo hàm cấp 2 trong khoảng \[\left( {{x}_{0}}-h;{{x}_{0}}+h \right)\] với \[h>0.\] Khi đó:

Nếu \[{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0,\] \[{f}''\left( {{x}_{0}} \right)>0\] thì \[{{x}_{0}}\] là điểm cực tiểu.
Nếu \[{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0,\] \[{f}''\left( {{x}_{0}} \right)<0\] thì \[{{x}_{0}}\] là điểm cực đại.

Quy tắc 2:

Tìm tập xác định. Tính \[{f}'\left( x \right).\]
Giải phương trình \[f'\left( x \right)=0\] và kí hiệu \[{{x}_{i}}\] \[\left( i=1;2;... \right)\] là các nghiệm của nó.
Tính \[{f}''\left( x \right)\] và \[{f}''\left( {{x}_{i}} \right).\]
Dựa vào dấu của \[{f}''\left( {{x}_{i}} \right)\] suy ra tính chất cực trị của điểm \[{{x}_{i}}.\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\] hoặc \[y=f'\left( x \right)\] , xác định các thông tin liên quan đến cực trị (số cực trị, điểm cực đại, giá trị cực tiểu,…)

Cách giải:

Xác định các điểm \[{{x}_{i}}\] mà tại đó \[f'\left( {{x}_{i}} \right)=0\] hoặc không xác định.
Xác định dấu của \[f'\left( x \right)\] khi qua các điểm \[{{x}_{i}}\] . Nếu \[f'\left( x \right)\] đổi dấu thì \[x={{x}_{i}}\] là một điểm cực trị.

Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết \[y=f\left( x \right)\] hoặc \[y=f'\left( x \right)\]

Cách giải:

Áp dụng quy tắc xét tìm cực trị

Quy tắc 1:

Tìm tập xác định.
Tính \[{f}'\left( x \right).\] Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\] \[\left( i=1;2;... \right)\] mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Tìm tập xác định. Tính \[{f}'\left( x \right).\]
Giải phương trình \[f'\left( x \right)=0\] và kí hiệu \[{{x}_{i}}\] \[\left( i=1;2;... \right)\] là các nghiệm của nó.
Tính \[{f}''\left( x \right)\] và \[{f}''\left( {{x}_{i}} \right).\]
Dựa vào dấu của \[{f}''\left( {{x}_{i}} \right)\] suy ra tính chất cực trị của điểm \[{{x}_{i}}.\]

Dạng 3. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba \[y=f\left( x \right)\]

Cách giải:

Tính \[y'=f'\left( x \right)\]
Thực hiện phép chia \[y:y'\] tìm dư \[r\left( x \right)\]
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \[y=r\left( x \right)\]

Dạng 4. Tìm tham số \[m\] để hàm số có cực trị (cực đại/cực tiểu) tại \[{{x}_{0}}\]

Cách giải:

Để hàm số nhận \[x={{x}_{0}}\] là điểm cực trị thì \[f'\left( {{x}_{0}} \right)=0\]
Để hàm số nhận \[x={{x}_{0}}\] là điểm cực đại thì \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\ f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \end{array} \right.\)
Để hàm số nhận \[x={{x}_{0}}\] là điểm cực tiểu thì \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \end{array} \right.\)
Lưu ý phải thử lại \[m\]

Dạng 5. Tìm tham số \[m\] để hàm số có \[n\] cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Cách giải:

Tính \[y'\]
Xét phương trình \[y'=0\] và biện luận theo \[m\] số nghiệm của phương trình. Số nghiệm bội lẻ của phương trình bằng số điểm cực trị của hàm số.
Áp dụng định lí Vi-et; tam thức bậc các, hình học,… xử lí điều kiện cho trước để tìm \[m\] (Nếu đề bài không có điều kiện cho trước thì bỏ qua bước này và kết luận luôn về tham số \[m\] )

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 18 SGK Giải tích 12)

a) \[y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10\]

TXĐ: \(D = R\)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10 \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-36x-10 \right)=-\infty \]

Ta có \(y' = 6{x^2} + 6x - 36;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = 2 \end{array} \right.\)

Với \[x=-3\Rightarrow y=71\]

Với \[x=2\Rightarrow y=-54\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại \[x=-3;{{y}_{CD}}=71\] .

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2;{{y}_{CT}}=-54\] .

b) \[y={{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3\]

TXĐ: \(D = R \)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3 \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-3 \right)=+\infty \]

Ta có \[y'=4{{x}^{3}}+4x;y'=0\Leftrightarrow x=0\]

Với \[x=0\Rightarrow y=-3\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số không có điểm cực đại.

