Bài 2. Phương trình mặt phẳng

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định nghĩa:

Cho mặt phẳng \[(\alpha )\] . Nếu vectơ \[\overrightarrow{n}\] khác \[\overrightarrow{0}\] và có giá vuông góc với mặt phẳng \[(\alpha )\] thì \[\overrightarrow{n}\] được gọi là vectơ pháp tuyến của \[(\alpha )\] .

Chú ý

Nếu \[\overrightarrow{n}\] là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì \[k\overrightarrow{n}\] với \[k\ne 0\] , cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \[(\alpha )\] và hai vectơ không cùng phương \[\overrightarrow{a}=(a_{1}^{{}};a_{2}^{{}};a_{3}^{{}}),\overrightarrow{b}=(b_{1}^{{}};b_{2}^{{}};b_{3}^{{}})\] có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng \[(\alpha )\] . Khi đó mặt phẳng \[(\alpha )\] nhận vectơ

\[\overrightarrow{n}=(a_{2}^{{}}b_{3}^{{}}-a_{3}^{{}}b_{2}^{{}};a_{3}^{{}}b_{1}^{{}}-a_{1}^{{}}b_{3}^{{}};a_{1}^{{}}b_{2}^{{}}-a_{2}^{{}}b_{1}^{{}})\]

làm vectơ pháp tuyến.

Vectơ \[\overrightarrow{n}\] xác định như trên được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ \[\overrightarrow{a}\] và \[\overrightarrow{b}\] , ký hiệu là \[\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}\] hoặc \[\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]\] .

II, Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa

Phương trình có dạng \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\], trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét

a) Nếu mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có phương trình tổng quát là \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\] thì nó có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow{n}(A;B;C)\] .

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] nhận vectơ \[\overrightarrow{n}(A;B;C)\] khác \[\overrightarrow{0}\] làm vectơ pháp tuyến là \[A(x-x_{0}^{{}})+B(y-y_{0}^{{}})+C(z-z_{0}^{{}})=0\] .

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \[(\alpha )\] : \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\]. (1)

a) Nếu \[D=0\] thì gốc tọa độ O có tọa độ thỏa mãn phương trình của mặt phẳng \[(\alpha )\] . Vậy \[(\alpha )\] đi qua gốc tọa độ O.

b) Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A=0 thì mặt phẳng \[(\alpha )\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow{n}=(0;B;C)\] . Ta có \[\overrightarrow{n}.\overrightarrow{i}=0\] . Do \[\overrightarrow{i}\] là vectơ chỉ phương của Ox nên ta suy ra \[(\alpha )\] song song hoặc chứa trục Ox.

c) Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng 0, ví dụ \[A=B=0\] và \[C\ne 0\] thì từ trường hợp b) ta suy ra mặt phẳng \[(\alpha )\] song song với Ox và Oy hoặc \[(\alpha )\] chứa Ox và Oy. Vậy \[(\alpha )\] song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy).

Nhận xét

Nếu cả bốn hệ số \[A,B,C,D\] đều khác 0 thì bằng cách đặt \[a=-\frac{D}{A},b=-\frac{D}{B},c=-\frac{D}{C}\] , ta có thể đưa phương trình (1) về dạng sau đây: \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\] . (2)

Khi đó mặt phẳng \[(\alpha )\] cắt các trục \[\text{Ox},Oy,Oz\] lầ lượt tại các điểm có tọa độ là \[(a;0;0),(0;b;0),(0;0;c)\] . Người ta còn gọi phương trình (2) là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Ta có:

\[(\alpha _{1}^{{}})//(\alpha _{2}^{{}})\Leftrightarrow \overrightarrow{n_{1}^{{}}}=k\overrightarrow{n_{2}^{{}}};D_{1}^{{}}\ne kD_{2}^{{}}\Leftrightarrow (A_{1}^{{}};B_{1}^{{}};C_{1}^{{}})=k(A_{2}^{{}};B_{2}^{{}};C_{2}^{{}});D_{1}^{{}}\ne kD_{2}^{{}}.\]

