Chương 2

Toán 10

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Chương 1

MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

VECTO

Chương 6

GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chương 5

THỐNG KÊ

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: TẬP HỢP</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>A. KHÁI NIỆM TẬP HỢP</h3><h4>1. Tập hợp và phần tử</h4>Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.<h4>2. Cách xác định tập hợp</h4>Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau- Liệt kê các phần tử của nó.- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.<h4>3. Tập hợp rỗng</h4>Tập hợp rỗng, kí hiệu là ø, là tập hợp không chứa phần tử nào.<h3>B. TẬP HỢP CON</h3>Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A B (đọc là A chứa trong B).Thay cho A⊂ B ta cũng viết B ⊃ A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A)Như vậy A ⊂ B &lt;=&gt; (∀x : x ∈ A =&gt; x ∈ B).Nếu A không phải là một tập con của B ta viết A ⊄ B.Ta có các tính chất sau :A ⊂Avới mọi tập hợp ANếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ Cø ⊂A với mọi tập hợp A.<h3>C. TẬP HỢP BẰNG NHAU</h3>Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B. Như vậyA = B &lt;=&gt; (∀x : x ∈ A &lt;=&gt; x ∈ B).<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1: Xác định tập hợp</h3>- Liệt kê các phần tử của nó.- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.<h3>Dạng 2: Xác định tập hợp con</h3>A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 13 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Tập hợp A là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20.Vậy A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}b) Nhận thấy: 2 = 1.2 ; 6 = 2.3 ; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ; 30 = 5.6Vậy B = {x = n(n + 1) | n ∈ N* và n ≤ 5}c) Ví dụ: C = {Nam, Hải, Trang, Linh}.<h3>Bài 2 (trang 13 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Vì mỗi hình vuông đều là một hình thoi nên A ⊂ B.Có những hình thoi không phải là hình vuông nên B ⊄ A.Vậy A ≠ B.b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30} = {1; 2; 3; 6}.B = {n ∈ N | n là một ước của 6} = {1; 2; 3; 6}.Ta thấy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B.<h3>Bài 3 (trang 13 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) A = {a; b} có các tập con: ∅; {a}; {b}; {a; b}b) B = {0; 1; 2} có các tập con: ∅; {0}; {1} ; {2} ; {0, 1} ; {0, 2} ; {1, 2} ; {0; 1; 2}.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 bài Bài 2. Tập hợp do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 2. Tập hợp

Bài 2

Tập hợp

Bài 5

Ôn tập cuối năm (trang 159-161)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: MỆNH ĐỀ</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Mệnh đề</h3>Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai.Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.<h3>2. Phủ định của một mệnh đề</h3>Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là \[ \overline{P} \] ta có- \[ \overline{P} \] đúng khi P sai.- \[ \overline{P} \] sai khi P đúng.<h3>3. Mệnh đề kéo theo</h3>Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P =&gt; Q.Mệnh đề P =&gt; Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.Mệnh đề P =&gt; Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P =&gt; Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P =&gt; Q đúng, nếu Q sai thì P =&gt; Q sai.Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P =&gt; Q.Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.<h3>4. Mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương</h3>Mệnh đề Q =&gt; P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P =&gt; QMệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.Nếu cả hai mệnh đề P =&gt; Q và Q =&gt; P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.<h3>5. Kí hiệu ∀ và ∃</h3>Ví dụ: Câu “Bình phương của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng 0” là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau\[\forall x\in R:{{x}^{2}}\ge 0\]hay \[{{x}^{2}}\ge 0,\forall x\in R\].Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.Ví dụ: Câu “Có một số nguyên nhỏ hơn 0” là một mệnh đềCó thể viết mệnh đề này như sau\[\exists n\in Z:n&lt;0\].Kí hiệu ∃ đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).Phủ định của mệnh đề\[\forall x\in X,P\left( x \right)\]là mệnh đề \[ \exists x\in X,\overline{P(x)} \]&nbsp;Phủ định của mệnh đề \[\exists x\in X,P\left( x \right)\]là mệnh đề \[ \forall x\in X,\overline{P(x)} \]&nbsp;<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề</h3>Phương pháp giải+ Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.+ Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).<h3>Dạng 2: Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ</h3>Phương pháp giảiMệnh đề: P ⇒ QKhi đó: P là giả thiết, Q là kết luận.Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.<h3>Dạng 3: Phủ định mệnh đề</h3>Phương pháp giảiMệnh đề phủ định của P là "Không phải P".Mệnh đề phủ định của "∀x ∈ X,P(x)" là: \[ ''\exists x\in X,\,\overline{P(x)}'' \]&nbsp;Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ X,P(x)" là \[ ''\forall x\in X,\overline{P(x)}'' \] .<h3>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h3><h3>Bài 1 (trang 9 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) 3 + 2 = 7 là mệnh đề và là mệnh đề saiVì 3 + 2 = 5 ≠ 7b) 4 + x = 3 là mệnh đề chứa biếnVì với mỗi giá trị của x ta được một mệnh đề.c) x + y &gt; 1 là mệnh đề chứa biếnVì với mỗi cặp giá trị của x, y ta được một mệnh đề.d) \[2\sqrt{5}&lt;0\]là mệnh đề và là mệnh đề đúngVì \[2=\sqrt{4}&lt;\sqrt{5}\]<h3>Bài 2 (trang 9 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Mệnh đề “1794 chia hết cho 3” đúng vì 1794 : 3 = 598Mệnh đề phủ định: "1794 không chia hết cho 3"b) Mệnh đề “ \[ \sqrt{2} \] là số hữu tỉ’’ sai vì \[ \sqrt{2} \] là số vô tỉMệnh đề phủ định: " \[ \sqrt{2} \] không phải là một số hữu tỉ"c) Mệnh đề π &lt; 3, 15 đúng vì π = 3,141592654…Mệnh đề phủ định: "π ≥ 3, 15"d) Mệnh đề ‘’|–125| ≤ 0’’ sai vì |–125| = 125 &gt; 0Mệnh đề phủ định: "|–125| &gt; 0".<h3>Bài 3 (trang 9 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:<figure class="table" style="width:661px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;">Mệnh đề</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">Mệnh đề đảo</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">Phát biểu bằng khái niệm “ điều kiện đủ”</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">Phát biểu bằng khái niệm “điều kiện cần”</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Nếu a + b chia hết cho c thì cả a và b đều chia hết cho c.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a + b chia hết cho c.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">a + b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c.</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Các số nguyên chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Một số nguyên tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có tận cùng bằng 0.</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">"Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó cân.</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau.</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau.</td></tr></tbody></table></figure><h3>Bài 4 (trang 9 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.c) Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.<h3>Bài 5 (trang 10 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) ∀ x ∈ R: x.1 = xb) ∃ a ∈ R: a + a = 0c) ∀ x ∈ R: x + (-x) = 0<h3>Bài 6 (trang 10 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Bình phương của mọi số thực đều dương.– Mệnh đề này sai vì nếu x = 0 thì x2 = 0.Sửa cho đúng: ∀ x ∈ R : x2 ≥ 0.b) Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó.– Mệnh đề này đúng. Ví dụ: n = 0; n = 1.c) Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.– Mệnh đề này đúng.d) Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.– Mệnh đề này đúng. Ví dụ 0,5 &lt; 1/ 0,5.<h3>Bài 7 (trang 10 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) A: “∀ n ∈ N: n chia hết cho n”\[ \overline{A} \] : “∃ n ∈ N: n không chia hết cho n”.\[ \overline{A} \] đúng vì với n = 0 thì n không chia hết cho n.b) B: “∃ x ∈ Q : x2 = 2”.\[ \overline{B} \] : “∀ x ∈ Q : x2 ≠ 2”\[ \overline{B} \] đúng.c) C: “∀ x ∈ R : x &lt; x + 1”.\[ \overline{C} \] : “∃ x ∈ R: x ≥ x + 1”.\[ \overline{C} \] sai vì x + 1 luôn lớn hơn x.d) D: “∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1”\[ \overline{D} \] : “∀ x ∈ R ; 3x ≠ x2 + 1”\[ \overline{D} \] sai vì với \[ x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \]&nbsp;\[ \overline{D} \] thỏa mãn: \[ 3\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{2}={{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+1 \] và \[ 3\cdot \frac{3-\sqrt{5}}{2}={{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}+1 \]&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 bài 1 Mệnh đề do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 1 Mệnh đề

Bài 1

Mệnh đề

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: SỐ GẦN ĐÚNG, SAI SỐ</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Số gần đúng</h3>Số \[ \overline{a} \] biểu thị giá trị thực của một đại lượng gọi là số đúng. Số a có giá trị ít nhiều với số đúng \[ \overline{a} \] gọi là số gần đúng của số \[ \overline{a} \] .<h3>2. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối</h3>Cho a là số gần đúng của số \[ \overline{a} \]&nbsp;Ta gọi \[ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a| \] là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.Tỉ số \[ \frac{{{\Delta }_{\text{a}}}}{|\text{a}|} \] được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a.<h3>3. Độ chính xác của một số gần đúng.</h3>Nếu \[ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a|\le \text{d} \] thì \[ -d\le \bar{a}-a\le d \] hay \[ a-d\le \bar{a}\le a+d \]&nbsp;<h3>4. Quy tắc làm tròn số</h3>Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Sử dụng quy tắc làm tròn số để giải bài tập.Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trướcCho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là \[ \bar{a}=a\pm d \] ). Khi bài toán yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 23 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:– Làm tròn với hai chữ số thập phân: \[ \sqrt[3]{5}=1,71 \]&nbsp;Sai số tuyệt đối: \[ |1,71-\sqrt[3]{5}|&lt;|1,71-1,7099|=0,0001 \]&nbsp;Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.– Làm tròn với ba chữ số thập phân: \[ \sqrt[3]{5}=1,710 \]&nbsp;Sai số tuyệt đối: \[ |1,71-\sqrt[3]{5}|&lt;|1,71-1,7099|=0,0001 \] |Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.– Làm tròn với bốn chữ số thập phân: \[ \sqrt[3]{5}=1,71 \]&nbsp;\[ |1,71-\sqrt[3]{5}|&lt;|1,71-1,7099|=0,0001 \]&nbsp;Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0001.<h3>Bài 2 (trang 23 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:Ta có: l = 1745,25 m ± 0,01 m có độ chính xác đến hàng phần trăm (độ chính xác là 0,01) nên ta quy tròn số đến hàng phần chục.Vậy số quy tròn của 1745,25 m là 1745,3 m.<h3>Bài 3 (trang 23 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Vì độ chính xác đến \[ {{10}^{-10}} \] (10 chữ số thập phân sau dấu phẩy) nên ta quy tròn đến \[ {{10}^{-9}} \] (9 chữ số thập phân sau dấu phẩy)Vậy số quy tròn của a là 3,141592654.b) π = 3,14159265358…+ Viết b = 3,14 :Sai số tuyệt đối : |b – π| &lt; |3,14 – 3,14159265358| &lt; 0,0016Vậy sai số tuyệt đối của b không quá 0,0016.+ Viết c = 3,1416 :Sai số tuyệt đối : |c – π| &lt; |3,1416 – 3,14159265358| = 0,00001.Vậy sai số tuyệt đối của c không vượt quá 0,00001.<h3>Bài 4 (trang 23 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Kết quả8183.0047.b) Kết quả: 51139,3736.<h3>Bài 5 (trang 23 SGK Đại số 10):</h3>Đối với các loại máy tính CASIO fx–570 trở lên và VINACAL<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B05_C01_723bc50229.png?1566679.935000022" alt="">Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 Bài 5. Số gần đúng. Sai số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 5. Số gần đúng. Sai số

Số gần đúng. Sai số

<h2 style="text-align:center;">ÔN TẬP CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ</h2><h2>I. LÝ&nbsp;THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>A. MỆNH ĐỀ</h3><h4>1. Mệnh đề</h4>Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai.Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.<h4>2. Phủ định của một mệnh đề</h4>Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là &nbsp;$$ \overline{P} $$ &nbsp;&nbsp;ta có-&nbsp; $$ \overline{P} $$ &nbsp;đúng khi P sai.-&nbsp; $$ \overline{P} $$ &nbsp;sai khi P đúng.<h4>3. Mệnh đề kéo theo</h4>Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P =&gt; Q.Mệnh đề P =&gt; Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.Mệnh đề P =&gt; Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P =&gt; Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P =&gt; Q đúng, nếu Q sai thì P =&gt; Q sai.Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P =&gt; Q.Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.<h4>4. Mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương</h4>Mệnh đề Q =&gt; P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P =&gt; QMệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.Nếu cả hai mệnh đề P =&gt; Q và Q =&gt; P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.<h3>B. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP</h3><h4>1. Cách xác định tập hợp</h4>Một tập hợp có thể được xác định bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau- Liệt kê các phần tử của nó.- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.<h4>2. Giao của 2 tập hợp</h4>&nbsp;$x\in \text{A}\cap B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\cap \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\in \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;&nbsp;<h4>3. Hợp của 2 tập hợp</h4>&nbsp;$ x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; x\in A&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\in B&nbsp; \\ \end{array} \right. $<h4>4. Hiệu của 2 tập hợp</h4>&nbsp;$ x\in \text{A}\backslash B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\backslash \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\notin \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;&nbsp;5. Phần bùKhi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A<h3>C. CÁC TẬP HỢP SỐ</h3><h4>1. Tập hợp các số tự nhiên N</h4>N = {0,1,2,3…};N* = {1,2,3,…}.<h4>2. Tập hợp các số nguyên Z</h4>Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}.<h4>3. Tập hợp các số hữu tỉ Q</h4>Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số&nbsp; $$ \frac{a}{b} $$ &nbsp;trong đó a, b ∈ Z , b ≠ 0.Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.<h4>4. Tập hợp các số thực R</h4>Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.<h3>D. SỐ GẦN ĐÚNG, SAI SỐ</h3><h4>Độ chính xác của một số gần đúng.</h4>Nếu $$ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a|\le \text{d} $$ thì &nbsp;$$ -d\le \bar{a}-a\le d $$ &nbsp;hay &nbsp;$$ a-d\le \bar{a}\le a+d $$<h4>Quy tắc làm tròn số</h4>Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h4>Dạng 1:&nbsp;Xác định tính đúng sai của mệnh đề</h4>Phương pháp giải+ Mệnh đề: xác định giá trị (Đ) hoặc (S) của mệnh đề đó.+ Mệnh đề chứa biến p(x): Tìm tập hợp D của các biến x để p(x) (Đ) hoặc (S).<h4>Dạng 2:&nbsp;Phát biểu mệnh đề điều kiện cần và đủ</h4>Phương pháp giảiMệnh đề: P ⇒ QKhi đó: P là giả thiết, Q là kết luận.Hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.<h4>Dạng 3:&nbsp;Phủ định mệnh đề</h4>Phương pháp giảiMệnh đề phủ định của P là "Không phải P".Mệnh đề phủ định của "∀x ∈ X,P(x)" là: $$ ''\exists x\in X,\,\overline{P(x)}'' $$Mệnh đề phủ định của "∃x ∈ X,P(x)" là &nbsp;$$ ''\forall x\in X,\overline{P(x)}'' $$ .<h4>Dạng 4: Xác định tập hợp</h4>- Liệt kê các phần tử của nó.- Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.<h4>Dạng 5: Xác định tập hợp con</h4>A ⊂ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B.A ⊄ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∉ B.<h4>Dạng 6: Các phép toán trên tập hợp</h4>Phương pháp giảiHợp của 2 tập hợp:&nbsp;$x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; x\in A&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\in B&nbsp; \\ \end{array} \right. $Giao của 2 tập hợp&nbsp;$ x\in \text{A}\cap B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\cap \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\in \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;&nbsp;Hiệu của 2 tập hợp&nbsp;$x\in \text{A}\backslash B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\backslash \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\notin \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;&nbsp;Phần bùKhi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A.<h4>Dạng 7: Sử dụng quy tắc làm tròn số để giải bài tập.</h4>Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trướcCho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là&nbsp; $$ \bar{a}=a\pm d $$ ). Khi bài toán yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:A đúng thì&nbsp;\[\overline{A}\]saiA sai thì&nbsp;\[\overline{A}\]đúngTrong đó&nbsp;\[\overline{A}\]&nbsp;là mệnh đề phủ định của mệnh đề A.<h3>Bài 2 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:+ Mệnh đề đảo của mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề B ⇒ A.+ Nếu mệnh đề A ⇒ B đúng thì mệnh đề B ⇒ A có thể đúng hoặc sai.Ví dụ:+ Mệnh đề A: “ΔABC là tam giác đều”.Mệnh đề B: “ΔABC có AB = BC = CA”Mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề đúng và mệnh đề B ⇒ A cũng là mệnh đề đúng.+ Mệnh đề A: “ΔABC là tam giác đều”Mệnh đề B: “ΔABC có AB = BC ”Mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề đúng nhưng mệnh đề B ⇒ A sai.<h3>Bài 3 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:A và B là hai mệnh đề tương đương nếu cả hai mệnh đề A ⇒ B và B ⇒ A đều đúng<h3>Bài 4 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:– Tập hợp con: Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói rằng tập hợp A là tập hợp con của tập hợp B.Kí hiệu: A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A thì x ∈ B– Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.(Hiểu cách khác: Hai tập hợp bằng nhau là hai tập hợp có phần tử giống hệt nhau).<h3>Bài 5 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:– Giao của hai tập hợp: A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}– Hợp của hai tập hợp: A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}– Hiệu của A và B: A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}– Phần bù của B trong A: Nếu B ⊂ A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu: CAB.- Hình minh họa:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_OTC_C01_7565fb8288.png?24341.870000003837" alt=""><h3>Bài 6 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:- Đoạn: [a; b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}- Khoảng: (a; b) = {x ∈ R | a &lt; x &lt; b}- Nửa khoảng:&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; [a; b) = {x ∈ R | a ≤ x &lt; b}&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; (a; b] = {x ∈ R | a &lt; x ≤ b}&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; (-∞; b] = {x ∈ R | x ≤ b}&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; [a; +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}- Tập hợp \[R=\left( -\infty ;+\infty&nbsp; \right)\].<h3>Bài 7 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:Nếu &nbsp;$$ {{\Delta }_{a}} $$ là số gần đúng của &nbsp;$$ \overline{a} $$ &nbsp;thì &nbsp;$$ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a| $$ được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.Nếu $$ {{\Delta }_{a}}=|\bar{a}-a|\le \text{d} $$ thì &nbsp;$$ -d\le \bar{a}-a\le d $$ &nbsp;hay &nbsp;$$ a-d\le \bar{a}\le a+d $$ &nbsp;thì d được gọi là độ chính xác của một số gần đúng.<h3>Bài 8 (trang 24 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a) Mệnh đề P ⇒ Q là "Nếu ABCD là một hình vuông thì nó là một hình bình hành". Mệnh đề này đúng.b) Mệnh đề P ⇒ Q là "Nếu ABCD là một hình thoi thì ABCD là một hình chữ nhật". Mệnh đề này sai.<h3>Bài 9 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:- Vì hình vuông là hình chữ nhật nên E ⊂ D.- Vì hình chữ nhật là hình bình hành nên D ⊂ B.- Vì hình bình hành là hình thang nên B ⊂ C.- Vì hình thang là hình tứ giác nên C ⊂ A.Vậy E ⊂ D ⊂ B ⊂ C ⊂ A.Mặt khác:- Vì hình vuông là hình thoi nên E ⊂ G.- Vì hình thoi là hình bình hành nên G ⊂ B.Vậy E ⊂ G ⊂ B ⊂ C ⊂ A.<h3>Bài 10 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a)<figure class="table" style="width:619px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;">k</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">0</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">1</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">3</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;">5</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">3k – 2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">-2</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">1</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">4</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">7</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">10</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">13</td></tr></tbody></table></figure>Do đó: A = {-2, 1, 4, 7, 10, 13}.b) B = {0; 1; 2; 3; ... ; 12}c) Vì n ∈ N nên:&nbsp;&nbsp;&nbsp; (-1)n&nbsp;= 1 nếu n = 0 hoặc n chẵn&nbsp;&nbsp;&nbsp; (-1)n&nbsp;= -1 nếu n lẻ.Do đó: C = {1; -1}.<h3>Bài 11 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:Các mệnh đề tương đương:&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; P ⇔ T&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; R ⇔ S&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp; Q ⇔ X<h3>Bài 12 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a) (-3; 7) ∩ (0; 10) = (0; 7)b) (-∞; 5) ∩ (2; +∞) = (2; 5)c) R \ (-∞; 3) = [3; +∞)<h3>Bài 13 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>- Dùng máy tính ta có: ∛12 ≈ 2,289428485.- Làm tròn đến 3 chữ số phần thập phân là: ∛12 ≈ 2,289.- Sai số tuyệt đối: Δα&nbsp;= |2,289 – ∛12 | &lt; |2,289 – 2,2895| &lt; 0,0005.Vậy sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005.<h3>Bài 14 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:Ta có h = 347,13 ± 0,2 m có độ chính xác đến hàng phần chục (độ chính xác bằng 0,2) nên ta quy tròn số đến hàng đơn vị.Số quy tròn của 347,13 là 347 m.<h3>Bài 15 (trang 25 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a) A ⊂ (A ∪ B) đúng vì A ∪ B chứa toàn bộ các phần tử của tập hợp A.b) A ⊂ (A ∩ B) sai vì A ∩ B chỉ chứa những phần tử chung của A và B.Sửa lại (A ∩ B) ⊂ A.c) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B) đúng.d) (A ∪ B) ⊂ B sai vì A ∪ B chứa cả những phần tử thuộc A.e) (A ∩ B) ⊂ A đúng.Bài tập trắc nghiệm<h3>Bài 16 (trang 26 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Chọn A.– B sai vì [b;c) chứa cả điểm b mà (b;d) không chứa điểm b.– C sai vì (a; c) ∩ [b; d) = [b; c)– D sai vì (a; c) ∪ (b; d) = (a; d)<h3>Bài 17 (trang 26 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:Chọn B.P ⇒ Q là mệnh đề đúng thì ta nói P là điều kiện đủ để có Q.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

Ôn tập chương 1

Bài 6

Ôn tập chương 1 (trang 24-26)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: CÁC TẬP HỢP SỐ</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>A. CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC</h3><h4>1. Tập hợp các số tự nhiên N</h4>N = {0,1,2,3…};N* = {1,2,3,…}.<h4>2. Tập hợp các số nguyên Z</h4>Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}.Các số –1, –2, –3,… là các số nguyên âm.Vậy Z gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.<h4>3. Tập hợp các số hữu tỉ Q</h4>Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số \[ \frac{a}{b} \] trong đó a, b ∈ Z , b ≠ 0.Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.<h4>4. Tập hợp các số thực R</h4>Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.<h3>B. CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R</h3>Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực RKhoảng(a; b) = {x ∈ R| a &lt; x &lt; b}(a; +∞) = {x ∈ R| a &lt; x}(–∞; b) = {x ∈ R| x &lt; b}Đoạn[a; b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}Nửa khoảng[a; b) = {x ∈ R| a ≤ x &lt; b}(a; b] = {x ∈ R| a &lt; x ≤ b}[a; +∞) = {x ∈ R| a ≤ x}(–∞; b] = {x ∈ R| x ≤ b}<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Dạng bài tập: Tìm giao hoặc hợp của các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên tập số thực, biểu diễn chúng trên trục số.Phương pháp giảiSử dụng trục số, đoạn (hoặc khoảng) nào không lấy, ta gạch bỏ, sử dụng tính chất giao và hợp của các tập hợp để tìm ra kết quả.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 18 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) [-3;1) = {x ∈ R| -3 ≤ x &lt; 1} (0;4] = {x ∈ R| 0 &lt; x ≤ 4}⇒ [-3;1) ∪ (0;4] = {x ∈ R| -3 ≤ x &lt; 1 hoặc 0 &lt; x ≤ 4} = {x ∈ R| -3 ≤ x ≤ 4} = [-3;4].Biểu diễn [–3; 4] trên trục số:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C01_f2866a933e.png?999060.5550000328" alt="">Tương tự như vậy:b) (0; 2] ∪ [–1; 1) = [–1; 2]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C02_2023182a4e.png?999059.7100000014" alt="">c) (-2; 15) ∪ (3; +∞) = (-2; +∞)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C03_6a15629ab5.png?1002153.5150000127" alt="">d) \[ \left( -1;\frac{4}{3} \right)\cup [-1;2)=[-1;2) \]&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C04_3748c376c2.png?999062.8450000077" alt="">e) (-∞; 1) ∪ (-2; +∞) = (-∞; +∞)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C05_7daf47bd3f.png?999063.5100000072" alt=""><h3>Bài 2 (trang 18 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) (-12; 3] ∩ [-1; 4] = [-1; 3]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C06_3fe8183c91.png" alt="">b) (4; 7) ∩ (-7; -4) = ∅<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C07_802816d671.png?999057.7950000297" alt="">c) (2; 3) ∩ [3; 5) = ∅<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C08_3a0aabab1b.png?999066.8650000007" alt="">d) (-∞; 2] ∩ [-2; +∞) = [-2; 2]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C09_1bfea9207d.png?1002152.6549999835" alt=""><h3>Bài 3 (trang 18 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) (-2; 3) \ (1; 5) = (-2; 1]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C10_ed71583baa.png?999065.3499999898" alt="">b) (-2; 3) \ [1; 5) = (-2; 1)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C11_9720bab861.png?999062.0150000323" alt="">c) R \ (2; +∞) = (-∞; 2]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C12_70eb75c453.png?999057.0150000276" alt="">d) R \ (-∞; 3] = (3; +∞)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B04_C13_5436182524.png?1002154.3200000306" alt="">Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 Bài 4. Các tập hợp số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 4. Các tập hợp số

Bài 4

Các tập hợp số

Ôn tập chương 2

Ôn tập chương 2 (trang 50-51)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Giao của 2 tập hợp</h3>Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B.$x\in \text{A}\cap B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\cap \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; \text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\in \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $<h3>2. Hợp của 2 tập hợp</h3>Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B.$x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; x\in A&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\in B&nbsp; \\ \end{array} \right. $<h3>3. Hiệu của 2 tập hợp</h3>Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B.$ x\in \text{A}\backslash B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\backslash \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; \text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\notin \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $4. Phần bùKhi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Các phép toán trên tập hợpPhương pháp giảiHợp của 2 tập hợp:$x\in A\cup B\Leftrightarrow x\in A\cup B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; x\in A&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\in B&nbsp; \\ \end{array} \right. $Giao của 2 tập hợp$ x\in \text{A}\cap B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\cap \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\in \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $Hiệu của 2 tập hợp$x\in \text{A}\backslash B\Leftrightarrow \text{x}\in \text{A}\backslash \text{B}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}\in \text{A}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\notin \text{B}&nbsp; \\ \end{array} \right. $Phần bùKhi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 15 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:Ta có: A = {C, O, H, I, T, N, Ê }; B = {C, O, N, G, Ô, M, A, Ă, I, S, T, Y, Ê, K}+ A ∩ B = {C, O, I, T, N, Ê}+ A ∪ B = { C, O, Ô, N, G, M, A, Ă, I, S, T, Y, Ê, K, H}+ A \ B = {H}+ B \ A = {G, S, K, M, A, Ô, Ă, Y}<h3>Bài 2 (trang 15 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B03_C01_bc6c7c1765.png?555383.5400000098" alt="">b)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B03_C02_54249fba17.png?555377.6550000184" alt="">c)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B03_C03_3a093c62e1.png?555379.7699999996" alt="">d)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_01_B03_C04_f4e191424f.png?555381.875000021" alt=""><h3>Bài 3 (trang 15 SGK Đại số 10):</h3>a) Các bạn được học lực giỏi = 15.Các bạn được hạnh kiểm tốt = 20.Số bạn học lực giỏi + hạnh kiểm tốt = 10.⇒ Số bạn được hạnh kiểm tốt mà không được học lực giỏi = 20 – 10 = 10.Số bạn được học lực giỏi mà không được hạnh kiểm tốt = 15 – 10 = 5.Vậy số bạn được khen thưởng = (số bạn được hạnh kiểm tốt mà không được học lực giỏi)+ (số bạn được học lực giỏi mà không được hạnh kiểm tốt)+ (số bạn vừa được học lực giỏi, vừa được hạnh kiểm tốt)= 5 + 10 + 10 = 25 (bạn).b) Số học sinh chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt là: 45 – 25 = 20 (bạn).<h3>Bài 4 (trang 15 SGK Đại số 10):</h3>+ A ∩ A = A+ A ∪ A = A+ A ∩ ∅ = ∅+A ∪ ∅ = A+ CAA = A \ A = ∅+ CA∅ = A \ ∅ = A.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 Bài 3. Các phép toán trên tập hợp do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ

