ican
Giải SGK Toán 12
Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Toán 12 bài Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: Lý thuyết trọng tâm, giải bài tập sách giáo khoa Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: giúp học sinh nắm vững kiến thức ngắn gọn

Ican

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

I. Tính đơn điệu của hàm số

1. Định nghĩa

Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y=f(x)xác định trên K. Ta nói:

  • Hàm số y=f(x)đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1,x2thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2, thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tứclà\[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right).
  • Hàm số y=f(x)nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1,x2thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2, thì f(x1) lớn hơn f(x2), tứclàx1<x2f(x1)>f(x2).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Nhận xét:

  • Hàm số f(x) đồng biến trên K f(x2)f(x1)x2x1>0  x1,x2K,  x1x2. Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
  • Hàm số f(x) nghịch biến trên K f(x2)f(x1)x2x1<0  x1,x2K,  x1x2. Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí:

Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm trên K.

  • Nếu f(x)>0 với mọi xK thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
  • Nếu f(x)<0 với mọi xK thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

Nếu f(x)=0,xK thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Định lí mở rộng:

Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm trên K.

  • Nếu f(x)0 với mọi xKf(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f đồng biến trên K.
  • Nếu f(x)0 với mọi xKf(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm xK thì hàm số f nghịch biến trên K.

II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

  • Tìm tập xác định
  • Tính đạo hàm f(x) . Tìm các điểm xi(i=1;n¯) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Dựa vào bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị hàm số y=f(x) , tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Cách giải:

  • Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu f(x) mang dấu + (hoặc )
  • Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu đồ thị của hàm số đi lên (hoặc đi xuống) từ trái qua phải.
  • Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu chiều của mũi tên là đi lên (hoặc đi xuống)

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết y=f(x) hoặc y=f(x) 

Cách giải:

Áp dụng quy tắc xét tính đơn điệu:

  • Tìm tập xác định
  • Tính đạo hàm f(x) . Tìm các điểm xi(i=1;n¯) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  • Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
  • Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Dạng 3. Tìm m để hàm số y=f(x;m) đơn điệu trên các khoảng xác định hoặc các khoảng cho trước

Cách giải:

Bước 1. Tính y=f(x,m) 

Bước 2. Biện luận

- Hàm số đồng biến trên Kf(x,m)0,xK (với f(x,m)=0 tại hữu hạn điểm)

- Hàm số nghịch biến trên Kf(x,m)0,xK (với f(x,m)=0 tại hữu hạn điểm)

Bước 3.

Cách 1. Sử dụng tam thức bậc hai

Cách 2. Cô lập tham số m 

[f(x,m)0f(x,m)0(xK)[mg(x)mmaxKg(x)mg(x)mminKg(x)

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1. (trang 9 SGK Giải tích 12)

a) y=4+3xx2

  • TXĐ: D=R
  • Sự biến thiên

limx+(4+3xx2)= 

limx(4+3xx2)= 

Ta có y=32x;y=0x=32

Với x=32y=254

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên (;32) ; hàm số nghịch biến trên (32;+) .

b) y=13x3+3x27x2

  • TXĐ: D=R
  • Sự biến thiên

limx+(13x3+3x27x2)=+

limx(13x3+3x27x2)= 

Ta có y=x2+6x7 ; y=0[x=7x=1

Với x=7y=2393

Với x=1y=173

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên (;7);(1;+) ; hàm số nghịch biến trên (7;1) .

c) y=x42x2+3

  • TXĐ: D=R
  • Sự biến thiên

limx+(x42x2+3)=+ ; limx(x42x2+3)=+ 

Ta có y=4x34x ; y=04x34x=0[x=0x=±1

Với x=0y=3

Với x=±1y=2

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên (1;0);(2;+) ; hàm số nghịch biến trên (;1);(0;1) .

d) y=x3+x25

  • TXĐ: D=R
  • Sự biến thiên

limx+(x3+x25)=

limx(x3+x25)=+ 

Ta có y=3x2+2x ; y=03x2+2x=0[x=0x=23

Với x=0y=5

Với x=23y=13127

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên (0;23) ; hàm số nghịch biến trên (;0);(23;+) .