\[(\alpha _{1}^{{}})\equiv (\alpha _{2}^{{}})\Leftrightarrow \overrightarrow{n_{1}^{{}}}=k\overrightarrow{n_{2}^{{}}};D_{1}^{{}}=kD_{2}^{{}}\Leftrightarrow (A_{1}^{{}};B_{1}^{{}};C_{1}^{{}})=k(A_{2}^{{}};B_{2}^{{}};C_{2}^{{}});D_{1}^{{}}=kD_{2}^{{}}.\]

Chú ý

\[(\alpha _{1}^{{}})\] cắt \[(\alpha _{2}^{{}})\Leftrightarrow \overrightarrow{n_{1}^{{}}}\ne k\overrightarrow{n_{2}^{{}}}\Leftrightarrow (A_{1}^{{}};B_{1}^{{}};C_{1}^{{}})\ne k(A_{2}^{{}};B_{2}^{{}};C_{2}^{{}}).\]

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Ta có: \[(\alpha _{1}^{{}})\bot (\alpha _{2}^{{}})\Leftrightarrow \overrightarrow{n_{1}^{{}}}.\overrightarrow{n_{2}^{{}}}=0\Leftrightarrow A_{1}^{{}}A_{2}^{{}}+B_{1}^{{}}B_{2}^{{}}+C_{1}^{{}}C_{2}^{{}}=0.\]

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định lý:

Trong không gian \[Oxyz\] , cho mặt phẳng \[(\alpha )\] có phương trình \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\] và điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] . Khoảng cách từ điểm \[M_{0}^{{}}\] đến mặt phẳng \[(\alpha )\] , kí hiệu là \[d(M_{0}^{{}},(\alpha ))\] , được tính theo công thức:

\[d(M_{0}^{{}},(\alpha ))=\frac{\left| Ax_{0}^{{}}+By_{0}^{{}}+Cz_{0}^{{}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\]

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Viết phương trình của mặt phẳng

Cách giải:

1. Viết phương trình mặt phẳng khi biết vectơ pháp tuyến và một điểm nằm trong mặt phẳng đó:

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] và nhận vectơ \[\overrightarrow{n}(A;B;C)\] khác \[\overrightarrow{0}\] làm vectơ pháp tuyến là \[A(x-x_{0}^{{}})+B(y-y_{0}^{{}})+C(z-z_{0}^{{}})=0\] .

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A; B; C

• Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \[\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}\] .
• Mặt phẳng đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{n}\]

\[\Rightarrow \] Bài toán quay về loại 1.

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng đã biết \[\left( \beta  \right)\text{:Ax}+By+Cz+D=0\] .

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có dạng sau: \[\text{Ax}+By+Cz+D'=0\] .

Thay tọa độ điểm đã cho vào phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] ta tìm được D’.

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng đã biết \[\left( \beta  \right)\text{:Ax}+By+Cz+D=0\] .

• Vectơ pháp tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}\]
• Mặt phẳng đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}\]

\[\Rightarrow \] Bài toán quay về loại 1.

Dạng 2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cách giải:

Cho hai mặt phẳng:

\[\left( \alpha  \right):{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( {{A}_{1}};{{B}_{1}};{{C}_{1}} \right)\]

\[\left( \beta  \right):{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}}=\left( {{A}_{2}};{{B}_{2}};{{C}_{2}} \right)\]

Ta có các trường hợp:

\[\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}};{{D}_{1}}\ne k{{D}_{2}}\] hay \[\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)\Leftrightarrow \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}\ne \frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\] .

\[\left( \alpha  \right)\equiv \left( \beta  \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}};{{D}_{1}}=k{{D}_{2}}\] hay \[\left( \alpha  \right)\equiv \left( \beta  \right)\Leftrightarrow \frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{B}_{1}}}{{{B}_{2}}}=\frac{{{C}_{1}}}{{{C}_{2}}}=\frac{{{D}_{1}}}{{{D}_{2}}}\] .

