BÀI 3: LOGARIT
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm logarit
Định nghĩa:
Cho hai số dương \[a,b\] với \[a\ne 1\]. Số \[\alpha \] thỏa mãn đẳng thức \[{{a}^{\alpha }}=b\] được gọi là logarit cơ số \[a\] của \[b\] và được kí hiệu là \[{{\log }_{a}}b\].
\[\alpha ={{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{a}^{\alpha }}=b.\]
Không có logarit của số âm và số 0.
Tính chất:
Cho hai số dương \[a,b\] với \[a\ne 1\]. Ta có:
- \[{{\log }_{a}}1=0\]
- \[{{\log }_{a}}a=1\]
- \[{{\log }_{a}}{{a}^{\alpha }}=\alpha \]
- \[{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=b\]
2. Quy tắc tính logarit
Với \[b,c>0;0, ta có:
- \[{{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( bc \right)\]
- \[{{\log }_{a}}b-{{\log }_{a}}c={{\log }_{a}}\left( \frac{b}{c} \right)\]
- \[{{\log }_{a}}{{b}^{\alpha }}=\alpha .{{\log }_{a}}b,\forall \alpha \]
- \[{{\log }_{a}}\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b\]
3. Đổi cơ số
Với \[b>0;0, ta có:
- \[{{\log }_{a}}b=\frac{{{\log }_{c}}b}{{{\log }_{c}}a}\]
- \[{{\log }_{a}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}a}\left( b\ne 1 \right)\]
- \[{{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\left( \alpha \ne 0 \right)\]
4. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên
- Logarit thập phân là logarit cơ số \[10\] . Kí hiệu \[\log b\] hoặc \[\lg b\] .
- Logarit tự nhiên là logarit cơ số \[e\] với \[e=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\] . Kí hiệu: \[\ln b\] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính toán, rút gọn, so sánh biểu thức logarit
Cách giải:
Áp dụng các tính chất, quy tắc của logarit để rút gọn, tính toán và so sánh.
Dạng 2. Biểu diễn logarit theo giá trị cho trước
Cách giải:
Áp dụng các tính chất, quy tắc, phương pháp đổi cơ số để biến đổi logarit cần biểu diễn thành các logarit cho trước.
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức logarit từ một biểu thức cho trước
Cách giải:
Từ biểu thức cho trước, logarit hóa để đưa về đẳng thức cần chứng minh hoặc biến đổi tương đương suy ra điều phải chứng minh.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1. (SGK Giải tích 12 trang 68)
a) \[{{\log }_{2}}\frac{1}{8}={{\log }_{2}}{{2}^{-3}}=-3\]
b) \[{{\log }_{\frac{1}{4}}}2={{\log }_{{{2}^{-2}}}}2=-\frac{1}{2}\]
c) \[{{\log }_{3}}\sqrt[4]{3}={{\log }_{3}}{{3}^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{4}\]
d) \[{{\log }_{0,5}}0,125={{\log }_{0,5}}0,{{5}^{3}}=3\]
Bài 2. (SGK Giải tích 12 trang 68)
a) \[{{4}^{{{\log }_{2}}3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{{\log }_{2}}3}}={{2}^{\log {{2}^{{{3}^{2}}}}}}={{2}^{\log {{2}^{9}}}}=9\]
b) \[{{27}^{log2}}={{\left( {{3}^{3}} \right)}^{{{\log }_{3}}{{2}^{2}}}}={{3}^{\log {{2}^{\frac{3}{2}}}}}={{2}^{\frac{3}{2}}}=2\sqrt{2}\]
c) \[{{9}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}}={{\left( {{3}^{2}} \right)}^{{{\log }_{{{3}^{\frac{1}{2}}}}}2}}={{3}^{4{{\log }_{3}}2}}={{3}^{{{\log }_{3}}{{2}^{4}}}}={{2}^{4}}=16\]
d) \[{{4}^{{{\log }_{8}}27}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{{{\log }_{{{2}^{3}}}}{{3}^{3}}}}={{2}^{2{{\log }_{2}}3}}={{2}^{{{\log }_{2}}{{3}^{2}}}}={{3}^{2}}=9\]
Bài 3. (SGK Giải tích 12 trang 68)
a) \[{{\log }_{3}}6.{{\log }_{8}}9.{{\log }_{6}}2=\left( {{\log }_{3}}6.{{\log }_{6}}2 \right)\cdot {{\log }_{{{2}^{3}}}}{{3}^{2}}={{\log }_{3}}2.\frac{2}{3}{{\log }_{2}}3=\frac{2}{3}\]
b) \[{{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{{{a}^{2}}}}{{b}^{4}}={{\log }_{a}}{{b}^{2}}+{{\log }_{a}}{{b}^{2}}=2{{\log }_{a}}{{b}^{2}}=4{{\log }_{a}}\left| b \right|\]
Bài 4. (SGK Giải tích 12 trang 68)
a) Ta có \[{{\log }_{3}}5.{{\log }_{3}}3=1;{{\log }_{7}}4<{{\log }_{7}}7=1\]
\[\Rightarrow {{\log }_{3}}5>{{\log }_{7}}4\]
b) Ta có: \[0,{{3}^{{{\log }_{0,3}}2}}=2>1=0,{{3}^{0}}\Rightarrow {{\log }_{0,3}}2<0\]
\[{{5}^{{{\log }_{4}}3}}=3>1={{5}^{0}}\Rightarrow {{\log }_{5}}3>0\]
\[\Rightarrow {{\log }_{0,3}}2<{{\log }_{5}}3\]
c) Ta có \[{{2}^{{{\log }_{2}}10}}=10>{{2}^{3}}\Rightarrow {{\log }_{2}}10>3\]
\[{{5}^{{{\log }_{3}}30}}=30<{{5}^{3}}\Rightarrow {{\log }_{5}}30<3\]
\[\Rightarrow {{\log }_{2}}10>{{\log }_{5}}30\]
Bài 5. (SGK Giải tích 12 trang 68)
a) Ta có: \[{{\log }_{30}}1350={{\log }_{30}}\left( {{30.3}^{2}}.5 \right)=1+2{{\log }_{30}}3+{{\log }_{30}}5=1+2a+b\]
b) Ta có: \[{{\log }_{25}}15=\frac{1}{{{\log }_{15}}25}=\frac{1}{2{{\log }_{15}}5}=\frac{1}{2{{\log }_{15}}(15:3)}=\frac{1}{2\left( 1-{{\log }_{15}}3 \right)}=\frac{1}{2(1-c)}\]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài logarit, toán 12 logarit lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhanh nhất.