ÔN TẬP CHƯƠNG II
GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 50)
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 50)
Ta có : \[AD\bot \left( ABC \right)\]
\[\Rightarrow AD\bot AB\]
\[\Rightarrow \Delta ABD\] vuông tại A
\[\Rightarrow \widehat{ABD}<{{90}^{0}}\]
Khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB ta được hình nón tròn xoay đỉnh B, đường cao AB, đường tròn đáy có tâm A bán kính AD.
Đường cao của khối nón là : \[h=AB=a\]
Bán kính hình tròn đáy khối nón là : \[r=AD=a\]
Đường sinh của khối nón là : \[l=BD=a\sqrt{2}\]
Diện tích xung quanh khối nón là : \[{{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .a.a\sqrt{2}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}\]
Thể tích khối nón là : \[V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{a}^{3}}\]
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 50)
Hình chóp \[S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}~\]có tất cả các cạnh bên bằng nhau
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy
Ta có : \[S{{A}_{1}}~=S{{A}_{2}}~=S{{A}_{3}}~=...=S{{A}_{n}}\]
\[\Rightarrow \Delta SI{{A}_{1}}=\text{ }\Delta SI{{A}_{2}}~=\text{ }\Delta SI{{A}_{3}}~=\text{ }...\text{ }=\text{ }\Delta SI{{A}_{n}}\]
\[\Rightarrow I{{A}_{1}}~=I{{A}_{2}}~=I{{A}_{3}}~=...=I{{A}_{n}}\]
\[\Rightarrow \] \[{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}\] là đa giác nội tiếp đường tròn tâm I bán kính IA, đường cao SI
Xét \[\left( SIA \right)\] có đường trung trực của\[S{{A}_{1}}\] cắt SI tại O
\[\Rightarrow OS=O{{A}_{1}},O{{A}_{1}}~=O{{A}_{2}}~=O{{A}_{3}}~=...=O{{A}_{n}}~\]
\[\Rightarrow OS=O{{A}_{1}}~=O{{A}_{2}}~=O{{A}_{3}}~=...=O{{A}_{n}}\]
\[\Rightarrow \] Hình chóp \[S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}...{{A}_{n}}~\]nội tiếp được trong một mặt cầu ( điều phải chứng minh)
Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 50)
Giả sử mặt cầu đã cho là mặt cầu \[\left( O;r \right)\]
Gọi trung điểm của AB, BC, AC và tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu lần lượt là M, N, P, I, J, K
\[\Rightarrow SA\bot OI;AB\bot OM\]
Xét \[\Delta OIA\] và \[\Delta OMA\] có :
Cạnh chung OA
\(\begin{array}{l} OI = OM = r\\ \widehat {OIA} = \widehat {OMA} = {90^0} \end{array}\)
\[\Rightarrow \Delta OIA\text{ }=\Delta OMA\] ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
\[\Rightarrow AM=AI\]
Chứng minh tương tự : \[BM=BJ,SI=SJ\left( 1 \right)\]
Lại có : \[AM=BM\Rightarrow AI=BJ\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow SI+AI=SJ+BJ\Leftrightarrow SA=SB\left( 3 \right)\]
Chứng minh tương tự : \[SB=SC\left( 4 \right)\]
Từ (3) và (4) \[\Rightarrow SA=SB=SC\](*)
Lại có : \[BM=BN\left( =BJ \right),CN=CP\left( =CK \right)\]
\[\Rightarrow AB=2BM=BC=2CN=2CP=AC\]
\[\Rightarrow \Delta ABC\] đều (**)
Từ (*) và (**) \[\Rightarrow \] S. ABC là hình chóp tam giác đều ( điều phải chứng minh)
Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 50)
a) Kẻ \[AH\bot \left( BCD \right)\]
Xét \[\Delta ABH,\Delta ACH,\Delta ADH\]có :
\[AB=AC=AD\] (ABCD là tứ diện đều)
Cạnh chung AH
\[\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\widehat{AHD}={{90}^{0}}\]
\[=>\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\] ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\[\Rightarrow HB=HC=HD\]
\[\Rightarrow \] H là tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\]
Vì \[\Delta BCD\] là tam giác đều
\[\Rightarrow \] H là trọng tâm \[\Delta BCD\]
Gọi M là trung điểm CD
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MB = a.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow BH = \frac{2}{3}MB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)
Xét \[\Delta ABH\] vuông tại H có : \[A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\] ( định lí Pi-ta-go)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\\ \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}\)
b) Ta có : \[h=AH=\frac{a\sqrt{6}}{3},r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]
Diện tích xung quanh khối trụ là : \[S=2\pi rh=2\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{2\pi {{a}^{2}}\sqrt{2}}{3}\]
Thể tích của khối trụ là : \[V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}\]
Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 50)
Gọi H là trung điểm của SA
Đường thẳng qua H vuông góc với SA cắt SO tại I \[\Rightarrow SI=SA\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta SOA\] và \[\Delta SHI\] có : \[\widehat{S}\] chung , \[\widehat{SOA}=\widehat{SHI}={{90}^{0}}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta SOA\Delta SHI\\ \Rightarrow \frac{{SA}}{{SO}} = \frac{{SI}}{{SH}}\\ \Rightarrow SI = \frac{{SA}}{{SO}}.SH = \frac{{SA}}{{SO}}.\frac{{SA}}{2} = \frac{{S{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{S{O^2} + O{A^2}}}{{2SO}} = \frac{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{a}{2}}} = \frac{{3a}}{4} \end{array}\)
Ta có : \[IA=IB=IC=ID\left( 2 \right)\] ( vì I thuộc trục SO của tứ diện S.ABCD)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow SI=IA=IB=IC=ID=\frac{3a}{4}\]
\[\Rightarrow \] Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là điểm I và bán kính \[r=\frac{3a}{4}\]
Diện tích mặt cầu là : \[S=4\pi {{r}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}=\frac{9\pi {{a}^{2}}}{4}\]
Thể tích khối cầu là : \[V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{3}}=\frac{9\pi {{a}^{3}}}{16}\]
Bài 7. (SGK Hình học 12 trang 50)
a) Ta có : Trục của hình trụ là \[OO=2r\]
\[\Rightarrow \] Chiều cao của hình trụ là \[h=2r\]
Mặt cầu đường kính \[OO=2r\]
\[\Rightarrow \] Bán kính của mặt cầu bằng \[R=r\]
Diện tích mặt cầu là : \[S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{r}^{2}}\]
Diện tích xung quanh hình trụ là : \[{{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi r.2r=4\pi {{r}^{2}}\]
\[\Rightarrow \] Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh mặt trụ.
b) Thể tích khối trụ là : \[{{V}_{t}}=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}.2r=2\pi {{r}^{3}}\]
Thể tích khối cầu là : \[{{V}_{c}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\]
\[\Rightarrow \] Thể tích khối trụ lớn hơn thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải bài tậpcơ bản chương 2 hình học 12 , toán 12 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.