\[\left( \alpha  \right)\] cắt \[\left( \beta  \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}\ne k\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}}\]

\[\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}}=0\]

Dạng 3. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cách giải:

Khoảng cách từ điểm \[M_{0}^{{}}(x_{0}^{{}};y_{0}^{{}};z_{0}^{{}})\] đến mặt phẳng \[(\alpha )\] có phương trình \[\text{Ax}+By+Cz+D=0\] là: \[d(M_{0}^{{}},(\alpha ))=\frac{\left| Ax_{0}^{{}}+By_{0}^{{}}+Cz_{0}^{{}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\]

Dạng 4. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cách giải:

Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song \[(\alpha )\] và \[\left( \beta  \right)\] , ta chọn một điểm M nằm trên mặt phẳng \[(\alpha )\] . Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng khoảng cách giữa điểm M và mặt phẳng còn lại.

\[d\left( \left( \alpha  \right);\left( \beta  \right) \right)=d\left( M;\left( \beta  \right) \right)\]

\[\Rightarrow \] Bài toán quay về dạng 3.

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

a) Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{n}=\left( 2;3;5 \right)\] và đi qua điểm \[M\left( 1;-2;4 \right)\] là:

\[2(x-1)+3(y+2)+5(z-4)=0\Leftrightarrow 2x+3y+5z-16=0\]

b) Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] song song với hai vectơ \[\overrightarrow{u}=\left( 3;2;1 \right)\] và \[\overrightarrow{v}=\left( -3;0;1 \right)\] nên nhận hai vectơ đó là hai vectơ chỉ phương.

\[\Rightarrow \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right]=\left( 2.1-1.0;1.(-3)-3.1;3.0-(-3).2 \right)=\left( 2;-6;6 \right)\] .

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 2;-6;6 \right)\] và đi qua điểm \[A\left( 0;-1;2 \right)\] là:

\[2\left( x-0 \right)-6(y+1)+6(z-2)=0\Leftrightarrow 2x-6y+6z-18=0\Leftrightarrow x-3y+3z-9=0\]

c) Ta có: \[\overrightarrow{AB}=\left( 3;-2;0 \right)\] ; \[\overrightarrow{AC}=\left( 3;0;-1 \right)\]

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] nhận hai vectơ \[\overrightarrow{AB}\] và \[\overrightarrow{AC}\] làm hai vectơ chỉ phương

\[\Rightarrow \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( (-2).(-1)-0.0;0.3-3.(-1);3.0-3.(-2) \right)=\left( 2;3;6 \right)\]

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 2;3;6 \right)\] và đi qua điểm \[A\left( -3;0;0 \right)\] là:

\[2(x+3)+3y+6z=0\Leftrightarrow 2x+3y+6z+6=0\]

Cách khác:

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua ba điểm \[A\left( -3;0;0 \right)\] ; \[B(0;-2;0)\] và \[C(0;0;-1)\] nên có phương trình đoạn chắn là: \[\frac{x}{-3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{-1}=0\Leftrightarrow 2x+3y+6z+6=0\] .

Bài 2.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

Ta có: \[\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;-4 \right)=\left( 1;-1;-2 \right)\] .

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[M\left( \frac{2+4}{2};\frac{3+1}{2};\frac{7+3}{2} \right)\] hay \[M\left( 3;2;5 \right)\] .

Vì mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và nhận vectơ \[\overrightarrow{AB}\] làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 1;-1;-2 \right)\] và đi qua điểm \[M\left( 3;2;5 \right)\] là:

\[(x-3)-(y-2)-2(z-5)=0\Leftrightarrow x-y-2z+9=0\]

Bài 3.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

a)

Mặt phẳng \[\left( Oxy \right)\] là tập hợp tất cả các điểm có \[z=0\] nên có phương trình là \[z=0\] .