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0;{{y}_{CD}}=-3\] .

c) \[y=x+\frac{1}{x}\]

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\frac{1}{x} \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\frac{1}{x} \right)=-\infty \]

\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+\frac{1}{x} \right)=-\infty \] ; \[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x+\frac{1}{x} \right)=+\infty \]

Ta có \[y'=1-\frac{1}{{{x}^{2}}};y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1\]

Với \[x=-1\Rightarrow y=-2\]

Với \[x=1\Rightarrow y=2\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại \[x=-1;{{y}_{CD}}=-2\] .

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1;{{y}_{CT}}=2\] .

d) \[y={{x}^{3}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}\]

TXĐ: \(D = R \)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}{{\left( 1-x \right)}^{2}} \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}{{\left( 1-x \right)}^{2}} \right)=-\infty \]

Ta có \[y'=3{{x}^{2}}{{\left( 1-x \right)}^{2}}-2{{x}^{3}}\left( 1-x \right)={{x}^{2}}\left( 1-x \right)\left( 3-5x \right)\]

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = \frac{3}{5} \end{array} \right.\)

Với \[x=0\Rightarrow y=0\]

Với \[x=\frac{3}{5}\Rightarrow y=\frac{108}{3125}\]

Với \[x=1\Rightarrow y=0\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại \[x=\frac{3}{5};{{y}_{CD}}=\frac{108}{3125}\] .

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1;{{y}_{CT}}=0\] .

e) \[y=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\]

TXĐ: \(D = R \)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \right)=+\infty \]

Ta có \[y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}\] ; \[y'=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\]

Với \[x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số không có điểm cực đại.

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=\frac{1}{2};{{y}_{CT}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\] .

Bài 2. (trang 18 SGK Giải tích 12)

a) TXĐ: \[D=R\].

Ta có \[y'=4{{x}^{3}}-4x\Rightarrow y''=12{{x}^{2}}-4\]

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2}--1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

Mặt khác,

\[y''\left( 0 \right)=-4<0\Rightarrow x=0\] là điểm cực đại của hàm số.

\[y''\left( 1 \right)=8>0\Rightarrow x=1\] là điểm cực tiểu của hàm số.

\[y''\left( -1 \right)=8>0\Rightarrow x=-1\] là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: \[D=R\]

Ta có \[y'=2\cos 2x1\Rightarrow y''=-4\sin 2x\];

\[y'=0\Leftrightarrow 2\cos 2x-1=0\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left( k\in Z \right)\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in Z \right)\]

Mặt khác,

\[{{y}^{\prime \prime }}\left( \frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left( \frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=-2\sqrt{3}<0\left( k\in Z \right)\] \[\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in Z \right)\] là các điểm cực đại của hàm số.

\[{{y}^{\prime \prime }}\left( -\frac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left( -\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=2\sqrt{3}>0\left( k\in Z \right)\] \[\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left( k\in Z \right)\] là các điểm cực tiểu của hàm số.

c) TXĐ: \[D=R\]

Ta có \[y'=\cos x\sin x\]\[\Rightarrow y''=-\sin x\cos x=-\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\]

\[y'=0\Leftrightarrow \cos x-\sin x=0\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=0\]

\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Mặt khác,

\[{{y}^{\prime \prime }}\left( \frac{\pi }{4}+k2\pi \right)=-\sqrt{2}\cos \left( k2\pi \right)=-\sqrt{2}<0\left( k\in Z \right)\] \[\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left( k\in Z \right)\] là các điểm cực đại của hàm số.

\[{{y}^{\prime \prime }}\left( \frac{5\pi }{4}+k2\pi \right)=-\sqrt{2}\cos \left( \pi +k2\pi \right)=\sqrt{2}>0\left( k\in Z \right)\] \[\Rightarrow x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \left( k\in Z \right)\] là các điểm cực tiểu của hàm số.

d) TXĐ: \[D=R\]

Ta có: \[y'=5{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2\Rightarrow y''=20{{x}^{3}}-6x\]

\[y'=0\Leftrightarrow 5{{x}^{4}}3{{x}^{2}}2=0\Leftrightarrow x=\pm 1\].

Mặt khác,

\[y''\left( -1 \right)=-20+6=-14<0\Rightarrow x=-1\] là điểm cực đại của hàm số.

\[y''\left( 1 \right)=206=14>0\Rightarrow x=1\] là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3. (trang 19 SGK Giải tích 12)

Đặt \[\text{y}=\text{f}\left( x \right)=\sqrt{\left| \text{x} \right|}\]

Ta có \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\]

Mặt khác,

\[\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{-x}}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty \]

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty \]

\[\Rightarrow \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\ne \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\Rightarrow \not{\exists }\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\]

\[\Rightarrow \] Hàm số \[\text{y}=\text{f}\left( x \right)=\sqrt{\left| \text{x} \right|}\] không có đạo hàm tại \[x=0\]

Với \[x>0\] ta có \[y=\sqrt{x}\Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0,\forall x>0\]

Với \[x<0\] ta có \[y=\sqrt{-x}\Rightarrow y'=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}<0,\forall x<0\]

\[\Rightarrow y'\] đổi dấu khi đi qua \[x=0\]

\[\Rightarrow x=0\] là điểm cực tiểu của hàm số \[\text{y}=\sqrt{\left| \text{x} \right|}\] .