Bài 2. (trang 10 SGK Giải tích 12)

a) y=3x+11x

  • TXĐ: D=R{1}
  • Sự biến thiên

limx±3x+11x=3 ; limx1+3x+11x= ; limx13x+11x=+ 

Ta có y=4(x+1)2>0;xD

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên (;1)(1;+) .

b) y=x22x1x

  • TXĐ: D=R{1}
  • Sự biến thiên

limx+x22x1x=;limxx22x1x=+ ; limx1+3x+11x=+ ; limx13x+11x= 

Ta có y=(2x2)(1x)+x22x(1x)2=x2+2x2(1x)2=(x1)2+1(1x)2>0,xD

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên (;1)(1;+) .

c) y=x2x20

  • TXĐ: D=(;4][5;+)
  • Sự biến thiên

limxx2x20=+;limx+x2x20=+; limx4x2x20=0;limx5+x2x20=0 

Ta có y=2x12x2x20y=02x1=0x=12D

  • BBT

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên (;4) và đồng biến trên (5;+) .

d) y=2xx29

  • TXĐ: D=R{±3}
  • Sự biến thiên

limx2xx29=0;limx+2xx29=0; limx3+2xx29=+;limx32xx29 =; limx3+2xx29 =+;limx32xx29 =

Ta có y=2(x29)2x.2x(x29)2=2x218(x29)2 =2(x2+9)(x29)2<0,xD

  • BBT

 

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên (;3) ; (3;3) ; (3;+) .

Bài 3. (trang 10 SGK Giải tích 12)

TXĐ: D=R

Ta có y=(x2+1)x2x(x2+1)2=1x2(x2+1)2

Hàm số đồng biến \[\Leftrightarrow y'>0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow -1

Hàm số nghịch biến y<01x2<0x2>1[x>1x<1

Vậy hàm số y=xx2+1 đồng biến trên khoảng (1;1) và nghịch biến trên các khoảng (;1)(1;+) .
 

Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích 12)

TXĐ: D=[0;2]

Ta có y=22x22xx2=1x2xx2

Hàm số đồng biến y>01x>0x<1 hay hàm số đồng biến trên (0;1)

Hàm số nghịch biến y<01x<0x>1 hay hàm số nghịch biến trên (1;2)

Vậy hàm số y=2xx2 đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

Bài 5. (trang 10 SGK Giải tích 12)

a) Xét hàm số y=f(x)=tanxx trên khoảng (0;π2)

Ta có: y=1cos2x1=tan2x , xR.

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;π2)

f(x)>f(0)=0 , x>0

tanxx>0; x(0;π2)

tanx>x; x(0;π2)

b) Xét hàm số y=g(x)=tanxxx33 trên (0;π2)

Ta có: g(x)=1cos2x1x2=tan2xx2

tanx>x; x(0;π2) (theo ý a) nên g(x)>0;x(0;π2)

y=g(x) đồng biến trên (0;π2)

g(x)>g(0)=0; x(0;π2)

tanxxx33>0;x(0;π2)

tanx>x+x33(0<x<π2)

Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Đánh giá (304)
ican
  • Một thương hiệu của 
    ICAN
  • ICAN
  • ICAN © 2023, All Rights Reserved.

  • Trụ sở Hồ Chí Minh: B0003 C/C Sarina, Khu đô thị Sala, Khu phố 3, Đường Hoàng Thế Thiện, Phường An Lợi Đông, TP. Thủ Đức

  • Văn phòng Hà Nội: Tòa nhà 25T2 Đường Hoàng Đạo Thúy, Phường Trung Hòa, Quận Cầu Giấy