Mặt phẳng \[\left( Oyz \right)\] là tập hợp tất cả các điểm có \[z=0\] nên có phương trình là \[x=0\] .

Mặt phẳng \[\left( Oxz \right)\] là tập hợp tất cả các điểm có \[z=0\] nên có phương trình là \[y=0\] .

b)

Phương trình mặt phẳng đi qua \[M\left( 2;6;-3 \right)\] và song song với mặt phẳng \[\left( Oxy \right)\] là: \[z+3=0\] .

Phương trình mặt phẳng đi qua \[M\left( 2;6;-3 \right)\] và song song với mặt phẳng \[\left( Oyz \right)\] là: \[x-2=0\] .

Phương trình mặt phẳng đi qua \[M\left( 2;6;-3 \right)\] và song song với mặt phẳng \[\left( Oxz \right)\] là: \[y-6=0\] .

Bài 4.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

a) Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa \[Ox\Leftrightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] chứa điểm \[O\left( 0;0;0 \right)\] và nhận vectơ \[\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)\] làm vec tơ chỉ phương.

Ta có: \[\overrightarrow{OP}=\left( 4;-1;2 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{i};\overrightarrow{OP} \right]=\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 0;-2;-1 \right)\]

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 0;-2;-1 \right)\] và chứa điểm \[P\left( 4;-1;2 \right)\] là:

\[0.(x-4)-2(y+1)-(z-2)=0\Leftrightarrow -2y-z=0\Leftrightarrow 2y+z=0\] .

b) Mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] chứa \[Oy\Leftrightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] chứa điểm \[O\left( 0;0;0 \right)\] và nhận vectơ \[\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)\] làm vec tơ chỉ phương.

Ta có: \[\overrightarrow{OQ}=\left( 1;4;-3 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{j};\overrightarrow{OQ} \right]=\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}}=\left( -3;0;-1 \right)\]

Phương trình mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}}=\left( -3;0;-1 \right)\] và chứa điểm \[Q\left( 1;4;-3 \right)\] là:

\[(-3).(x-1)+0(y-4)-(z+3)=0\Leftrightarrow -3x-z=0\Leftrightarrow 3x+z=0\] .

c) Mặt phẳng \[\left( \gamma  \right)\] chứa \[Oy\Leftrightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \gamma  \right)\] chứa điểm \[O\left( 0;0;0 \right)\] và nhận vectơ \[\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)\] làm vec tơ chỉ phương.

Ta có: \[\overrightarrow{\text{OR}}=\left( 3;-4;7 \right)\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{k};\overrightarrow{\text{OR}} \right]=\overrightarrow{{{n}_{\left( \gamma  \right)}}}=\left( 4;3;0 \right)\]

Phương trình mặt phẳng \[\left( \gamma  \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \gamma  \right)}}}=\left( 4;3;0 \right)\] và chứa điểm \[R\left( 3;-4;7 \right)\] là:

\[4(x-3)+3(y+4)+0(z-7)=0\Leftrightarrow 4x+3y=0\] .

Bài 5.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

a)

+ Ta có: \[\overrightarrow{AC}=\left( 0;-1;1 \right)\] ; \[\overrightarrow{AD}=\left( -1;-1;3 \right)\]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( ACD \right)\] là vectơ vuông góc với hai vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\] .

\[\Rightarrow \] \[\overrightarrow{{{n}_{\left( ACD \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=\left( -2;-1;-1 \right)=\left( 2;1;1 \right)\] .

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( ACD \right)\] là:

\[2.\left( x-5 \right)+(y-1)+\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y+z-14=0\] .

+ Ta có: \[\overrightarrow{BC}=\left( 4;-6;2 \right)\] ; \[\overrightarrow{CD}=\left( -1;0;2 \right)\]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( BCD \right)\] là vectơ vuông góc với hai vectơ chỉ phương \[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\] .

\[\Rightarrow \] \[\overrightarrow{{{n}_{\left( BCD \right)}}}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD} \right]=\left( -12;-10;-6 \right)=\left( 6;5;3 \right)\] .