Bài 4. (trang 19 SGK Giải tích 12)

Tập xác định: \(D = R\).

Ta có \[y'=3{{x}^{2}}-2mx-2;\,\,y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-2mx-2=0\]

Xét \[\Delta {{'}_{y'}}={{m}^{2}}+6>0,\forall m\]

\[\Rightarrow \] Phương trình \[y'=0\] luôn có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] .
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Bài 5. (trang 19 SGK Giải tích 12)

TXĐ: D = R.

Ta có \[y'=5{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4ax9\]\[\Rightarrow y''=10{{a}^{2}}x+4a\].

Xét \[a=0\] ta có \[y'=-9<0\Rightarrow \]Hàm số không có cực trị.

Xét \[a\ne 0\] ta có:

\[y'=0\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4ax-9=0\]

\[\Leftrightarrow 5{{\left( ax \right)}^{2}}+4ax-9=0\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} ax = 1\\ ax = - \frac{9}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = \frac{1}{a}}\\ {x = - \frac{9}{{5a}}} \end{array}} \right.\)

TH1: \[x=\frac{1}{a}\] là điểm cực đại \[\Rightarrow \frac{1}{a}=-\frac{5}{9}\Rightarrow a=-\frac{9}{5}\]

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{5}{9}\\ x = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = \frac{{80}}{{27}} + b\\ y = - \frac{{36}}{5} + b \end{array} \right.\)

Để các cực trị của hàm số đều dương thì \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{80}}{{27}} + b > 0\\ - \frac{{36}}{5} + b > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b > - \frac{{80}}{{27}}\\ b > \frac{{36}}{5} \end{array} \right. \Leftrightarrow b > \frac{{36}}{5}\)

TH2: \[x=-\frac{9}{5a}\] là điểm cực đại \[\Rightarrow -\frac{9}{5a}=-\frac{5}{9}\Rightarrow a=\frac{81}{25}\]

\( \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{5}{9}\\ x = \frac{{25}}{{81}} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} y = 4 + b\\ y = - \frac{{400}}{{243}} + b \end{array} \right.\)

Để các cực trị của hàm số đều dương thì \(\left\{ \begin{array}{l} 4 + b > 0\\ - \frac{{400}}{{243}} + b > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b > - 4\\ b > \frac{{400}}{{243}} \end{array} \right. \Leftrightarrow b > \frac{{400}}{{243}}\)

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{a}} = - \frac{9}{5}}\\ {\;{\rm{b}} > \frac{{36}}{5}} \end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{a}} = \frac{{81}}{{25}}}\\ {\;{\rm{b}} > \frac{{400}}{{243}}} \end{array}} \right.\) là các giá trị cần tìm.

Bài 6. (trang 19 SGK Giải tích 12)

TXĐ: \[\text{D}=\text{R}\backslash \left\{ -\text{m} \right\}\]

Ta có \[\text{y}=f\left( x \right)=\frac{{{\text{x}}^{2}}+\text{mx}+1}{\text{x}+\text{m}}=\text{x}+\frac{1}{\text{x}+\text{m}}\Rightarrow \text{f}'\left( x \right)=1-\frac{1}{{{(\text{x}+\text{m})}^{2}}}\]

\[\Rightarrow f''\left( x \right)=\frac{2}{{{\left( x+m \right)}^{3}}}\]

Để hàm số đạt giá trị cực đại tại \[x=2\] thì \(\left\{ \begin{array}{l} f'\left( 2 \right) = 0\\ f''\left( 2 \right) < 0 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - \frac{1}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = 0\\ \frac{2}{{{{\left( {m + 2} \right)}^3}}} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 2} \right)^2} = 1\\ {\left( {m + 2} \right)^3} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m + 2 = - 1\\ m + 2 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3\)

Thử lại, với \[m=-3\] ta có \[y=\frac{{{x}^{2}}-3x+1}{x-3}\Rightarrow y'=1-\frac{1}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}\Rightarrow y''=\frac{2}{{{\left( x-3 \right)}^{3}}}\]

\(y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 4 \end{array} \right.\)

Mà \[y''\left( 2 \right)=-2<0\Rightarrow x=2\] là điểm cực đại của hàm số.

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 2. Cực trị của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Đánh giá (402)