Bài 3. Các phép toán trên tập hợp

Bài 3

Các phép toán trên tập hợp

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: HÀM SỐ BẬC HAI</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>Hàm số bậc hai được cho bởi công thứcy = ax2 + bx + c (a ≠ 0).Tập xác định của hàm số này là D = R<h3>A. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI</h3>Đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm I \[ \left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right) \] , có trục đối xứng là đường thẳng \[ x=-\frac{\text{b}}{2\text{a}} \] Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a &gt; 0, xuống dưới nếu a &lt; 0.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_DS_CH_02_B03_C01_496103b970.png?1818505.920000025" alt="">Cách vẽĐể vẽ parabol y = ax2 + bx + c (a≠0) ta thực hiện các bước1) Xác định tọa độ của đỉnh \[ I\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a} \right) \]&nbsp;2) Vẽ trục đối xứng \[ x=-\frac{\text{b}}{2\text{a}} \] .3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0; c)) và trục hoành (nếu có).Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.4) Vẽ parabol.Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a &gt; 0 bề lõm quay lên trên, a &lt; 0 bề lõm quay xuống dưới).<h3>B. CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI</h3>Dựa vào đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a≠0) ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a &gt; 0 và a &lt; 0 như sau<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_DS_CH_02_B03_C02_7f1e85e197.png?1818501.6100000357" alt="">Từ đó, ta có định lí dưới đâyĐịnh líNếu a &lt; 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c nghịch biến trên khoảng \[ \left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right) \] ; đồng biến trên khoảng \[ \left( -\frac{\text{b}}{2\text{a}};+\infty&nbsp; \right) \]&nbsp;Nếu a &gt; 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c đồng biến trên khoảng \[ \left( -\infty ;-\frac{b}{2a} \right) \] nghịch biến trên khoảng \[ \left( -\frac{\text{b}}{2\text{a}};+\infty&nbsp; \right) \] .<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1: Xác định Hàm số bậc hai</h3>Để xác định hàm số bậc hai ta là như sauGọi hàm số cần tìm là y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b, c từ đó suy ra hàm số cần tìm.<h3>Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai</h3>Dựa vào phần lý thuyết đã nêu ở Lý thuyết trọng tâm.<h3>Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và cho bởi nhiều công thức</h3>Dựa vào phần lý thuyết đã nêu ở Lý thuyết trọng tâm.<h3>Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất</h3>Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a).<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 49 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) y = x2 – 3x + 2 có a = 1 ; b = –3 ; c = 2 ; Δ = b2 – 4ac = (–3)2 – 4.2.1 = 1.+ Đỉnh của Parabol là \[ \left( \frac{3}{2};\frac{-1}{4} \right) \]&nbsp;+ Khi x = 0 thì y = 2. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; 2).+ Khi y = 0 thì x2 – 3x + 2 = 0. Phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 1.Vậy giao điểm với trục hoành là B(2 ; 0) và C(1 ; 0).b) y = –2x2 + 4x – 3 có a = –2 ; b = 4 ; c = –3 ; Δ= b2 – 4ac = 42 – 4.( –3).( –2) = –8+ Đỉnh của Parabol là (1 ; –1).+ Khi x = 0 thì y = –3. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; –3).+ Khi y = 0 thì –2x2 + 4x – 3 = 0. Phương trình vô nghiệm.Vậy Parabol không cắt trục hoành.c) y = x2 – 2x có a = 1 ; b = –2 ; c = 0 ; Δ= b2 – 4ac = 4.+ Đỉnh của Parabol là (1 ; –1).+ Khi x = 0 thì y = 0. Vậy giao điểm với trục tung là O(0 ; 0).+ Khi y = 0 thì x2 – 2x = 0. Phương trình có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 2.Vậy Parabol cắt trục hoành tại hai điểm O(0 ; 0) và A(2 ; 0).d) y = –x2 + 4 có a = –1 ; b = 0 ; c = 4 ; Δ= b2 – 4ac = 0 – 4.( –1).4 = 16.+ Đỉnh của Parabol là (0 ; 4).+ Khi x = 0 thì y = 4. Vậy giao điểm với trục tung là A(0 ; 4).+ Khi y = 0 thì –x2 + 4 = 0. Phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = –2.Vậy Parabol cắt trục hoành tại hai điểm B(2 ; 0) hoặc C(–2 ;0).<h3>Bài 2 (trang 49 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) y = 3x2 – 4x + 1.+ Tập xác định: R.+ Đỉnh A(2/3 ; –1/3).+ Trục đối xứng x = 2/3.+ Giao điểm với Ox tại B(1/3 ; 0) và C(1 ; 0).+ Giao điểm với Oy tại D(0 ; 1).+ Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C03_66250d1818.png?1818513.7800000375" alt="">+ Đồ thị hàm số :<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C04_9c717189ab.png?1818510.8600000385" alt="">b) y = –3x2 + 2x – 1.+ Tập xác định: R+ Đỉnh A(1/3 ; –2/3).+ Trục đối xứng x = 1/3.+ Đồ thị không giao với trục hoành.+ Giao điểm với trục tung là B(0; –1).Điểm đối xứng với B(0 ; –1) qua đường thẳng x = 1/3 là C(2/3 ; –1).+ Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_DS_CH_02_B03_C05_3b9b811fe2.png?1818507.0150000392" alt="">+ Đồ thị hàm số :<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C06_b6559d796a.png?1818512.8050000058" alt="">c) y = 4x2 – 4x + 1.+ Tập xác định : R+ Đỉnh A(1/2; 0).+ Trục đối xứng x = 1/2.+ Giao điểm với trục hoành tại đỉnh A.+ Giao điểm với trục tung B(0; 1).Điểm đối xứng với B(0;1) qua đường thẳng x = 1/2 là C(1; 1).+ Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C07_998ca979f8.png?1824304.2700000224" alt="">+ Đồ thị hàm số:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C08_23b2aa68f0.png?1824303.440000047" alt="">d) y = –x2 + 4x – 4.+ Tập xác định: R+ Đỉnh: I (2; 0)+ Trục đối xứng: x = 2.+ Giao điểm với trục hoành: A(2; 0).+ Giao điểm với trục tung: B(0; –4).Điểm đối xứng với điểm B(0; –4) qua đường thẳng x = 2 là C(4; –4).+ Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C09_7a4c8e0d5e.png?1824306.7650000448" alt="">+ Đồ thị hàm số:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C10_72c9da26cb.png?1818515.2600000147" alt="">e) y = 2x2 + x + 1+ Tập xác định: R+ Đỉnh A(–1/4 ; 7/8).+ Trục đối xứng x = –1/4.+ Đồ thị không giao với trục hoành.+ Giao điểm với trục tung B(0; 1).Điểm đối xứng với B(0 ; 1) qua đường thẳng x = –1/4 là C(–1/2 ; 1)+ Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C11_0bbc998e85.png?1818509.7000000533" alt="">+ Đồ thị hàm số:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C12_f45de2863f.png?1818511.6250000428" alt="">f) y = –x2 + x – 1+ Tập xác định R+ Đỉnh A(1/2 ; –3/4).+ Trục đối xứng x = 1/2.+ Đồ thị không giao với trục hoành.+ Giao điểm với trục tung: B(0; –1).Điểm đối xứng với B(0 ; –1) qua đường thẳng x = 1/2 là C(1 ; –1).+ Bảng biến thiên:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C13_0c302bb3d0.png?1824304.9200000241" alt="">+ Đồ thị hàm số :<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B03_C14_200cb78e95.png?1818514.5400000038" alt=""><h3>Bài 3 (trang 49 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a)+ Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua M(1 ; 5)⇒ 5 = a.12 + b.1 + 2 ⇒ a + b = 3 (1) .+ Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua N(–2; 8)⇒ 8 = a.( –2)2 + b.( –2) + 2 ⇒ 4a – 2b = 6 (2).Từ (1) và (2) suy ra: a = 2; b = 1.Vậy parabol cần tìm là y = 2x2 + x + 2.b) + Parabol y = ax2 + bx + 2 có trục đối xứng x = –3/2⇒ –b/2a = –3/2 ⇒ b = 3a (1)+ Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua điểm A(3; –4)⇒ –4 = a.32 + b.3 + 2 ⇒ 9a + 3b = –6 (2).Thay b = 3a ở (1) vào biểu thức (2) ta được:9a + 3.3a = –6 ⇒ 18a = –6 ⇒ a = –1/3 ⇒ b = –1.Vậy parabol cần tìm là y = –1/3x2 – x + 2.c) Parabol y = ax2 + bx + 2 có đỉnh I(2 ; –2), suy ra :+) \[ -\frac{b}{2a}=2\Rightarrow b=-4a \] (1)+) \[ \frac{-\Delta }{4a}=-2\Rightarrow \Delta =8a\Rightarrow {{b}^{2}}-4a\cdot 2=8a\Rightarrow {{b}^{2}}=16a \] (2)Từ (1) ⇒ b2 = 16.a2, thay vào (2) ta được 16a2 = 16a ⇒ a = 1 ⇒ b = –4.Vậy parabol cần tìm là y = x2 – 4x + 2.d) + Parabol y = ax2 + bx + 2 đi qua điểm B(–1 ; 6)⇒ 6 = a.( –1)2 + b.( –1) + 2 ⇒ a = b + 4 (1)+ Parabol y = ax2 + bx + 2 có tung độ của đỉnh là –1/4\[ \Rightarrow \frac{-\Delta }{4a}=\frac{-1}{4}\Rightarrow \Delta =a\Rightarrow {{b}^{2}}-4a\cdot 2=a\Rightarrow {{b}^{2}}=9a \] (2)Thay (1) vào (2) ta được: b2 = 9.(b + 4) ⇔ b2 – 9b – 36 = 0.Phương trình có hai nghiệm b = 12 hoặc b = –3.Với b = 12 thì a = 16.Với b = –3 thì a = 1.Vậy có hai parabol thỏa mãn là y = 16x2 + 12b + 2 và y = x2 – 3x + 2.<h3>Bài 4 (trang 50 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:+ Parabol y = ax2 + bx + c đi qua điểm A (8; 0)⇒ 0 = a.82 + b.8 + c ⇒ 64a + 8b + c = 0 (1).+ Parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh là I (6 ; –12) suy ra:–b/2a = 6 ⇒ b = –12a (2).–Δ/4a = –12 ⇒ Δ = 48a ⇒ b2 – 4ac = 48a (3) .Thay (2) vào (1) ta có: 64a – 96a + c = 0 ⇒ c = 32a.Thay b = –12a và c = 32a vào (3) ta được:(–12a)2 – 4a.32a = 48a⇒ 144a2 – 128a2 = 48a⇒ 16a2 = 48a⇒ a = 3 (vì a ≠ 0).Từ a = 3 ⇒ b = –36 và c = 96.Vậy a = 3; b = –36 và c = 96.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 Bài 3. Hàm số bậc hai do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ&nbsp;&nbsp;

Bài 3. Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>A. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH</h3><h4>1. Phương trình một ẩn</h4>Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạngf(x) = g(x) (1)trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).Nếu có số thực x0 sao cho f(xo) = g(xo) là mệnh đề đúng thì xo được gọi là một nghiệm của phương trình (1).Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).<h4>2. Điều kiện của một phương trình</h4>Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).<h4>3. Phương trình nhiều ẩn</h4>Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn3x + 2y = x2 – 2xy + 8, (2)4x2 – xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2 ( 3)Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z).Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (–1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).<h4>4. Phương trình chứa tham số</h4>Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.<h3>B. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ</h3><h4>1. Phương trình tương đương</h4>Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.<h4>2. Phép biến đổi tương đương</h4>Định líNếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đươnga) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.<h4>3. Phương trình hệ quả</h4>Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)Ta viếtf(x) = g(x) =&gt; f1(x) = g1(x).Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1: Tìm tập xác định của phương trình</h3>Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).- Điều kiện để biểu thức+ \[ \sqrt{(f(x))} \] xác định là f(x) ≥ 0+ \[\frac{1}{f(x)}\]xác định là f(x) ≠ 0+ \[\frac{1}{\sqrt{f(x)}}\]xác định là f(x) &gt; 0<h3>Dạng 2: Giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương</h3>+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.Bình phương hai vế của phương trình (hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.<h3>Dạng 3: Giải và biện luận phương trình bậc nhất</h3><figure class="table" style="width:619px;"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;" colspan="3">ax + b = 0 (1)</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;" colspan="2">Hệ số</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">Kết luận</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;" colspan="2">a ≠ 0</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">(1) có nghiệm duy nhất x = -b/a</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;" rowspan="2">a = 0</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">b ≠ 0</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">(1) vô nghiệm</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">b = 0</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;">(1) nghiệm đúng với mọi x</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<h3>Dạng 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai</h3>Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:+ Nếu Δ &gt; 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[ {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a} \]&nbsp;+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a+ Nếu Δ &lt; 0 thì phương trình vô nghiệm.Bước 3. Kết luận.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 57 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:Phương trình 3x = 2 (1) có nghiệm x = 2/3Phương trình 2x = 3 (2) có nghiệm x = 3/2Cộng các vế tương ứng của hai phương trình (1) và (2) ta được phương trình3x + 2x = 2 + 3 hay 5x = 5 (3) có nghiệm x = 1.a) Phương trình (3) không tương đương với phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì không có cùng tập nghiệm.b) Phương trình (3) không phải phương trình hệ quả của phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì nghiệm của (1) và (2) đều không phải nghiệm của (3).<h3>Bài 2 (trang 57 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:Phương trình 4x = 5 (1) có nghiệm x = 5/4Phương trình 3x = 4 (2) có nghiệm x = 4/3Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho ta được phương trình4x.3x = 5.4 hay 12x2 = 20 (3) có hai nghiệm \[ x=\sqrt{\frac{5}{3}} \] và \[ x=\sqrt{\frac{5}{3}} \]&nbsp;a) Phương trình (3) không tương đương với phương trình nào trong hai phương trình (1) và (2) vì không có cùng tập nghiệm.b) Phương trình (3) không phải phương trình hệ quả của phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) vì nghiệm của (1) và (2) đều không phải nghiệm của (3).<h3>Bài 3 (trang 57 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) \[ \sqrt{3-x}+x=\sqrt{3-x}+1 \]&nbsp;Tập xác định: D = (-∞ ;3]Phương trình ⇔ x = 1 (trừ cả hai vế của phương trình cho \[ \sqrt{3-x} \] ).x = 1 thuộc tập xác định.Vậy phương trình có nghiệm x = 1.b) \[ x+\sqrt{x-2}=\sqrt{2-x}+2 \]&nbsp;Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; x-2\ge 0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; 2-x\ge 0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; x\ge 2&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\le 2&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow x=2 \right. \right. $Với \[ \text{x}=2,\text{VT}=\text{x}+\sqrt{\text{x}-2}=2;\,\,\text{VP}=\sqrt{2-\text{x}}+2=2 \]&nbsp;Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.c) \[ \frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{x-1}}=\frac{9}{\sqrt{x-1}} \]&nbsp;Điều kiện xác định : x &gt; 1.Phương trình ⇔ x2 = 9 (Nhân cả hai vế với \[ \sqrt{x-1}\ne 0 \] )$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; x=3&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x=-3&nbsp; \\ \end{array} \right. $So sánh với điều kiện xác định thấy x = 3 thỏa mãn.Vậy phương trình có nghiệm x = 3.d) \[ {{x}^{2}}-\sqrt{1-x}=\sqrt{x-2}+3 \]&nbsp;Điều kiện xác định : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; 1-x\ge 0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x-2\ge 0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; x\le 1&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\ge 2&nbsp; \\ \end{array} \right. \right. $Vậy phương trình có tập xác định D = ∅ nên phương trình vô nghiệm.<h3>Bài 4 (trang 57 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) \[ x+1+\frac{2}{x+3}=\frac{x+5}{x+3} \]&nbsp;Điều kiện xác định: x ≠ -3.Phương trình\[ \Leftrightarrow x+1=\frac{x+5}{x+3}-\frac{2}{x+3}\Leftrightarrow x+1=\frac{x+3}{x+3}\Leftrightarrow x+1=1\Leftrightarrow \text{x}=0 \] (thỏa mãn ĐKXĐ)Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.b) \[ 2x+\frac{3}{x-1}=\frac{3x}{x-1} \]&nbsp;Điều kiện xác định: x ≠ 1.Phương trình\[ \Leftrightarrow 2\text{x}=\frac{3\text{x}}{\text{x}-1}-\frac{3}{\text{x}-1}\Leftrightarrow 2x=\frac{3x-3}{x-1}\Leftrightarrow 2x=\frac{3\cdot (x-1)}{x-1}\Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow \text{x}=\frac{3}{2} \]&nbsp;Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3/2.c) \[ \frac{{{x}^{2}}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2} \]&nbsp;Điều kiện xác định : x &gt; 2.Phương trình $\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-2=x-2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; \text{x}=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}=5&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;So sánh với điều kiện xác định thấy x = 5 thỏa mãn.Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.d) \[ \frac{2{{x}^{2}}-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3} \]&nbsp;Điều kiện xác định: x &gt; 3/2.Phương trình $\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x-3=2x-3\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow x(2x-3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; \text{x}=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; 2\text{x}-3=0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; \text{x}=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}=\frac{3}{2}&nbsp; \\ \end{array} \right. \right. $So sánh với điều kiện xác định thấy không có giá trị nào thỏa mãn.Vậy phương trình vô nghiệm.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa đại cương về phương trình toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 1. Đại cương về phương trình

Đại cương về phương trình

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối</h3>Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.<h3>2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn</h3>Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối</h3>Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách:– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.– Bình phương hai vế.– Đặt ẩn phụ.<h3>Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu</h3>Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)- Đặt ẩn phụ<h3>Dạng 3: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn</h3>Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:– Nâng luỹ thừa hai vế.– Phân tích thành tích.– Đặt ẩn phụ.<h3>Dạng 4: Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai</h3>Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠ 0) (*)- Đặt t = x2 ≥ 0 thì (*) ⇔ at2 + bt + c = 0 .Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc haiLoại 1. ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 với e/a =(d/b)2 ≠ 0Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠ 0, rồi đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/bLoại 2. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + dPhương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e và đặt t = x2 + (a+c)xLoại 3. (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.dPhương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thì phương trình⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp)Loại 4. (x+a)4 + (x+b)4 = cPhương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 62 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) \[ \frac{{{x}^{2}}+3x+2}{2x+3}=\frac{2x-5}{4} \] (1)Điều kiện xác định \[ x\ne \frac{-3}{2} \]&nbsp;\[ (1)\Leftrightarrow 4.\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=(2x+3)(2x-5)\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+12x+8=4{{x}^{2}}-4x-15 \]&nbsp;\[ \Leftrightarrow 16x=-23\Leftrightarrow x=\frac{-23}{16} \] (TM ĐKXĐ)Vậy pt có nghiệm \[ x=\frac{-23}{16} \] .b) \[ \frac{2x+3}{x-3}-\frac{4}{x+3}=\frac{24}{{{x}^{2}}-9}+2 \] (2)ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne 3&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x\ne -3&nbsp; \\ \end{array} \right. $\[ (2)\Leftrightarrow \frac{(2x+3)(x+3)-4(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{24+2\cdot \left( {{x}^{2}}-9 \right)}{{{x}^{2}}-9}\Leftrightarrow \frac{2{{x}^{2}}+5x+21}{{{x}^{2}}-9}=\frac{2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{2}}-9} \]&nbsp;\[ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+5x+21=2{{x}^{2}}+6\Leftrightarrow 5x=-15\Leftrightarrow x=-3 \] Không TM ĐKXĐ.Vậy pt vô nghiệm.c) \[ \sqrt{3x-5}=3 \] (3)ĐKXĐ: \[ 3x-5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{5}{3} \]&nbsp;\[ \text{(3)}\Leftrightarrow 3x-5=9\Leftrightarrow 3x=14\Leftrightarrow x=\frac{14}{3} \] . (TM ĐKXĐ).Vậy pt có nghiệm \[ x=\frac{14}{3} \]&nbsp;d) \[ \sqrt{2x+5}=2 \] (4)ĐKXĐ: \[ 2x+5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-5}{2} \]&nbsp;\[ \text{ (4) }\Rightarrow 2x+5=4\Leftrightarrow 2x=-1\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2} \] (TM ĐKXĐ).Vậy pt có nghiệm \[ x=\frac{-1}{2} \] .<h3>Bài 2 (trang 62 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) m(x – 2) = 3x + 1⇔ mx – 2m = 3x + 1⇔ mx – 3x = 1 + 2m⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1)+ Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{2m+1}{m-3} \]&nbsp;+ Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.Kết luận:+ với m = 3, phương trình vô nghiệm+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{2m+1}{m-3} \]&nbsp;b) m2x + 6 = 4x + 3m⇔ m2.x – 4x = 3m – 6⇔ (m2 – 4).x = 3m – 6 (2)+ Xét m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình (2) có nghiệm duy nhất:\[ x=\frac{3m-6}{{{m}^{2}}-4}=\frac{3(m-2)}{(m-2)(m+2)}=\frac{3}{m+2} \]&nbsp;+ Xét m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2● Với m = 2, pt (2) ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm● Với m = –2, pt (2) ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.Kết luận:+ m = 2, phương trình có vô số nghiệm+ m = –2, phương trình vô nghiệm+ m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{3}{m+2} \]&nbsp;c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2⇔ (2m + 1 – 3).x = 2m – 2⇔ (2m – 2).x = 2m – 2 (3)+ Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt (3) có nghiệm duy nhất \[ x=\frac{2m-2}{2m-2}=1 \]&nbsp;+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt (3) ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm.Kết luận :+ Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm+ Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.<h3>Bài 3 (trang 62 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:Gọi số quýt ban đầu ở mỗi rổ là x (quả)Muốn lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở mỗi rổ lúc đầu phải nhiều hơn 30 quả hay x &gt; 30.Khi đó rổ thứ nhất còn x – 30 quả; rổ thứ hai có x + 30 quả.Vì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:\[ x+30=\frac{1}{3}\cdot {{(x-30)}^{2}} \] (1)Giải phương trình (1):$(1)\Leftrightarrow {{(x-30)}^{2}}=3\cdot (x+30)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-63x+810=0\Leftrightarrow (x-45)(x-18)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; x=45&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; x=18&nbsp; \\ \end{array} \right.$Vì x &gt; 30 nên x = 45 thỏa mãn.Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả cam.<h3>Bài 4 (trang 62 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) 2x4 – 7x2 + 5 = 0 (1)Tập xác định: D = R.Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.Khi đó phương trình (1) trở thành:2t2 – 7t + 5 = 0⇔ (2t – 5) (t – 1) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; 2t-5=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; t-1=0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; t=\frac{5}{2}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; t=1&nbsp; \\ \end{array} \right. \right. $+) xét \[ t=\frac{5}{2} \] ta có \[ {{x}^{2}}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}} \] .+) xét \[ t=1 \] ta có \[ {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1 \]&nbsp;Vậy pt có tập nghiệm \[ S=\left\{ \sqrt{\frac{5}{2}};-\sqrt{\frac{5}{2}};1;-1 \right\} \]&nbsp;b) 3x4 + 2x2 – 1 = 0 (2)Tập xác định : D = R.Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0Khi đó phương trình (2) trở thành :3t2 + 2t – 1 = 0 ⇔ (3t – 1)(t + 1) = 0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; 3t-1=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; t+1=0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; t=\frac{1}{3}&gt;0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; t=-1&lt;0&nbsp; \\ \end{array} \right. \right. $Với \[ t=\frac{1}{3} \] ta có \[ {{x}^{2}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{3}} \] .Vậy pt có 2 nghiệm \[ x=\sqrt{\frac{1}{3}}\text{ ;}\,\,x=-\sqrt{\frac{1}{3}} \] .<h3>Bài 5 (trang 62 SGK Đại số 10):</h3>Hướng dẫn, đối với máy fx -570, ta sử dụng lần lượt các phím MODE =&gt;5 =&gt;3.Sau đó nhập hệ số a, b, c để nhận kết quả.Cụ thể:a) \[ {{x}_{1}}=3,13;\,\,{{x}_{2}}=-0,64 \]&nbsp;b) \[ {{\text{x}}_{1}}=1,72;\,{{\text{x}}_{2}}=-0.387 \]&nbsp;c) \[ {{\text{x}}_{1}}=-1;{{\text{x}}_{2}}=-1.333 \]&nbsp;d) \[ {{\text{x}}_{1}}=1.079;\,{{\text{x}}_{2}}=-0.412 \]&nbsp;<h3>Bài 6 (trang 62-63 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)Tập xác định: D = R.+ Nếu \[x\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình (1) trở thành 3x – 2 = 2x + 3. Từ đó x = 5 (tmđk)+ Nếu \[x&lt;\frac{2}{3}\] thì phương trình (1) trở thành 2 – 3x = 2x + 3. Từ đó \[x=\frac{-1}{5}\] (tmđk)Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và \[x=\frac{-1}{5}\].b) |2x - 1| = |-5x - 2| (2)Tập xác định D = R.Ta có: \[ (2)\Leftrightarrow {{(2x-1)}^{2}}={{(-5x-2)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-4x+1=25{{x}^{2}}+20x+4 \]&nbsp;$\Leftrightarrow 21{{\text{x}}^{2}}+24\text{x}+3=0\Leftrightarrow (21\text{x}+3)(\text{x}+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; 21\text{x}+3=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}+1=0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; \text{x}=\frac{-1}{7}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \text{x}=-1&nbsp; \\ \end{array} \right. \right. $&nbsp;Vậy phương trình có hai nghiệm \[ x=\frac{-1}{7} \] và x = –1.c) \[ \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{|x+1|} \] (3)Đkxđ: \[ \text{x}\ne \frac{3}{2}\text{;}\,\,\text{x}\ne -1 \]&nbsp;+ Xét x &gt; –1, khi đó x + 1 &gt; 0 nên |x + 1| = x + 1.Khi đó pt (3) \[\Leftrightarrow \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{x+1}\Leftrightarrow (x-1)(x+1)=(-3x+1)(2x-3)\]\[\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=-6{{x}^{2}}+11x-3\Leftrightarrow 7{{x}^{2}}-11x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14}\] (tmđk)+ Xét x &lt; –1, khi đó x + 1 &lt; 0 nên |x + 1| = –x – 1.Khi đó pt (3) \[ \Leftrightarrow \frac{x-1}{2x-3}=\frac{-3x+1}{-x-1}\Leftrightarrow (x+1)(-x-1)=(2x-3)(-3x+1) \]&nbsp;\[ \Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=-6{{x}^{2}}+11x-3\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-11x+4=0\Leftrightarrow x=\frac{11\pm \sqrt{41}}{10} \]&nbsp;(không thỏa mãn điều kiện x &lt; –1).Vậy phương trình có hai nghiệm là \[ \text{x}=\frac{11\pm \sqrt{65}}{14} \]&nbsp;d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1 (4)Tập xác định: D = R.+ Xét \[ 2x+5\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-5}{2} \] , khi đó |2x + 5| = 2x + 5Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 = x2 + 5x + 1⇔ x2 + 3x – 4 = 0⇔ (x + 4)(x – 1) = 0⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn)+ Xét \[ 2x+5&lt;0\Leftrightarrow x&lt;\frac{-5}{2} \] , khi đó |2x + 5| = –2x – 5.Khi đó pt (4) ⇔ –2x – 5 = x2 + 5x + 1⇔ x2 + 7x + 6 = 0⇔ (x + 1)(x + 6) = 0⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn).Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình và hệ phương trình bậc nhất bậc hai toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: HÀM SỐ</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>A. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ</h3><h4>1. Hàm số. Tập xác định của hàm số</h4>Giả sử có hai đại lượng biếnthiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của x thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.<h4>2. Cách cho hàm số</h4>Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau.Hàm số cho bằng bảngHàm số cho bằng biểu đồHàm số cho bằng công thứcTập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.<h4>3. Đồ thị của hàm số</h4>Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x,f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với x thuộc D.<h3>B. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ</h3><h4>1. Ôn tập</h4>Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a ; b) nếu∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 &lt; x2 =&gt; f(x1) &lt; f(x2)Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) nếu :∀x1, x2 ∈ (a ; b) : x1 &lt; x2 =&gt; f(x1) &gt; f(x2)<h4>2. Bảng biến thiên</h4>Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.Ví dụ. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x2.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_DS_CH_02_B01_C01_b93f5cb6b5.png?916678.440000047" alt="">Hàm số y = x2 xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) ( –∞ ; +∞) và khi x dần tới +∞ hoặc dần tới –∞ thì y đều dần tới +∞.Tại x = 0 thì y = 0.Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞ ; 0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0).Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).<h3>C. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ</h3><h4>1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ</h4>Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu∀x ∈ D thì – x ∈ D và f( –x) = f(x)Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu∀x ∈ D thì – x ∈ D và f(–x) = – f(x)<h4>2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ</h4>Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số</h3>Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.<h3>Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số</h3>* Sử dụng định nghĩaHàm số y = f(x) xác định trên D+ Hàm số chẵn $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; f(-x)=f(x)&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $+ Hàm số lẻ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \forall x\in D\Rightarrow -x\in D&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; f(-x)=-f(x)&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻĐồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứngĐồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.B1: Tìm tập xác định của hàm số.B2: Kiểm traNếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước baNếu ∃ x0 ∈ D ⇒ -x0 ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.B3: xác định f(-x) và so sánh với f(x).Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵnNếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻNếu tồn tại một giá trị ∃ x0 ∈ D mà f(-x0 ) ≠ ± f(x0) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.<h3>Dạng 3: Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số</h3>C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 &lt; x2, đặt T = f(x1 )-f(x2 )+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T &gt; 0.+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T &lt; 0.C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt \[ T=\frac{f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} \]&nbsp;+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T &gt; 0.+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T &lt; 0.<h3>Dạng 4: Bài tập về đồ thị hàm số</h3>Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Đồ thị hàm số f là tập hợp tất cả các điểm M(x;f(x)) nằm trong mặt phẳng tọa độ với x ∈ D.Chú ý:Điểm M(x0; y0 ) ∈ (C) đồ thị hàm số y = f(x) ⇔ y0 = f(x0 ).Sử dụng định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 38 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) \[ y=\frac{3x-2}{2x+1} \] có nghĩa khi 2x + 1 ≠ 0 ⇔ x ⇔ –1/2.Vậy tập xác định của hàm \[ y=\frac{3x-2}{2x+1} \] là D = R \ {-1/2}.b) \[ \text{y}=\frac{\text{x}-1}{{{\text{x}}^{2}}+2\text{x}-3} \] xác định khi x2 + 2x – 3 ≠ 0.Giải phương trình x2 + 2x - 3 = 0 ⇔ (x-1)(x+3) = 0 ⇔ x=1 hoặc x=-3Do đó x2 + 2x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 1 và x ≠ -3.Vậy tập xác định của hàm số là D = R \ {1;-3}c) \[ \text{y}=\sqrt{2\text{x}+1}-\sqrt{3-\text{x}} \] xác định khi $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; 2\text{x}+1\ge 0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; 3-\text{x}\ge 0&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} &nbsp;&nbsp; \text{x}\ge \frac{-1}{2} &nbsp;\\ &nbsp;&nbsp; \text{x}\le 3&nbsp; \\ \end{array}\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le \text{x}\le 3 \right. \right. $Vậy tập xác định của hàm số là \[ \left[ \frac{-1}{2};3 \right] \]&nbsp;<h3>Bài 2 (trang 38 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:- Ta có : x = 3 &gt; 2 nên f(3) = 3 + 1 = 4.- Ta có : x = -1 &lt; 2 nên f(–1) = (-1)2 – 2 = –1.- Ta có : x = 2 nên f(2) = 2 + 1 = 3.<h3>Bài 3 (trang 39 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:Tập xác định của hàm số y = f(x) = 3x2 – 2x + 1 là D = Ra) Tại x = –1 thì y = 3.( –1)2 – 2. (–1) + 1 = 3 + 2 + 1 = 6.Vậy điểm M(–1; 6) thuộc đồ thị hàm số y = 3x2 – 2x + 1.b) Tại x = 1 thì y = 3.12 – 2.1 + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 ≠ 1.Vậy N(1; 1) không thuộc đồ thị hàm số.c) Tại x = 0 thì y = 3.02 – 2.0 + 1 = 1.Vậy điểm P(0 ; 1) thuộc đồ thị hàm số.<h3>Bài 4 (trang 39 SGK Đại số 10):</h3>Lời giải:a) Đặt y = f(x) = |x|.+ Tập xác định D = R nên với ∀ x ∈ D thì –x ∈ D.+ f(–x) = |–x| = |x| = f(x).Vậy hàm số y = |x| là hàm số chẵn.b) Đặt y = f(x) = (x + 2)2.+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.+ f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ (x + 2)2 = f(x)+ f(–x) = (–x + 2)2 = (x – 2)2 ≠ – (x + 2)2 = –f(x).Vậy hàm số y = (x + 2)2 không chẵn, không lẻ.c) Đặt y = f(x) = x3 + x.+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.+ f(–x) = (–x)3 + (–x) = –x3 – x = – (x3 + x) = –f(x)Vậy y = x3 + x là một hàm số lẻ.d) Đặt y = f(x) = x2 + x + 1.+ TXĐ: D = R nên với ∀x ∈ D thì –x ∈ D.+ f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ x2 + x + 1 = f(x)+ f(–x) = (–x)2 + (–x) + 1 = x2 – x + 1 ≠ –(x2 + x + 1) = –f(x)Vậy hàm số y = x2 + x + 1 không chẵn, không lẻ.&nbsp;Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 10 Bài 1. Hàm số do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ&nbsp;

