BÀI 1: KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khối lăng trụ và khối chóp
Khối lập phương là phần không gian được giới hạn bởi một hình lập phương, kể cả hình lập phương ấy.
Tương tự, khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy, khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy, khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.
Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy…của một hình lăng trụ ( hình chóp, hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh bên, cạnh đáy…của khối lăng trụ ( khối chóp, hay khối chóp cụt) tương ứng.
Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.
II. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện
1. Khái niệm về hình đa diện
Quan sát các hình lăng trụ, hình chóp trên ta thấy chúng đều là những hình không gian tạo bỏi một số hữu hạn đa giác. Các đa giác ấy đều có tính chất:
- Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
- Mỗi cạnh của đa giác nao cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Người ta còn gọi các hình đó là các hình đa diện.
Nói một cách tổng quát, hình đa diện ( gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất trên. Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
2. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
Mỗi khối đa diện được xác định bởi hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài…của hình đa diện tương ứng.
Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
III. Hai đa diện bằng nhau
1. Phép dời hình trong không gian
Phép biến hình và phép dời hình trong không gian được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.
Định nghĩa:
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
Trong không gian, những phép biến hình sau đây là những phép dời hình:
a) Phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow{v}\] , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \[\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{v}\] .
b) Phép đối xứng qua mặt phẳng \[\left( P \right)\] , là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc \[\left( P \right)\] thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc \[\left( P \right)\] thành điểm M’ sao cho \[\left( P \right)\] là mặt phẳng trung trực của MM’.
nếu phép đối xứng qua mặt phẳng \[\left( P \right)\] biến hình \[\left( H \right)\] thành chính nó thì \[\left( P \right)\] được gọi là mặt phẳng đối xứng của \[\left( H \right)\] .
c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biễn điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình \[\left( H \right)\] thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của \[\left( H \right)\] .
d) Phép đối xứng qua đường thẳng \[\Delta \] ( hay phép đối xứng qua trục \[\Delta \] ), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng \[\Delta \] thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc \[\Delta \] thành điểm M’ sao cho \[\Delta \] là đường trung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng \[\Delta \] biến hình \[\left( H \right)\] thành chính nó thì \[\Delta \] được gọi là trục đối xứng của \[\left( H \right)\] .
Nhận xét:
- Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
- Phép dời hình biến đa diện \[\left( H \right)\] thành đa diện \[\left( H' \right)\] , biến đỉnh, cạnh, mặt của \[\left( H \right)\] thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của \[\left( H' \right)\] .
2. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Đăc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.
IV. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Nếu khối đa diện \[\left( H \right)\] là tập hợp của hai khối đa diện \[\left( {{H}_{1}} \right),\left( {{H}_{2}} \right)\] sao cho \[\left( {{H}_{1}} \right)\] và \[\left( {{H}_{2}} \right)\] không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện \[\left( H \right)\] thành hai khối đa diện \[\left( {{H}_{1}} \right)\] và \[\left( {{H}_{2}} \right)\] , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện \[\left( {{H}_{1}} \right)\] và \[\left( {{H}_{2}} \right)\] với nhau để được khối đa diện \[\left( H \right)\] .
Nhận xét
Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành những khối tứ diện.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh tính chất của đa diện
Cách giải:
Áp dụng khái niệm hình đa diện và khối đa diện để giải bài toán.
Dạng 2. Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Cách giải:
Áp dụng quy tắc phân chia và lắp ghép các khối đa diện để giải bài toán.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 12)
Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là a và b.
Các mặt của đa diện là những tam giác nên mỗi mặt có ba cạnh, mỗi cạnh là cạnh chung của lần lượt hai mặt.
\[\Rightarrow 2a=3b\]
Vì \[2a\vdots 2\Leftrightarrow 3b\vdots 2\Leftrightarrow b\vdots 2\]
\[\Rightarrow \] b là số chẵn ( điều phải chứng minh)
Ví dụ:
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 12)
Gọi \[{{B}_{1}},\text{ }{{B}_{2}},\ldots ,\text{ }{{B}_{n}}~\] và \[{{M}_{1}},\text{ }{{M}_{2}},\ldots ,\text{ }{{M}_{n}}~\]lần lượt là các đỉnh của khối đa diện G và số các mặt của H nhận chúng làm đỉnh chung. Tổng số các cạnh của G là:
\[C=\frac{{{M}_{1}}~+\text{ }{{M}_{2}}~+\text{ }\ldots \text{ }+\text{ }{{M}_{n}}}{2}\]
Vì \(C \in {\rm Z}\)\[\Rightarrow {{M}_{1}}~+\text{ }{{M}_{2}}~+\text{ }\ldots \text{ }+\text{ }{{M}_{n}}~\]là số chẵn.
Mà \[{{M}_{1}}~,{{M}_{2}}~,\text{ }...,\text{ }{{M}_{n}}~\]là n số tự nhiên lẻ
\[\Rightarrow \] Tổng của chúng là số chẵn khi n chẵn.
Ví dụ: Hình chóp ngũ giác\[{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{B}_{3}}{{B}_{4}}{{B}_{5}}{{B}_{6}}\] có: \[{{B}_{1}}\] là đỉnh chung của 5 mặt bên và có 6 đỉnh là \[{{B}_{1}},\text{ }{{B}_{2}},\text{ }{{B}_{3}},\text{ }{{B}_{4}},\text{ }{{B}_{5}},\text{ }{{B}_{6}}~\].
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 12)
Ta có thể chia khối lập phương thành năm khối tứ diện là \[AABD,CCBD,\] \[DADC,BBAC\] và \[DBAC\].
Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 12)
* Cách chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau:
+ Chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ tam giác bằng nhau là \[ABD.ABD\]và\[BCD.BCD\].
+ Sau đó lần lượt chia khối lăng trụ \[ABD.ABD\]và \[BCD.BCD\]thành ba tứ diện lần lượt là: \[DABB,\text{ }DAAB,DA'B'D'\]và\[DCBB,\text{ }DCCB,\text{ }DDCB\].
Ta được sáu khối tứ diện bằng nhau.
* Chứng minh:
+ Hai khối tứ diện \[DABB\] và \[DAAB\] bằng nhau vì đối xứng nhau qua \[\left( DAB \right)\](1)
+ Hai khối tứ diện\[~DAAB\] và \[DDAB\] bằng nhau vì đối xứng nhau qua \[\left( BAD \right)\](2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] Ba khối tứ diện \[DABB,\text{ }DAAB\]và \[DDAB\] bằng nhau.
Chứng minh tương tự ta có ba khối tứ diện \[DCBB,\text{ }DCCB,\text{ }DDCB\] bằng nhau.
Vậy khối lập phương \[ABCD.ABCD\]được chia thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Khái niệm về khối đa diện do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.