BÀI 3: KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. Khái niệm về thể tích khối đa diện
Định lí:
Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
- Thể tích khối hình hộp chữ nhật có ba kích thước là những số nguyên dương a, b, c là \[V=abc\] .
- Thể tích khối lập phương cạnh bằng a là \[V={{a}^{3}}\] .
II. Thể tích khối lăng trụ
Định lí:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: \[V=Bh\] .
III. Thể tích khối chóp
Định lí:
Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là \[V=\frac{1}{3}S.h\]
Ta cũng có thể gọi thể tích các khối đa diện, khối lăng trụ, khối chóp đã nói ở trên lần lượt là thể tích các hình đa diện, hình lăng trụ, hình chóp xác định chúng.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính thể tích khối đa diện
Cách giải:
Áp dụng các công thức tính diện tích, thể tích để giải bài toán:
- Diện tích tam giác đều cạnh a là \[S=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\] .
- Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là \[V=\frac{1}{3}S.h\]
- Thể tích khối hình hộp chữ nhật có ba kích thước là những số nguyên dương a, b, c là \[V=abc\] .
- Thể tích khối lập phương cạnh bằng a là \[V={{a}^{3}}\] .
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: \[V=Bh\] .
Dạng 2. Tính tỉ số thể tích giữa hai đa diện
Cách giải:
- Tính thể tích của hai khối đa diện.
- Lấy tỉ số thể tích.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Hình học 12 trang 25)
Gọi tứ diện đều cạnh a là ABCD.
Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\] là H
\[\Rightarrow HB=HC=HD\]
\[\Rightarrow \] H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\left( 1 \right)\]
Lại có: ABCD là tứ diện đều
\[\Rightarrow AB=AC=AD\]
\[\Rightarrow \] AH là trục đường tròn ngoại tiếp \[\Delta BCD\]
\[~\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\]
Vì \[\Delta BCD\] là tam giác đều nên H là trọng tâm \[\Delta BCD\] .
Gọi trung điểm của CD là M
Xét \[\Delta BCD\] có: \[BM=BD.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Lại có: \[BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\]
Xét \[\Delta ABH\] vuông tại H ta có: \[A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}\] ( Định lí: Pi-ta-go)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{2{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)
Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là: \[{{S}_{BCD}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\]
Thể tích khối tứ diện đều ABCD là: \[V=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}\]
Bài 2. (SGK Hình học 12 trang 25)
Gọi khối bát diện đều cạnh a là SABCDS’.
Chia khối bát diện thành hai khối chóp tứ giác đều bằng nhau là: \[S.\text{ }ABCD\]và \[S.\text{ }ABCD\]có cạnh bằng a.
Khi đó \[{{V}_{SABCDS}}~=\text{ }{{V}_{S.ABCD}}~+\text{ }{{V}_{S.ABCD}}~=\text{ }2{{V}_{S.ABCD}}\]
Gọi giao điểm của AC và BD là O
\[\Rightarrow OS\bot \left( ABCD \right)\]
Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là: \[{{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\]
Ta có: \[AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\]
\[\Rightarrow OA=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
Xét \[\Delta OSA\] vuông tại O ta có: \[A{{S}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{S}^{2}}\] ( Định lí: Pi-ta-go)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow O{S^2} = A{S^2} - O{A^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow OS = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \end{array}\)
Thể tích khối tứ diện đều S.ABCD là: \[{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.OS=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{2}}\]
Thể tích khối bát diện đều cạnh a là: \[{{V}_{SABCDS'}}=2{{V}_{S.ABCD}}=2.\frac{{{a}^{3}}}{3\sqrt{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}\]
Bài 3. (SGK Hình học 12 trang 25)
Gọi diện tích đáy và chiều cao của khối hộp lần lượt là S và h.
Ta chia khối hộp như sau:
+ Tứ diện \[ACB'D'\] .
