Bài 2. Hàm số lũy thừa

BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỮA

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Khái niệm

Xét hàm số \[y={{x}^{\alpha }}\], với \[\alpha \] là số thực cho trước.

Hàm số \[y={{x}^{\alpha }}\], với \(\alpha \in R\), được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý:

Tập xác định của hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\] phụ thuộc vào giá trị của \[\alpha \]. Cụ thể,

• Với \[\alpha \] nguyên dương, tập xác định là \(R.\)
• Với \[\alpha \] nguyên âm hoặc bằng \[0\], tập xác định là \(R\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
• Với \[\alpha \] không nguyên, tập xác định là \[\left( 0;+\infty  \right).\]

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa

• \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\)
• Đạo hàm hàm hợp: \(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'\)

3. Khảo sát hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\]

Tập xác định của hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\] luôn chứa khoảng \[\left( 0;+\infty  \right)\] với mọi \(\alpha \in R.\) Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số \[y={{x}^{\alpha }}\] trên khoảng này.

Đồ thị của hàm số lũy thừa \[y={{x}^{\alpha }}\] luôn đi qua điểm \[I\left( 1;1 \right).\]

Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Cách giải:

Tập xác định của hàm số lũy thừa \[y={{u}^{\alpha }}\] phụ thuộc vào giá trị của \[\alpha \]. Cụ thể,

• Với \[\alpha \] nguyên dương, ta có \(u \in R.\)
• Với \[\alpha \] nguyên âm hoặc bằng \[0\], ta có \[u\ne 0\]
• Với \[\alpha \] không nguyên, ta có \[u>0\]

Từ đó ta rút ra được tập xác định của hàm số.

Dạng 2. Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa

Cách giải:

\(\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha {u^{\alpha - 1}}.u'\)

Dạng 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lũy thừa.

Cách giải:

Áp dụng sơ đồ khảo sát hàm số.

Dạng 4. Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa (đối với câu hỏi trắc nghiệm)

Cách giải:

Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa thông qua hình dáng đồ thị, chiều biến thiên, tiệm cận,…

Dạng 5. So sánh số mũ của các hàm số lũy thừa (đối với câu hỏi trắc nghiệm)

Cách giải:

• Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số để so sánh số mũ với các giá trị \[0;1\]
• Kẻ đường thẳng qua điểm có tọa độ \[\left( 0;1 \right)\] cắt đồ thị các hàm số tại các điểm có hoành độ \[{{x}_{i}}\left( i=1;2;... \right)\] . So sánh các hoành độ và rút ra kết luận.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 60 SGK Giải tích 12)

a) Hàm số \({\rm{y}} = {\left( {1 - {\rm{x}}} \right)^{ - \frac{1}{3}}}\) xác định \( \Leftrightarrow 1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1\)

Vậy tập xác định \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\)

b) Hàm số \[y={{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{3}{5}}}\] xác định \[\Leftrightarrow 2-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}<2\Leftrightarrow -\sqrt{2}

Vậy tập xác định \[\text{D}=\left( -\sqrt{2};\sqrt{2} \right)\] .

c) Hàm số \[y={{\left( {{x}^{2}}1 \right)}^{-2}}\] xác định \[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ne 1\Leftrightarrow x\ne \pm 1\]

Vậy tập xác định của hàm số là \[D=R\backslash \left\{ -1;1 \right\}.\]

d) Hàm số \(y = {\left( {{x^2} - x - 2} \right)^{\sqrt 2 }}\) xác định

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 > 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ {\rm{ }}x > 2 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định \[D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 2;+\infty  \right).\]