Bài 1. Hàm số

Hàm số

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: BẤT ĐẲNG THỨC</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Tính chất của bất đẳng thức</h3>Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a &gt; b ta chỉ cần chứng minh a – b &gt; 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_DS_CH_04_B01_C02_4a1f9aee5c.png?38408.47500000382" alt=""><h3>2. Bất đẳng thức Cô-si</h3>Định líTrung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng\[ \sqrt{\text{ab}}\le \frac{\text{a+b}}{2},\quad \forall \text{a},\text{b}\ge 0 \]&nbsp;Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.<h3>3. Các hệ quả</h3>Hệ quả 1: Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.Hệ quả 2: Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.Hệ quả 3: Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối\[ |\text{x}|\ge 0,|\text{x}|\ge \text{x},|\text{x}|\ge -\text{x} \]&nbsp;\[ |\text{x}|\le \text{a}\Leftrightarrow -\text{a}\le \text{x}\le \text{a} \] với a không âm.\[ |\text{x}|\ge \text{a}\Leftrightarrow \text{x}\le -\text{a} \] hoặc \[ x\ge a \] .\[ |\text{a}|-|\text{b}|\le |\text{a}+\text{b}|\le |\text{a}|+|\text{b}| \]&nbsp;<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức:+ Phương pháp biến đổi tương đương+ Phương pháp sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức.+ Phương pháp phản chứng<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3 style="text-align:justify;">Bài 1 (trang 79 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảia) Ta có: 8 &gt; 4 nên để 8x &gt; 4x thì x &gt; 0Do đó, chỉ đúng khi x &gt; 0 (hay nói cách khác nếu x &lt; 0 thì a sai)b) Ta có: 4 &lt; 8 nên để 4x &gt; 8x thì x &lt; 0 .Do đó, khẳng định chỉ đúng khi x &lt; 0c) chỉ đúng khi x ≠ 0d) Ta có: 8 &gt; 4 nên với mọi x thì 8+ x &gt; 4+ x ( tính chất cộng hai vế của BĐT với 1 số)Do đó, khẳng định đúng với mọi x.Vậy khẳng định d là đúng với mọi giá trị của x.<h3 style="text-align:justify;">Bài 2 (trang 79 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiVới mọi x ≠ 0 ta luôn có: - 1 &lt; 0 &lt; 1. Do đó,\[ \frac{5}{x}-1&lt;\frac{5}{x}&lt;\frac{5}{x}+1 \] hay C &lt; A &lt; B.Lại có x &gt; 5 ⇒ x2 &gt; 52 (Bình phương hai vế)\[ \Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{5x}&gt;\frac{{{5}^{2}}}{5x} \] (Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \[\frac{1}{5x}&gt;0\])\[ \Rightarrow \frac{x}{5}&gt;\frac{5}{x} \] hay D &gt;A.Vậy ta có C &lt; A &lt; B và C &lt; A &lt; D nên trong bốn số trên, C là số nhỏ nhất.<h3 style="text-align:justify;">Bài 3 (trang 79 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảia) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác⇒ a + c &gt; b và a + b &gt; c (Bất đẳng thức tam giác)⇒ a + c – b &gt; 0 và a + b – c &gt; 0Ta có: (b – c)2 &lt; a2⇔ a2 – (b – c)2 &gt; 0⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) &gt; 0⇔ (a – b + c).(a + b – c) &gt; 0 (Luôn đúng vì a + c – b &gt; 0 và a + b – c &gt; 0).Vậy ta có (b – c)2 &lt; a2 (1) (đpcm)b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :( a – b)2 &lt; c2 (2)(c – a)2 &lt; b2 (3)Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:(b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 &lt; a2 + b2 + c2⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 &lt; a2 + b2 + c2⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) &lt; a2 + b2 + c2⇒ a2 + b2 + c2 &lt; 2(ab + bc + ca) (đpcm).<h3 style="text-align:justify;">Bài 4 (trang 79 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiVới x ≥ 0; y ≥ 0 thì x + y ≥ 0Ta có: x3 + y3 ≥ x2y + xy2⇔ (x3 + y3) – (x2y + xy2) ≥ 0⇔ (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) ≥ 0⇔ (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) ≥ 0⇔ (x + y)(x2 – 2xy + y2) ≥ 0⇔ (x + y)(x – y)2 ≥ 0 (Luôn đúng vì x + y ≥ 0 ; (x – y)2 ≥ 0)Dấu « = » xảy ra khi (x – y)2 = 0 ⇔ x = y.<h3 style="text-align:justify;">Bài 5 (trang 79 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiĐặt \[ t=\sqrt{x} \] (điều kiện t ≥ 0), khi đó\[ {{x}^{4}}-\sqrt{{{x}^{5}}}+x-\sqrt{x}+1={{(\sqrt{x})}^{8}}-{{(\sqrt{x})}^{5}}+{{(\sqrt{x})}^{2}}-\sqrt{x}+1 \]&nbsp;\[ ={{t}^{3}}-{{t}^{5}}+{{t}^{2}}-t+1 \]&nbsp;Ta cần chứng minh : t8 – t5 + t2 – t + 1 &gt; 02.(t8 – t5 + t2 – t + 1) = t8 + t8 – 2t5 + t2 + t2 – 2t + 1 + 1= t8 + (t4 – t)2 + (t – 1)2 + 1.≥ 0 + 0 + 0 + 1 = 1.(Vì t8 ≥ 0 ; (t4 – t)2 ≥ 0; (t – 1)2 ≥ 0)⇒ t8 – t5 + t2 – t + 1 ≥ 1/2 &gt; 0 hay \[ {{x}^{4}}-\sqrt{{{x}^{5}}}+x-\sqrt{x}+1&gt;0,\forall x\ge 0 \] (đpcm)<h3 style="text-align:justify;">Bài 6 (trang 79 SGK Đại Số 10):</h3>Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.Lời giải&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B01_C01_37be382f79.png?38413.14000001876" alt="">Gọi tiếp điểm của AB và đường tròn tâm O, bán kính 1 là M, ta có: OM ⊥ AB.ΔOAB vuông tại O, có OM là đường cao nên MA.MB = MO2 = 1 (hằng số)&nbsp;Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:\[ \text{MA}+\text{MB}\ge 2\sqrt{\text{MA}\cdot \text{MB}}=2.\sqrt{1}=2 \]&nbsp;Dấu « = » xảy ra khi MA = MB = 1.Khi đó $O \mathrm{~A}=\sqrt{\left(\mathrm{MA}^{2}+\mathrm{MO}^{2}\right)}=\sqrt{2} ; \mathrm{OB}=\sqrt{\left(\mathrm{OM}^{2}+\mathrm{MB}^{2}\right)}=\sqrt{2}$Mà A, B nằm trên tia Ox và Oy nên\[ \text{A}(\sqrt{2};0) \] ; \[ \text{B}(0;\sqrt{2}) \]&nbsp;Vậy tọa độ là \[ \text{A}(\sqrt{2};0) \] và \[ \text{B}(0;\sqrt{2}) \] .Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất đẳng thức toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bất đẳng thức

CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH.<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>1. Điều kiện của một bất phương trình là điều kiện mà ẩn số phải thỏa mãn để các biểu thức ở hai vế của bất phương trình có nghĩa.2. Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.3. Các phép biến đổi bất phương trình Kí hiệu \[ D \] là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình \[ P(x) .a) Phép cộng Nếu \[ f(x) \] xác định trên \[ D \] thì \[ P(x) .b) Phép nhân Nếu \[ f(x)&gt;0,\forall x\in D \] thì \[ P(x) Nếu \[ f(x)&lt;0,\forall x\in D \] thì \[ P(x)Q(x)\cdot f(x) \]&nbsp;c) Phép bình phương Nếu \[ P(x)\ge 0;Q(x)\ge 0,\forall x\in D \] thì \[ P(x)4. Chú ý. Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình, điều kiện của bất phương trình thường bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của bất phương trình đã cho ta phải tìm các giá trị của ẩn đồng thời thỏa mãn bất phương trình mới và điều kiện của bất phương trình đã cho.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tìm điều kiện của bất phương trình</h3>Phương pháp:- Đối với bất phương trình có chứa căn bậc hai, biểu thức dưới căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.- Đối với bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu, điều kiện là mẫu số khác 0.Ví dụ: Tìm điều kiện của bất phương trình \[ \sqrt{\frac{x+1}{{{(x-2)}^{2}}}} .GiảiĐiều kiện của bất phương trình là \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+1\ge 0 \\ x-2\ne 0 \end{array} \right. \] hay \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ge -1 \\ x\ne 2 \end{array} \right. \] .<h3>Dạng 2. Giải bất phương trình.</h3>Phương pháp:Bước 1. Tìm điều kiện của bất phương trình.Bước 2. Dùng các phép biến đổi bất phương trình (phép cộng, phép nhân, phép bình phương) đưa về bất phương trình đơn giản để tìm điều kiện của \[ x \] .Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận tập nghiệm.Ví dụ: Giải bất phương trình \[ \frac{(x-4)\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}&lt;2 \] .GiảiĐiều kiện: \[ x-5&gt;0\Leftrightarrow x&gt;5 \] .\[ \frac{(x-4)\sqrt{x-5}}{\sqrt{x-5}}&lt;2\Leftrightarrow x-4&lt;2\Leftrightarrow x&lt;6 \] .Kết hợp với điều kiện suy ra \[ 5 .Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ S=(5,6) \] .<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1/Tr87</h3>Tìm các giá trị \[ x \] thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình saua) \[ \frac{1}{x}&lt;1-\frac{1}{x+1} \] ;b) \[ \frac{1}{{{x}^{2}}-4}\le \frac{2x}{{{x}^{2}}-4x+3} \] ;c) \[ 2|x|-1+\sqrt[3]{x-1}&lt;\frac{2x}{x+1} \] ;d) \[ 2\sqrt{1-x}&gt;3x+\frac{1}{x+4} \] .Giải:a) \[ \frac{1}{x}&lt;1-\frac{1}{x+1} \] .Bất phương trình xác định khi: \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ne 0 \\ \text{x}+1\ne 0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ne 0 \\ \text{x}\ne -1 \end{array} \right. \right. \] .b) \[ \frac{1}{{{x}^{2}}-4}\le \frac{2x}{{{x}^{2}}-4x+3} \] .Bất phương trình xác định khi: \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}^{2}}-4\ne 0 \\ {{x}^{2}}-4x+3\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} (x-2)(x+2)\ne 0 \\ (x-1)(x-3)\ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}\ne 2 \\ \text{x}\ne -2 \\ \text{x}\ne 3 \\ \text{x}\ne 1 \end{array} \right. \] .c) \[ 2|x|-1+\sqrt[3]{x-1}&lt;\frac{2x}{x+1} \] .Bất phương trình xác định khi: \[ x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1 \] .d) \[ 2\sqrt{1-x}&gt;3x+\frac{1}{x+4} \] .Bất phương trình xác định khi: \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x+4\ne 0 \\ 1-x\ge 0 \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x\ne -4 \\ x\le 1 \end{array} \right. \right. \] .<h3>Bài 2/Tr88</h3>Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệma) \[ {{x}^{2}}+\sqrt{x+8}\le -3 \] ;b) \[ \sqrt{1+2{{(x-3)}^{2}}}+\sqrt{5-4x+{{x}^{2}}}&lt;\frac{3}{2} \] ;c) \[ \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{7+{{x}^{2}}}&gt;1 \] .Giảia) ĐKXĐ: \[ x\ge -8 \]&nbsp;Ta có: \[ {{\text{x}}^{2}}\ge 0;\sqrt{\text{x}+8}\ge 0 \] nên \[ {{x}^{2}}+\sqrt{x+8}\ge 0&gt;-3 \] với mọi \[ x\ge -8 \] .Vậy bất phương trình vô nghiệm.b) Tập xác định: \[ D=R \] .Vì \[ \sqrt{1+2{{(x-3)}^{2}}}\ge 1 \] với mọi x và \[ \sqrt{5-4x+{{x}^{2}}}=\sqrt{1+{{(x-2)}^{2}}}\ge 1 \] với mọi x, nên \[ \sqrt{1+2{{(x-3)}^{2}}}+\sqrt{5-4x+{{x}^{2}}}\ge 2 \] , ∀x ∈ R (đpcm).c) Vì \[ \sqrt{1+{{x}^{2}}}&lt;\sqrt{7+{{x}^{2}}} \] nên \[ \sqrt{1+{{x}^{2}}}-\sqrt{7+{{x}^{2}}}&lt;0 \] , ∀x ∈ R (đpcm).<h3>Bài 3/Tr88</h3>Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?a) \[ -4x+1&gt;0 \] và \[ 4x-1&lt;0 \]&nbsp;b) \[ 2{{x}^{2}}+5\le 2x-1 \] và \[ 2{{x}^{2}}-2x+6\le 0 \]&nbsp;c) \[ x+1&gt;0 \] và \[ x+1+\frac{1}{{{x}^{2}}+1}&gt;\frac{1}{{{x}^{2}}+1} \]&nbsp;d) \[ \sqrt{x-1}\ge x \] và \[ (2x+1)\sqrt{x-1}\ge x(2x+1) \]&nbsp;Giảia) Nhân cả hai vế của BPT \[ -4x+1&gt;0 \] với -1 ta được BPT \[ 4x-1&lt;0 \] tương đương.b) Cộng hai vế của BPT \[ 2{{x}^{2}}+5\le 2x-1 \] với \[ 1-2x \] ta được BPT \[ 2{{x}^{2}}-2x+6\le 0 \] tương đương.c) Cộng hai vế của BPT \[ x+1&gt;0 \] với \[ \frac{1}{{{x}^{2}}+1} \] ta được BPT \[ x+1+\frac{1}{{{x}^{2}}+1}&gt;\frac{1}{{{x}^{2}}+1} \] tương đương.d) ĐK: \[ x\ge 1 \] . Suy ra: \[ 2x+1&gt;0 \] . Nhân cả hai vế BPT \[ \sqrt{x-1}\ge x \] với \[ 2x+1 \] ta được BPT \[ (2x+1)\sqrt{x-1}\ge x(2x+1) \] tương đương.<h3>Bài 4/Tr88</h3>Giải các bất phương trình sau a) \[ \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}&lt;\frac{1-2x}{4} \]&nbsp;b) \[ (2x-1)(x+3)-3x+1\le (x-1)(x+3)+{{x}^{2}}-5 \]&nbsp;Giảia) Tập xác định \[ D=R \] .\[ \begin{array}{l} \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}&lt;\frac{1-2x}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{6\cdot (3x+1)-4\cdot (x-2)}{12}&lt;\frac{3\cdot (1-2x)}{12} \\ \Leftrightarrow 6\cdot (3x+1)-4\cdot (x-2)&lt;3\cdot (1-2x) \\ \Leftrightarrow 18x+6-4x+8&lt;3-6x \\ \Leftrightarrow 20x&lt;-11\Leftrightarrow x&lt;\frac{-11}{20} \end{array} \]&nbsp;Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( -\infty ;\frac{-11}{20} \right) \] .b)\[ \begin{array}{l} (2x-1)(x+3)-3x+1\le (x-1)(x+3)+{{x}^{2}}-5 \\ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+6x-x-3-3x+1\le {{x}^{2}}+3x-x-3+{{x}^{2}}-5 \\ \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2x-2\le 2{{x}^{2}}+2x-8 \end{array} \] \[ \Leftrightarrow 6\le 0 \] (vô lý).Vậy phương trình vô nghiệm.<h3>Bài 5/Tr88</h3>Giải các hệ bất phương trìnha) \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 6x+\frac{5}{7}&lt;4x+7 \\ \frac{8x+3}{2}&lt;2x+5 \end{array} \right. \]&nbsp;b) \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 15x-2&gt;2x+\frac{1}{3} \\ 2(x-4)&lt;\frac{3x-14}{2} \end{array} \right. \]&nbsp;Giảia) Tập xác định \[ D=R \] .Giải từng bất phương trình ta có \[ 6x+\frac{5}{7}&lt;4x+7\Leftrightarrow 6x-4x&lt;7-\frac{5}{7}\Leftrightarrow 2x&lt;\frac{44}{7}\Leftrightarrow x&lt;\frac{22}{7} \] (1)\[ \frac{8x+3}{2}&lt;2x+5\Leftrightarrow 8x+3&lt;2. (2x+5)\Leftrightarrow 8x+3&lt;4x+10\Leftrightarrow 4x&lt;7\Leftrightarrow x&lt;\frac{7}{4} \] (2)Kết hợp (1) và (2) suy ra \[ x&lt;\frac{7}{4} \] . Vậy tập nghiệm BPT là \[ S=\left( -\infty ,\frac{7}{4} \right) \] .b) \[ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 15x-2&gt;2x+\frac{1}{3} \\ 2(x-4)&lt;\frac{3x-14}{2} \end{array} \right. \]&nbsp;Giải từng BPT \[ 15\text{x}-2&gt;2\text{x}+\frac{1}{3}\Leftrightarrow 15\text{x}-2\text{x}&gt;\frac{1}{3}+2\Leftrightarrow 13\text{x}&gt;\frac{7}{3}\Leftrightarrow \text{x}&gt;\frac{7}{39} \] (1)\[ 2(x-4)&lt;\frac{3x-14}{2}\Leftrightarrow 4(x-4)&lt;3x-14\Leftrightarrow 4x-3x&lt;16-14\Leftrightarrow x&lt;2 \] (2)Kết hợp (1) và (2) suy ra \[ \frac{7}{39} .Vậy tập nghiệm của BPT là \[ S=\left( \frac{7}{39},2 \right) \] .Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Dấu của nhị thức bậc nhất \[ f(x)=ax+b \]</h3>a) Bảng xét dấu<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C01_8817c45ff9.png" alt="">b) Sử dụng trục số<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C02_59c39c8f89.png" alt=""><h3>2. Khử dấu giá trị tuyệt đối</h3>a) Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C03_b6de4e6be7.png" alt="">b) Đồng nhất thức \[ {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}} \] với mọi x.c) Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốiVới \[ a&gt;0 \] ta có:\[ \begin{align} &amp; |f(x)|\le a\Leftrightarrow -a\le f(x)\le a \\ &amp; |f(x)|\ge a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} f(x)\ge a \\ f(x)\le -a \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \]<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Xét dấu tích, thương của các nhị thức bậc nhất</h3>Phương pháp: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu từng nhị thức. Sau đó kết hợp dấu các nhị thức với nhau để tìm ra dấu của biểu thức.Ví dụ: Xét dấu \[ f(x)=(-2x+3)(x-2)(x+4) \]Giải<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C04_f174f0a5b4.png" alt=""><h3>Dạng 2. Giải bất phương trình</h3>Phương pháp:Bước 1. Biến đổi các vế của phương trình về dạng tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất.Bước 2. Xét dấu biểu thức đã biến đổi và suy ra nghiệm của bất phương trình.Bước 3. Kết luận.<h3>Dạng 3. Giải bất phương trình chứa ẩn ở dấu giá trị tuyệt đối.</h3>Phương pháp: Sử dụng các bất phương trình\[ \begin{align} &amp; |f(x)|\le a\Leftrightarrow -a\le f(x)\le a \\ &amp; |f(x)|\ge a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} f(x)\ge a \\ f(x)\le -a \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \] với \[ a&gt;0 \] .<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 94 SGK Đại số lớp 10)</h3>Xét dấu các biểu thứca) \[ f(x)=(2x-1)(x+3) \] ; b) \[ f(x)=(-3x-3)(x+2)(x+3) \]c) \[ f(x)=\frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x} \] ; d) \[ f(x)=4{{x}^{2}}-1 \] .Giảia) \[ f(x)=(2x-1)(x+3) \]Ta có bảng xét dấu<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C05_56d4a7cc02.png" alt="">b) \[ f(x)=(-3x-3)(x+2)(x+3) \]Ta có bảng xét dấu<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C06_e23915c33b.png" alt="">c) \[ f(x)=\frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\text{ }=\frac{-4(2-x)-3(3x+1)}{(3x+1)(2-x)}=\frac{-5x-11}{(3x+1)(2-x)}\text{ } \]Ta có bảng xét dấu<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C07_4688b845a4.png" alt="">d) \[ f(x)=4{{x}^{2}}-1=(2x-1)(2x+1) \]Ta có bảng xét dấu<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C08_be2c9a3fe2.png" alt=""><h3>Bài 2 (trang 94 SGK Đại số 10)</h3>Giải các bất phương trìnha) \[ \frac{2}{x-1}\le \frac{5}{2x-1} \] b) \[ \frac{1}{x+1}&lt;\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}} \]c) \[ \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}&lt;\frac{3}{x+3} \] d) \[ \frac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}&lt;1 \]Giảia) ĐKXĐ: \[ x\ne 1;x\ne \frac{1}{2} \] .\[ \begin{align} &amp; \frac{2}{x-1}\le \frac{5}{2x-1} \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{2}{x-1}-\frac{5}{2x-1}\le 0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{2\cdot (2x-1)-5\cdot (x-1)}{(x-1)(2x-1)}\le 0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{4x-2-5x+5}{(x-1)(2x-1)}\le 0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{-x+3}{(x-1)(2x-1)}\le 0 \\ \end{align} \]&nbsp;Đặt \[ f(x)=\frac{-x+3}{(x-1)(2x-1)} \]Lập bảng xét dấu f(x)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C09_5797e43091.png" alt="">Suy ra \[ f(x)\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( \frac{1}{2};1 \right)\cup [3;+\infty ) \] .b) Điều kiện xác định \[ x\ne 1;x\ne -1 \]\[ \begin{align} &amp; \frac{1}{x+1}&lt;\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}} \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{{{(x-1)}^{2}}-(x+1)}{(x+1){{(x-1)}^{2}}}&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3x}{(x+1){{(x-1)}^{2}}}&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{x(x-3)}{(x+1){{(x-1)}^{2}}}&lt;0 \\ \end{align} \]Đặt \[ f(x)=\frac{x(x-3)}{(x+1){{(x-1)}^{2}}} \] . Ta có bảng xét dấu sau:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C10_1c0d60eea5.png" alt="">Suy ra \[ f(x)&lt;0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x&lt;-1 \\ 0c) ĐKXĐ: \[ x\ne 0;x\ne -3;x\ne -4 \] .Ta có:\[ \begin{align} &amp; \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}&lt;\frac{3}{x+3} \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}-\frac{3}{x+3}&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{(x+4)(x+3)+2\cdot x\cdot (x+3)-3\cdot x\cdot (x+4)}{x(x+4)(x+3)}&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{x+12}{x(x+4)(x+3)}&lt;0 \\ \end{align} \]Đặt \[ f(x)=\frac{x+12}{x(x+4)(x+3)} \] . Ta có bảng xét dấu:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C11_dcceb78b23.png" alt="">Suy ra \[ f(x)&lt;0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} -12Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ S=(-12;-4)\cup (-3;0) \] .d) Điều kiện xác định \[ x\ne \pm 1 \] .\[ \begin{align} &amp; \frac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}&lt;1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}-1&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3x+1-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}&lt;0\Leftrightarrow \frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)}&lt;0 \\ \end{align} \]Đặt \[ f(x)=\frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)} \] . Ta có bảng xét dấu:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C12_6039033732.png" alt="">Suy ra \[ f(x)&lt;0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} -11 \\ \end{array} \right. \] .Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( -1;\frac{2}{3} \right)\cup (1;+\infty ) \] .<h3>Bài 3 (trang 94 SGK Đại số 10)</h3>Giải các bất phương trìnha) \[ |5x-4|\ge 6 \] b) \[ \left| \frac{-5}{x+2} \right|&lt;\left| \frac{10}{x-1} \right| \] .Giảia) \[ |5x-4|\ge 6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 5x-4\ge 6 \\ 5x-4\le -6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 5x\ge 10 \\ 5x\le -2 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x\ge 2 \\ x\le \frac{-2}{5} \\ \end{array} \right. \right. \] .Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( -\infty ,\frac{-2}{5} \right]\cup [2;+\infty ) \] .b) Điều kiện xác định \[ x\ne 1;x\ne -2 \] .\[ \begin{align} &amp; \left| \frac{-5}{x+2} \right|&lt;\left| \frac{10}{x-1} \right|\Leftrightarrow {{\left( \frac{-5}{x+2} \right)}^{2}}&lt;{{\left( \frac{10}{x-1} \right)}^{2}} \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{25}{{{(x+2)}^{2}}}&lt;\frac{100}{{{(x-1)}^{2}}} \\ &amp; \Rightarrow 25{{(x-1)}^{2}}&lt;100{{(x+2)}^{2}} \\ \end{align} \]\[ \begin{align} &amp; \Rightarrow 25{{(\text{x}-1)}^{2}}&lt;100\cdot {{(\text{x}+2)}^{2}} \\ &amp; \Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}&lt;4{{(x+2)}^{2}} \\ &amp; \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1&lt;4{{x}^{2}}+16x+16 \\ &amp; \Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-18x-15&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}+6\text{x}+5&gt;0\Leftrightarrow (x+1)(x+5)&gt;0 \\ \end{align} \]Đặt \[ f(x)=(x+1)(x+5) \]Ta có bảng xét dấu sau<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_03_C13_5732d61e24.png" alt="">Suy ra f(x)&gt;0 khi và chỉ khi x&lt;-5 hoặc x&gt;-1.Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \[ S=(-\infty ;-5)\cup (-1;+\infty )\backslash \{1\} \] .Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa dấu của nhị thức bậc nhất toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 3. Dấu của nhị thức bậc nhất