+ Bốn khối chóp \[A.A'B'D',C.C'B'D',B'.BAC,D'.DAC\] có diện tích đáy bằng \[\frac{S}{2}\] và chiều cao h
\[\Rightarrow \] Tổng thể tích của bốn khối chóp là \[4.\left( \frac{1}{3}.\frac{S}{2}.h \right)=\frac{2}{3}Sh\]
\[\Rightarrow \] Thể tích tứ diện \[ACB'D'\] là \[V'=Sh-\frac{2}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh\]
Tỉ số thể tích của khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] và thể tích của khối tứ diện \[ACB'D'\] là:
\[\frac{V}{V'}=\frac{Sh}{\frac{1}{3}Sh}=3\]
Bài 4. (SGK Hình học 12 trang 25)
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ trên \[\left( SBC \right)\]
Đặt \[AH\text{ }=\text{ }{{h}_{1}}~\]và \[AK\text{ }=\text{ }{{h}_{2}}~\]
Gọi \[{{S}_{1}},{{S}_{2}}~\]lần lượt là diện tích của \[\Delta SBC,\Delta SB'C'\]
Ta có: \[AH\bot \left( SBC \right);A'K\bot \left( SBC \right)\]
\[\Rightarrow AH//A'K\]
\[\Rightarrow \] A, A’, K, H đồng phẳng (1)
Lại có: S, A, H đồng phẳng (2)
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow \] S, A, A’, H, K đồng phẳng
Xét \[\left( SAH \right)\] có: \[A'K\bot SK;AH\bot SH;AH//A'K\]
\[\Rightarrow SK\equiv SH\]
\[\Rightarrow \] S, H, K thẳng hàng
Ta có: \[\frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}=\frac{A'K}{AH}=\frac{A'S}{AS}\] ; \[\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{\frac{1}{2}\sin \widehat{B'SC'}.SB'.SC'}{\frac{1}{2}\sin \widehat{BSC}.SB.SC}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\]
\[\Rightarrow \frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{\frac{1}{3}{{S}_{2}}.{{h}_{2}}}{\frac{1}{3}{{S}_{1}}.{{h}_{1}}}=\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}.\frac{{{h}_{2}}}{{{h}_{1}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\] ( điều phải chứng minh)
Bài 5. (SGK Hình học 12 trang 26)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AB \bot CD\\ AB \bot AC \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB \bot \left( {ACD} \right)\\ \Rightarrow AB \bot CE\left( 1 \right) \end{array}\)
Lại có: \[BD\bot \left( CEF \right)\Rightarrow BD\bot CE\left( 2 \right)\]
Từ (1) và (2) \[\Rightarrow CE\bot \left( ABD \right)\]
\[\Rightarrow CE\bot AD;CE\bot EF\]
Xét \[\Delta ACD\] vuông cân tại C có: \[AC=CD=a\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \\ \Rightarrow CE = \frac{1}{2}AD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)
Ta có: \[BC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}=a\sqrt{2};BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}\]
Vì \[\Delta BCD\] vuông tại C có đường cao CF
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD.CF = BC.CD\\ \Rightarrow CF = \frac{{BC.CD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 2 .a}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} EF = \sqrt {C{F^2} - C{E^2}} = \sqrt {\frac{2}{3}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\\ DF = \sqrt {C{D^2} - C{F^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{2}{3}{a^2}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\\ {S_{CEF}} = \frac{1}{2}CE.EF = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}} \end{array}\)
\[\Rightarrow {{V}_{CDEF}}={{V}_{D.CEF}}=\frac{1}{3}{{S}_{CEF}}.DF=\frac{1}{3}\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}.\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{{{a}^{3}}}{36}\]
Bài 6. (SGK Hình học 12 trang 26)
Gọi khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng d và d’ lần lượt là h và \[\alpha \] .
Vẽ hai hình bình hành ABFC và ACDE.
Khi đó, \[ABE.CFD\] là hình lăng trụ tam tam giác có chiều cao bằng h, \[AE=CD=b\]
\(a = \left\{ \begin{array}{l} \widehat {BAE},\widehat {BAE} \le {90^0}\\ {180^0} - \widehat {BAE},\widehat {BAE} > {90^0} \end{array} \right.\)
Gọi diện tích đáy hình lăng trụ là S
Chia lăng trụ \[ABE.CFD\]thành ba hình chóp tam giác là: \[D.ABE,B.CFD,D.ABC\]
Ta có: \[{{V}_{D.ABE}}={{V}_{B.CDF}}=\frac{1}{3}Sh\]
\[\Rightarrow {{V}_{D.ABE}}=Sh-\frac{1}{3}Sh-\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}AB.AE.\sin \widehat{BAE} \right).h=\frac{abh.\sin \alpha }{6}\]
\[\Rightarrow \] Thể tích khối tứ diện ABCD không đổi (điều phải chứng minh)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 12 bài Khái niệm về thể tích của khối đa diện do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