BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa
Định nghĩa:
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số
- Hàm số
đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp thuộc K mà nhỏ hơn , thì nhỏ hơn , tứclà\[{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right). - Hàm số
nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp thuộc K mà nhỏ hơn , thì lớn hơn , tứclà .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Nhận xét:
- Hàm số
đồng biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. - Hàm số
nghịch biến trên K Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí:
Cho hàm số
- Nếu
với mọi thì hàm số đồng biến trên . - Nếu
với mọi thì hàm số nghịch biến trên .
Chú ý:
Nếu
Định lí mở rộng:
Cho hàm số
- Nếu
với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên . - Nếu
với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên .
II. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Tìm tập xác định
- Tính đạo hàm
. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Dựa vào bảng biến thiên, bảng xét dấu, đồ thị hàm số
Cách giải:
- Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu
mang dấu (hoặc ) - Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu đồ thị của hàm số đi lên (hoặc đi xuống) từ trái qua phải.
- Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nếu chiều của mũi tên là đi lên (hoặc đi xuống)
Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số khi biết
Cách giải:
Áp dụng quy tắc xét tính đơn điệu:
- Tìm tập xác định
- Tính đạo hàm
. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. - Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Dạng 3. Tìm m để hàm số
Cách giải:
Bước 1. Tính
Bước 2. Biện luận
- Hàm số đồng biến trên
- Hàm số nghịch biến trên
Bước 3.
Cách 1. Sử dụng tam thức bậc hai
Cách 2. Cô lập tham số
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (trang 9 SGK Giải tích 12)
a)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
Với
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên
b)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
Với
Với
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên
c)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
Với
Với
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên
d)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
Với
Với
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên
Bài 2. (trang 10 SGK Giải tích 12)
a)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên
b)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên
c)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên
d)
- TXĐ:
- Sự biến thiên
Ta có
- BBT
Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số nghịch biến trên
Bài 3. (trang 10 SGK Giải tích 12)
TXĐ:
Ta có
Hàm số đồng biến \[\Leftrightarrow y'>0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow -1
Hàm số nghịch biến
Vậy hàm số
Bài 4. (trang 10 SGK Giải tích 12)
TXĐ:
Ta có
Hàm số đồng biến
Hàm số nghịch biến
Vậy hàm số
Bài 5. (trang 10 SGK Giải tích 12)
a) Xét hàm số
Ta có:
b) Xét hàm số
Ta có:
Vì
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