Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng $$a^x>b$$ (hoặc \[{{a}^{x}}\ge b,{{a}^{x}}) với \[0

Ta xét bất phương trình có dạng $$a^x>b.$$

• Nếu $$b\le 0$$, tập nghiệm của bất phương trình là $R$, vì $a^x>b,\mathrm{\forall }x\in R.$.
• Nếu $$b>0$$ thì bất phương trình tương đương với $$a^x>a^{{\log }_{a}b}.$$
• Với $$a>1$$, nghiệm của bất phương trình là $$x>{\log }_{a}b.$$
• Với $$0,nghiệmcủabấtphươngtrìnhlà\text{[}x<{\log }_{a}b.$$

2. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng $${\log }_{a}x>b$$(hoặc $${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x)với\text{[}a>0,a\ne 1.$$

Xét bất phương trình $${\log }_{a}x>b.$$

Trường hợp $$a>1$$, ta có: $${\log }_{a}x>b\iff x>a^b.$$

Trường hợp \[0, ta có: \[{{\log }_{a}}x>b\Leftrightarrow 0

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Giải bất phương trình mũ, logarit

Cách giải:

• Áp dụng các phương pháp như đưa về cùng cơ số, mũ hóa (logarit hóa), đặt ẩn phụ,… tương tự khi giải phương trình.
• Lưu ý về giá trị của cơ số so với $$1$$ để tính chính xác chiều của bất phương trình.

Dạng 2. Bài toán chứa tham số

Cách giải:

Bước 1. Áp dụng các phương pháp biến đổi đưa bất phương trình về dạng $$f(t,m)>0$$ hoặc $$f(t,m)\ge 0$$ ,… với $$t$$ là biến biểu thị cho mũ hoặc logarit.

Bước 2. Biện luận nghiệm của bất phương trình thông qua 2 cách

• Cách 1. Sử dụng tam thức bậc hai
• Cách 2. Cô lập tham số $$m$$ : $$g\left(t\right)=h\left(m\right)$$ . Sau đó, xét sự tương giao của đồ thị hàm số $$y=g\left(t\right)$$ và đường thẳng $$y=h\left(m\right)$$

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 89 SGK Giải tích 12)

a) $2^{-x^2+3x}<4\iff 2^{-x^2+3x}<2^2\iff -x^2+3x<2\iff x^2-3x+2>0\iff [\begin{array}{l}x>2\\ x<1\end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=(-\mathrm{\infty };1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$$

b) $${\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge \frac{9}{7}\iff {\left(\frac{7}{9}\right)}^{2x^2-3x}\ge {\left(\frac{7}{9}\right)}^{-1}\iff 2x^2-3x+1\le 0\iff \frac{1}{2}\le x\le 1$$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=[\frac{1}{2};1]$$ .

c) $$3^{x+2}+3^{x-1}\le 28\iff 3^{x-1}(3^3+1)\le 28\iff 3^{x-1}\le 3^0\iff x-1\le 0\iff x\le -1$$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=(-\mathrm{\infty };1]$$ .

d) $$4^x-{3.2}^x+2>0\iff 2^{2x}-{3.2}^x+2>0$$

Đặt $$t=2^x(t>0)$$ . Phương trình trở thành:

$t^2-3t+2>0\iff [\begin{array}{l}0<t<1\\ t>2\end{array}$

$\Rightarrow [\begin{array}{l}{2}^x<1\\ 2^x>2\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0\\ x>1\end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=(-\mathrm{\infty };0)\cup (1;+\mathrm{\infty })$$

Bài 2. (trang 90 SGK Giải tích 12)

a) Điều kiện $$4-2x>0\iff x<2$$

Ta có $${\log }_8(4-2\text{x})\ge 2\iff 4-2\text{x}\ge 8^2\iff 4-2\text{x}\ge 64\iff 2\text{x}\le -60\iff \text{x}\le -30$$

Kết hợp với điều kiện ta có $$x\le -30$$ .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=(-\mathrm{\infty };-30]$$ .

b) Điều kiện $3x-5>0\iff x>\frac{5}{3}$

Ta có $${\log }_{\frac{1}{5}}(3\text{x}-5)>{\log }_{\frac{1}{5}}(\text{x}+1)\iff 3\text{x}-5<\text{x}+1\iff 2\text{x}<6\iff \text{x}<3$$

Kết hợp với điều kiện ta có \[\frac{5}{3} .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=(\frac{5}{3};3)$$ .

c) Điều kiện $$x>2$$

Ta có $${\log }_{0,2}x-{\log }_5(x-2)<{\log }_{0,2}3$$

$$\iff {\log }_{5^{-1}}x-{\log }_5(x-2)<{\log }_{5^{-1}}3$$

$$\iff -{\log }_{5}x-{\log }_5(x-2)<-{\log }_{5}3$$

$$\iff {\log }_{5}x+{\log }_5(x-2)>{\log }_{5}3$$

$$\iff {\log }_5\left[x(x-2)\right]>{\log }_{5}3$$

$$\iff x(x-2)>3$$

$\iff x^2-2x-3>0\iff [\begin{array}{l}x>3\\ x<-1\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có $$x>3$$ .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm $$S=(3;+\mathrm{\infty })$$ .

d) Điều kiện $$x>0$$

Ta có: $${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6\le 0\iff {\left({\log }_{3}x\right)}^2-5{\log }_{3}x+6\le 0$$

Đặt $$t={\log }_{3}x$$ . Phương trình trở thành

$$t^2-5t+6\le 0\iff 2\le t\le 3$$

$$\Rightarrow 2\le {\log }_{3}x\le 3\iff 3^2\le x\le 3^3\iff 9\le \text{x}\le 27$$

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình mũ và logarit, toán 12 bất phương trình mũ lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.