Dấu của nhị thức bậc nhất

BÀI 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN<h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2>1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình\[ ax+by\le c \] (1)Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0.Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \[ (\Delta ):ax+by=c. \]&nbsp;Bước 2. Lấy một điểm \[ {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\notin (\Delta ) \] (ta thường lấy gốc tọa độ O).Bước 3. Tính \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] và so sánh \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] với c.Bước 4. Kết luậnNếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .Nếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}&gt;c \] thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] không chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .2. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (1) ta được miền nghiệm của bất phương trình ax+byMiền nghiệm của các bất phương trình \[ax+by\ge c\] và \[ax+by&gt;c\] được xác định tương tự.3. Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by\le c \\ a'x+b'y\le c' \\ \end{array} \right. $Vẽ các đường thẳng \[ (\Delta ):\,\,\,ax+by=c \] và \[ \left( \Delta ' \right):a'x+b'y=c' \] .Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng F=ax+by, trong đó x và y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. Vẽ miền nghiệm của hệ BPT đã cho.Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác. Tính giá trị của F ứng với (x; y) là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này rồi so sánh các kết quả từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình.</h3>Phương pháp:Giả sử có BPT : \[ ax+by\le c \] (1)Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0.Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng \[ (\Delta ):ax+by=c. \]&nbsp;Bước 2. Lấy một điểm \[ {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\notin (\Delta ) \] (ta thường lấy gốc tọa độ O).Bước 3. Tính \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] và so sánh \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} \] với c.Bước 4. Kết luậnNếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}} thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .Nếu \[ a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}&gt;c \] thì nửa mặt phẳng bờ \[ (\Delta ) \] không chứa \[ {{M}_{0}} \] là miền nghiệm của \[ ax+by\le c \] .<h3>Dạng 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình.</h3>Phương pháp:Xét BPT$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ax+by\le c \\ a'x+b'y\le c' \\ \end{array} \right. $Vẽ các đường thẳng \[ (\Delta ):\,\,\,ax+by=c \] và \[ \left( \Delta ' \right):a'x+b'y=c' \] .Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1/Tr99.</h3>Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau.a) \[ -x+2+2(y-2)&lt;2(1-x) \]&nbsp;b) \[ 3(x-1)+4(y-2)&lt;5x-3 \] .Giảia) \[ -x+2+2(y-2)&lt;2(1-x) \] \[ \Leftrightarrow 2y+x&lt;4 \] .Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ) được tô màu.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_04_C01_e22220b3e8.png" alt="">b) 3(x – 1) + 4(y – 2) &lt; 5x – 3 ⇔ -x + 2y &lt; 4.Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ) được tô màu.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_04_C02_f29c2b8fe6.png" alt="">&nbsp;<h3>Bài 2/Tr 99.</h3>Miền nghiệm của hệ bất phương trình $ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x-2y&lt;0 \\ x+3y&gt;-2 \\ y-x&lt;3 \\ \end{array} \right. $ là phần mặt phẳng ( không kể bờ) được tô màu dưới đây.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_04_C03_948dfd6a8d.png" alt="">b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1&lt;0 \\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}&lt;1 \\ x-\frac{3y}{2}\le \frac{3}{2} \\ x\ge 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. $là phần mặt phẳng ( bỏ một bờ là đường thẳng \[ \frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1 \] ) được tô màu dưới đây.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_04_C04_90e0974dfc.png" alt=""><h3>Bài 3/Tr 99.</h3>Gọi xí nghiệp sản xuất x sản phẩm 1 và y sản phẩm II (x, y ≥ 0), như vậy tổng số tiền lãi thu được là L = 3x + 5y (nghìn đồng). Theo bài ra ta có: nhóm A cần 2x + 2y máy, nhóm B cần 0x + 2y máy, 2x + 4y máy. Vậy, ta có hệ bất phương trình:$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1&lt;0 \\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{x}{3}+\frac{y}{2}&lt;1 \\ x-\frac{3y}{2}\le \frac{3}{2} \\ x\ge 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. $Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác ABCOD với A(4;1); B(2;2); C(0;2); 0(0;0); D(5;0) (hình vẽ). L đạt max tại một trong các đỉnh nảy:Ta có bảng<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:104px;">(x;y)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:104px;">(2;2)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:104px;">(0;2)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:104px;">(0;0)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:104px;">(4;1)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:104px;">(5;1)</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:104px;">L=3x+5y</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:104px;">16</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:104px;">10</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:104px;">0</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:104px;">17</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:104px;">15</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;Dựa vào bảng ta thấy: maxL = 17 đạt khi x = 4; y = 1.Vậy, để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất, doanh nghiệp cần sản xuất 4 sản phẩm I là 1 sản phẩm II.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_04_C05_a47ee59276.png" alt="">&nbsp;Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN</h2><h2>I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Phương sai</h3><h4>a) Định nghĩa</h4>Cho dãy n số liệu thống kê \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{0}}\]. Phương sai của n số liệu thống kê đã cho là một số được kí hiệu là \[ {{s}^{2}} \] và bằng\[ {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}} \]với \[ \overline{x} \] là trung bình cộng của n số liệu thống kê đã cho.\[ \begin{align} &amp; {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\left[ {{n}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right] \\ &amp; ={{f}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \\ \end{align} \]<h4>b) Công thức tính</h4>– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất\[ \begin{align} &amp; {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\left[ {{n}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right] \\ &amp; ={{f}_{1}}{{\left( {{x}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}{{\left( {{x}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{\left( {{x}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \\ \end{align} \]Trong đó \[ {{n}_{i}},{{f}_{i}} \] lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \[ {{x}_{1}} \] , n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n), \[ \overline{x} \] là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp\[ \begin{align} &amp; {{s}^{2}}=\frac{1}{n}\left[ {{n}_{1}}{{\left( {{c}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{n}_{2}}{{\left( {{c}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{\left( {{c}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \right] \\ &amp; ={{f}_{1}}{{\left( {{c}_{1}}-\bar{x} \right)}^{2}}+{{f}_{2}}{{\left( {{c}_{2}}-\bar{x} \right)}^{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{\left( {{c}_{k}}-\bar{x} \right)}^{2}} \\ \end{align} \]Trong đó \[{{c}_{i}},{{n}_{i}},{{f}_{i}}\] lần lượt là giá trị đại diện tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n); \[ \overline{x} \] là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đa cho.<h3>2. Độ chệch chuẩn</h3>Căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn và kí hiệu là x.\[ s=\sqrt{{{s}^{2}}} \]Phương sai \[ {{s}^{2}} \] và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s, vì s có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Tính phương sai, độ lệch chuẩnPhương pháp: Sử dụng bảng tần số, tần số ghép lớp, áp dụng các công thức về phương sai, độ lệch chuẩn để giải bài toán.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (Trang 128, SGK)</h3>– Trong bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 của δ1\[ \begin{align} &amp; \Rightarrow {{s}^{2}}=0,1.{{(1150-1170)}^{2}}+0,2.{{(1160-1170)}^{2}}+0,4.{{(1170-1170)}^{2}} \\ &amp; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+0,2\cdot {{(1180-1170)}^{2}}+0,1.{{(1190-1170)}^{2}} \\ &amp; \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=120 \\ &amp; \Rightarrow s=\sqrt{{{s}^{2}}}=\sqrt{84}\approx 9,2(\text{cm}) \\ \end{align} \]<h3>Bài 2 (Trang 128, SGK)</h3>a) Các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.– Dãy số liệu về điểm thi của lớp 10C có:+ Số trung bình cộng điểm thi môn Ngữ văn của lớp 10C là:+ Phương sai: \[ \bar{x}=\frac{1}{40}\cdot (3.5+7.6+12.7+8.14+9.3+10.1)\approx 7,2 \] (điểm)&nbsp;+ Độ lệch chuẩn: \[ \Rightarrow s_{x}^{2}=\frac{1}{40}\cdot \left[ \begin{align} &amp; 3{{(5-7,2)}^{2}}+7\cdot {{(6-7,2)}^{2}}+12.{{(7-7,2)}^{2}} \\ &amp; +14.{{(8-7,2)}^{2}}+3.{{(9-7,2)}^{2}}+1.{{(10-7,2)}^{2}} \\ \end{align} \right]\approx 1,3 \]\[ \Rightarrow s=\sqrt{s_{x}^{2}}=\sqrt{1,3}\approx 1,14 \] (điểm).– Dãy số liệu về điểm thi của lớp 10D có:+ Số trung bình cộng điểm thi môn Ngữ văn của lớp 10D là:\[ \bar{y}=\frac{1}{40}(8.6+7.18+8.10+9.4)\approx 7,2 \] (điểm).+ Phương sai:\[ \Rightarrow s_{y}^{2}=\frac{1}{40}\cdot \left[ 8{{(6-7,2)}^{2}}+18.{{(7-7,2)}^{2}}+10.{{(8-7,2)}^{2}}+4.{{(9-7,2)}^{2}} \right]\approx 0,8 \]+ Độ lệch chuẩn:\[ \Rightarrow s=\sqrt{s_{y}^{2}}=\sqrt{0,8}\approx 0,9 \] (điểm)b) Các số liệu thống kê có cùng đơn vị đo,\[ \bar{x}\approx \bar{y}\approx 7,2;s_{x}^{2}&gt;s_{y}^{2} \]suy ra điểm thi môn Ngữ Văn của lớp 10D là đồng đều hơn.<h3>Bài 3 (Trang 128, SGK)</h3>a) Các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho– Số trung bình cộng khối lượng của nhóm cá mè thứ 1 là:\[ \bar{x}=\frac{1}{20}(4.0,7+6.0,9+6.1,1+4.1,3)=1(\text{kg}) \] .– Số trung bình cộng khối lượng của nhóm cá mè thứ 2 là:\[ \bar{y}=\frac{1}{20}(3.0,6+4.0,8+6.1+4.1,2+3.1,4)=1(\text{kg}) \] .b) Phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.– Phương sai của bảng phân bố tần số ghép lớp về khối lượng cá mè của nhóm thứ 1 là:Ta có:\[ \begin{align} &amp; \overline{{{x}^{2}}}=\frac{1}{20}\left( 4.0,{{7}^{2}}+6.0,{{9}^{2}}+6.1,{{1}^{2}}+4.1,{{3}^{2}} \right)=1,042 \\ &amp; \Rightarrow s_{x}^{2}=\overline{{{x}^{2}}}-{{(\bar{x})}^{2}}=1,042-1=0,042 \\ \end{align} \]– Phương sai của bảng phân bố tần số ghép lớp về khối lượng cá mè của nhóm thứ 2 là:Ta có:\[ \begin{align} &amp; \overline{{{y}^{2}}}=\frac{1}{20}\left( 3.0,{{6}^{2}}+4.0,{{8}^{2}}+{{6.1}^{2}}+4.1,{{2}^{2}}+3.1,{{4}^{2}} \right)=1,064 \\ &amp; \Rightarrow s_{y}^{2}=\overline{{{y}^{2}}}-{{(\bar{y})}^{2}}=1,064-1=0,064 \\ \end{align} \]c) Theo câu a ta có:\[ \begin{align} &amp; s_{x}^{2}\approx 0,04\Rightarrow {{s}_{x}}=0,2(\text{kg}) \\ &amp; s_{y}^{2}\approx 0,06\Rightarrow {{s}_{y}}=0,25(\text{kg}) \\ \end{align} \]Vậy, \[{{s}_{y}}&gt;{{s}_{x}}\] nên nhóm cá mè thứ 1 có khối lượng đồng đều hơn nhóm cá mè thứ 2.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải bài tập phương sai và độ lệch chuẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 4. Phương sai và độ lệch chuẩn.

Phương sai và độ lệch chuẩn.

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. TRUNG VỊ. MỐT</h2><h2>I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Số trung bình cộng (hay số trung bình)</h3>Ta có thể tính số trung bình cộng của các số liệu thống kê theo các công thức sau:– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:\[ \bar{x}=\frac{1}{n}\left( {{n}_{1}}{{x}_{1}}+{{n}_{2}}{{x}_{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{x}_{k}} \right)={{f}_{1}}{{x}_{1}}+{{f}_{2}}{{x}_{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{x}_{k}} \]&nbsp;Trong đó \[ {{n}_{i}},{{f}_{i}} \] lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \[ {{x}_{1}} \] , n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n).– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghét lớp: \[ \bar{x}=\frac{1}{n}\left( {{n}_{1}}{{c}_{1}}+{{n}_{2}}{{c}_{2}}+\ldots +{{n}_{k}}{{c}_{k}} \right)={{f}_{1}}{{c}_{1}}+{{f}_{2}}{{c}_{2}}+\ldots +{{f}_{k}}{{c}_{k}} \]&nbsp;Trong đó \[{{c}_{i}},{{n}_{i}},{{f}_{i}}\] lần lượt là giá trị đại diện tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n1 + n2 + … + nk = n).<h3>2. Số trung vị</h3>Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu \[ {{M}_{e}} \] là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa dãy nếu số phần tử là chẵn.<h3>3. Mốt</h3>Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là \[{{M}_{O}}\].<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Tính số trung bình cộng, số trung vị và tìm mốt: Dựa vào các bảng phân bố tần số, tần suất hoặc ghép lớp và dùng định nghĩa, công thức để tìm.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (Trang 122, SGK)</h3>– Số trung bình cộng của bảng phân bố đã được lập ở bài tập số 1 của δ1 là:\[ \bar{x}=1150.0,1+1160.0,2+1170.0,4+1180.0,2+1190.0,1=1170(h) \]&nbsp;– Số trung bình cộng của bảng phân bố đã được lập ở bài tập số 2 của δ1 là:\[ \bar{x}=15\cdot \frac{8}{60}+25\cdot \frac{18}{60}+35\cdot \frac{24}{60}+45\cdot \frac{10}{60}=31 \]&nbsp;<h3>Bài 2 (Trang 122, SGK)</h3>Số trung bình cộng điểm thi Toán của lớp 10A là:\[ \bar{x}=1\cdot \frac{4}{51}+3\cdot \frac{10}{51}+5\cdot \frac{18}{51}+7\cdot \frac{14}{51}+9\cdot \frac{5}{51}\approx 5,2 \]&nbsp;Vì \[ \bar{x}&gt;\bar{y} \] nên kết quả làm bài thi môn Toán của học sinh ở lớp 10A cao hơn lớp 10B.<h3>Bài 3 (Trang 123, SGK)</h3>Bảng phân bố đã cho có hai giá trị có tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của những giá trị khác là x3 = 700 và x5 = 900. Trong trường hợp này, ta xem rằng có hai mốt là\[ M_{0}^{(1)}=700.000(vnd),M_{0}^{(2)}=900.000(vnd) \]&nbsp;Kết quả vừa thu được có ý nghĩa là: trong 30 công nhận được khảo sát, số người có tiền lương hằng tháng là 700 nghìn đồng, hoặc 900 nghìn đồng là nhiều nhất.<h3>Bài 4 (Trang 123, SGK)</h3>Sắp các số liệu thống kê đã cho theo thứ tự tăng ta được:650, 670, 690, 720, 840, 2500, 3000 (nghìn đồng)Từ đó: \[ {{M}_{e}} \] = 720 (nghìn đồng).Ý nghĩa của kết quả tìm được: Vì các số liệu thống kê quá ít (n = 7 &lt; 10) nên ta không chọn số trung bình cộng mà chọn số trung vị \[ {{M}_{e}} \] = 720 (nghìn đồng) làm đại diện cho tiền lương hằng tháng của các nhân viên đã được khảo sát.<h3>Bài 5 (Trang 123, SGK)</h3>Ta xem năng suất lúa (tạ/ha) của 3 xã A, B, C là xi.Diện tích trồng lúa của 3 xã là\[{{n}_{i}}\]. Khi đó, ta có năng suất lúa trung bình của mùa vụ năm 1980 trong toàn bộ 3 xã là \[ \overline{x} \] với:\[ \bar{x}=\frac{1}{150+130+120}(150.40+130.38+120.36)=38,15 \]&nbsp;Đơn vị (tạ/ha).Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa toán học đại số 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Bài 3. Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt.

Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt.

Ôn tập chương 4.Bất đẳng thức. Bất phương trình

Ôn tập chương 4

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: HÀM SỐ y=ax+b</h2><h2>A. LÝ&nbsp;THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>I. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT</h3>y = ax + b (a ≠ 0)+)Tập xác định D = R+) Chiều biến thiênVới a &gt; 0 hàm số đồng biến trênVới a &lt; 0 hàm số nghịch biến trên+) Bảng biến thiên<img src="DS_CH02_B02_C01.png" alt=""><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_DS_CH_02_B02_C01_f61a251371.png?1250011.8050000165" alt="">Đồ thịĐồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y = ax (nếu b ≠ 0) (nếu b ≠ 0) và đi qua hai điểm<h3>II. HÀM SỐ HẰNG y = b</h3>Đồ thị hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0 ; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C02_a59a87c934.png?1250019.0000000293" alt=""><h3>III. HÀM SỐ y = |x|</h3>Hàm số y = |x| có liên quan chặt chẽ với hàm bậc nhất.1. Tập xác địnhHàm số y = |x| xác định với mọi giá trị của x ∈ R tức là tập xác định y = |x|.2. Chiều biến thiênTheo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có &nbsp;$y=|x|=\left\{ \begin{array}{*{35}{r}}&nbsp;&nbsp; x\text{ khi }x\ge 0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; -x\text{ khi }x&lt;0&nbsp; \\ \end{array} \right. $Từ đó suy ra hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng ( –∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).Bảng biến thiênKhi x &gt; 0 và dần tới +∞ thì y = x dần tới +∞, khi x &lt; 0 dần tới –∞ thì y = –x cũng dần tới +∞. Ta có bảng biến thiên sau<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C03_c80aa3bc81.png?1250016.7100000544" alt="">3. Đồ thịTrong nửa khoảng [0; +∞) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số y = x.Trong khoảng (–∞; 0) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số y = –x<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C04_3d8c33bb03.png?1250014.915000007" alt="">CHÚ ÝHàm số y = |x| là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.<h2>B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1:&nbsp;Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số&nbsp;</h3>+ Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau:Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0). Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b từ đó suy ra hàm số cần tìm.+ Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1&nbsp;và d2: y = a2x + b2. Khi đó:a) d1&nbsp;và d2&nbsp;trùng nhau &nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; {{a}_{1}}={{a}_{2}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{b}_{1}}={{b}_{2}}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;b) d1&nbsp;và d2&nbsp;song song nhau &nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; {{a}_{1}}={{a}_{2}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;c) d1&nbsp;và d2&nbsp;cắt nhau ⇔ a1&nbsp;≠ a2. Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:&nbsp;$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;d) d1&nbsp;và d2&nbsp;vuông góc nhau ⇔ a1.a2&nbsp;= -1<h3>Dạng 2:&nbsp;Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất&nbsp;</h3>Dựa trên kiến thức đã nêu ở phần Lý thuyết trọng tâm<h3>Dạng 3:&nbsp;Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối</h3>Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = |ax + b| ta làm như sauCách 1:&nbsp;Vẽ (C1&nbsp;) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C2&nbsp;) là đường thẳng y = -ax - b lấy phần đồ thị sao cho x &lt; (-b)/a. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C1&nbsp;) và (C2&nbsp;).Cách 2:&nbsp;Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C).Chú ý:+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C1&nbsp;): y = f(|x|) là gồm phần :&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C2&nbsp;): y = |f(x)| là gồm phần:&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành&nbsp;&nbsp;&nbsp; - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.<h3>Dạng 4:&nbsp;Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất</h3>Cho hàm số f(x) = ax + b và đoạn [α; β] ⊂ R.Khi đó, đồ thị của hàm số y = f(x) trên [α; β] là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:&nbsp;$$ {{\max }_{[\alpha ,\beta ]}}f(x)=\max \{f(\alpha );f(\beta )\} $$&nbsp;$$ {{\min }_{[\alpha ,\beta ]}}f(x)=\min \{f(\alpha );f(\beta )\} $$&nbsp;$$ {{\max }_{[\alpha ,\beta ]}}|f(x)|=\max \{|f(\alpha )|;|f(\beta )|\} $$<h2>C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 41-42 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>a) y = 2x – 3.<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:64px;">x</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:64px;">1</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:64px;">0</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:64px;">y</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:64px;">-1</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:64px;">-3</td></tr></tbody></table></figure><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C05_210d358187.png?1250018.4400000144" alt="">b) &nbsp;$$ y=\sqrt{2} $$<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C06_fa05d6bfa7.png?1250017.3050000449" alt="">c) &nbsp;$$ y=\frac{-3}{2}x+7 $$<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C07_9c99b854b8.png?1250016.0550000146" alt="">d) y=|x|-1<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C08_69e237bebb.png?1250017.8650000016" alt=""><h3>Bài 2 (trang 42 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a) A(0;3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 3 = a.0 + b ⇒ b = 3.B (3/5; 0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 0 = a.3/5 + 3 ⇒ a = –5.Vậy a = –5; b = 3.b) A(1; 2) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 2 = a.1 + b ⇒ b = 2 – a (1)B (2; 1) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ 1 = 2.a + b (2)Thay (1) vào (2) ta được: 2a + 2 – a = 1 ⇒ a = –1 ⇒ b = 2 – a = 3.Vậy a = –1; b = 3.c) A(15; –3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ –3 = 15.a + b ⇒ b = –3 – 15.a (1)B (21; –3) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ⇒ –3 = 21.a + b ⇒ b = –3 – 21.a (2)Từ (1) và (2) suy ra –3 – 15.a = –3 – 21.a ⇒ a = 0 ⇒ b = –3.Vậy a = 0; b = –3.<h3>Bài 3 (trang 42 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a)+ A (4; 3) thuộc đường thẳng y = ax + b ⇒ 3 = 4.a + b (1)+ B (2; –1) thuộc đường thẳng y = ax + b ⇒ –1 = 2.a + b (2)Lấy (1) trừ (2) ta được: 3 – (–1) = (4a + b) – (2a + b)⇒ 4 = 2a ⇒ a = 2 ⇒ b = –5.Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(4;3), B(2 ; –1) là y = 2x – 5.b)+ Đường thẳng song song với Ox có dạng y = b.+ Đường thẳng đi qua điểm A(1 ; –1) nên b = – 1.Vậy đường thẳng cần tìm là y = –1.<h3>Bài 4 (trang 42 SGK Đại số 10):&nbsp;</h3>a) Đồ thị hàm số là hợp của hai phần đồ thị+ Phần thứ nhất là nửa đường thẳng y = 2x giữ phần bên phải trục tung.+ Phần thứ hai là nửa đường thẳng y = –1/2. x giữ phần bên trái trục tung.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C09_19a062ab23.png?1250015.48500004" alt="">b) Đồ thị hàm số là hợp của hai phần:+ Phần thứ nhất là nửa đường thẳng x + 1 giữ lại các điểm có hoành độ ≥ 1.+ Phần thứ hai là nửa đường thẳng –2x + 4 giữ lại các điểm có hoành độ &lt; 1.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_02_B02_C10_7d79dbe15a.png?1250014.2500000075" alt="">

Bài 2. Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất (trang 39-42)

Ôn tập chương 3 đại số

Ôn tập chương 3 (trang 70-72)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: BẢNG PHÂN BỔ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Bảng phân bố tần số, tần suất</h3><h4>a) Số liệu thống kê</h4>Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích đã định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu.<h4>b) Tần số, tần suất</h4>Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau là \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}},k\le n.\] Khi đó ta gọi:– Số lần xuất hiện giá trị \[{{x}_{1}}\] trong dãy số n số liệu thống kê đã cho là tần số của giá trị đó, kí hiệu là \[{{n}_{1}}\]. Rõ ràng là \[{{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{k}}=n.\]– Tỉ số \[{{f}_{i}}=\frac{{{n}_{1}}}{n}\] gọi là tần suất của giá trị x.Người ta thường viết tần suất dưới dạng tỉ số phần trăm.Rõ ràng là: \[{{f}_{1}}+{{f}_{2}}+\ldots +{{f}_{k}}=100%=1.\]<h4>c) Các bước để lập bảng phân bố tần số và tần suất</h4>Bước 1:– Xác định các giá trị\[{{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}}\]trong dãy n số liệu thống kê đã cho (k ≤ n) và xác định các tần số \[{{n}_{1}},{{n}_{2}},\ldots ,{{n}_{k}}\] của các giá trị này.– Tính tần suất \[{{f}_{i}}=\frac{{{n}_{1}}}{n}\]của giá trị \[{{x}_{i}}\] (i = 1, 2, …, k).Bước 2:– Tập hợp các kết quả tìm được ở bước trên (các giá trị \[ {{x}_{1}} \] , tần số \[ {{n}_{i}} \] , tần suất \[ {{f}_{i}} \] ) thành một bảng.Trong bảng, các giá trị \[{{x}_{i}}\]thường được xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần hoặc giảm dần.<h3>2. Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp</h3><h4>a) Tần số, tần suất của lớp</h4>Giả sử n số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp không giao nhau (k ≤ n).Ta định nghĩa:– Tần số của lớp thứ i là số \[{{n}_{1}}\]các số liệu thống kê thuộc vào lớp đó.– Tần suất của lớp thứ i là tỉ số \[{{f}_{i}}=\frac{{{n}_{1}}}{n}\].Trong các bảng phân bố tần suất ghép lớp, tần suất được tính ở dạng tỉ số phần trăm. Rõ ràng là:\[{{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\ldots +{{n}_{k}}=n.\]\[{{f}_{1}}+{{f}_{2}}+\ldots +{{f}_{k}}=100%=1.\]<h4>b) Các bước đế lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:</h4>– Phân lớp.– Xác định tần số, tần suất của các lớp.– Thành lập bảng.<h4>c) Ý nghĩa</h4>Các bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp phản ánh tình hình phân bố của các số liệu thống kê.&nbsp;<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Lập bảng phân bố tần số và tần suất</h3>Bước 1:– Xác định các giá trị\[{{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots ,{{x}_{k}}\]trong dãy n số liệu thống kê đã cho (k ≤ n) và xác định các tần số \[{{n}_{1}},{{n}_{2}},\ldots ,{{n}_{k}}\] của các giá trị này.– Tính tần suất \[{{f}_{i}}=\frac{{{n}_{1}}}{n}\]của giá trị \[{{x}_{i}}\] (i = 1, 2, …, k).Bước 2:– Tập hợp các kết quả tìm được ở bước trên (các giá trị \[ {{x}_{1}} \] , tần số \[ {{n}_{i}} \] , tần suất \[ {{f}_{i}} \] ) thành một bảng.Trong bảng, các giá trị \[{{x}_{i}}\]thường được xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần hoặc giảm dần.<h3>Dạng 2. Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp:</h3>– Phân lớp.– Xác định tần số, tần suất của các lớp.– Thành lập bảng.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (Trang 113, SGK)</h3>a) – Bảng phân bố tần số:Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử. Trong 30 số liệu thống kê đã cho, có 5 giá trị khác nhau là:x1 = 1150; x2 = 1160; x3 = 1170; x4 = 1180; x5 = 1190.Tần số của các giá trị này lần lượt là: n1 = 3; n2 = 6; n3 = 12; n4 = 6; n5 = 3.Từ đó, ta có bảng phân bố tần số như sau:<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:132px;">Tuổi thọ (giờ)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:65px;">Tần số</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:87px;vertical-align:top;width:132px;">11501160117011801190</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:87px;vertical-align:top;width:65px;">361263</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:132px;">Cộng</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:65px;">30</td></tr></tbody></table></figure>– Bảng phân bố tần suất:Dựa vào bảng phân bố tần số, ta tính được tần suất của các giá trị \[ {{\text{x}}_{\text{i}}}(\text{i}=\overline{1,5}) \] và từ đó ta có bảng phân bố tần suất sau:<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:132px;">Tuổi thọ (giờ)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;height:18px;vertical-align:top;width:90px;">Tần suất</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:87px;vertical-align:top;width:132px;">11501160117011801190</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:87px;vertical-align:top;width:90px;">1020402010</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:132px;">Cộng</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:18px;vertical-align:top;width:90px;">100%</td></tr></tbody></table></figure>b) Dựa vào kết quả của câu a, ta có nhận xét về tuổi thọ của các bóng đèn:Trong 30 bóng đèn được thắp thử, ta có:Những bóng đèn có tuổi thọ 1150 giờ hoặc những bóng đèn có tuổi thọ 1190 giờ chiếm tỉ lệ thấp nhất (10%).Những bóng đèn có tuổi thọ 1170 giờ chiếm tỉ lệ cao nhất (40%).Phần lớn các bóng đèn có tuổi thọ từ 1160 giờ đến 1180 giờ chiếm tỉ lệ khoảng 80%.<h3>Bài 2 (Trang 114, SGK)</h3>a) Bảng phân bố tần suất ghép lớpĐộ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:312px;">Lớp độ dài (cm)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:312px;">Tần suất (%)</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">[10; 20)[20; 30)[30; 40)[40; 50)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">13,330,040,016,7</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">Cộng</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">100%</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<figure class="table" style="width:592px;"><table style="background-color:white;"><tbody><tr><td style="background-color:white;vertical-align:bottom;width:592px;">b) Số lá có độ dài dưới 30cm chiếm: 13,3%+ 30% = 43,3%;Số lá có độ dài từ 30cm đến 50cm chiếm: 40,0% +16,7% = 56,7%.<h3>Bài 3 (Trang 114, SGK)</h3>Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp.Từ các số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp và tần suất của các lớp là:</td></tr></tbody></table></figure>n1 = 3; n2 = 6. n3 = 12; n4 = 6; n5 = 3 và f1 = 3/30 = 10%; f2 = 6/30 = 20%; f3 = 12/30 = 40%; f4 = 6/30 = 20%; f5 = 3/30 = 10%.Vậy, ta có bảng phân bố tần suất ghép lớp như sau:<figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:208px;">Lớp khối lượng (g)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:208px;">Tần số</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:208px;">Tần suất (%)</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">[70; 80)[80; 90)[90; 100)[100; 110)[110; 120)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">361263</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">1020402010</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">Cộng</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">30</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:208px;">100%</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<figure class="table" style="width:593px;"><table style="background-color:white;"><tbody><tr><td style="background-color:white;vertical-align:bottom;width:593px;"><h3>Bài 4 (Trang 114, SGK)</h3>a) Bảng phân bố tần suất ghép lớpTừ các số liệu thống kê đã cho, ta xác định được tần số của các lớp và tần suất của các lớp là:n1 = 2; n2 = 4; n3 = 9; n4 = 11; n5 = 6; n6 = 3 và f1 = 2/35 ≈ 5,7%; f2 = 4/35 ≈ 11,4%; f3 = 9/35 ≈ 25,7%; f4 = 11/35 ≈ 31,4%; f5 = 6/35 ≈ 17,2%; f6 = 3/35 ≈ 8,6%.Vậy, ta có bảng phân bố tần suất ghép lớp như sau:</td></tr></tbody></table></figure><figure class="table"><table style=";"><tbody><tr><td style="border:1px solid black;vertical-align:top;width:312px;">Lớp số đo chiều cao (m)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;vertical-align:top;width:312px;">Tần suất (%)</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">[6,5 ; 7,0)[7,0 ; 7,5)[7,5 ; 8,0)[8,0 ; 8,5)[8,5 ; 9,0)[9,0 ; 9,5)</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">5,711,425,731,417,28,6</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">Cộng</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;vertical-align:top;width:312px;">100%</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;<figure class="table" style="width:592px;"><table style="background-color:white;"><tbody><tr><td style="background-color:white;vertical-align:bottom;width:592px;">b) Dựa vào kết quả của câu a ta có nhận xét về chiều cao của 35 cây bạch đàn:Những cây có chiều cao từ 6,5m đến dưới 7m chiếm tỉ lệ thấp nhất: 5,7%.Những cây có chiều cao từ 8m đến dưới 8,5m chiếm tỉ lệ cao nhất: 31,4%.Những cây có chiều cao từ 7m đến dưới 9m chiếm tỉ lệ: 85,7%.</td></tr></tbody></table></figure>&nbsp;Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bảng phân bố và tần số toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Bài 1. Bảng phân bố tần số và tần suất.

Bảng phân bố tần số và tần suất.

