BÀI 2: CỘNG TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
- Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiên theo quy tắc cộng, trừ đa thức.
- Phép nhân hai số phức được thực hiên theo quy tắc nhân đa thức rồi thay \[{{i}^{2}}=-1\] trong kết quả nhận được.
- Cho hai số phức \[z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}),\text{ }z'=a'+b'\text{ }i\text{ }(a',b'\in \mathbb{R})\]. Khi đó,
\[\text{z}\pm \text{z }\!\!'\!\!\text{ }=\left( \text{a}\pm \text{a }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{+}\left( \text{b}\pm \text{b }\!\!'\!\!\text{ } \right)\text{i}\]
\[zz'=aa'-bb'+(ab'+a'b)i\]
Chú ý :
Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản của số phức (phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, điểm biểu diễn)
Cách giải :
Sử dụng các phép toán về số phức để xác định các yếu tố cơ bản.
Dạng 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.
Cách giải :
Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa \[x,y\] . Từ đó rút ra kết luận về tập hợp điểm biểu diễn số phức
Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (điều kiện về môđun, số phức bằng nhau, số phức liên hợp,…)
Cách giải :
Bước 1: Gọi số phức \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\]
Bước 2: Thay \[z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\] vào điều kiện của đề bài để rút ra hệ phương trình hai ẩn \[x,y\] . Từ đó tìm được số phức \[z\] .
Dạng 4. Thực hiện các phép tính liên quan đến số phức (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa,…)
Cách giải :
Sử dụng các phép toán về số phức, tuân thủ các quy tắc cũng như tính chất để tính toán.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1.(trang 135 SGK Giải tích 12)
a) \[\left( 3-5i \right)+\left( 2+4i \right)=\left( 3+2 \right)+\left( -5+4 \right)i=5-i\]
b) \[\left( -2-3i \right)+\left( -1-7i \right)=\left( -2-1 \right)+\left( -3-7 \right)i=-3-10i\]
c) \[\left( 4+3i \right)-\left( 5-7i \right)=\left( 4-5 \right)+\left( 3+7 \right)i=-1+10i\]
d) \[\left( -2-3i \right)-\left( 5-4i \right)=\left( -2-5 \right)+\left( -3+4 \right)i=-7+i\]
Bài 2.(trang 136 SGK Giải tích 12)
a) Ta có \[\alpha +\beta =3+2i,\alpha -\beta =3-2i\]
b) Ta có
\(\begin{array}{l} \alpha +\beta =\left( 1-2i \right)+6i=1+\left( -2+6 \right)i=1+4i \\ \alpha -\beta =\left( 1-2i \right)-6i=1+\left( -2-6 \right)i=1-8i \end{array}\)
c) Ta có
\(\begin{array}{l} \alpha +\beta =5i+\left( -7i \right)=\left( 5-7 \right)i=-2i \\ \alpha -\beta =5i-\left( -7i \right)=\left( 5+7 \right)i=12i \end{array}\)
d) Ta có
\(\begin{array}{l} \alpha +\beta =15+\left( 4-2i \right)=\left( 15+4 \right)-2i=19-2i \\ \alpha -\beta =15-\left( 4-2i \right)=\left( 15-4 \right)+2i=11+2i \end{array}\)
Bài 3.(trang 136 SGK Giải tích 12)
a) \[\left( 3-2i \right)\left( 2-3i \right)=\left( 3.2-2.3 \right)+\left( 3.\left( -3 \right)-2.2 \right)i=-13i\]
b) \[\left( -1+i \right)\left( 3+7i \right)=\left( -1.3-1.7 \right)+\left( -1.7+1.3 \right)i=-10-4i\]
c) \[5\left( 4+3i \right)=5.4+5.3i=20+15i\]
d) \[\left( -2-5i \right).4i=-2.4i-5i.4i=20-8i\]
Bài 4.(trang 136 SGK Giải tích 12)
Ta có :
\(\begin{array}{l} {{i}^{3}}={{i}^{2}}. i=-i \\ {{i}^{4}}={{\left( {{i}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( -1 \right)}^{2}}=1 \\ {{i}^{5}}={{i}^{4}}. i=i \end{array}\)
Nếu \[n=4q+r\left( 0\le r<4 \right)\] thì \[{{i}^{n}}={{i}^{4q+r}}={{\left( {{i}^{4}} \right)}^{q}}.{{i}^{r}}={{i}^{r}}\]
Bài 5.(trang 136 SGK Giải tích 12)
a) \[{{\left( 2+3i \right)}^{2}}={{2}^{2}}+2.2.3i+{{\left( 3i \right)}^{2}}=-5+12i\]
b) \[{{\left( 2+3i \right)}^{3}}={{2}^{3}}+{{3.2}^{2}}.3i+3.2.{{\left( 3i \right)}^{2}}+{{\left( 3i \right)}^{3}}=-46+36i+27{{i}^{2}}.i=-46+9i\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa cộng trừ và nhân số phức, toán 12 số phức lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất do đội ngũ giáo viên ican trực tiếp biên soạn.