Bài 2. (trang 61 SGK Giải tích 12)

a) \[y'=\frac{1}{3}\cdot {{\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{\frac{1}{3}-1}}.\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)'=\frac{1}{3}\cdot {{\left( 2{{x}^{2}}-x+1 \right)}^{\frac{-2}{3}}}.\left( 4x-1 \right)\]

b) \[y'=\frac{1}{4}\cdot {{\left( 4-x-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{4}-1}}\cdot \left( 4-x-{{x}^{2}} \right)=\frac{1}{4}\cdot {{\left( 4-x-{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}.\left( -1-2x \right)=-\frac{2x+1}{4}\cdot {{\left( 4-x-{{x}^{2}} \right)}^{-\frac{3}{4}}}\]

c) \[y'=\frac{\pi }{2}{{\left( 3x+1 \right)}^{\frac{\pi }{2}-1}}\left( 3x+1 \right)'=\frac{3\pi }{2}{{\left( 3x+1 \right)}^{\frac{\pi }{2}-1}}\]

d) \[y'=\sqrt{3}{{\left( 5-x \right)}^{\sqrt{3}-1}}.\left( 5-x \right)'=-\sqrt{3}{{\left( 5-x \right)}^{\sqrt{3}-1}}\]

Bài 3. (trang 61 SGK Giải tích 12)

a) Xét hàm số \[\text{y}={{\text{x}}^{\frac{4}{3}}}\] ta có:

• Tập khảo sát : \[D=\left( 0;+\infty  \right)\].
• Sự biến thiên:

\[y'=\frac{4}{3}{{x}^{\frac{4}{3}-1}}=\frac{4}{3}{{x}^{\frac{1}{3}}}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}>0\], \[\forall x>0\]

\[\Rightarrow \] Hàm số đã cho đồng biến trên D.

Giới hạn đặc biệt:

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 > 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < - 1\\ {\rm{ }}x > 2 \end{array} \right.\)

\[\Rightarrow \] Đồ thị hàm số không có tiệm cận

Bảng biến thiên:

• Đồ thị hàm số:

b) Xét hàm số \[y={{x}^{-3}}\], ta có :

• Tập khảo sát : \[D=\left( 0;+\infty  \right).\]
• Sự biến thiên:

\[y'=-3.{{x}^{-3-1}}=-3.{{x}^{-4}}<0\], \[\forall x>0\].

\[\Rightarrow \] Hàm số đã cho nghịch biến trên D.

\[\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{-3}}=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{-3}}=0\]

\[\Rightarrow \] Đồ thị hàm số nhận \[x=0\] làm tiệm cận đứng và \[y=0\] làm tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

Bài 4. (trang 61 SGK Giải tích 12)

a) Ta có \[2,7>0\] nên \[{{\left( 4,1 \right)}^{2,7}}>{{\left( 4,1 \right)}^{0}}\Leftrightarrow {{\left( 4,1 \right)}^{2,7}}>1\]

b) Ta có : \[0,3>0\Rightarrow \]Hàm số \[y={{x}^{0,3}}\] đồng biến trên \[\left( 0;+\infty  \right)\].

Vì \[0,2<1\Rightarrow 0,{{2}^{0,3}}<{{1}^{0,3}}=1\].

c) Ta có: \[3,2>0\Rightarrow \]Hàm số \[y={{x}^{3,2}}\] đồng biến trên \[\left( 0;+\infty  \right)\].

Vì \[0,7<1\Rightarrow 0,{{7}^{3,2}}<{{1}^{3,2}}=1\].

d) Ta có: \[0,4>0\Rightarrow \]Hàm số \[y={{x}^{0,4}}\] đồng biến trên \[\left( 0;+\infty  \right)\]

Vì \[\sqrt{3}>1\Rightarrow {{\left( \sqrt{3} \right)}^{0,4}}>{{1}^{0,4}}=1\].

Bài 5. (trang 61 SGK Giải tích 12)

a) Ta có : \[7,2>0\]

Vì \[3,1<4,3\] nên \[{{\left( 3,1 \right)}^{7,2}}<{{\left( 4,3 \right)}^{7,2}}\].

b) Ta có : \[2,3>0\]

Vì \[\frac{10}{11}<\frac{12}{11}\] nên \[{{\left( \frac{10}{11} \right)}^{2,3}}<{{\left( \frac{12}{11} \right)}^{2,3}}\]

c) Ta có : \[0,3>0\]

1Vì \[0,3>0,2\] nên \[{{\left( 0,3 \right)}^{0,3}}>{{\left( 0,2 \right)}^{0,3}}\].

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 giải tích 12, toán 12 hàm số lũy thừa lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.