<h2 style="text-align:center;">BÀI 5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai</h3>a) Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \] , trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0.b) Dấu của tam thức bậc haiCho \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c(a\ne 0),\,\,\,\Delta ={{b}^{2}}-4ac \] .Nếu △ &lt; 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R.Nếu △ &lt; 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = -b/2a.Nếu △ &gt; 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \[x&lt;{{x}_{1}}\] hoặc \[x&lt;{{x}_{2}}\], trái dấu với hệ số a khi \[{{x}_{1}}trong đó \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}&lt;{{x}_{2}} \right)\]là hai nghiệm của f(x).<h3>2. Bất phương trình bậc hai một ẩn</h3>a) Bất phương trình bậc haiBất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \[ a{{x}^{2}}+bx+c&lt;0 \] . (hoặc \[ a{{x}^{2}}+bx+c\le 0,a{{x}^{2}}+bx+c&gt;0,a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0 \] ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0.b) Giải bất phương trình bậc hai \[ a{{x}^{2}}+bx+c&lt;0 \] thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \[ f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \] cùng dấu với hệ số a (trường hợp a &lt; 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a &lt; 0).<h3>3. Một số điều kiện tương đương</h3>Nếu \[ a{{x}^{2}}+bx+c \] là một tam thức bậc hai (a ≠ 0) thì\[ \begin{align} &amp; a{{x}^{2}}+bx+c&gt;0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a&gt;0 \\ \Delta &lt;0 \\ \end{array} \right. \\ &amp; a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a&gt;0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{array} \right. \\ &amp; a{{x}^{2}}+bx+c&lt;0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a&lt;0 \\ \Delta &lt;0 \\ \end{array} \right. \\ &amp; a{{x}^{2}}+bx+c\le 0,\forall x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} a&lt;0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \]<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai hoặc tích, thương các tam thức bậc hai.</h3>Phương pháp: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai để lập bảng xét dấu.<h3>Dạng 2. Giải bất phương trình.</h3>Phương pháp:Bước 1. Điều kiện xác định.Bước 2. Biến đổi tương đương BPT, đưa vế trái về dạng tích hoặc thương các tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất.Bước 3. Dùng định lý về dấu tam thức bậc hai, nhị thức bậc nhất (nếu có) để xét dấu Vế trái.Bước 4. Chọn khoảng nghiệm cần tìm và kết luận tập nghiệm.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2>Bài 1 (trang 105 SGK Đại số 10)a) Ta có: \[ 5{{x}^{2}}-3x+1&gt;0,\forall x \] vì a = 5 &gt; 0 và △ = 9 – 20 = -11 &lt; 0b) Đặt \[ f(x)=-2{{x}^{2}}+3x+5 \] . Ta có f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt\[{{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=\frac{5}{2}\], mà a = -2 &lt; 0; ta có bảng xét dấu f(x) như sau:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C01_7b301743d3.png" alt="">c) Ta có \[ {{x}^{2}}+12x+36={{(x+6)}^{2}}\ge 0,\forall x \] .d) Đặt f(x) = (2x – 3)(x + 5). Ta có: f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}=-5;\,\,{{x}_{2}}=\frac{3}{2}\], mà\[a=2&gt;0\], ta có bảng xét dấu f(x) như sau:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C02_e2d42996eb.png" alt=""><h3>Bài 2 (trang 105 SGK Đại số 10)</h3>a) \[ f(x)=\left( 3{{x}^{2}}-10x+3 \right)(4x-5) \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C03_af2f2f674f.png" alt="">b) \[ f(x)=\left( 3{{x}^{2}}-4x \right)\left( 2{{x}^{2}}-x-1 \right) \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C04_e1ca534676.png" alt="">c) \[ \left( 4{{x}^{2}}-1 \right)\left( -8{{x}^{2}}+x-3 \right)(2x+9) \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C05_4d02b19760.png" alt="">d) \[ f(x)=\frac{\left( 3{{x}^{2}}-x \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)}{4{{x}^{2}}+x-3} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C06_72326aa393.png" alt=""><h3>Bài 3 (trang 105 SGK Đại số 10)</h3>a) Tam thức \[ f(x)=4{{x}^{2}}-x+1 \] có △ = 1 – 16 = -15 &lt; 0, mà ta có hệ số a = 4 &gt; 0⇒ f(x) &gt; 0, ∀x. Vậy bất phương trình vô nghiệm.b) Tam thức \[ \text{f}(\text{x})=-3{{x}^{2}}+x+4 \] có hai nghiệm\[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=\frac{4}{3}\], mà ta có hệ số a = -3 &lt; 0⇒ f(x) ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4/3. Vậy nghiệm của bất phương trình là -1 ≤ x ≤ 4/3.c)\[ \begin{align} &amp; \frac{1}{{{x}^{2}}-4}&lt;\frac{3}{3{{x}^{2}}+x-4}\Leftrightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}-4}-\frac{3}{3{{x}^{2}}+x-4}&lt;0 \\ &amp; \Leftrightarrow \frac{3{{x}^{2}}+x-4-3\left( {{x}^{2}}-4 \right)}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 3{{x}^{2}}+x-4 \right)}&lt;0\Leftrightarrow \frac{x+8}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 3{{x}^{2}}+x-4 \right)}&lt;0 \\ \end{align} \]Đặt \[ f(x)=\frac{x+8}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 3{{x}^{2}}+x-4 \right)} \]Ta có bảng xét dấu<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_04_B_05_C07_1091e81357.png" alt="">Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là:\[ x\in (-\infty ;-8)\cup \left( -2;-\frac{4}{3} \right)\cup (1;2) \] .d) Ta có tam thức \[ f(x)={{x}^{2}}-x-6 \] có hai nghiệm\[{{x}_{1}}=-2,{{x}_{2}}=3\], hệ số a = 1 &gt; 0 nên f(x) ≤ 0 ⇔ x ∈ [-2; -3].<h3>Bài 4 (trang 105 SGK Đại số 10)</h3>a) Với m – 2 =0 ⇔ m = 2, phương trình trở thành 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2, suy ra m = 2 không thỏa mãn điều kiện bài ra.Với m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2: phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi.\[ {{\Delta }^{\prime }}&lt;0\Leftrightarrow {{(2m-3)}^{2}}-(m-2)(5m-6)&lt;0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+4m-3&lt;0 \] ⇔ m &gt; 3 hoặc m &lt; 1.Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm khi m &gt; 3 hoặc m &lt; 1.b) Với 3 – m = 0 ⇔ m = 3, phương trình trở thành -12x + 5 = 0 ⇔ x = 5/12, suy ra m = 3 không thỏa mãn điều kiện bài ra.Với 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3: phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:\[ {{\Delta }^{\prime }}&lt;0\Leftrightarrow {{(m+3)}^{2}}-(m+2)(3-m)&lt;0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+5m+3&lt;0\Leftrightarrow \frac{-3}{2}Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm khi \[ \frac{-3}{2}Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa dấu của tam thức bậc hai toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Dấu của tam thức bậc hai

Ôn tập chương 6 . Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

Ôn tập chương 6

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>A. Giá trị lượng giác của cung α</h3><h4>1. Định nghĩa</h4>Trên đường tròn lượng giác cho cung \[ \overset\frown{AM} \] có sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] (còn viết \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] )+ Tung độ \[ y=\overline{OK} \] của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα\[ \sin \alpha =\overline{\text{OK}} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_02_C01_b71be2fb5c.png" alt="">+ Hoành độ \[\text{x}=\overline{\text{OH}}\]của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα\[ \cos \alpha =\overline{\text{OH}} \]+ Nếu cos α ≠ 0, tỉ số \[ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \] gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)Tan α = \[ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \]+ Nếu sinα ≠ 0 tỉ số \[ \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \] gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α)\[ \cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \]Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin<h4>2. Hệ quả</h4>+) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta cósin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z+) –1 ≤ sin α ≤ 1 và –1 ≤ cos α ≤ 14) tanα xác định với mọi \[ \alpha \ne \frac{\pi }{2}+\text{k}\pi (\text{k}\in \text{Z}) \]5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_02_C02_6e4d30eb35.png" alt=""><h4>3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt</h4><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_02_C03_92aa81656e.png" alt=""><h3>B. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác</h3><h4>1. Công thức lượng giác cơ bản</h4>Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sausin2α + cos2α = 1\[ \begin{align} &amp; 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\text{k}\pi (\text{k}\in \text{Z}) \\ &amp; 1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha },\alpha \ne \text{k}\pi (\text{k}\in \text{Z}) \\ &amp; \tan \alpha \cdot \cot \alpha =1,\alpha \ne \frac{\text{k}\pi }{2}(\text{k}\in \text{Z}) \\ \end{align} \]<h4>2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt</h4>1) Cung đối nhau: α và –αcos(-α) = cosαsin(-α) = –sinαtan(-α) = –tanαcot(-α) = –cotα2) Cung bù nhau: α và π-αsin(π-α) = sinαcos(π-α) = –cosαtan(π-α) = –tanαcot(π-α) = –cotα3) Cung hơn kém π : α và (α + π)sin(α + π) = –sinαcos(α + π) = –cosαtan(α + π) = tanαcot(α + π) = cotα4) Cung phụ nhau: α và \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \]sin( \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \] ) = cosαcos( – α) = sinαtan( \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \] ) = cotαcot( \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \] ) = tanα<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một góc, của một cung.</h3>Phương pháp giải: Để tính giá trị lượng giác của một cung α- Cách 1: Ta biểu diễn cung AM có số đo bằng α trên đường tròn lượng giác và xác định tọa độ điểm M, từ đó suy ra các giá trị lượng giác của cung α theo định nghĩa.- Cách 2: Ta phân tích số đo của cung lượng giác rồi sử dụng hệ quả và giá trị lượng giác của các cung đặc biệt để tìm các giá trị lượng giác cần tìm.- Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.<h3>Dạng 2.</h3>Một số loại bài tập:● Chứng minh các đẳng thức lượng giác● Rút gọn các biểu thức lượng giác● Tính giá trị các biểu thức lượng giác● Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệtPhương pháp giải: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản, cung liên kết đã nêu ở phần lý thuyết để biến đổi.<h3>Dạng 3. Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại</h3>Phương pháp giải- Bước 1: Áp dụng công thức thích hợp để tính giá trị các tỉ số tiếp theo (chú ý các công thức lượng giác cơ bản)- Bước 2: Ứng với miền đã cho của cung α để xét dấu giá trị lượng giác và chọn kết quả đúng.- Bước 3: Tính các giá trị lượng giác còn lại.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 148 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiTa có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.a) Vì -1 &lt; –0,7 &lt; 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.Trên trục tung xác định điểm K sao cho \[ \overline{OK}=-0,7 \]Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.Khi đó với \[ \alpha = \] sđ \[\overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{1}}}}\,\]hoặc \[ \alpha = \] sđ \[\overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{2}}}}\,\]thì theo định nghĩa \[ \sin \alpha =\overline{OK}=-0,7 \] .<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_02_C04_cd9555f973.png" alt="">b) Vì 4/3 &gt; 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.c) Vì \[ -\sqrt{2}&lt;-1 \] nên không tồn tại α để \[ \sin \alpha =-\sqrt{2} \] .d) Vì \[ \sqrt{5}/2&gt;1 \] nên không tồn tại α để \[ \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2} \]<h3>Bài 2 (trang 148 SGK Đại Số 10):</h3>Ta đã biết:Với mọi \[\alpha \in \,R\]thì \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \] .a) \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{2}{9}+\frac{3}{9}=\frac{5}{9}\ne 1 \] . Vậy không tồn tại \[\alpha \in \,R\]thỏa mãn điều kiện bài toán.b) \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \frac{-4}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-3}{5} \right)}^{2}}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1 \]Vậy tồn tại \[\alpha \in \,R\] thỏa mãn điều kiện bài toán.c) \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =0,{{7}^{2}}+0,{{3}^{2}}=0,49+0,09=0,58\ne 1 \] . Vậy không tồn tại \[\alpha \in \,R\]thỏa mãn điều kiện bài toán.<h3>Bài 3 (trang 148 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiVì 0 &lt; α &lt; π/2 nên sin α &gt; 0, cos α &gt; 0, tan α &gt; 0, cot α &gt; 0.a) sin (α – π) = - sin (π – α) = -sin αMà sin α &gt; 0 nên sin (α – π) &lt; 0.b) \[ \cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\text{ }=\cos \left( \pi +\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\text{ }=-\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)\text{ } \] . Mà \[ \sin \alpha &gt;0 \] nên \[ \cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)&lt;0 \] .c) tan (α + π) = tan α.Mà tan α &gt; 0 nên tan (α + π) &gt; 0.d) \[ \cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)\text{ }=\cot \left( \frac{\pi }{2}-(-\alpha ) \right)\text{ }=\tan (-\alpha )\text{ } \] . Mà \[ \tan \alpha &gt;0 \] nên \[ \cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)&lt;0 \] .<h3>Bài 4 (trang 148 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảia)\[ \begin{align} &amp; \cos \alpha =\frac{4}{13} \\ &amp; {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\left( \frac{4}{13} \right)}^{2}}=\frac{153}{169} \\ \end{align} \]mà \[ 0&lt;\alpha &lt;\pi /2 \] nên \[ \sin \alpha &gt;0 \] .Suy ra \[ \sin \alpha =\frac{3\sqrt{17}}{13} \] .\[ \begin{align} &amp; \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3\sqrt{17}}{13}:\frac{4}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{4} \\ &amp; \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{4}{3\sqrt{17}} \\ \end{align} \]b)\[ \begin{align} &amp; \sin \alpha =-0,7 \\ &amp; {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha =1-{{(-0,7)}^{2}}=0,51 \\ \end{align} \]\[ \begin{align} &amp; \pi &lt;\alpha &lt;3\pi /2\Rightarrow \cos \alpha &lt;0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{0,51}=\frac{-\sqrt{51}}{10} \\ &amp; \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=(-0,7):\frac{-\sqrt{51}}{10}=\frac{7}{\sqrt{51}} \\ &amp; \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{\sqrt{51}}{7} \\ \end{align} \]\[\begin{align} &amp; c)\tan \alpha =\frac{-15}{7} \\ &amp; 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }=\frac{49}{274} \\ &amp; \frac{\pi }{2}&lt;\alpha &lt;\pi \Rightarrow \cos \alpha &lt;0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-7}{\sqrt{274}} \\ &amp; \sin \alpha =\cos \alpha \cdot \tan \alpha =\frac{-15}{7}\cdot \frac{-7}{\sqrt{274}}=\frac{15}{\sqrt{274}} \\ &amp; \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{-7}{15} \\ \end{align}\]\[ \begin{align} &amp; d)\cot \alpha =-3 \\ &amp; 1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+{{\cot }^{2}}\alpha }=\frac{1}{10} \\ &amp; \frac{3}{2}\pi &lt;\alpha &lt;2\pi \Rightarrow \sin \alpha &lt;0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{-1}{\sqrt{10}} \\ &amp; \cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\Rightarrow \cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-3\cdot \frac{-1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &amp; \tan \alpha =\frac{1}{\cot a}=\frac{-1}{3} \\ \end{align} \]<h3>Bài 5 (trang 148 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảia) cos α = 1 ⇔ M trùng với A hay α = k.2π, k ∈ Z.b) cos α = -1 ⇔ M trùng với A’ hay α = π + k.2π, k ∈ Z.c) cos α = 0 ⇔ M trùng với B hoặc B’ hay α = π/2 + k.π, k ∈ Z.d) sin α = 1 ⇔ M trùng với B hay α = π/2 + k.2π, k ∈ Z.e) sin α = -1 ⇔ M trùng với B’ hay α = -π/2 + k.2π, k ∈ Z.f) sin α = 0 ⇔ M trùng với A hoặc A’ hay α = k.π, k ∈ Z.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giái trị lượng giác của một cung toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Giá trị lượng giác của một cung

Tổng và hiệu hai véc tơ

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC</h3><h4>1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác</h4>Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\, \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C01_815b79abbb.png" alt=""><h4>2. Góc lượng giác</h4>Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C02_38bdf5fce3.png" alt=""><h4>3. Đường tròn lượng giác</h4>Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểmA(1; 0), A’(–1; 0); B(0; 1); B(0; –1).Ta lấy A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C03_a83bfcb42d.png" alt=""><h3>2. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC</h3><h4>1. Độ và radian</h4>a) Đơn vị radianTrên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.b) Quan hệ giữa độ và radian\[ {{1}^{0}}=\frac{\pi }{180}\text{rad;}\,\,1\,\,\text{rad}={{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}} \]c) Độ dài của một cung tròn có số đo α rad của đường tròn bán kính R là: l = Rα.<h4>2. Số đo của một cung lượng giác</h4>sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha +k2\pi ,k\in Z \]trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M.<h4>3. Số đo của một góc lượng giác</h4>Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác \[\overset\frown{AC}\] tương ứng.<h4>4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác</h4>Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] .<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Đổi độ sang radian và radian sang độ</h3>Phương pháp: Áp dụng công thức: \[ {{1}^{0}}=\frac{\pi }{180}\text{rad;}\,\,1\,\,\text{rad}={{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}} \]<h3>Dạng 2. Tính độ dài cung tròn</h3>Sử dụng công thức: l = Rα.Trong đó: R là bán kính đường tròn.α là số đo bằng rad của cung.Dạng 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giácChọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] .<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 140 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiKhi số đo hai cung lệch nhau k.2π (k ∈ Z) thì điểm cuối của chúng có thể trùng nhau.Chẳng hạn các cung α = π/3 và β = π/3 + 2π , γ = π/3 - 2π có điểm cuối trùng nhau khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác.<h3>Bài 2 (trang 140 SGK Đại Số 10):</h3>$\begin{align} &amp; a)\,\,\,{{18}^{0}}=18\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{10}(\text{rad}) \\ &amp; b)\,\,\,{{57}^{0}}30'=57,{{5}^{0}}=57,5\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{23\pi }{72}(\text{rad}) \\ &amp; c)-{{25}^{0}}=-25\cdot \frac{\pi }{180}(\text{rad})=-\frac{5\pi }{36}(\text{rad}) \\ &amp; d)-{{125}^{0}}45'=-125,{{75}^{0}}=-125,75\cdot \frac{\pi }{180}=-\frac{503\pi }{720}(\text{rad}) \\ \end{align}$Bài 3 (trang 140 SGK Đại Số 10):Lời giải\[ \begin{align} &amp; a)\,\,\frac{\pi }{18}\text{rad}=\frac{\pi }{18}\cdot {{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}={{10}^{0}} \\ &amp; b)\,\,\frac{3\pi }{16}\text{rad}=\frac{3\pi }{16}\cdot {{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}=33,{{75}^{0}}={{33}^{0}}45' \\ &amp; c)\,-2\text{rad}=-2.{{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}=\frac{-{{360}^{0}}}{\pi }\approx -{{114}^{0}}35'30'' \\ &amp; d)\,\,\frac{3}{4}rad=\frac{3}{4}\cdot {{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}=\frac{{{135}^{0}}}{\pi }={{42}^{0}}58'19'' \\ \end{align} \]<h3>Bài 4 (trang 140 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảiTừ công thức l = Rα (α có đơn vị là rad) ta có:\[ \begin{align} &amp; a)\,\,\alpha =\frac{\pi }{15}\,\,(rad)\Rightarrow l=20\cdot \frac{\pi }{15}\approx 4,19~\text{cm} \\ &amp; b)\,\,\alpha =1,5\,\,(rad)\Rightarrow l=20.1,5=30~\text{cm} \\ &amp; c)\,\,\alpha ={{37}^{{}^\circ }}=37.\frac{\pi }{180}(rad)=\frac{37\pi }{180}(rad)\Rightarrow l=20\cdot \frac{37\pi }{180}\approx 12,9 \\ \end{align} \]<h3>Bài 5 (trang 140 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giảia) Ta có: \[ -\frac{5\pi }{4}=-\pi -\frac{\pi }{4} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C04_4633088264.png" alt="">b) \[ {{135}^{0}}={{90}^{0}}+{{45}^{0}} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C05_f88b9ffd48.png" alt="">c) \[ \frac{10\pi }{3}=2\pi +\pi +\frac{\pi }{3} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C06_b5436d14de.png" alt="">&nbsp;d) \[ -{{225}^{0}}=-{{180}^{0}}+\left( -{{45}^{0}} \right) \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C07_23b2aedd91.png" alt=""><h3>Bài 6 (trang 140 SGK Đại Số 10):</h3>a)<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C08_c27aa083bc.png" alt="">Cung \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\, \] có số đo là kπ (k∈Z) thì điểm M trùng A nếu k chẵn hoặc trùng A' nếu k lẻ.b) Cung \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\, \] số đo \[ k\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z}) \] thì điểm M trùng:+) A nếu k=4n (n∈Z)+) B nếu k=4n+1+) A' nếu k=4n+2+) B' nếu k=4n+3<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C09_9d7f7e7c12.png" alt="">c) Cung \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\, \] có số đo \[ k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z}) \] thì điểm M:+) trùng với A nếu k=6n (n∈Z)+) trùng với \[ {{M}_{1}} \] nếu k=6n+1;+) trùng với \[ {{M}_{2}} \] nếu k=6n+2;+) trùng với A′ nếu k=6n+3;+) trùng với \[ {{M}_{3}} \] nếu k=6n+4;+) trùng với \[ {{M}_{4}} \] nếu k=6n+5.<h3>Bài 7 (trang 140 SGK Đại Số 10):</h3>Lời giải<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_06_B_01_C10_23f1baa668.png" alt="">a) sđ\[\overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{1}}}}\,=-\alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z})\]b) sđ \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{2}}}}\,=\pi -\alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \]c) sđ \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{3}}}}\,=\alpha +\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \]Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa cung và lượng gác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Cung và góc lượng giác 

Ôn tập chương 5. Thống kê

Ôn tập chương 5

<h2 style="text-align:center;">BÀI 2: BIỂU ĐỒ</h2><h2>I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất.</h3>Ta có thể mô ta một cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số) ghép lớp bằng biểu đồ hoặc đường gấp khúc.<h3>2. Biểu đồ hình quạt</h3>Người ta thường dùng biểu đồ hình quạt để mô tả bảng cơ cấu.Cách vẽ: Vẽ hình tròn, chia hình tròn thành những hình quạt. Mỗi lớp được tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của nhóm đó.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Vẽ biểu đồ: Dùng biểu đồ hình cột và đường gấp khúc tần suất hoặc biểu đồ hình quạt để mô tả bảng cơ cấu.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (Trang 118, SGK)</h3>– Biểu đồ tần suất hình cột về độ dài (cm) của 60 lá dương xỉ trưởng thành:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_05_B_02_C01_b7b69a6051.png" alt="">– Biếu đồ đường gấp khúc tần suất về độ dài (cm) của 60 lá dương xỉ trưởng thành:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_05_B_02_C02_e4d76cdb4a.png" alt=""><h3>Bài 2 (Trang 118, SGK)</h3>a) Biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất về khối lượng (g) của 30 củ khoai tây thu hoạch ở nông trường T.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_05_B_02_C03_e2abf8f84c.png" alt="">b) Biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số về khối lượng (g) của 30 củ khoai tây thu hoạch ở nông trường T.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/DS_CH_05_B_02_C04_85876d0d01.png" alt="">c) Trong 30 củ khoai tây được khảo sát ta thấy:– Chiếm tỉ lệ thấp nhất (10%, ứng với mỗi cột trong hai cột thấp nhất của biểu đồ) là những củ có khối lượng từ 70g đến dưới 80g hoặc 110g đến 120g.– Chiếm tỉ lệ cao nhất (40%, ứng với cột cao nhất của biếu đồ) là những củ có khối lượng từ 90g đến dưới 110g.– Đa số (80%, ứng với 3 cột cao trội lên của biểu đồ) các củ có khối lượng từ 80g đến dưới 110g.<h3>Bài 3 (Trang 118, SGK)</h3>Bảng cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 2000, phân theo thành phần kinh tế.<figure class="table"><table><tbody><tr><td style="border:1px solid black;height:24px;vertical-align:top;width:275px;">Các thành phần kinh tế</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top:1px solid black;height:24px;vertical-align:top;width:275px;">Số phần trăm</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:24px;vertical-align:top;width:275px;">(1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước(2) Khu vực doanh nghiệp quốc doanh(3) Khu vực đầu tư nước ngoài</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:24px;vertical-align:top;width:275px;">23,532,244,3</td></tr><tr><td style="border-bottom:1px solid black;border-left:1px solid black;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:23px;vertical-align:top;width:275px;">Cộng</td><td style="border-bottom:1px solid black;border-left-style:none;border-right:1px solid black;border-top-style:none;height:23px;vertical-align:top;width:275px;">100%</td></tr></tbody></table></figure>Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa biểu đồ toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Biểu đồ. 

<h2 style="text-align:center;">BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ</h2><h2>I. LÝ&nbsp;THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Trục và độ dài đại số trên trục</h3>a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị&nbsp; $$ \vec{e} $$Ta kí hiệu trục đó là &nbsp;$$ (O,\vec{e}) $$ .<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B04_C01_26fb6c83eb.png?59976.40000004321" alt="Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án"><h3>2. Hệ trục tọa độ</h3>b) Tọa độ của vectơ&nbsp;$$ \vec{u}=(x;y)\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} $$Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.Nếu &nbsp;$$ \vec{u}=(\text{x};\text{y}) $$ và &nbsp;$$ \overrightarrow{{{u}^{\prime }}}=\left( \text{x }\!\!'\!\!\text{ };\text{y }\!\!'\!\!\text{ } \right) $$ thì &nbsp;$\vec{u}=\overrightarrow{u'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; x=x'&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; y=y'&nbsp; \\ \end{array} \right. $&nbsp;c) Tọa độ của một điểm&nbsp;$$ M=(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j} $$<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B04_C02_258de7de59.png?59974.45999993943" alt="">d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳngCho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB). Ta có &nbsp;$$ \overrightarrow{AB}=\left( {{\text{x}}_{\text{A}}}-{{\text{x}}_{\text{B}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right) $$3. Tọa độ của các vectơ&nbsp; $$ \vec{u}+\vec{v},\vec{u}-\vec{v},k\vec{u} $$ .Cho &nbsp;$$ \vec{u}=\left( {{\text{u}}_{1}};{{\text{u}}_{2}} \right),\vec{v}=\left( {{\text{v}}_{1}},{{\text{v}}_{2}} \right) $$ . Khi đó&nbsp;$$ \vec{u}+\vec{v}=\left( {{\text{u}}_{1}}+{{\text{u}}_{2}};{{\text{v}}_{1}}+{{\text{v}}_{2}} \right);\,\,\,\vec{u}-\vec{v}=\left( {{\text{u}}_{1}}-{{\text{u}}_{2}};{{\text{v}}_{1}}-{{\text{v}}_{2}} \right)\text{;}\,\,\,\text{k}\vec{u}=\left( \text{k}{{\text{u}}_{1}};\text{k}{{\text{u}}_{2}} \right),\text{k}\in \text{Z} $$<h3>4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác</h3>a) Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là &nbsp;$$ {{\text{x}}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},{{\text{y}}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} $$b) Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC được tính theo công thức &nbsp;$$ {{\text{x}}_{\text{G}}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},{{\text{y}}_{\text{G}}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} $$<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Bài tập Tọa độ của vecto, tọa độ của một điểm</h3><h4>1. Tìm m để hai vecto cùng phương</h4>Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương để giải bài tập dạng này.<h4>2. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng,tìm tọa độ của trọng tâm tam giác</h4>Các em nắm kĩ lý thuyết đã nêu ở phần Lý thuyết trọng tâm để áp dụng giải bài tập.<h4>3.Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước</h4>Bước 1: Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x0;&nbsp;y0).Bước 2: Thiết lập đẳng thức vecto hoặc mối quan hệ giữa điểm cần tìm và điểm đã biết…Bước 3: Tọa độ hóa các vecto ở bước 2.Bước 4: Thiết lập hệ phương trình theo các ẩn&nbsp;x0&nbsp;và&nbsp;y0.Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm ra&nbsp;x0&nbsp;và&nbsp;y0.Bước 6: Kết luận.&nbsp;<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 26 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B04_C03_13e68b0095.png?59977.8599999845" alt="">b) Ta có:A có tọa độ là –1, B có tọa độ là 2 nên &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}}=2-\left( -1 \right)=3 $$M có tọa độ là 3, N có tọa độ là –2 nên&nbsp; &nbsp;$$ \overline{\text{MN}}=-2-3=-5 $$Vì AB &gt; 0 nên &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}} $$ &nbsp;cùng hướng &nbsp;$\vec{e}$Vì MN &lt;0 nên &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{MN}} $$ &nbsp;ngược hướng &nbsp;$\vec{e}$<h3>Bài 2 (trang 26 SGK Hình học 10):&nbsp;</h3>Lời giải:a) ĐúngGiải thích: Nhận thấy &nbsp;$$ \vec{a}=-3\vec{i} $$Vì –3 &lt; 0 nên hai vector ngược hướngb) ĐúngGiải thích:&nbsp;$$ \vec{a}+\vec{b}=\left( 3;4 \right)+\left( -3;-4 \right) $$&nbsp;$$ =\left( 3-3;4-4 \right)=\left( 0;0 \right)=\vec{0} $$&nbsp;$$ \Rightarrow \vec{a}=-\vec{b} $$ &nbsp;nên &nbsp;$$ \vec{a} $$ &nbsp;và &nbsp;$$ \vec{b} $$ &nbsp;là hai vec tơ đối nhau.c) SaiGiải thích:&nbsp;$$ \vec{a}+\vec{b}=\left( 5;3 \right)+\left( 3;5 \right)=\left( 8;8 \right)\ne \vec{0} $$&nbsp;$$ \Rightarrow \vec{a}\ne -\vec{b} $$ &nbsp;nên &nbsp;$$ \vec{a} $$ &nbsp;và &nbsp;$$ \vec{b} $$ &nbsp;không phải là hai vector đối nhaud) ĐúngNhận xét SGK : Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.<h3>Bài 3 (trang 26 SGK Hình học 10):</h3>&nbsp;$$ a)~\vec{a}=2\vec{i}=2\vec{i}+0\vec{j}\Rightarrow \vec{a}=\left( 2;0 \right) $$&nbsp;$$ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }b)~\vec{b}=-3\vec{j}=0\vec{i}+\left( -3 \right)\vec{j}\Rightarrow \vec{b}=\left( 0;-3 \right) $$&nbsp;$$ c)~\vec{c}=3\vec{i}-4\vec{j}=3\vec{i}+\left( -4 \right)\vec{j}\Rightarrow \vec{c}=\left( 3;-4 \right) $$&nbsp;$$ ~d)~\vec{d}=0,2\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}\Rightarrow \vec{d}=\left( 0,2;\sqrt{3} \right) $$<h3>Bài 4 (trang 26 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:a) Đúng. Giả sử A(a; b); O(0; 0) &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{OA}}=\left( a-0;b-0 \right)=\left( a;b \right) $$b) Đúngc) Đúngd) Đúng&nbsp;Vì tia phân giác của góc phần tư thứ nhất là đường thẳng y = x.<h3>Bài 5 (trang 27 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B04_C04_8466433ba0.png?59972.410000045784" alt="">Biểu diễn các điểm trên hệ trục tọa độ ta thấy:a) Điểm đối xứng với M(x0; y0) qua trục Ox là A(x0&nbsp;; –y0)b) Điểm đối xứng với M(x0&nbsp;; y0) qua trục Oy là B(–x0&nbsp;; y0)c) Điểm đối xứng với M(x0&nbsp;; y0) qua gốc O là C(–x0&nbsp;; –y0).<h3>Bài 6 (trang 27 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B04_C05_50b7472a4e.png?59970.42999998666" alt="">Ta có:&nbsp;$$ \text{A}\left( -1;-2 \right);\text{B}\left( 3;2 \right) $$&nbsp;$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}=\left( 3-\left( -1 \right);2-\left( -2 \right) \right)=\left( 4;4 \right) $$ABCD là hình bình hành&nbsp;$$ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{DC}}=\left( 4;4 \right) $$&nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp; {{x}_{C}}-{{x}_{D}}=4&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{y}_{C}}-{{y}_{D}}=4&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $&nbsp;&nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; {{x}_{D}}={{x}_{C}}-4&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{y}_{D}}={{y}_{C}}-4&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $Mà &nbsp;$$ {{\text{x}}_{\text{C}}}=4,{{\text{y}}_{\text{C}}}=-1 $$&nbsp;$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; {{\text{x}}_{\text{D}}}=0&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{\text{y}}_{\text{D}}}=-5&nbsp; \\ \end{matrix}\Rightarrow \text{D}\left( 0;-5 \right) \right. $<h3>Bài 7 (trang 27 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B04_C06_1f98025bf9.png?59968.83999998681" alt="">A’ là trung điểm của BC &nbsp;$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; {{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}=2\cdot {{\text{x}}_{{\text{{A}'}}}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}=2.{{\text{y}}_{{\text{{C}'}}}}&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $B’ là trung điểm của AC&nbsp; $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; {{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}=2\cdot {{\text{x}}_{\text{B}}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}=2.{{\text{y}}_{{\text{{B}'}}}}&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $C’ là trung điểm của BA $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; {{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{A}}}=2\cdot {{\text{x}}_{\text{C}}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; {{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{A}}}=2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{C}'}}}}&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $Gọi G là trọng tâm ΔABC và G’ là trọng tâm ΔA’B’C’Ta có :&nbsp;$$ {{\text{x}}_{\text{G}}}=\frac{{{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}}{3} $$&nbsp;$$ =\frac{{{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}+{{\text{x}}_{\text{A}}}}{6} $$&nbsp;$$ =\frac{2\cdot {{\text{x}}_{\text{C}}}+2\cdot {{\text{x}}_{{\text{{A}'}}}}+2\cdot {{\text{x}}_{{\text{{B}'}}}}}{6} $$&nbsp;$$ =\frac{{{\text{x}}_{{\text{{A}'}}}}+{{\text{x}}_{{\text{{B}'}}}}+{{\text{x}}_{{\text{{C}'}}}}}{3}={{\text{x}}_{{\text{{G}'}}}} $$&nbsp;$$ {{\text{y}}_{\text{G}}}=\frac{{{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}}{3} $$&nbsp;$$ =\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{B}}+{{y}_{c}}+{{y}_{c}}+{{y}_{A}}}{6} $$&nbsp;$$ =\frac{2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{c}'}}}}+2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{A}'}}}}+2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{B}'}}}}}{6} $$&nbsp;$$ =\frac{{{\text{y}}_{{\text{{A}'}}}}+{{\text{y}}_{{\text{{B}'}}}}+{{\text{y}}_{{\text{{c}'}}}}}{3}={{\text{y}}_{{\text{{G}'}}}} $$Vậy &nbsp;$$ G\equiv {G}' $$ &nbsp;(đpcm)<h3>Bài 8 (trang 27 SGK Hình học 10):&nbsp;</h3>Ta có: &nbsp;$$ \vec{c}=m\cdot \vec{a}+n\vec{b} $$&nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; 5=m\cdot 2+n\cdot 1&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; 0=m\cdot \left( -2 \right)+n.4&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $&nbsp;$$ \Leftrightarrow \left( 5;0 \right)=\text{m}\cdot \left( 2;-2 \right)+\text{n}\cdot \left( 1;4 \right) $$&nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; 2m+n=5&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; -2m+4n=0&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $&nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5n=5&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; m=2n&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $&nbsp;&nbsp;&nbsp;$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}&nbsp;&nbsp; n=1&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; m=2&nbsp; \\ \end{matrix} \right. $Vậy &nbsp;$$ \vec{c}=2\vec{a}+\vec{b} $$

