CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT TỌNG TÂM
1. Định nghĩa số phức
Định nghĩa:
Mỗi biểu thức dạng \[a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right),{{i}^{2}}=-1\] được gọi là một số phức.
Đối với số phức \[z=a+bi\] ta nói \[a\] là phần thực, \[b\] là phần ảo của \[z\]
Tập hợp số phức kí hiệu là \[\mathbb{C}\] .
2. Số phức bằng nhau
Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
\(a+bi=c+di\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=c \\ b=d \end{array} \right. \)
Chú ý:
- Mỗi số thực \[a\] được coi là một số phức với phần ảo bằng \[0:a=a+0i\] . Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có \[\mathbb{R}\in \mathbb{C}\] .
- Số phức \[0+bi\] là số thuần ảo. Số \[i\] được gọi là đơn vị ảo.
3. Biểu diễn hình học số phức
Trong hệ tọa độ \[Oxy\] , số phức \[z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\] được biểu diễn bởi điểm \[M\left( a;b \right)\] .
4. Môđun của số phức
Độ dài của vectơ \[\overrightarrow{OM}\] được gọi là môđun của số phức \[z\] . Kí hiệu \[\left| z \right|\] .
Vậy \[\left| z \right|=\left| \overrightarrow{OM} \right|\Leftrightarrow \left| a+bi \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\] .
5. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của số phức \[z=a+bi\] là số phức \[\overline{z}=a-bi\]
Chú ý:
- z là số thực \[\Leftrightarrow \] phần ảo của z bằng \[0\Leftrightarrow z=\overline{z}\]
- z là số thuần ảo \[\Leftrightarrow \] phần thực của z bằng \[0\Leftrightarrow z=-\overline{z}\]
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, điểm biểu diễn)
Cách giải :
Sử dụng các định nghĩa, khái niệm, các phép toán về số phức để xác định các yếu tố cơ bản.
Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải :
Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa \[x,y\] . Từ đó rút ra kết luận về tập hợp điểm biểu diễn số phức.
Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (điều kiện về môđun, số phức bằng nhau, số phức liên hợp,…)
Cách giải :
Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để rút ra hệ phương trình hai ẩn \[x,y\] . Từ đó tìm được số phức \[z\] .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (Trang 133- SGK Giải tích 12)
Số phức | Phần thực | Phần ảo |
| a) \[z=1-\pi i\] | \[1\] | \[-\pi \] |
| b) \[z=\sqrt{2}-i\] | \[\sqrt{2}\] | \[-1\] |
| c) \[z=2\sqrt{2}\] | \[2\sqrt{2}\] | \[0\] |
| d) \[z=-7i\] | \[0\] | \[-7\] |
Bài 2. (Trang 133 - SGK Giải tích 12)
a) Ta có : \[\left( 3x-2 \right)+\left( 2y+1 \right)i=\left( x+1 \right)-\left( y-5 \right)i\]
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x-2=x+1 \\ 2y+1=-\left( y-5 \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{4}{3} \end{array} \right. \)
b) Ta có : \[\left( 1-2x \right)-i\sqrt{3}=\sqrt{5}+\left( 1-3i \right)i\]
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1-2x=\sqrt{5} \\ -\sqrt{3}=1-3y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{3} \end{array} \right. \)
c) Ta có : \[\left( 2x+y \right)+\left( 2y-x \right)i=\left( x-2y+3 \right)+\left( y+2x+1 \right)i\]
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=x-2y+3 \\ 2y-x=y+2x+1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+3y=3 \\ 3x-y=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=1 \end{array} \right. \)
Bài 3. (Trang 133 - SGK Giải tích 12)
a) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần thực của \[z\] bằng \[-2\] nên ta có \[x=-2\] .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[x=-2\] .
b) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần ảo của \[z\] bằng \[3\] nên ta có \[y=3\] .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường thẳng \[y=3\] .
c) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần thực của \[z\] thuộc khoảng \[\left( -1;2 \right)\] nên ta có \[-1 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ giới hạn bởi hai đường thẳng \[x=-1;x=2\] .
d) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần ảo của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ 1;3 \right]\] nên ta có \[1\le y\le 3\] .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong mặt phẳng tọa độ giới hạn bởi hai đường thẳng \[y=1;y=3\] , kể cả các điểm thuộc hai đường thẳng này.
e) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Vì phần thực và phần ảo của \[z\] đều thuộc đoạn \[\left[ -2;2 \right]\] nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l} -2\le x\le 2 \\ -2\le y\le 2 \end{array} \right. \)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là các điểm nằm trong hình vuông giới hạn bởi các đường thẳng \[x=-2;x=2;y=-2;y=2\] kể cả các điểm thuộc các cạnh của hình vuông.
Bài 4. (Trang 134 - SGK Giải tích 12)
a) Ta có: \[\left| z \right|=\left| -2+i\sqrt{3} \right|=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{7}\]
b) Ta có: \[\left| z \right|=\left| \sqrt{2}-3i \right|=\sqrt{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}=\sqrt{11}\]
c) Ta có: \[\left| z \right|=\left| -5 \right|=5\]
a) Ta có: \[\left| z \right|=\left| i\sqrt{3} \right|=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{3}\]
Bài 5. (Trang 134 - SGK Giải tích 12)
a) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Ta có \[\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\]
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là đường tròn có tâm \[O\left( 0;0 \right)\] và bán kính \[r=1\] .
b) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Ta có \[\left| z \right|\le 1\Leftrightarrow \left| x+yi \right|\le 1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\]
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình tròn có tâm \[O\left( 0;0 \right)\] và bán kính \[r=1\] .
c) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Ta có \[1<\left| z \right|\le 2\Leftrightarrow 1<\left| x+yi \right|\le 2\Leftrightarrow 1<\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le 2\Leftrightarrow 1<{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4\]
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là hình vành khăn giới hạn bỏi hai đường tròn : đường tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[r=1\] và đường tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[R=2\] kể các các điểm nằm trên đường tròn tâm \[O\left( 0;0 \right)\], bán kính \[R=2\] .
d) Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Ta có \[\left| z \right|=1\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\]
Mặt khác, phần ảo của \[z\] bằng \[1\Rightarrow y=1\Rightarrow x=0\]
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \[z\] là điểm \[M\left( 0;1 \right)\] .
Bài 6. (Trang 134 - SGK Giải tích 12)
a) Ta có \[z=1-i\sqrt{2}\Rightarrow \overline{z}=1+i\sqrt{2}\]
b) Ta có \[z=-\sqrt{2}+i\sqrt{3}\Rightarrow \overline{z}=-\sqrt{2}-i\sqrt{3}\]
c) Ta có \[z=5\Rightarrow \overline{z}=5\]
d) Ta có \[z=7i\Rightarrow \overline{z}=-7i\]
Gợi ý giải toán 12 số phức, lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa bài 1 số phức do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.