Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa

Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \[y=f\left( x \right)\]xác định trên K. Ta nói:

Hàm số \[y=f\left( x \right)\]đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\]thuộc K mà \[{{x}_{1}}\] nhỏ hơn \[{{x}_{2}}\], thì \[f\left( {{x}_{1}} \right)\] nhỏ hơn \[f\left( {{x}_{2}} \right)\], tứclà\[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right).
Hàm số \[y=f\left( x \right)\]nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\]thuộc K mà \[{{x}_{1}}\] nhỏ hơn \[{{x}_{2}}\], thì \[f\left( {{x}_{1}} \right)\] lớn hơn \[f\left( {{x}_{2}} \right)\], tứclà\[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)\].

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Nhận xét:

Hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên K \[\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.\] Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên K \[\Leftrightarrow \frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0~~\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,~~{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}.\] Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí:

Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\]có đạo hàm trên K.

Nếu \[f'\left( x \right)>0\] với mọi \[x\in K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên \[K\].
Nếu \[f'\left( x \right)<0\] với mọi \[x\in K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên \[K\].

Chú ý:

Nếu \[f\left( x \right)=0,\forall x\in K\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] không đổi trên \[K\].

Định lí mở rộng:

Cho hàm số \[y=f\left( x \right)\]có đạo hàm trên K.

Nếu \[f'\left( x \right)\ge 0\] với mọi \[x\in K\] và \[f'\left( x \right)=0\] chỉ tại một số hữu hạn điểm \[x\in K\] thì hàm số \[f\] đồng biến trên \[K\].
Nếu \[f'\left( x \right)\le 0\] với mọi \[x\in K\] và \[f'\left( x \right)=0\] chỉ tại một số hữu hạn điểm \[x\in K\] thì hàm số \[f\] nghịch biến trên \[K\].

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Tìm tập xác định
Tính đạo hàm \[f'\left( x \right)\] . Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\left( i=\overline{1;n} \right)\] mà tại đó đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.
Sắp xếp các điểm \[{{x}_{i}}\] theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Dựa vào bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị hàm số \[y=f\left( x \right)\] , tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Cách giải:

Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu \[f'\left( x \right)\] mang dấu \[''+''\] (hoặc \[''-''\] )
Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu đồ thị của hàm số đi lên (hoặc đi xuống) từ trái qua phải.
Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu chiều của mũi tên là đi lên (hoặc đi xuống)

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết \[y=f\left( x \right)\] hoặc \[y=f'\left( x \right)\]

Cách giải:

Áp dụng quy tắc xét tính đơn điệu:

Tìm tập xác định
Tính đạo hàm \[f'\left( x \right)\] . Tìm các điểm \[{{x}_{i}}\left( i=\overline{1;n} \right)\] mà tại đó đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.
Sắp xếp các điểm \[{{x}_{i}}\] theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Dạng 3. Tìm m để hàm số \[y=f\left( x;m \right)\] đơn điệu trên các khoảng xác định hoặc các khoảng cho trước

Cách giải:

Bước 1. Tính \[y'=f'\left( x,m \right)\]

Bước 2. Biện luận

- Hàm số đồng biến trên \[K\Leftrightarrow f\left( x,m \right)\ge 0,\forall x\in K\] (với \[f\left( x,m \right)=0\] tại hữu hạn điểm)

- Hàm số nghịch biến trên \[K\Leftrightarrow f\left( x,m \right)\le 0,\forall x\in K\] (với \[f\left( x,m \right)=0\] tại hữu hạn điểm)

Bước 3.

Cách 1. Sử dụng tam thức bậc hai

Cách 2. Cô lập tham số \[m\]

\(\left[ \begin{array}{l} f\left( {x,m} \right) \ge 0\\ f\left( {x,m} \right) \le 0 \end{array} \right.\left( {\forall x \in K} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m \ge g\left( x \right) \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_K g\left( x \right)\\ m \le g\left( x \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_K g\left( x \right) \end{array} \right.\)

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 9 SGK Giải tích 12)

a) \[y=4+3x-{{x}^{2}}\]

TXĐ: \(D = R\)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4+3x-{{x}^{2}} \right)=-\infty \]

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4+3x-{{x}^{2}} \right)=-\infty \]

Ta có \[y'=3-2x;y'=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\]

Với \[x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{4}\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( \frac{3}{2};+\infty \right)\] .

b) \[y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2\]

TXĐ: \(D = R\)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2 \right)=+\infty \]

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{3}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7x-2 \right)=-\infty \]

Ta có \[y'={{x}^{2}}+6x-7\] ; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 7\\ x = 1 \end{array} \right.\)

Với \[x=-7\Rightarrow y=\frac{239}{3}\]

Với \[x=1\Rightarrow y=-\frac{17}{3}\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;-7 \right);\left( 1;+\infty \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -7;1 \right)\] .

c) \[y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3\]

TXĐ: \(D = R \)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3 \right)=+\infty \] ; \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+3 \right)=+\infty \]