Hệ trục tọa độ 

Tích vô hướng của hai véc tơ

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định lí côsin</h3>Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = cTa cóa2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB;c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.Hệ quả\[ \cos \text{A}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc};\cos \text{B}=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca};\cos \text{C}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C01_0d4099e61f.png" alt=""><h3>2. Định lí sin</h3>Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.Ta có\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2\text{R} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C03_4b1d25881f.png" alt=""><h3>3. Độ dài đường trung tuyến</h3>Cho tam giác ABC có \[ {{m}_{a}},{{m}_{b}},{{m}_{c}} \] lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.Ta có\[ \begin{align} &amp; m_{a}^{2}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \\ &amp; m_{b}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{b}^{2}}}{4} \\ &amp; m_{c}^{2}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{c}^{2}}}{4} \\ \end{align} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C02_0008914318.png" alt=""><h3>4. Công thức tính diện tích tam giác</h3>Cho tam giác ABC có+) ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;+) \[ p=\frac{a+b+c}{2} \] là nửa chu vi tam giác;+) S là diện tích tam giác.Khi đó ta có:\[ \begin{align} &amp; \text{S}=\frac{1}{2}\text{a}\cdot {{\text{h}}_{\text{a}}}=\frac{1}{2}\text{b}\cdot {{\text{h}}_{\text{b}}}=\frac{1}{2}\text{c}\cdot {{\text{h}}_{\text{c}}} \\ &amp; =\frac{1}{2}\text{bc}\cdot \sin \text{A}=\frac{1}{2}\text{ca}\cdot \sin \text{B}=\frac{1}{2}\text{ab}\cdot \sin \text{C} \\ &amp; =\frac{\text{abc}}{4\text{R}} \\ &amp; =\text{p}\cdot \text{r}=\sqrt{\text{p}(\text{p}-\text{a})(\text{p}-\text{b})(\text{p}-\text{c})} \\ \end{align} \]<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Bài tập về định lý Cô-sin</h3>Phương pháp giảiÁp dụng định lý Cô-sin và hệ quả (đã nhắc ở lý thuyết) để giải bài tập.<h3>Dạng 2. Bài tập về định lý lý sin</h3>Phương pháp giảiÁp dụng định lý sin để giải bài tập.<h3>Dạng 3. Tính độ dài đường trung tuyến</h3>Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến (đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết) để giải bài tập<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>\[ \begin{align} &amp; +\widehat{B}+\widehat{C}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{C}={{90}^{{}^\circ }}-\widehat{B}={{32}^{{}^\circ }} \\ &amp; +\text{b}=\text{a}\cdot \sin \text{B}=72.\sin {{58}^{{}^\circ }}\approx 61,06~\text{cm} \\ &amp; +\text{c}=\text{a}\cdot \cos \text{B}=72\cdot \cos {{58}^{{}^\circ }}\approx 38,15~\text{cm} \\ &amp; +{{\text{h}}_{\text{a}}}=\text{c}\cdot \sin \text{B}=38,15\cdot \sin {{58}^{{}^\circ }}=32,36~\text{cm}. \\ \end{align} \]<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C04_d37f20a227.png" alt=""><h3>Bài 2 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>\[ \begin{align} &amp; \cos A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2bc}=\frac{{{85}^{2}}+{{54}^{2}}-52,{{1}^{2}}}{2.85.54}\approx 0,81\Rightarrow \widehat{A}\approx {{36}^{0}} \\ &amp; \cos B=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ca}=\frac{{{54}^{2}}+52,{{1}^{2}}-{{85}^{2}}}{2.54.52,1}\approx -0,28\Rightarrow \widehat{{\hat{B}}}={{106}^{0}} \\ &amp; \widehat{{\hat{C}}}={{180}^{{}^\circ }}-\hat{A}-\hat{B}={{180}^{{}^\circ }}-{{36}^{0}}-{{106}^{0}}={{38}^{0}} \\ \end{align} \]<h3>Bài 3 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>\[ \begin{align} &amp; +){{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2\cdot bc\cdot \cos A={{8}^{2}}+{{5}^{2}}-2.5\cdot 8\cdot \cos {{120}^{{}^\circ }}=129\Rightarrow a=\sqrt{129cm} \\ &amp; +)\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\frac{b\cdot \sin A}{a}=\frac{8\cdot \sin {{120}^{{}^\circ }}}{\sqrt{129}}=\frac{4}{\sqrt{43}}\Rightarrow \hat{B}={{38}^{{}^\circ }} \\ &amp; +)\hat{C}={{180}^{{}^\circ }}-\hat{A}-\hat{B}={{180}^{{}^\circ }}-{{120}^{{}^\circ }}-{{38}^{0}}={{22}^{0}} \\ \end{align} \]<h3>Bài 4 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>Nửa chu vi của tam giác: p = (7 + 9 + 12)/2 = 14.Áp dụng công thức Hê–rông ta có:$\mathrm{S}=\sqrt{14 \cdot(14-7) \cdot(14-9) \cdot(14-12)}=\sqrt{980}=14 \sqrt{5}$ (đơn vị diện tích)<h3>Bài 5 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>Áp dụng định lý Cô-sin ta có:BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A= m2 + n2 – 2.m.n.cos120º= m2 + n2 + mn.\[ \Rightarrow \text{BC}=\sqrt{\left( {{\text{m}}^{2}}+{{\text{n}}^{2}}+\text{mn} \right)} \]<h3>Bài 6 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>a) Ta có:\[ \begin{align} &amp; \cos \text{A}=\frac{{{\text{b}}^{2}}+{{\text{c}}^{2}}-{{\text{a}}^{2}}}{2.\text{bc}}=\frac{{{10}^{2}}+{{13}^{2}}-{{8}^{2}}}{2.10.13}=\frac{41}{52}&gt;0\Rightarrow \widehat{\text{A}}&lt;{{90}^{{}^\circ }} \\ &amp; \cos \text{B}=\frac{{{\text{c}}^{2}}+{{\text{a}}^{2}}-{{\text{b}}^{2}}}{2.\text{ca}}=\frac{{{13}^{2}}+{{8}^{2}}-{{10}^{2}}}{2.13.8}=\frac{133}{208}&gt;0\Rightarrow \widehat{\text{B}}&lt;{{90}^{{}^\circ }} \\ &amp; \cos \text{C}=\frac{{{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}-{{\text{c}}^{2}}}{2.\text{ab}}=\frac{{{8}^{2}}+{{10}^{2}}-{{13}^{2}}}{2.8.10}=\frac{-1}{32}&lt;0\Rightarrow \widehat{\text{C}}&gt;{{90}^{{}^\circ }} \\ \end{align} \]Vậy tam giác ABC có góc C tù.b) Ta có:\[ \text{A}{{\text{M}}^{2}}=\frac{2\cdot \left( {{\text{b}}^{2}}+{{\text{c}}^{2}} \right)-{{\text{a}}^{2}}}{4}=\frac{2\cdot \left( {{10}^{2}}+{{13}^{2}} \right)-{{8}^{2}}}{4}=\frac{237}{2}\Rightarrow \text{AM}=\sqrt{\frac{237}{2}}\approx 10,9~\text{cm} \]<h3>Bài 7 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>Nhận xét: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.a) Cạnh c = 6cm lớn nhất nên góc lớn nhất là góc C:\[ \cos C\text{ }=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2\cdot ab}=\frac{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}-{{6}^{2}}}{2.3\cdot 4}=\frac{-11}{24}\Rightarrow \hat{C}\text{ }={{117}^{0}}\text{ } \]Vậy góc lớn nhất là 117º.b) Cạnh a = 40cm lớn nhất suy ra góc lớn nhất là góc A:\[ \cos \text{A }=\frac{{{\text{b}}^{2}}+{{\text{c}}^{2}}-{{\text{a}}^{2}}}{2.\text{b}\cdot \text{c}}=\frac{{{13}^{2}}+{{37}^{2}}-{{40}^{2}}}{2.13.37}=\frac{-31}{481}\Rightarrow \widehat{\text{A}}\text{ }={{94}^{{}^\circ }} \]Vậy góc lớn nhất bằng 94º.<h3>Bài 8 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3>\[ \begin{align} &amp; +)Ta\,\,co\grave{u}:\widehat{\text{A}}+\widehat{\text{B}}+\widehat{\text{C}}={{180}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{\text{A}}={{180}^{{}^\circ }}-\widehat{\text{B}}-\widehat{\text{C}}={{180}^{{}^\circ }}-{{83}^{{}^\circ }}-{{57}^{0}}={{40}^{{}^\circ }} \\ &amp; +)T\ddot{o}\,\,\tilde{n}\grave{o}nh\,\,ly\grave{u}\,\,\sin :\,\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \\ &amp; \text{R}=\frac{\text{a}}{2.\sin \text{A}}=\frac{137,5}{2.\sin {{40}^{{}^\circ }}}\approx 107~\text{cm} \\ &amp; \text{b}=\frac{\text{a}\cdot \sin \text{B}}{\sin \text{A}}=\frac{137,5\cdot \sin {{83}^{{}^\circ }}}{\sin {{40}^{{}^\circ }}}\approx 212~\text{cm} \\ &amp; c=\frac{a\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{137,5\cdot \sin {{57}^{{}^\circ }}}{\sin {{40}^{{}^\circ }}}\approx 179~\text{cm} \\ \end{align} \]<h3>Bài 9 (trang 59 SGK Hình học 10):</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C05_e8a5d14ef4.png" alt="">Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.Xét ΔABC có BO là trung tuyến\[ \Rightarrow \text{B}{{\text{O}}^{2}}=\frac{2\cdot \left( \text{B}{{\text{A}}^{2}}+\text{B}{{\text{C}}^{2}} \right)-\text{A}{{\text{C}}^{2}}}{4}\Rightarrow 4.\text{B}{{\text{O}}^{2}}=2.\left( \text{B}{{\text{A}}^{2}}+\text{B}{{\text{C}}^{2}} \right)-\text{A}{{\text{C}}^{2}} \]Mà O là trung điểm của BD nên\[ \begin{align} &amp; \text{BD}=2.\text{BO}\Rightarrow \text{B}{{\text{D}}^{2}}=4.\text{B}{{\text{O}}^{2}} \\ &amp; \Rightarrow B{{D}^{2}}=2\cdot \left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right)-A{{C}^{2}} \\ &amp; \Rightarrow B{{D}^{2}}+A{{C}^{2}}=2\cdot \left( A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \right) \\ &amp; \Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=2\cdot \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)(\tilde{N}PCM) \\ \end{align} \]<h3>Bài 10 (trang 60 SGK Hình học 10):</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C06_88313d6342.png" alt="">\[ \Delta ABC \] vuông tại A có \[ \cot \widehat{\text{APB}}=\frac{\text{AP}}{\text{AB}}\Rightarrow \text{AP}=\text{AB}\cdot \cot \widehat{\text{APB}}=\text{AB}\cdot \cot {{35}^{{}^\circ }} \]Tam giác AQB vuông tại A có $\widehat{\mathrm{AQB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$$\Rightarrow \mathrm{AQ}=\mathrm{AB} \cdot \cot \widehat{\mathrm{AQB}}=\mathrm{AB} \cdot \cot 48^{\circ}$Ta có: $\mathrm{PQ}=\mathrm{AP}-\mathrm{AQ}=\mathrm{AB} \cdot \cot 35^{\circ}-\mathrm{AB} \cdot \cot 48^{\circ}=\mathrm{AB} \cdot\left(\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}\right) $$\Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{\mathrm{PQ}}{\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}}=\frac{300}{\cot 35^{\circ}-\cot 48^{\circ}}=568,457(\mathrm{~m})$<h3>Bài 11 (trang 60 SGK Hình học 10):</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_02_B_03_C07_7351ce484b.png" alt="">Ta có: A1B1 = AB = 12 mXét ΔDC1A1 có: C1A1 = C1D.cot49oXét ΔDC1B1 có: C1B1 = C1D.cot35oMà A1B1 = C1B1 - C1A1 = C1D.cot35o - C1D.cot49o= C1D.(cot35o - cot49o)\[ \Rightarrow {{\text{C}}_{1}}\text{D }=\frac{{{\text{A}}_{1}}{{\text{B}}_{1}}}{\cot {{35}^{{}^\circ }}-\cot {{49}^{{}^\circ }}}=\frac{12}{\cot {{35}^{{}^\circ }}-\cot {{49}^{{}^\circ }}}\approx 21,47~\text{m } \]⇒ CD = CC1 + C1D = 1,3 + 21,47 = 22,77 m.Vậy chiều cao của tháp là 22,77m.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất

Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác.

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA</h2><h2>I. LÝ&nbsp;THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Khái niệm vectơ</h3>Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là&nbsp; $$ \overrightarrow{AB} $$ &nbsp;và đọc là “ vectơ AB.Vectơ còn được kí hiệu là&nbsp; $$ \vec{a},\vec{b},\vec{x},\vec{y},\ldots &nbsp;$$ &nbsp;khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.<h3>2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng</h3>Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.<h3>3. Hai vectơ bằng nhau</h3>Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của&nbsp; $$ \overrightarrow{AB} $$ &nbsp;được kí hiệu là &nbsp;$$ |\overrightarrow{AB}| $$ &nbsp;, như vậy &nbsp;$$ |\overrightarrow{AB}|=AB $$ .Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.Hai vectơ&nbsp; $$ \vec{a} $$ và &nbsp;$$ \vec{b} $$ &nbsp;được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu&nbsp; $$ \vec{a}=\vec{b} $$<h3>4. Vectơ – không</h3>Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là&nbsp; $$ \overrightarrow{AA} $$ &nbsp;và được gọi là vectơ – không.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Bài tập về hai véc tơ cùng phương, cùng hướng+ Để chứng minh hai vecto cùng phương, ta chứng minh giá của hai vecto đó song song hoặc trùng nhau. ( quan hệ từ vuông góc đến song song, cùng song song với 1 đường thẳng thứ ba, định lí Talet, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, các góc vị trí so le trong – đồng vị bằng nhau ....)+ Để chứng minh hai vecto cùng hướng, ta chứng minh hai vecto đó cùng phương và xét hướng của hai vecto đó.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 10):</h3>Lời giảia) Gọi Δ1, Δ2, Δ3 lần lượt là giá của ba vectơ&nbsp; $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$+ Vectơ a cùng phương với vectơ c ⇒ Δ1 //≡ Δ3+ Vectơ b cùng phương với vectơ c ⇒ Δ2 //≡ Δ3⇒ Δ1 //≡ Δ2⇒ Vectơ&nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;cùng phương với&nbsp; $\vec{b}$ &nbsp;(theo định nghĩa).b)&nbsp;&nbsp; $\vec{a}$ ,&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;cùng ngược hướng với&nbsp;&nbsp; $\vec{c}$⇒&nbsp;&nbsp; $\vec{a}$ ,&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;đều cùng phương với&nbsp;&nbsp; $$ \text{\vec{c}} $$⇒&nbsp;&nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;cùng phương.⇒&nbsp;&nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.Mà&nbsp;&nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;đều ngược hướng với&nbsp;&nbsp; $\vec{c}$ &nbsp;nên&nbsp;&nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;cùng hướng.<h3>Bài 2 (trang 7 SGK Hình học 10):</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_HH_CH_01_B01_C01_94f9ff680e.png?632900.8900000481" alt="">Lời giải– Các vectơ cùng phương:&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $$ \vec{b} $$ &nbsp;&nbsp;cùng phương&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\vec{u}$ &nbsp;&nbsp;và&nbsp;&nbsp; $\vec{v}$ &nbsp;&nbsp;cùng phương&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\vec{x}$ , &nbsp; $\vec{y}$ , &nbsp; $\vec{w}$ , &nbsp; $\vec{z}$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;cùng phương.– Các vectơ cùng hướng:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\vec{a}$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $\vec{b}$ &nbsp;cùng hướng&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\vec{x}$ ,&nbsp;&nbsp; $\vec{y}$ &nbsp;và &nbsp; $\vec{z} $ cùng hướng– Các vectơ ngược hướng:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $$ \vec{u} $$ &nbsp;và&nbsp;&nbsp; $$ \overrightarrow{\text{v }\!\!~\!\!\text{ }} $$ &nbsp;ngược hướng&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; $\vec{w}$ &nbsp;ngược hướng với các vec tơ&nbsp;&nbsp; $\vec{x}$ , &nbsp; $\vec{y}$ &nbsp;và &nbsp; $\vec{z}$– Các vectơ bằng nhau:&nbsp;&nbsp; $\vec{x}$ &nbsp;và &nbsp; $\vec{y}$<h3>Bài 3 (trang 7 SGK Hình học 10)</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B01_C02_d72b66c704.png?632904.2600000976" alt="">+ Nếu &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}} $$&nbsp;$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}} $$ &nbsp;cùng hướng với &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{DC}} $$Và &nbsp;$$ \left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|=\left| \overrightarrow{\text{DC}} \right| $$&nbsp;$$ \Rightarrow \text{AB}//\text{DC} $$ &nbsp;và &nbsp;$$ \text{AB}=\text{DC} $$&nbsp;$$ \Rightarrow \text{ABCD} $$ &nbsp;là hình bình hành+ Nếu ABCD&nbsp; là hình bình hành&nbsp;$$ \Rightarrow \text{AB}//\text{CD} $$&nbsp;$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}} $$ &nbsp;và &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{DC}} $$ &nbsp;cùng phươngNhìn hình vẽ thấy&nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}} $$ &nbsp;và &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{DC}} $$ &nbsp;cùng hướngLại AB = CD &nbsp;$$ \Rightarrow \text{AB}=\text{CD} $$<h3>Bài 4 (trang 7 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B01_C03_288c0d8591.png?632902.2899999982" alt="">a) Các vectơ khác vectơ&nbsp; $$ \vec{0} $$ &nbsp;và cùng phương với vectơ&nbsp; $$ \overrightarrow{\text{OA}} $$ &nbsp;là:&nbsp;$$ \overrightarrow{\text{CB}},\overrightarrow{\text{BC}},\overrightarrow{\text{EF}},\overrightarrow{\text{FE}},\overrightarrow{\text{OD}},\overrightarrow{\text{DO}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{DA}},\overrightarrow{\text{AO}} $$b) Các vectơ bằng vector &nbsp;$$ \overrightarrow{AB} $$ &nbsp;là:&nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{FO}}=\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{ED}} $$&nbsp;

Định nghĩa Vecto

Ôn tập chương 3. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ôn tập chương 3 (trang 93-98)

Ôn tập chương. Véc tơ

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Công thức cộng</h3>Công thức cộng là những công thức biểu thị \[ \cos (a\pm b),\sin (a\pm b),\tan (a\pm b),\cot (a\pm b) \] qua các giá trị lượng giác của góc \[ a,b \] .\[ \begin{align} &amp; \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \\ &amp; \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \\ &amp; \sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \\ &amp; \sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \\ &amp; \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b} \\ &amp; \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} \\ \end{align} \]&nbsp;<h3>2. Công thức nhân đôi</h3>Cho \[ a=b \] trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau\[ \begin{align} &amp; \sin 2a=2\sin a\cos a \\ &amp; \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a \\ &amp; \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a} \\ \end{align} \]&nbsp;Từ các công thức nhân đôi ta suy ra các công thức hạ bậc\[ \begin{align} &amp; {{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2} \\ &amp; {{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2} \\ &amp; {{\tan }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a} \\ \end{align} \]&nbsp;<h3>3. Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích</h3>\[ \begin{align} &amp; \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)] \\ &amp; \sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \\ &amp; \sin \dot{a}\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)] \\ \end{align} \]\[ \begin{align} &amp; \cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2} \\ &amp; \cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} \\ &amp; \sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2} \\ &amp; \sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} \\ \end{align} \]<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Chứng minh một biểu thức</h3><h3>Dạng 2. Rút gọn biểu thức</h3>Phương pháp giải: Sử dụng các công thức lượng giác đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết để biến đổi sao cho phù hợp.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 153 SGK Đại số 10):</h3>a)\[ \begin{align} &amp; +\cos {{225}^{{}^\circ }}=\cos \left( {{180}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }} \right)=-\cos {{45}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ &amp; +)\sin {{240}^{{}^\circ }}=\sin \left( {{180}^{{}^\circ }}+{{60}^{{}^\circ }} \right)=-\sin {{60}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ &amp; +)\cot \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)=\frac{\cos \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)}{\sin \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)}=\frac{\cos \left( {{30}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }} \right)}{\sin \left( {{30}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }} \right)} \\ &amp; =\frac{\cos {{30}^{{}^\circ }}\cos {{45}^{{}^\circ }}+\sin {{30}^{{}^\circ }}\sin {{45}^{{}^\circ }}}{\sin {{30}^{{}^\circ }}\cos {{45}^{{}^\circ }}-\cos {{30}^{{}^\circ }}\sin {{45}^{{}^\circ }}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3} \\ \end{align} \]\[ +)\tan {{75}^{{}^\circ }}=\tan \left( {{30}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }} \right)=\frac{\tan {{30}^{{}^\circ }}+\tan {{45}^{{}^\circ }}}{1-\tan {{30}^{{}^\circ }}\cdot \tan {{45}^{{}^\circ }}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3} \]b)\[ \begin{align} &amp; +)\sin \frac{7\pi }{12}=\sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4} \right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) \\ &amp; +)\cos \left( -\frac{\pi }{12} \right)=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{12} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{12} \right)=\sin \frac{7\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot (\sqrt{3}+1) \\ &amp; +)\tan \frac{13\pi }{12}=\tan \left( \pi +\frac{\pi }{12} \right)=\tan \left( \frac{\pi }{12} \right)=\tan \left( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}\cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \]<h3>Bài 2 (trang 154 SGK Đại số 10):</h3>a) Ta có:\[ \begin{align} &amp; +){{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{2}{3}\Leftrightarrow \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{6}}{3} \\ &amp; +)0&lt;\alpha &lt;\frac{\pi }{2}\Rightarrow \cos \alpha &gt;0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3} \\ &amp; \Rightarrow \cos \left( \alpha +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{6} \\ \end{align} \]b) Ta có:\[ \begin{align} &amp; +){{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{8}{9}\Leftrightarrow \sin \alpha =\pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ &amp; +)\frac{\pi }{2}&lt;\alpha &lt;\pi \Rightarrow \sin \alpha &gt;0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow \tan \alpha =-2\sqrt{2} \\ &amp; \Rightarrow \tan \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-2\sqrt{2}-1}{1-2\sqrt{2}}=\frac{9+4\sqrt{2}}{7} \\ \end{align} \]c) Ta có:\[ \begin{align} &amp; +){{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}a=\frac{9}{25}\Leftrightarrow \cos a=\pm \frac{3}{5} \\ &amp; +)00\Rightarrow \cos a=\frac{3}{5} \\ \end{align} \]Tương tự \[ \cos b=-\frac{\sqrt{5}}{3} \]Suy ra:\[ \begin{align} &amp; +\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\frac{3}{5}\cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)-\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{3\sqrt{5}+8}{15} \\ &amp; +)\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin \text{b}=\frac{4}{5}\cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)-\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{5}+6}{15} \\ \end{align} \]<h3>Bài 3 (trang 154 SGK Đại số 10):</h3>a) Ta có:\[ \begin{align} &amp; \sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cos a,\sin (-b)=-\sin b \\ &amp; \Rightarrow \sin (a+b)+\sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right).\sin (-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b-\cos a\sin b=\sin a\cos b \\ \end{align} \]b) Ta có:\[ \begin{align} &amp; \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)] \\ &amp; \Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{4}+a \right)\cos \left( \frac{\pi }{4}-a \right)+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}a=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2} \right)+\cos 2a \right]+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}a \\ &amp; =\frac{1}{2}\left( \cos 2a+{{\sin }^{2}}a \right)=\frac{1}{2}\left( {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a+{{\sin }^{2}}a \right)=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \]c) Ta có:\[ \begin{align} &amp; \cos \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\sin a,\,\sin \left( \frac{\pi }{2}-b \right)=\cos b \\ &amp; \Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{2}-a \right)\sin \left( \frac{\pi }{2}-b \right)-\sin (a-b) \\ &amp; =\sin a\cos b-(\sin a\cos b-\cos b\sin a)=\cos b\sin a \\ \end{align} \]<h3>Bài 4 (trang 154 SGK Đại số 10):</h3>a) Ta có:\[ VP=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}=\text{ }\frac{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos b}{\sin b}+1}{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos b}{\sin b}-1}\text{ }=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sinh }\text{ }=\frac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=VT\text{ } \]Điều phải chứng minh.b) Ta có:\[ \sin (a+b)\sin (a-b)=\frac{1}{2}(\cos 2b-\cos 2a)=\frac{1}{2}\left( 2{{\cos }^{2}}b-1-2{{\cos }^{2}}a+1 \right)={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \]Mặt khác:\[ \begin{align} &amp; {{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}b-1+{{\sin }^{2}}a={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \\ &amp; \Rightarrow \sin (a+b)\sin (a-b)={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \]c) Ta có:\[ \cos (a+b)\cos (a-b)=\frac{1}{2}(\cos 2b+\cos 2a)=\frac{1}{2}\left( 1-2{{\sin }^{2}}b+2{{\cos }^{2}}a-1 \right)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \]Mặt khác:\[ \begin{align} &amp; {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b=1-{{\sin }^{2}}a-1+{{\cos }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ &amp; \Rightarrow \cos (a+b)\cos (a-b)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ \end{align} \]<h3>Bài 5 (trang 154 SGK Đại số 10):</h3>a) Ta có:\[ \begin{align} &amp; {{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{(-0,6)}^{2}}+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}a=0,64\Leftrightarrow \cos a=\pm 0,8 \\ &amp; +)\pib) Ta có:\[ \begin{align} &amp; {{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a+{{\left( -\frac{5}{13} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a=\frac{144}{169}\Leftrightarrow \sin a=\pm \frac{12}{13} \\ &amp; +)\frac{\pi }{2}c) Ta có:\[ \begin{align} &amp; \sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{(\sin \alpha +\cos \alpha )}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sin 2\alpha =-\frac{3}{4} \\ &amp; +){{\cos }^{2}}2\alpha +{{\sin }^{2}}2\alpha =1\Rightarrow {{\cos }^{2}}2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\Leftrightarrow \cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{4} \\ &amp; +)\frac{\pi }{2}&lt;\alpha &lt;\frac{3\pi }{4}\Leftrightarrow \pi &lt;2\alpha &lt;\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \cos 2\alpha &lt;0\Rightarrow \cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}\Rightarrow \tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{3}{\sqrt{7}} \\ \end{align} \]<h3>Bài 6 (trang 154 SGK Đại số 10):</h3>Ta có:\[ \begin{align} &amp; +)\sin 2a=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow 2\sin a\cos a=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow \sin a\cos a=-\frac{5}{18} \\ &amp; +){{(\sin a+\cos a)}^{2}}={{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a+2\sin a\cos a=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow \sin a+\cos a=\pm \frac{2}{3} \\ \end{align} \]Với \[ \sin a+\cos a=\frac{2}{3},\,\,\sin a\cdot \cos a=-\frac{5}{18} \]Do \[ \frac{\pi }{2}0,\cos a&lt;0 \] . thì \[ \sin a \] và \[ \cos a \] là nghiệm của phương trình \[ {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x-\frac{5}{18}=0 \] .Suy ra \[ {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \] .&nbsp;Vậy \[ \sin a=\frac{2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \] .Với \[ \sin a+\cos a=-\frac{2}{3},\,\,\sin a\cdot \cos a=-\frac{5}{18} \] thì \[ \sin a \] và \[ \cos a \] là nghiệm của phương trình \[ {{x}^{2}}+\frac{2}{3}x-\frac{5}{18}=0 \] .Suy ra \[ {{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \] .&nbsp;Vậy \[ \sin a=\frac{-2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \] .<h3>Bài 7 (trang 155 SGK Đại số 10):</h3>\[ \begin{align} &amp; a)1-\sin x=\sin \frac{\pi }{2}-\sin x=2\cos \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{2}-x}{2}=2\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)\sin \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \\ &amp; b)1+\sin x=\sin \frac{\pi }{2}+\sin x=2\sin \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{2}-x}{2}=2\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \\ &amp; c)1+2\cos x=2\left( \frac{1}{2}+\cos x \right)=2\left( \cos \frac{\pi }{3}+\cos x \right)=4\cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{x}{2} \right)\cos \left( \frac{\pi }{6}-\frac{x}{2} \right) \\ &amp; d)1-2\sin x=2\left( \frac{1}{2}-\sin x \right)=2\left( \sin \frac{\pi }{6}-\sin x \right)=4\cos \left( \frac{\pi }{12}+\frac{x}{2} \right)\sin \left( \frac{\pi }{12}-\frac{x}{2} \right) \\ \end{align} \]<h3>Bài 8 (trang 155 SGK Đại số 10):</h3>Ta có:\[ A=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}=\frac{2\sin 3x\cos 2x+\sin 3x}{2\cos 3x\cos 2x+\cos 3x}=\frac{2\sin 3x(\cos 2x+1)}{2\cos 3x(\cos 2x+1)}=\tan 3x \]&nbsp;Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa công thức lượng giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Công thức lượng giác 