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( BCD \right)\] là:

\[6\left( x-5 \right)+5y+3\left( z-4 \right)=0\Leftrightarrow 6x+5y+3z-42=0\] .

b)

Ta có: \[\overrightarrow{AB}=\left( -4;5;-1 \right)\] .

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD

\[\Rightarrow \] Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] nhận hai vectơ \[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\] là hai vectơ chỉ phương.

\[\Rightarrow \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right]=\left( 10;9;5 \right)\]

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua \[A\left( 5;1;3 \right)\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 10;9;5 \right)\] là:

\[10.(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0\Leftrightarrow 10x+9y+5z-74=0\] .

Bài 6.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( \beta  \right)\]

\[\Rightarrow \] Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] có dạng: \[2x-y+3z+D=0\]

Thay tọa độ điểm \[M\in \left( \alpha  \right)\] vào phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] ta có:

\[2.2-(-1)+3.2+D=0\Leftrightarrow D=-11\] .

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[2x-y+3z-11=0\] .

Bài 7.(trang 80 SGK Hình học lớp 12)

Ta có: \[\overrightarrow{AB}=\left( 4;2;2 \right)\] .

Mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng \[\left( \beta  \right):2x-y+z-7=0\] nên \[\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta  \right)}}} \right]=\left( 4;0;-8 \right)\] .

Phương trình mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] là \[4(x-1)+0y-8(z-1)=0\Leftrightarrow x-2z+1=0\]

Bài 8.(trang 81 SGK Hình học lớp 12)

a) Hai mặt phẳng song song với nhau \[\Leftrightarrow \frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{-6}\ne \frac{-5}{2}\Leftrightarrow m=4;n=-4\] .

b) Hai mặt phẳng song song với nhau \[\Leftrightarrow \frac{3}{2}=\frac{-5}{n}=\frac{m}{-3}\ne \frac{-3}{1}\Leftrightarrow m=\frac{-9}{2};n=\frac{-10}{3}\] .

Bài 9.(trang 81 SGK Hình học lớp 12)

a) Khoảng cách giữa A và mặt phẳng đã cho là: \[d=\frac{\left| 2.2-4+2.(-3)-9 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=5.\]

b) Khoảng cách giữa A và mặt phẳng đã cho là: \[d=\frac{\left| 12.2-5.(-3)+5 \right|}{\sqrt{{{12}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\frac{44}{13}\]

c) Khoảng cách giữa A và mặt phẳng đã cho là: \[d=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}}}=2\]

Bài 10.(trang 81 SGK Hình học lớp 12)

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho \[O\equiv A;\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB};\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD};\overrightarrow{k}=\overrightarrow{AA'}\] .

Khi đó \[A\left( 0;0;0 \right)\] ; \[B\left( 1;0;0 \right)\] ; \[C\left( 1;1;0 \right)\] ; \[D\left( 0;1;0 \right)\]

Và \[A'\left( 1;0;0 \right)\] ; \[B'\left( 1;0;1 \right)\] ; \[C'\left( 1;1;1 \right)\] ; \[D'\left( 0;1;1 \right)\]

a) Ta có: \[\overrightarrow{AB'}=\left( 1;0;1 \right);\overrightarrow{AD'}=\left( 0;1;1 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( AB'D' \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB'};\overrightarrow{AD'} \right]=\left( -1;-1;1 \right)\] .

Lại có: \[\overrightarrow{BC'}=\left( 0;1;1 \right);\overrightarrow{DC'}=\left( 1;0;1 \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( BC'D \right)}}}=\left[ \overrightarrow{BC'};\overrightarrow{DC'} \right]=\left( 1;1;-1 \right)\] .

Ta thấy: \[\overrightarrow{{{n}_{\left( AB'D' \right)}}}=-\overrightarrow{{{n}_{\left( BC'D \right)}}}\Leftrightarrow\] Hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phươn trình mặt phẳng hình học 12, toán 12 mặt phẳng lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.