Ta có \[y'=4{{x}^{3}}-4x\] ; \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\)

Với \[x=0\Rightarrow y=3\]

Với \[x=\pm 1\Rightarrow y=2\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên \[\left( -1;0 \right);\left( 2;+\infty \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-1 \right);\left( 0;1 \right)\] .

d) \[y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5\]

TXĐ: \(D = R \)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5 \right)=-\infty \]

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5 \right)=+\infty \]

Ta có \[y'=-3{{x}^{2}}+2x\] ; \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 0}\\ {x = \frac{2}{3}} \end{array}} \right.\)

Với \[x=0\Rightarrow y=-5\]

Với \[x=\frac{2}{3}\Rightarrow y=-\frac{131}{27}\]

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên \[\left( 0;\frac{2}{3} \right)\] ; hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;0 \right);\left( \frac{2}{3};+\infty \right)\] .

Bài 2. (trang 10 SGK Giải tích 12)

a) \[y=\frac{3x+1}{1-x}\]

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-3\] ; \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-\infty \] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=+\infty \]

Ta có \[y'=\frac{4}{{{(-x+1)}^{2}}}>0;\forall x\in D\]

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên \[\left( -\infty ;1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty \right)\] .

b) \[y=\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}\]

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Sự biến thiên

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=+\infty \] ; \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=+\infty \] ; \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+1}{1-x}=-\infty \]

Ta có \[y'=\frac{\left( 2x-2 \right)\left( 1-x \right)+{{x}^{2}}-2x}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}+2x-2}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D\]

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty \right)\] .

c) \[y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}\]

TXĐ: \[D=\left( -\infty ;-4 \right]\cup \left[ 5;+\infty \right)\]
Sự biến thiên

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty ;\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=+\infty ;\] \[\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0;\,\,\underset{x\to {{5}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}=0\]

Ta có \[y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\notin D\]

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;4 \right)\] và đồng biến trên \[\left( 5;+\infty \right)\] .

d) \[y=\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\]

TXĐ: \[D=R\backslash \{\pm 3\}\]
Sự biến thiên

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0;\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=0;\] \[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}=+\infty ;\underset{x\to -{{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\text{ }=-\infty ;\] \[\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\text{ }=+\infty ;\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{x}^{2}}-9}\text{ }=-\infty \]

Ta có \[y'=\frac{2\left( {{x}^{2}}-9 \right)-2x.2x}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}=\frac{-2{{x}^{2}}-18}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}\] \[=-\frac{2\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in D\]

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên \[\left( -\infty ;-3 \right)\] ; \[\left( -3;3 \right)\] ; \[\left( 3;+\infty \right)\] .

Bài 3. (trang 10 SGK Giải tích 12)

TXĐ: \[D=R\]

Ta có \[y'=\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\cdot 2x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\]

Hàm số đồng biến \[\Leftrightarrow y'>0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow -1

Hàm số nghịch biến \( \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} < 0 \Leftrightarrow {x^2} > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 1\\ x < - 1 \end{array} \right.\)

Vậy hàm số \[y=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\] đồng biến trên khoảng \[\left( -1;1 \right)\] và nghịch biến trên các khoảng \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( 1;+\infty \right)\] .

Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích 12)

TXĐ: \[D=\left[ 0;2 \right]\]

Ta có \[y'=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}\]

Hàm số đồng biến \[\Leftrightarrow y'>0\Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1\] hay hàm số đồng biến trên \[\left( 0;1 \right)\]

Hàm số nghịch biến \[\Leftrightarrow y'<0\Leftrightarrow 1-x<0\Leftrightarrow x>1\] hay hàm số nghịch biến trên \[\left( 1;2 \right)\]

Vậy hàm số \[y=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( 0;1 \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( 1;2 \right)\]

Bài 5. (trang 10 SGK Giải tích 12)

a) Xét hàm số \[y=f\left( x \right)=\tan xx\] trên khoảng \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

Ta có: \[y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1={{\tan }^{2}}x\] , \[\forall x\in R\].

\[\Rightarrow \] Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

\[\Rightarrow \text{f}(\text{x})>\text{f}(0)=0\] , \[\forall x>0\]

\[\Leftrightarrow \tan xx>0\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

\[\Leftrightarrow \tan x>x\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

b) Xét hàm số \[y=g\left( x \right)=\tan x-x-\frac{{{x}^{3}}}{3}\] trên \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

Ta có: \[g'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}}={{\tan }^{2}}x-{{x}^{2}}\]

Vì \[\tan x>x\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\] (theo ý a) nên \[g'\left( x \right)>0;\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

\[\Rightarrow y=g\left( x \right)\] đồng biến trên \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

\[\Rightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right)=0\]; \[\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

\[\Leftrightarrow \tan \text{x}-\text{x}-\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3}>0;\forall \text{x}\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\]

\[\Leftrightarrow \tan \text{x}>\text{x}+\frac{{{\text{x}}^{3}}}{3}\left( 0<\text{x}<\frac{\pi }{2} \right)\]

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Đánh giá (304)