<h2 style="text-align:center;">BÀI 3: TÍCH CỦA VÉC TƠ VỚI MỘT SỐ</h2><h2>I. LÝ&nbsp;THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa</h3>Cho số k ≠ 0 và vectơ&nbsp; $$ \vec{a}\ne \vec{0} $$ &nbsp;Tích của vectơ&nbsp; $$ \vec{a} $$ &nbsp;với số k là một vectơ, kí hiệu là &nbsp;$$ k\vec{a} $$ &nbsp;, cùng hướng với&nbsp; $$ \vec{a} $$ &nbsp;nếu k &gt; 0, ngược hướng với&nbsp; $$ \vec{a} $$ &nbsp;nếu k &lt; 0 và có độ dài bằng &nbsp;$$ |k||\vec{a}| $$<h3>2. Tính chất</h3>Với hai vectơ&nbsp; $$ \vec{a} $$ và &nbsp;$$ \vec{b} $$ bất kì, với mọi số h và k, ta có\[k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\]&nbsp;$$ (h+k)\vec{a}=h\vec{a}+k\vec{a} $$&nbsp;$$ h(k\vec{a})=(hk)\vec{a} $$\[1.\vec{a}=\vec{a},(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}\]<h3>3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác</h3>a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có&nbsp;$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $$b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có&nbsp;$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG} $$<h3>4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương</h3>Điều kiện cần và đủ để hai vectơ &nbsp;$$ \vec{a} $$ và &nbsp; $$ \vec{b}(\vec{b}\ne \vec{0}) $$ &nbsp;cùng phương là có một số k để &nbsp;$$ \vec{a}=k\vec{b} $$<h3>5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương</h3>Cho hai vectơ&nbsp; $$ \vec{a} $$ và &nbsp;$$ \vec{b} $$ &nbsp;không cùng phương. Khi đó mọi vectơ&nbsp; $$ \vec{x} $$ &nbsp;đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ&nbsp; $$ \vec{a} $$ và &nbsp;$$ \vec{b} $$ &nbsp;nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho&nbsp; $$ \vec{x}=h\vec{a}+k\vec{b} $$<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2>Các dạng bài tập về trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương, các em cần nắm vững lý thuyết ở phần lý thuyết trọng tâm để giải bài tập.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C01_4b04ad0b51.png?525832.9649999505">ABCD là hình bình hành&nbsp;$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AC}} $$ &nbsp;Do đó &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AD}} $$ &nbsp;&nbsp;$$ =\left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AD}} \right)+\overrightarrow{\text{AC}} $$&nbsp;$$ =\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{AC}}=2\cdot \overrightarrow{\text{AC}} $$<h3>Bài 2 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C02_7e40ce36e1.png?525834.9099999759">+ K là trung điểm của BC nên ta có:&nbsp;$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot \overrightarrow{AK}~hay~\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=2\vec{u} $$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (1)+ M là trung điểm AC nên ta có:&nbsp;$$ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\cdot \overrightarrow{BM}~hay~\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=2\vec{v} $$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (2)Lại có &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{CA}}=\vec{0} $$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (3)Cộng (1) với (3) ta được &nbsp;$$ 2.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{u} $$ &nbsp;, kết hợp với (2) ta được hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; 2\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{u}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; -\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\vec{v}&nbsp; \\ \end{array} \right.$Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; \overrightarrow{AB}=\frac{2\vec{u}-2\vec{v}}{3}=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \overrightarrow{BC}=\frac{2\vec{u}+4.\vec{v}}{3}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{4}{3}\cdot \vec{v}&nbsp; \\ \end{array} \right.$Từ (1) \[\Rightarrow \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-2\vec{u}\]\[=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}-2\vec{u}=\frac{-4}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\]Vậy \[\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\]\[\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{4}{3}\vec{v};\overrightarrow{CA}=\frac{-4}{3}\vec{u}-\frac{2}{3}\vec{v}\]<h3>Bài 3 (trang 17 SGK Hình học 10):&nbsp;</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_HH_CH_01_B03_C03_6946b3cbb4.png?525830.425000051">Ta có \[\overrightarrow{\text{MB}}=3\cdot \overrightarrow{\text{MC}}\Rightarrow \overrightarrow{\text{MB}}-3\cdot \overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}\]Theo quy tắc ba điểm ta có:$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\vec{u}-\overrightarrow{MB}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}=\vec{v}-\overrightarrow{MC}&nbsp; \\ \end{array}$Lấy (1) trừ 3 lần (2) ta được:$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; \overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AM}=(\vec{u}-\overrightarrow{MB})-3\cdot (\vec{v}-\overrightarrow{MC})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow -2\overrightarrow{AM}=(\vec{u}-3\vec{v})+(\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow -2\overrightarrow{AM}=\vec{u}-3\vec{v}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{-1}{2}\vec{u}+\frac{3}{2}\vec{v}&nbsp; \\ \end{array}$&nbsp;<h3>Bài 4 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C04_e442789183.png?525839.4250000129">a) Ta có \[2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}\]$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; =2\overrightarrow{\text{DA}}+(\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =2\cdot \overrightarrow{\text{DA}}+2\cdot \overrightarrow{\text{DM}}&nbsp; \\ \end{array}$(Do M là trung điểm của BC)$\begin{array}{*{35}{l}} =2\cdot (\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DM}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =2.\vec{0}&nbsp; \\ \end{array}$&nbsp;&nbsp;(Vì D là trung điểm của AM)\[=\vec{0}\](đpcm)b) Ta có: \[2\cdot \overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}\]$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; =2\cdot (\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DA}})+(\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DB}})+(\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{DC}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =4\cdot \overrightarrow{\text{OD}}+(2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =4\cdot \overrightarrow{\text{OD}}+\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =4.\overrightarrow{\text{OD}}&nbsp; \\ \end{array}$<h3>Bài 5 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C05_2a007893c6.png?525831.3250000356">Ta có:\[+2\cdot \overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}}\](Vì N là trung điểm của DC)$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; =(\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{BD}})+(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{AC}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =(\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MA}})+(\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =\vec{0}+\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}}&nbsp; \\ \end{array}$(Vì M là trung điểm của AB)\[=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}}\]\[+2\cdot \overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}}\](Vì N là trung điểm của DC)$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; =(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{AD}})+(\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{BC}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =(\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}})+(\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{BC}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =\vec{0}+(\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{BC}})&nbsp; \\ \end{array}$&nbsp;(Vì M là trung điểm của AB)\[=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{BC}}\]Vậy\[2\overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{AC}}+\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{BC}}+\overrightarrow{\text{AD}}\] (đpcm)<h3>Bài 6 (trang 17 SGK Hình học 10):&nbsp;</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C06_c761fd391d.png?525840.2449999703">Ta có: \[3\overrightarrow{\text{KA}}+2\cdot \overrightarrow{\text{KB}}=\vec{0}\]$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; \Leftrightarrow 3\overrightarrow{\text{KA}}+2\cdot (\overrightarrow{\text{KA}}+\overrightarrow{\text{AB}})=\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow 5\cdot \overline{\text{KA}}+2\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow 5\overrightarrow{\text{KA}}=-2\overrightarrow{\text{AB}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{KA}}=\frac{-2}{5}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AK}}=\frac{2}{5}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}&nbsp; \\ \end{array}$&nbsp;\[\Rightarrow \overrightarrow{\text{AK}}\] cùng hướng \[\overrightarrow{\text{AB}}\]Và \[\text{AK}=\frac{2}{5}\cdot \text{AB}\]hay K là điểm nằm trên đoạn thẳng AB và&nbsp;Và \[\text{AK}=\frac{2}{5}\cdot \text{AB}\]\[\Rightarrow 3\cdot \overrightarrow{KA}+2\cdot \overrightarrow{KB}=\vec{0}\]<h3>Bài 7 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C07_7e3ef17de7.png?525838.2599999895https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C07_7e3ef17de7.png?525838.2599999895">Gọi D là trung điểm AB.Khi đó với mọi điểm M ta có :$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; \overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\cdot \overrightarrow{\text{MD}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+2\cdot \overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow 2\cdot \overrightarrow{\text{MD}}+2\cdot \overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow 2\cdot (\overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}})=\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}&nbsp; \\ \end{array}$\[\Leftrightarrow \]M là trung điểm của CDVậy \[\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+2\overrightarrow{\text{MC}}=\vec{0}\]\[\Leftrightarrow \]M là trung tuyến từ đỉnh C<h3>Bài 8 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C08_4abe1f0591.png?525832.1249999572">Gọi G là trọng tâm tam giác MPR \[\Rightarrow \overrightarrow{\text{GM}}+\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GR}}=\vec{0}\]Ta cần đi chứng minh G cũng là trọng tâm của ΔNQS bằng cách chứng minh \[\overrightarrow{\text{GN}}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{\text{GS}}=\vec{0}\]Thật vậy ta có:$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp; 2\cdot (\overline{\text{GN}}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{\text{GS}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =2.\overrightarrow{\text{GN}}+2\cdot \overrightarrow{\text{GQ}}+2\overrightarrow{\text{GS}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =(\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}})+(\overrightarrow{\text{GD}}+\overrightarrow{\text{GE}})+(\overrightarrow{\text{GF}}+\overrightarrow{\text{GA}})&nbsp; \\ \end{array}$&nbsp;(Vì N, Q, S lần lượt là trung điểm của BC, DE, FA)$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; =(\overline{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}})+(\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{\text{GD}})+(\overrightarrow{\text{GE}}+\overrightarrow{\text{GF}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =2.\overline{\text{GM}}+2\cdot \overrightarrow{\text{GP}}+2\overrightarrow{\text{GR}}&nbsp; \\ \end{array}$(Vì M, P, R là trung điểm AB, CD, EF)$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; =2\cdot (\overrightarrow{\text{GM}}+\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GR}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =2.\vec{0}=\vec{0}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Rightarrow \overrightarrow{\text{GN}}+\overrightarrow{\text{GQ}}+\overrightarrow{\text{GS}}=\vec{0}&nbsp; \\ \end{array}$Hay G cũng là trọng tâm của ΔNQS.Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.<h3>Bài 9 (trang 17 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_01_B03_C09_705823d0ad.png?525833.7700000266">Ta có:$\begin{array}{*{35}{l}} MS//AB\Rightarrow \widehat{MSH}=\hat{B}={{60}^{\circ }} \\ MH//AC\Rightarrow \widehat{MHS}=\hat{C}={{60}^{\circ }} \\ \Rightarrow \Delta MHS~c\acute{o}~\widehat{MHS}=\widehat{MSH}={{60}^{\circ }} \\ \end{array} $&nbsp;&nbsp;⇒ ΔMHS đều.MD ⊥ SH nên MD là đường cao đồng thời là trung tuyến của ΔMHS.⇒ D là trung điểm của HS\[\Rightarrow 2\cdot \overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MS}}+\overrightarrow{\text{MH}}\]Chứng minh tương tự ta có:$\begin{array}{*{35}{l}}&nbsp;&nbsp; 2\cdot \overrightarrow{\text{ME}}=\overrightarrow{\text{MR}}+\overrightarrow{\text{MQ}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; 2\overrightarrow{\text{MF}}=\overrightarrow{\text{MG}}+\overrightarrow{\text{MP}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; \Rightarrow 2.\text{MD}+2\cdot \text{ME}+2.\text{MF}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =\overrightarrow{\text{MS}}+\overrightarrow{\text{MH}}+\overrightarrow{\text{MR}}+\overrightarrow{\text{MQ}}+\overrightarrow{\text{MG}}+\overrightarrow{\text{MP}}&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =(\overrightarrow{\text{MS}}+\overrightarrow{\text{MP}})+(\overrightarrow{\text{MH}}+\overrightarrow{\text{MQ}})+(\overrightarrow{\text{MR}}+\overrightarrow{\text{MP}})&nbsp; \\ &nbsp;&nbsp; =\overline{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}+\overrightarrow{\text{MA}}&nbsp; \\ \end{array}$(Vì các tứ giác BSMP, HMQC, MRAG là hình bình hành)\[=3.\overrightarrow{\text{MO}}\] (Vì O là trọng tâm của \[\Delta ABC\])\[\Rightarrow \overrightarrow{\text{MD}}+\overrightarrow{\text{ME}}+\overrightarrow{\text{MF}}=\frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{\text{MO}}\]

Tích của một véc tơ với một số

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG</h2><h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng</h3>Vectơ \[ \overrightarrow{u} \] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu \[ \vec{u}\ne \vec{0} \] và giá của nó song song hoặc trùng với ∆.Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.<h3>2. Phương trình tham số của đường thẳng</h3>Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có VTCP \[ \overrightarrow{u} \] = (a; b)=&gt; phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x={{x}_{0}}+at \\ y={{y}_{0}}+bt(t\in R) \\ \end{array} \right. $Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP \[ \overrightarrow{u} \] = (a; b)thì có hệ số góc \[ k=\frac{b}{a} \] .<h3>3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng</h3>Vectơ \[ \overrightarrow{n} \] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu \[ \overrightarrow{n}\ne \vec{0} \] và \[ \overrightarrow{n} \] vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.<h3>4. Phương trình tổng quát của đường thẳng</h3>Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có VTPT \[ \overrightarrow{n}=(A;B) \]&nbsp;=&gt; phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạngA(x – x0) + B(y – y0) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax0 – By0.<h3>5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng</h3>Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là\[ {{\Delta }_{1}}:{{\text{a}}_{1}}\text{x}+{{\text{b}}_{1}}\text{y}+{{\text{c}}_{1}}=0\, \] và \[ {{\Delta }_{2}}:{{\text{a}}_{2}}\text{x}+{{\text{b}}_{2}}\text{y}+{{\text{c}}_{2}}=0 \]&nbsp;Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0 \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0\end{array}\right.$+) Nếu hệ có một nghiệm (x0; y0) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M0(x0, y0).+) Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆1 trùng với ∆2.+) Nếu hệ vô nghiệm thì ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2<h3>6. Góc giữa hai đường thẳng</h3>Cho hai đường thẳng\[ {{\Delta }_{1}}:{{\text{a}}_{1}}\text{x}+{{\text{b}}_{1}}\text{y}+{{\text{c}}_{1}}=0\, \] có VTPT \[ \overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}} \right) \] ;\[ {{\Delta }_{2}}:{{\text{a}}_{2}}\text{x}+{{\text{b}}_{2}}\text{y}+{{\text{c}}_{2}}=0 \] có VTPT \[ \overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}} \right) \]&nbsp;Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2Khi đó\[ \cos \alpha =\left| \cos \left( {{{\vec{n}}}_{1}},{{{\vec{n}}}_{2}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}\cdot \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|\cdot \left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\left| {{a}_{1}}\cdot {{a}_{2}}+{{b}_{1}}\cdot {{b}_{2}} \right|}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}\cdot \sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}} \]&nbsp;<h3>7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng</h3>Khoảng cách từ M0(x0, y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức\[ \text{d}\left( {{\text{M}}_{0}};\Delta&nbsp; \right)=\frac{\left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}} \]&nbsp;Nhận xét. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:\[ \frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}} \]&nbsp;<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng</h3>Phương pháp giải:Bước 1. Tìm tọa độ một điểm bất kì của đường thẳng.Bước 2. Tìm VTPT hoặc VTCP.Bước 3. Viết phương trình đường thẳng: (PT tham số, chính tắc hoặc tổng quát tùy theo đề bài yêu cầu.<h3>Dạng 2. Tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, phương trình đường phân giác tạo bởi góc giữa hai đường thẳng,…</h3>Phương pháp giải: Dựa vào các công thức đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết và dữ kiện đề bài.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 10):</h3>a) Phương trình tham số của d là:$(d):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=2+3t \\ y=1+4t \\ \end{array} \right. $b) d nhận \[ \vec{n}=(5;1) \] là 1 vec tơ pháp tuyến⇒ d nhận \[ \vec{u}=(1;-5) \] là 1 vec tơ chỉ phươngPhương trình tham số của đường thẳng d là:$(d):\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=-2+t \\ y=3-5t \\ \end{array} \right. $<h3>Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 10):</h3>a) Phương trình đường thẳng Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 là:y = –3.(x + 5) – 8 ⇔ 3x + y + 23 = 0.b) Ta có: A(2; 1), B(–4; 5) ⇒ \[ \overrightarrow{\text{AB}}=\left( {{\text{x}}_{\text{B}}}-{{\text{x}}_{\text{A}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right)=(-6;4) \]&nbsp;Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5)⇒ Δ nhận \[ \overrightarrow{\text{u}}=\overrightarrow{\text{AB}}=(-6;4) \] là một vtcp⇒ Δ nhận \[ \overrightarrow{\text{n}}=(4;6) \] là một vtpt.Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:(Δ) : 4(x – 2) + 6(y -1) = 0Hay 4x + 6y – 14 = 0 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0.<h3>Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 10):</h3>a)\[ \overrightarrow{\text{AB}}=(2;-5);\overrightarrow{BC}=(3;3);\overrightarrow{\text{CA}}=(-5;2) \]&nbsp;+ Lập phương trình đường thẳng AB:Đường thẳng AB nhận \[ \overrightarrow{{{\text{u}}_{1}}}=\overrightarrow{\text{AB}}=(2;-5) \] là 1 vtcp ⇒ AB nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{1}}}=(5;2) \] là 1 vtptMà A(1; 4) thuộc AB⇒ PT đường thẳng AB: 5(x- 1) + 2(y – 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.+ Lập phương trình đường thẳng BC:Đường thẳng BC nhận \[ \overrightarrow{{{\text{u}}_{2}}}=\overrightarrow{\text{BC}}=(3;3) \] là 1 vtcp ⇒ BC nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{2}}}=(1;-1) \] là 1 vtptMà B(3; –1) thuộc BC⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x - 3) – 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.+ Lập phương trình đường thẳng CA:Đường thẳng CA nhận \[ \overrightarrow{{{\text{u}}_{3}}}=\overrightarrow{\text{CA}}=(-5;2) \] là 1 vtcp ⇒ CA nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{3}}}=(2;5) \] là 1 vtptMà C(6; 2) thuộc CA⇒ Phương trình đường thẳng AC: 2(x – 6) + 5(y - 2) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.b) + AH là đường cao của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC⇒ Đường thẳng AH nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{4}}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{BC}}=(1;1) \] là 1 vec tơ pháp tuyếnMà A(1; 4) thuộc AH⇒ Phương trình đường thẳng AH: 1(x - 1) + 1(y - 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.+ Trung điểm M của BC có tọa độ \[ \text{M}\left( \frac{{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}}{2};\frac{{{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}}{2} \right)\,\,\text{hay}\,\,\text{M}\left( \frac{9}{2};\frac{1}{2} \right) \]&nbsp;\[ \overrightarrow{\text{AM}}=\left( {{\text{x}}_{\text{M}}}-{{\text{x}}_{\text{A}}};{{\text{y}}_{\text{M}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right)=\left( \frac{7}{2};\frac{-7}{2} \right) \]&nbsp;Đường thẳng AM nhận \[ \overrightarrow{{{\text{u}}_{5}}}=\frac{2}{7}\overrightarrow{\text{AM}}=(1;-1) \] là 1 vtcp⇒ AM nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{5}}}=(1;1) \] là 1 vtptMà A(1; 4) thuộc AM⇒ Phương trình đường thẳng AM: 1(x - 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.<h3>Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 10):</h3>\[ \overrightarrow{\text{MN}}=\left( {{\text{x}}_{\text{N}}}-{{\text{x}}_{\text{M}}};{{\text{y}}_{\text{N}}}-{{\text{y}}_{\text{M}}} \right)=(-4;-1) \]&nbsp;Đường thẳng MN nhận \[ \overrightarrow{\text{u}}=\overrightarrow{\text{MN}}=(-4;-1) \] là 1 vtcp⇒ MN nhận \[ \overrightarrow{\text{n}}=(1;-4) \] là 1 vtptMà M(4; 0) thuộc đường thẳng MN⇒ Phương trình đường thẳng MN: 1(x - 4) – 4(y - 0) = 0 hay x – 4y – 4 = 0.<h3>Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10):</h3>Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình:a) Xét hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-10y+1=0 \\ x+y+2=0 \\ \end{array}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-10y=-1 \\ x+y=-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \text{x}=\frac{-3}{2} \\ \text{y}=\frac{-1}{2} \\ \end{array} \right. $Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên (d1) cắt (d2).b) Xét hệ phương trình&nbsp;$\left\{ \begin{matrix} 12x-6y+10=0 \\ x=5+t \\ y=3+2t \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 12(5+t)-6(3+2t)+10=0 \\ x=5+t \\ y=3+2t \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0t+52=0\,\,\, \\ x=5+t \\ y=3+2t \\ \end{matrix} \right. $ (vô lý)Hệ phương trình trên vô nghiệm nên hai đường thẳng trên song song.c) Xét hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 8x+10y-12=0 \\ x=-6+5t \\ y=6-4t \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 8(-6+5t)+10\cdot (6-4t)-12=0 \\ x=-6+5t \\ y=6-4t \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 0.t=0 \\ x=-6+5t \\ y=6-4t \\ \end{array} \right. $Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên hai đường thẳng trùng nhau.<h3>Bài 6 (trang 80 SGK Hình học 10):</h3>M ∈ d nên M có tọa độ: M(2 + 2t; 3 + t).Khi đó : AM2 = (xM – xA)2 + (yM – yA)2 = (2+2t)2 + (2 + t)2 = 5t2 + 12t + 8.Ta có : AM = 5 ⇔ AM2 = 25⇔ 5t2 + 12t + 8 = 25⇔ 5t2 + 12t – 17 = 0⇔ t = 1 hoặc t = –17/5.+ Với t = 1 thì M(4 ; 4).+ Với t = –17/5 thì M(–24/5 ; –2/5).Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(4 ; 4) và M(–24/5 ; –2/5).<h3>Bài 7 (trang 81 SGK Hình học 10):</h3>Với d1: 4x – 2y + 6 = 0 có vecto pháp tuyến là: \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{1}}}(4;-2) \]&nbsp;và d2: x – 3y + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là: \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{2}}}(1;-3) \] ; ta có:\[ \cos \left( {{\text{d}}_{1}};{{\text{d}}_{2}} \right)=\frac{|4.1+(-2)\cdot (-3)|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{1}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}}=\frac{10}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( {{\text{d}}_{1}};{{\text{d}}_{2}} \right)={{45}^{{}^\circ }}\text{ } \]&nbsp;<h3>Bài 8 (trang 81 SGK Hình học 10):</h3>\[ \text{a})\,\,\text{d}(\text{A},\Delta )=\frac{\mid 4.3+3.5+1}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{28}{5} \]&nbsp;\[ \text{b})\,\,\text{d}(\text{B},\text{d})=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-2)-26|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{15}{5}=3 \]&nbsp;\[ \text{c})\,\,\text{d}(\text{C};\text{m})=\frac{|3\cdot 1+4.2-11|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=0 \]&nbsp;<h3>Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 10):</h3>Vì đường tròn tâm C tiếp xúc với Δ nên R = d(C, Δ).Do đó ta có :\[ \text{R}=\text{d}(\text{C},\Delta )=\frac{|5\cdot (-2)+12\cdot (-2)-10|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}}=\frac{44}{13} \]&nbsp;Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình đường thẳng toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Phương trình đường thẳng.

Ôn tập chương 2. Tích vô hướng của vecto và ứng dụng

Ôn tập chương 2 (trang 62-67)

<h2 style="text-align:center;">BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP</h2><h2>I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Định nghĩa:</h3>Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c &gt; 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a (a không đổi và a &gt; c &gt; 0) là một đường Elip.+) F1, F2 là hai tiêu điểm.+) F1F2 = 2c là tiêu cự của Elip<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/01_ad2c6f027d.png?171025.72499995586" alt=""><h3>2. Phương trình chính tắc của Elip</h3>(E): \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] với a2 = b2 + c2Do đó điểm M(xo; yo) ∈ (E) &lt;=&gt; \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] và |xo| ≤ a, |yo| ≤ b.<h3>3. Tính chất và hình dạng của Elip</h3>+) Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé).+) Tâm đối xứng O.+) Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).+) Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b.+) Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).+) Tiêu cự 2c.<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip</h3>Cho elip (E): \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] ta có thể xác định được:+ Các đỉnh : A1(- a;0), A2(a; 0), B1( 0; - b), B2(0; b)+ Trục lớn : : A1A2 = 2a , trục nhỏ : B1B2 = 2b+Hai tiêu điểm F1(-c; 0); F2(c; 0) với c2 = a2 - b2+ Tâm sai \[ e=\frac{c}{a}&lt;1 \]&nbsp;+ Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là:x = ± a; y = ±b.<h3>Dạng 2. Viết phương trình chính tắc của Elip</h3>- Từ các thành phần đã biết, áp dụng các công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip: \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \]&nbsp;- Các hệ thức:+ 0 &lt; b &lt; a; 0 &lt; c &lt; a+ c2 = a2 - b2+ F1F2 = 2c ( tiêu cự)+ A1A2 = 2a (độ dài trục lớn) .+ B1B2 = 2b( độ dài trục nhỏ).+ M thuộc ( E) ⇔ MF1 MF2= 2a.<h3>Dạng 3. Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện</h3>+) Bài toán 1: Lập phương trình elip (E) đi qua hai điểm A và B :- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] (a &gt; b &gt; 0).- Bước 2: Do hai điểm A và B thuộc elip (E) nên thạy tọa độ hai điểm này vào phương trình ( E) ta được hai phương trình ẩn a2; b2.Giải hệ phương trình ta được a2; b2...⇒ Phương trình chính tắc của elip.+ Bài toán 2: Lập phương trình chính tắc của elip ( E) đi qua điểm M và thỏa mãn điều kiện T ( về tiêu cự ; độ dài trục lớn- trục nhỏ; tâm sai....)- Bước 1: Gọi phương trình chính tắc của elip( E) : \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \] (a &gt; b &gt; 0).- Bước 2: Do điểm M thuộc elip (E) nên thạy tọa độ điểm này vào phương trình( E) ta được một phương trình ẩn a2; b2- Bước 3: Từ điều kiện T thiết lập một phương trình ẩn a ; b và c.Mà a2 – b2 = c2. Kết hợp ba phương trình trên để tìm a; b; c.⇒ Phương trình chính tắc của elip ( E) .<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 88 SGK Hình học 10):</h3>a) \[ (E):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1 \] có \[ a=5,b=3\Rightarrow c=\sqrt{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}=4 \]&nbsp;Tọa độ các đỉnh là A1 = (–5 ; 0) ; A2 = (5 ; 0) ; B1 = (0 ; –3) ; B2 = (0 ; 3)Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (–4 ; 0) và F2 = (4 ; 0)Độ dài trục lớn bằng A1A2 = 10Độ dài trục nhỏ bằng B1B2 = 6.b)\[ 4{{\text{x}}^{2}}+9{{\text{y}}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{\text{x}}^{2}}}{\frac{1}{4}}+\frac{{{\text{y}}^{2}}}{\frac{1}{9}}=1 \]&nbsp;\[ \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=1 \]&nbsp;\[ (E):\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}=1 \]&nbsp;\[ \text{a}=\frac{1}{2},~\text{b}=\frac{1}{3}\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{6} \]&nbsp;Tọa độ các đỉnh là \[ {{\text{A}}_{1}}=\left( \frac{-1}{2};0 \right),{{\text{A}}_{2}}=\left( \frac{1}{2};0 \right)\text{,}{{\text{B}}_{1}}=\left( 0;\frac{-1}{3} \right),{{\text{B}}_{2}}=\left( 0;\frac{1}{3} \right) \]&nbsp;Tọa độ hai tiêu điểm là: \[ {{\text{F}}_{1}}=\left( \frac{-\sqrt{5}}{6};0 \right)\text{;}{{\text{F}}_{2}}=\left( \frac{\sqrt{5}}{6};0 \right) \] .Độ dài trục lớn bằng \[ {{\text{A}}_{1}}~{{\text{A}}_{2}}=2.\text{a}=1 \] .Độ dài trục nhỏ bằng \[ {{\text{B}}_{1}}~{{\text{B}}_{2}}=2~\text{b}=\frac{2}{3} \] .c)\[ 4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \]&nbsp;\[ (E):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \]&nbsp;\[ a=3,b=2\Rightarrow c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{5} \]&nbsp;Tọa độ các đỉnh là : A1 = (–3 ; 0) ; A2 = (3 ; 0) ; B1 = (0 ; –2) ; B2 = (0 ; 2)Tọa độ hai tiêu điểm là F1 = (– \[ \sqrt{5} \] ; 0) và F2 = ( \[ \sqrt{5} \] ; 0)Độ dài trục lớn là A1A2 = 2a = 6Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 2b = 4.<h3>Bài 2 (trang 88 SGK Hình học 10):</h3>a) Độ dài trục lớn bằng 8 ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4Độ dài trục nhỏ bằng 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \[ \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1 \]&nbsp;b) Độ dài trục lớn bằng 10 ⇒ 2a = 10 ⇒ a = 5Tiêu cự bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3⇒ b2 = a2 – c2 = 16 ⇒ b = 4.Vậy phương trình chính tắc của Elip là: \[ \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1 \]&nbsp;<h3>Bài 3 (trang 88 SGK Hình học 10):</h3>Gọi Elip cần tìm có dạng : (E) : \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \]&nbsp;\[ a)\text{M}(0;3)\in (\text{E})\Rightarrow \frac{0}{{{\text{a}}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{~{{\text{b}}^{2}}}=1\Rightarrow \frac{9}{~{{\text{b}}^{2}}}=1\Rightarrow {{\text{b}}^{2}}=9 \]&nbsp;\[ \text{N}\left( 3;\frac{-12}{5} \right)\in (\text{E})\Rightarrow \frac{{{3}^{2}}}{{{\text{a}}^{2}}}+\frac{{{\left( \frac{-12}{5} \right)}^{2}}}{~{{\text{b}}^{2}}}=1\Rightarrow \frac{{{3}^{2}}}{{{\text{a}}^{2}}}+\frac{144}{25.9}=1\Rightarrow {{\text{a}}^{2}}=25 \]&nbsp;Vậy phương trình chính tắc của elip: \[ \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1 \]&nbsp;<h3>Bài 4 (trang 88 SGK Hình học 10):</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/02_6592d67701.png?171026.94499999052" alt="">Giả sử Elip có phương trình \[ \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \]&nbsp;Độ dài trục lớn bằng 80cm ⇒ 2a = 80cm ⇒ a =40cmĐộ dài trục nhỏ bằng 40cm ⇒ 2b = 40cm ⇒ b = 20cmKhi đó \[ c=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=20\sqrt{3}\Rightarrow {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=40\sqrt{3}cm \]&nbsp;Khoảng cách từ vị trí hai chiếc đinh F1, F2 đến hai mép là:\[ \frac{2a-2c}{2}=\frac{80-40\sqrt{3}}{2}=40-20\sqrt{3}\approx 5,36(~\text{cm}) \]&nbsp;Độ dài vòng dây cuốn: MF1 + MF2 + F1F2 = 2a + 2c = 80 + 40 \[ \sqrt{3} \] ≈ 149,3cm.<h3>Bài 5 (trang 88 SGK Hình học 10):</h3>Gọi C(M ; R).C tiếp xúc ngoài với C1 ⇒ MF1 = R + R1C tiếp xúc trong với C2 ⇒ MF2 = R2 – R⇒ MF1 + MF2 = R + R1 + R2 – R = R1 + R2 = const.Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.Vậy M nằm trên elip có hai tiêu điểm F1, F2 và có độ dài trục lớn bằng R1 + R2.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập phương trình đường elip toán học 10, toán 10 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Phương trình đường Elip.

<h2 style="text-align:center;">ÔN TẬP CUỐI NĂM PHẦN HÌNH HỌC</h2><h2>GIẢI BÀI TẬP SACH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 98 SGK Hình học 10):</h3>Ta có:&nbsp;$$ (\overrightarrow{\text{a}}+\text{m}\overrightarrow{\text{b}})\bot (\overrightarrow{\text{a}}-\text{m}\overrightarrow{\text{b}})\Leftrightarrow (\overrightarrow{\text{a}}+\text{m}\cdot \overrightarrow{\text{b}})\cdot (\overrightarrow{\text{a}}-\text{m}\cdot \overrightarrow{\text{b}})=0 $$&nbsp;$\Leftrightarrow \vec{a}^{2}+m \cdot \vec{b} \cdot \vec{a}-m \cdot \vec{b} \cdot \vec{a}-m^{2} \cdot \vec{b}^{2}=0 \Leftrightarrow \vec{a}^{2}-m^{2} \vec{b}^{2}=0$&nbsp;$$ \Leftrightarrow \left| {{\overrightarrow{\text{a}}}^{2}} \right|-{{\text{m}}^{2}}\cdot \left| {{\overrightarrow{\text{b}}}^{2}} \right|=0\Leftrightarrow 9-{{\text{m}}^{2}}\cdot 25=0\Leftrightarrow {{\text{m}}^{2}}=\frac{9}{25}\Leftrightarrow \text{m}=\pm \frac{3}{5} $$<h3>Bài 2 (trang 98 SGK Hình học 10):</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_OTCN_C01_fe7ec45198.png?3720924.6449999046" alt="">a) &nbsp;$$ \alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{\text{AM}}=\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} $$ .Vậy &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AM}} $$ &nbsp;là vecto cùng hướng với &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AC}} $$ &nbsp;và có độ dài &nbsp;$$ \text{AN}=\frac{2}{3}\cdot \text{AC} $$ .&nbsp;$$ \beta =\frac{-2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{\text{AN}}=\frac{-2}{3}\cdot \overrightarrow{\text{AC}} $$Vậy \[\overrightarrow{\text{AN}}\]là vecto ngược hướng với &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AC}} $$ &nbsp;và có độ dài &nbsp;$$ \text{AN}=\frac{2}{3}\cdot \text{AC} $$ .b)&nbsp;$$ \overrightarrow{\text{MN}}=\overrightarrow{\text{AN}}-\overrightarrow{\text{AM}}=\beta \cdot \overrightarrow{\text{AC}}-\alpha \overrightarrow{\text{AB}} $$&nbsp;$$ \text{MN}//\text{BC}\Leftrightarrow \exists \text{k}:\overrightarrow{\text{MN}}=\text{k}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}\Leftrightarrow \beta \cdot \overrightarrow{\text{AC}}-\alpha \overrightarrow{\text{AB}}=\text{k}\cdot \overrightarrow{\text{BC}}\Leftrightarrow \beta \cdot \overrightarrow{\text{AC}}-\alpha \overrightarrow{\text{AB}}=\text{k}\cdot \overrightarrow{\text{AC}}-\text{k}\cdot \overrightarrow{\text{AB}} $$&nbsp; $$ \Leftrightarrow (\beta -\text{k})\cdot \overrightarrow{\text{AC}}=(\alpha -\text{k})\cdot \overrightarrow{\text{AB}}\Leftrightarrow \beta -\text{k}=\alpha -\text{k}=0 $$( Do hai vecto &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AC}}\,\,\,va\,\,\,\overrightarrow{\text{AB}} $$ &nbsp;không cùng phương không cùng phương nên chỉ bằng nhau khi chúng đồng thời bằng &nbsp;$$ \overrightarrow{0} $$ ).&nbsp;$$ \Leftrightarrow \alpha =\beta =k $$Vậy MN song song với BC khi và chỉ khi α = β.<h3>Bài 3 (trang 99 SGK Hình học 10):</h3>a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.\[\text{M}{{\text{A}}^{2}}+\text{M}{{\text{B}}^{2}}+\text{M}{{\text{C}}^{2}}={{\overrightarrow{\text{MA}}}^{2}}+{{\overrightarrow{\text{MB}}}^{2}}+{{\overrightarrow{\text{MC}}}^{2}}={{(\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{\text{OA}})}^{2}}+{{(\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{\text{OB}})}^{2}}+{{(\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{\text{OC}})}^{2}}\]\[=3\cdot {{\overrightarrow{\text{MO}}}^{2}}+2\cdot \overrightarrow{\text{MO}}\cdot (\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}})+{{\overrightarrow{\text{OA}}}^{2}}+{{\overrightarrow{\text{OB}}}^{2}}+{{\overrightarrow{\text{OC}}}^{2}}\]\[=3\cdot \text{M}{{\text{O}}^{2}}+\text{O}{{\text{A}}^{2}}+\text{O}{{\text{B}}^{2}}+\text{O}{{\text{C}}^{2}}+2\cdot \overrightarrow{\text{MO}}\cdot (\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}})\]Lại có:+ O là trọng tâm tam giác nên&nbsp; $$ \overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\vec{0} $$+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác: $$ \text{R}=\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\frac{\text{a}}{\sqrt{3}} $$&nbsp;$$ \Rightarrow \text{ M}{{\text{A}}^{2}}+\text{M}{{\text{B}}^{2}}+\text{M}{{\text{C}}^{2}}\text{ }=3\cdot \frac{{{\text{a}}^{2}}}{3}+\frac{{{\text{a}}^{2}}}{3}+\frac{{{\text{a}}^{2}}}{3}+\frac{{{\text{a}}^{2}}}{3}+2.0=2{{\text{a}}^{2}}\text{ } $$b)&nbsp;\[\text{N}{{\text{A}}^{2}}+\text{N}{{\text{B}}^{2}}+\text{N}{{\text{C}}^{2}}={{\overrightarrow{\text{NA}}}^{2}}+{{\overrightarrow{\text{NB}}}^{2}}+{{\overrightarrow{\text{NC}}}^{2}}={{(\overrightarrow{\text{NO}}+\overrightarrow{\text{OA}})}^{2}}+{{(\overrightarrow{\text{NO}}+\overrightarrow{\text{OB}})}^{2}}+{{(\overrightarrow{\text{NO}}+\overrightarrow{\text{OC}})}^{2}}\]\[=3{{\overrightarrow{NO}}^{2}}+2\cdot \overrightarrow{NO}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+{{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+{{\overrightarrow{OC}}^{2}}\]\[=3\text{N}{{\text{O}}^{2}}+\text{O}{{\text{A}}^{2}}+\text{O}{{\text{B}}^{2}}+\text{O}{{\text{C}}^{2}}=3\cdot \text{N}{{\text{O}}^{2}}+3\cdot {{\text{R}}^{2}}\]Ta có: NA2&nbsp;+ NB2&nbsp;+ NC2&nbsp;ngắn nhất⇔ NO2&nbsp;ngắn nhất vì R không đổi⇔ NO ngắn nhất⇔ N là hình chiếu của O trên d.<h3>Bài 4 (trang 99 SGK Hình học 10):&nbsp;</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_OTCN_C02_25430872b0.png?3720920.9099998698" alt="">a) Do tam giác ABC là tam giác đều nên&nbsp; $$ \widehat{ABM}={{60}^{{}^\circ }} $$ &nbsp;.Theo định lý côsin trong tam giác ABM ta có:&nbsp;$$ \text{A}{{\text{M}}^{2}}=\text{A}{{\text{B}}^{2}}+\text{B}{{\text{M}}^{2}}-2.\text{AB}.\text{BM}.\cos \widehat{\text{ABM}}={{6}^{2}}+{{2}^{2}}-2.6.2\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}=28\Rightarrow \text{AM}=2\sqrt{7}(~\text{cm}) $$Áp dụng hệ quả của định lý Cô sin vào tam giác ABM ta có:&nbsp;$$ \cos \widehat{BAM}\text{ }=\frac{A{{B}^{2}}+A{{M}^{2}}-B{{M}^{2}}}{2\cdot AB\cdot AM}\text{ }=\frac{{{6}^{2}}+28-{{2}^{2}}}{2.6.2\sqrt{7}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}\text{ } $$b) Theo định lý sin trong tam giác ABM ta có:&nbsp;$$ \frac{\text{AM}}{\sin \text{ABM}}=2\text{R}\Rightarrow \text{R}=\frac{\text{AM}}{2\cdot \sin \widehat{\text{ABM}}}=\frac{2\sqrt{7}}{2.\sin {{60}^{{}^\circ }}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}(~\text{cm}) $$c) Ta có: BM + MC = BC nên MC = BC – BM = 6 - 2 = 4 cm.Gọi D là trung điểm AM.Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:&nbsp;$$ \text{C}{{\text{D}}^{2}}\text{ }=\frac{2\cdot \left( \text{A}{{\text{C}}^{2}}+\text{C}{{\text{M}}^{2}} \right)-\text{A}{{\text{M}}^{2}}}{4}=\frac{2.\left( {{6}^{2}}+{{4}^{2}} \right)-28}{4}=19\Rightarrow \text{CD }=\sqrt{19}(~\text{cm})\text{ } $$d) Ta có: &nbsp;$$ {{\text{S}}_{\text{ABM}}}\text{ }=\frac{1}{2}\cdot \text{AB}\cdot \text{BM}.\sin \widehat{\text{ABM}}\text{ }=\frac{1}{2}.6.2.\sin {{60}^{{}^\circ }}=3\sqrt{3}\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)\text{ } $$<h3>Bài 5 (trang 99 SGK Hình học 10):</h3>a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ta có:&nbsp;$$ \cos C=\frac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab};\cos B=\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2\cdot ca} $$&nbsp;$$ b\cdot \cos C+c\cdot \cos B=b\cdot \frac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{2ab}+c\cdot \frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2ac}=\frac{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{2a}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{2a}=\frac{2{{a}^{2}}}{2a}=a(\tilde{n}pcm) $$b) Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:A + B + C = 180º⇒ sin A = sin [180º – (B – C)]= sin (B + C) = sinB.cos C + cosB. sinC (đpcm)c) Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:&nbsp;$$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow 2R\cdot \sin B=b $$Do đó: &nbsp;$$ 2\text{R}\cdot \sin \text{B}\cdot \sin \text{C}=\text{b}\cdot \sin \text{C}=\frac{\text{ab}\cdot \sin \text{C}}{\text{a}}=\frac{2~\text{S}}{\text{a}}=\frac{\text{a}\cdot {{\text{h}}_{\text{a}}}}{\text{a}}={{\text{h}}_{\text{a}}}\text{ } $$<h3>Bài 6 (trang 99 SGK Hình học 10):</h3>&nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AM}}=(3;\text{y}-3);\overrightarrow{\text{MB}}=(4;4-\text{y}) $$Tam giác AMB vuông tại M&nbsp;$$ \Leftrightarrow \widehat{\text{AMB}}={{90}^{{}^\circ }}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AM}}\cdot \overrightarrow{\text{MB}}=0\Leftrightarrow 3.4+(\text{y}-3).(4-\text{y})=0 $$&nbsp;$\Leftrightarrow 12+4\text{y}-{{\text{y}}^{2}}-12+3\text{y}=0\Leftrightarrow 7\text{y}-{{\text{y}}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} y=0 \\ y=7 \\ \end{array} \right. $Vậy với M(5;7) hoặc M(5;0) thì tam giác AMB vuông tại M.b) \[\overrightarrow{\text{AB}}=(7;1),\overrightarrow{\text{AP}}=(\text{x}-2,-1)\]A, P, B thẳng hàng khi và chỉ khi &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AP}} $$ và &nbsp;$$ \overrightarrow{\text{AB}} $$ &nbsp;cùng phương&nbsp;$\Leftrightarrow \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\mathrm{k} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-2=\mathrm{k} .7 \\ -1=\mathrm{k} .1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{k}=-1 \\ \mathrm{x}-2=-7\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{k}=-1 \\ \mathrm{x}=-5\end{array}\right.\right.\right.$Vậy P(-5; 2).<h3>Bài 7 (trang 99 SGK Hình học 10):</h3>Trực tâm H là giao điểm của BH và AH ⇒ tọa độ H là nghiệm của hệ:&nbsp;$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x-4y-15=0 \\ 2x+2y-9=0 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 5x-4y=15 \\ 2x+2y=9 \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\frac{11}{3} \\ y=\frac{5}{6} \\ \end{array}\Rightarrow H\left( \frac{11}{3};\frac{5}{6} \right) \right. $A là giao điểm của AB và AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:&nbsp;$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x+y-12=0 \\ 2x+2y-9=0 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x+y=12 \\ 2x+2y=9 \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=\frac{5}{2}\Rightarrow A\left( \frac{5}{2};2 \right) \\ y=2 \\ \end{array} \right. $B là giao điểm BH và AB nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:&nbsp;$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x+y-12=0 \\ 5x-4y-15=0 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x+y=12 \\ 5x-4y=15 \\ \end{array} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=3 \\ y=0 \\ \end{array}\Rightarrow B(3;0) \right. $+ AC ⊥ HB, mà HB có một vtpt là (5; -4)⇒ AC nhận (4; 5) là một vtptAC đi qua&nbsp; $$ \text{A}\left( \frac{5}{2};2 \right) $$⇒ Phương trình đường thẳng AC:&nbsp; $$ 4\left( x-\frac{5}{2} \right)+5(y-2)=0 $$ &nbsp;hay 4x + 5y – 20 = 0.+ CH ⊥ AB, AB có một vtpt là (4; 1) ⇒ CH nhận (1; -4) là một vtptCH đi qua&nbsp; $$ \text{H}\left( \frac{11}{3};\frac{5}{6} \right) $$⇒ Phương trình đường thẳng CH:&nbsp; $$ 1.\left( x-\frac{11}{3} \right)-4\cdot \left( y-\frac{5}{6} \right)=0 $$ &nbsp;hay CH: 3x – 12y - 1 = 0.+ BC ⊥ AH , mà AH nhận (2; 2) là một vtpt⇒ BC nhận (1; -1) là một vtptBC đi qua B(3; 0)⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x - 3) – 1(y – 0) = 0 hay x – y – 3 = 0.<h3>Bài 8 (trang 99 SGK Hình học 10):</h3>Giả sử đường tròn cần lập có tâm O; bán kính R.Đường thẳng Δ đi qua M(2; -2) và có VTPT là&nbsp;n→(4; 3) nên đường thẳng này có 1 VTCP là&nbsp;u→(3; -4) . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:&nbsp;$\left\{\begin{array}{c}x=2+3 t \\ y=-2-4 t\end{array}\right.$O nằm trên Δ ⇒ O(2 + 3t; -2 – 4t)Đường tròn (O; R) tiếp xúc với d1&nbsp;và d2&nbsp;⇒ d(O; d1) = d(O; d2) = RTa có: d(O; d1) = d(O; d2)\[\Leftrightarrow \frac{|2+3t-2-4t+4|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\frac{|7\cdot (2+3t)+2+4t+4|}{\sqrt{{{7}^{2}}+{{1}^{2}}}}\]$\Leftrightarrow \frac{|-t+4|}{\sqrt{2}}=\frac{|25 t+20|}{5 \sqrt{2}} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-t+4=5 t+4 \\ -t+4=-5 t-4\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-6 t=0 \\ 4 t=-8\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=0 \\ t=-2\end{array}\right.\right.\right.$+ Với t = 0 ⇒ O(2; -2) ⇒ R = d(O; d1) = 2√2Phương trình đường tròn: (x – 2)2&nbsp;+ (y + 2)2&nbsp;= 8.+ Với t = -2 ⇒ O(-4; 6) , R = d(O; d1) = 3√2Phương trình đường tròn: (x + 4)2&nbsp;+ (y – 6)2&nbsp;= 18Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn là:(x – 2)2&nbsp;+ (y + 2)2&nbsp;= 8 hoặc (x + 4)2&nbsp;+ (y – 6)2&nbsp;= 18<h3>Bài 9 (trang 99 SGK Hình học 10):</h3>a) (E):&nbsp; $$ \frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1 $$ &nbsp;có a = 10; b = 6 ⇒ c2&nbsp;= a2&nbsp;– b2&nbsp;= 64 ⇒ c = 8.+ Tọa độ các đỉnh của elip là: A1(-10; 0); A2(10; 0); B1(0; -6); B2(0; 6)+ Tọa độ hai tiêu điểm của elip: F1(-8; 0) và F2(8; 0)+ Vẽ elip:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_OTCN_C03_bb708834c8.png?3720922.885000007" alt="">b) Ta có: M ∈ (E) ⇒ MF1&nbsp;+ MF2&nbsp;= 2a = 20 (1)MN // Oy ⇒ MN ⊥ F1F2&nbsp;⇒ MF12&nbsp;– MF22&nbsp;= F1F22&nbsp;= (2c)2&nbsp;= 162⇒ (MF1&nbsp;+ MF2).(MF1&nbsp;– MF2) = 162⇒ MF1&nbsp;– MF2&nbsp;= 12,8 (Vì MF1&nbsp;+ MF2&nbsp;= 20) (2).Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình&nbsp;$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{MF}_{1}+\mathrm{MF}_{2}=20 \\ \mathrm{MF}_{1}-\mathrm{MF}_{2}=12,8\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{MF}_{2}=3,6 \\ \mathrm{MF}_{1}=16,4\end{array}\right.\right.$Vậy MN = 2.MF2&nbsp;= 7,2.

Ôn tập cuối năm hình học

Ôn tập cuối năm (trang 98-99)

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN<h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước</h3>Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:(x – a)2 + (y – b)2 = R2Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2<h3>2. Nhận xét</h3>+) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạngx2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0trong đó c = a2 + b2 – R2.+) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khia2 + b2 – c2 &gt; 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính \[ \text{R}=\sqrt{{{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}-{{\text{c}}^{2}}} \]&nbsp;<h3>3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn</h3>Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm Mo(xo; yo).Ta có+) Mo(xo; yo) thuộc Δ.+) \[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}}=({{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b) \] là vectơ pháp tuyến của Δ.Do đó Δ có phương trình là(xo – a).(x – xo) + (yo – b).(y – yo) = 0.<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CH_03_B02_CO_1_63711bef16.png?469153.5150001291" alt=""><h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính</h3>Phương pháp giải+ Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:a2 + b2 - c &gt; 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính \[ R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c} \] .+ Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R.<h3>Dạng 2. Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính</h3>+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :(x - a)2 + (y - b)2 = R2+ Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.- Bước 2: Tính IA.- Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.<h3>Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm</h3>Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM⇒ Đường thẳng ( d) : qua M và VTPT \[ \overrightarrow{IM} \]&nbsp;⇒ Phương trình đường thẳng d.+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :- Đường thẳng ( d) : qua M VTPT \[ \overrightarrow{n}(A;B) \]&nbsp;⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0.- Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.- Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d.<h3>Dạng 4. Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước</h3>Phương pháp giải+ Để lập được phương trình đường tròn ( C) cần xác định được hai yếu tố: tâm I(x0; y0) và bán kính R.⇒ Phương trình đường tròn ( C):( x - x0)2 + (y - y0)2 = R2.+ Nếu điểm A thuộc đường tròn thì IA = R.+ Nếu đường tròn đi qua hai điểm A và B thì IA = IB và I nằm trên đường trung trực của AB.+ Nếu đường tròn tiếp xúc với đường tròn d thì d(I; d) = R.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10):</h3>Đưa về phương trình chính tắc :a) x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0⇔ (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y +1) = 4⇔(x-1)2 + (y-1)2 = 4Vậy đường tròn có tâm I(1 ; 1) và bán kính R = 2.b)\[ 16{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+16x-8y-11=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x-\frac{1}{2}y-\frac{11}{16}=0 \]&nbsp;\[ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x+\frac{1}{4} \right)+\left( {{y}^{2}}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{11}{16} \]&nbsp;\[ \Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{4} \right)}^{2}}=1 \]&nbsp;Vậy đường tròn có tâm \[ I\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{4} \right) \] và bán kính R = 1.<h3>Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10):</h3>a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IMTa có: \[ IM=\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{I}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{(2+2)}^{2}}+{{(-3-3)}^{2}}}=\sqrt{52} \]&nbsp;Vậy đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.b) (C) tiếp xúc với (Δ) : x – 2y + 7 = 0⇒ d(I; Δ) = RMà \[ d(I;\Delta )=\frac{|-1-2\cdot 2+7|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow R=\frac{2}{\sqrt{5}} \]&nbsp;Vậy đường tròn (C) : \[ {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=\frac{4}{5} \]&nbsp;c) (C) có đường kính AB nên (C) có :+ tâm I là trung điểm của AB\[ \Rightarrow \text{I}\left( \frac{{{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}}{2};\frac{{{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{B}}}}{2} \right)\,\,hay\,\,\text{I}(4;3) \]&nbsp;+) Bán kính \[ \text{R}=\frac{\text{AB}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{{(7-1)}^{2}}+{{(5-1)}^{2}}}=\sqrt{13} \] .Vậy đường tròn (C) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13.<h3>Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10):</h3>Gọi phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.a) Do A(1; 2) ∈ (C) ⇔ 12 + 22 – 2.a.1 – 2.b.2 + c = 0⇔ 5 – 2a – 4b + c = 0 ⇔ 2a + 4b – c = 5 (1)Do B(5; 2) ∈ (C) ⇔ 52 + 22 – 2.a.5 – 2.b.2+ c = 0⇔ 29 – 10a – 4b + c = 0 ⇔ 10a + 4b – c = 29 (2)Do C(1; –3) ∈ (C) ⇔ 12 + (–3)2 – 2.a.1 – 2.b.(–3) + c = 0⇔ 10 – 2a + 6b + c = 0 ⇔ 2a – 6b – c = 10 (3)Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :$\left\{ \begin{matrix} 2a+4b-c=5 \\ 10a+4b-c=29 \\ 2a-6b-c=10 \\ \end{matrix} \right. $Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = –1/2, c = –1.Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.b)M(–2 ; 4) ∈ (C) ⇔ (–2)2 + 42 – 2.a.(–2) – 2.b.4 + c = 0 ⇔ 4a – 8b + c = –20 (1)N(5; 5) ∈ (C) ⇔ 52 + 52 – 2.a.5 – 2.b.5 + c = 0 ⇔ 10a + 10b – c = 50 (2)P(6; –2) ∈ (C) ⇔ 62 + (–2)2 – 2.a.6 – 2.b.(–2) + c = 0 ⇔ 12a – 4b – c = 40 (3)Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4a-8b+c=-20 \\ 10a+10b-c=50 \\ 12a-4b-c=40 \\ \end{array} \right. $Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = –20.Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P có phương trình là : x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.<h3>Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10):</h3>Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R.(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|⇒ |a| = |b|⇒ a = b hoặc a = –b.+ TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a|Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2⇔ 4- 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2⇔ 2a2 – 6a + 5- a2 =0⇔ a2 – 6a + 5 = 0⇔ a = 1 hoặc a = 5.* a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1.Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.* a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5.Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.+ TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a|Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2⇔ 4 – 4a + a2 + 1+ 2a + a2 - a2 = 0⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm)Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.<h3>Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10):</h3>Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a;b) và bán kính bằng R.(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|⇒ |a| = |b|⇒ a = b hoặc a = –b.+) TH1: I(a;a)\[ I\in d\Leftrightarrow 4a-2a-8=0\Rightarrow a=4 \]&nbsp;Đường tròn cần tìm có tâm I(4;4) và bán kính R=4 có phương trình là:\[ {{(x-4)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{4}^{2}}\Leftrightarrow {{(x-4)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=16 \]&nbsp;+) TH2: I(a;−a)\[ I\in d\Leftrightarrow 4a+2a-8=0\Rightarrow a=\frac{4}{3} \]&nbsp;Ta được đường tròn có phương trình là:\[ {{\left( x-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{4}{3} \right)}^{2}}={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{4}{3} \right)}^{2}}=\frac{16}{9} \]&nbsp;Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài.<h3>Bài 6 (trang 84 SGK Hình học 10):</h3>a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2⇒ A thuộc đường tròn (C)⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA⇒ (d’) nhận \[ \overrightarrow{\text{AI}}=(3;-4) \] là một vtpt và đi qua A(–1; 0)⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).(d) có \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{\text{d}}}}=(3;-4) \] là một vtpt; 1 VTCP là \[ \overrightarrow{{{\text{u}}_{\text{d}}}}(4;3) \]&nbsp;(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{\text{u}}_{\text{d}}}}=(4;3) \] là một vtpt⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R $\Rightarrow \frac{|4\cdot 2+3\cdot (-4)+c|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=5\Rightarrow \frac{|c-4|}{5}=5\Rightarrow |c-4|=25\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} c-4=25 \\ c-4=-25 \\ c=-21 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} c=29 \\ c=-21 \\ \end{array} \right. $Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập phương trình đường tròn toán học 10, toán 10 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Phương trình đường tròn.

BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800<h2>I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM</h2><h3>1. Tính chất</h3>sin α = sin(180o – α)cos α = –cos(180o – α)tan α = –tan(180o – α)cot α = –cot(180o – α)<h3>2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt</h3><img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_HH_CHO_2_B02_C01_8db447ccc0.png?1261816.589999944" alt=""><h3>3. Góc giữa hai vectơ</h3>a) Định nghĩaCho hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] đều khác vectơ 0 .Từ một điểm O bất kì ta vẽ \[ \overrightarrow{OA}=\vec{a}\,\,va\,\,\overrightarrow{OB}=\vec{b} \] Góc \[ \widehat{AOB} \] với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] là \[ (\vec{a},\vec{b}) \] .Nếu \[ (\vec{a},\vec{b}) \] = 90o thì ta nói rằng \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] vuông góc với nhau, kí hiệu là \[ \vec{a}\bot \vec{b} \] hoặc \[ \vec{b}\bot \vec{a} \]&nbsp;<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/small_HH_CHO_2_B02_C02_35759634de.png?1261819.5800000103" alt="">b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có \[ (\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a}) \] .<h2>II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP</h2><h3>Dạng 1. Tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ</h3>Độ dài vecto- Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \[ \overrightarrow{a} \] được ký hiệu là \[ |\overrightarrow{a}| \]&nbsp;Do đó đối với các vectơ \[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{PQ}},\ldots &nbsp;\] ta có:\[ |\overrightarrow{\text{AB}}|=\text{AB}=\text{BA};|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\text{PQ}=\text{QP} \]&nbsp;- Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ.- Trong hệ tọa độ: Cho \[ \overrightarrow{\text{a}}=\left( {{\text{a}}_{1}};{{\text{a}}_{2}} \right) \]&nbsp;Độ dài vectơ \[ \overrightarrow{a} \] là \[ |\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] .Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độÁp dụng công thức sauTrong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM;yM) và N(xN;yN) là\[ \text{MN}=|\overrightarrow{\text{MN}}|=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{N}}}-{{\text{x}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{N}}}-{{\text{y}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}} \]&nbsp;<h3>Dạng 2. Tính góc giữa hai vecto</h3>Phương pháp giảiCách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơCách 2. (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ.Sử dụng công thức sau:Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \]&nbsp;<h3>Dạng 3. Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trước</h3>Phương pháp giảiBước 1. Xác định vecto (nếu chưa có) theo tham số m.Bước 2. Tính độ dài các vecto theo tham số m.Bước 3. Áp dụng công thức tính cos góc giữa hai vectoCho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \]&nbsp;Bước 4. Đưa r phương trình chưa ẩn m. Góc giữa hai vecto bằng \[ \alpha \Leftrightarrow \cos (\vec{a};\vec{b})=\cos \alpha &nbsp;\]&nbsp;Bước 5. Giải phương trình, đưa ra giá trị của m.<h2>III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA</h2><h3>Bài 1 (trang 40 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180ºa) sin A = sin (180º – A) = sin (B + C)b) cos A = – cos (180º – A) = –cos (B + C)<h3>Bài 2 (trang 40 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CHO_2_B02_C03_0e5612e9f5.png?1261834.210000001" alt="">ΔAOB cân tại O nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác\[ \Rightarrow \widehat{\text{AOB}}=2\widehat{\text{AOH}}=2\cdot \alpha &nbsp;\]&nbsp;Xét ΔOAK vuông tại K có:\[ \text{sin}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{AK}}{\text{OA}} \]&nbsp;\[ \Rightarrow \text{AK}=\text{OA}\cdot \text{sin}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{sin}2\alpha &nbsp;\]&nbsp;\[ \text{cos}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{OK}}{\text{OA}} \]&nbsp;\[ \Rightarrow \text{OK}=\text{OA}\cdot \text{cos}\widehat{\text{AOK}} \]&nbsp;\[ =\text{a}\cdot \text{cos}2\alpha &nbsp;\]&nbsp;<h3>Bài 3 (trang 40 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:a) sin 105º = sin (180º – 105º) = sin 75º ;b) cos 170º = –cos (180º – 170º) = –cos 10º;c) cos 122º = –cos (180º – 122º) = –cos 58º.<h3>Bài 4 (trang 40 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CHO_2_B02_C04_73acb25b0a.png?1261831.0650000349" alt="">Vẽ đường tròn lượng giác (O; 1).Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \[ \overrightarrow{\text{MOx}}=\alpha &nbsp;\]&nbsp;Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên x02 + y02 = OM2 = 1⇒ sin2 α + cos2 α = 1.<h3>Bài 5 (trang 40 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:Ta có : sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 – cos2 x.⇒ P = 3.sin2 x + cos2 x= 3.(1 – cos2x) + cos2 x= 3 – 3.cos2x + cos2x= 3 – 2.cos2x= 3 – 2.(1/3)2= 3 – 2/9= 25/9.&nbsp;<h3>Bài 6 (trang 40 SGK Hình học 10):</h3>Lời giải:<img src="https://media.ican.vn/hocmai/cms/HH_CHO_2_B02_C05_d628b779c1.png?1261823.1699999887" alt="">Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BA}} \]&nbsp;Khi đó \[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AE}} \right) \]&nbsp;\[ =\widehat{\text{CAE}}={{180}^{\circ }}-\overline{\text{CAB}} \]&nbsp;\[ ={{180}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}={{135}^{\circ }} \]&nbsp;Do đó:\[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\text{cos}{{135}^{\circ }}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \]&nbsp;Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{BD}} \] như hình vẽKhi đó:\[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AF}} \right)=\widehat{\text{FAC}}={{90}^{\circ }} \]&nbsp;Vậy \[ \text{sin}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\text{sin}{{90}^{\circ }}=1 \]&nbsp;\[ \overrightarrow{\text{AB}} \] và \[ \overrightarrow{\text{CD}} \] là hai vector ngược hướng \[ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)={{180}^{\circ }} \]&nbsp;Vậy \[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)=\text{cos}{{180}^{\circ }}=-1 \]&nbsp;Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giá trị lượng giác của một góc bất kì toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất

Chương 1: MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chương 5: THỐNG KÊ

Chương 6: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Chương 1: VECTO

Chương 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG