BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. Giá trị lượng giác của cung α
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung \[ \overset\frown{AM} \] có sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] (còn viết \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] )
+ Tung độ \[ y=\overline{OK} \] của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα
\[ \sin \alpha =\overline{\text{OK}} \]
+ Hoành độ \[\text{x}=\overline{\text{OH}}\]của điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα
\[ \cos \alpha =\overline{\text{OH}} \]
+ Nếu cos α ≠ 0, tỉ số \[ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \] gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)
Tan α = \[ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \]
+ Nếu sinα ≠ 0 tỉ số \[ \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \] gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α)
\[ \cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \]
Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin
2. Hệ quả
+) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta có
sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;
cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z
+) –1 ≤ sin α ≤ 1 và –1 ≤ cos α ≤ 1
4) tanα xác định với mọi \[ \alpha \ne \frac{\pi }{2}+\text{k}\pi (\text{k}\in \text{Z}) \]
5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
B. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin2α + cos2α = 1
\[ \begin{align} & 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha },\alpha \ne \frac{\pi }{2}+\text{k}\pi (\text{k}\in \text{Z}) \\ & 1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha },\alpha \ne \text{k}\pi (\text{k}\in \text{Z}) \\ & \tan \alpha \cdot \cot \alpha =1,\alpha \ne \frac{\text{k}\pi }{2}(\text{k}\in \text{Z}) \\ \end{align} \]
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau: α và –α
cos(-α) = cosα
sin(-α) = –sinα
tan(-α) = –tanα
cot(-α) = –cotα
2) Cung bù nhau: α và π-α
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = –cosα
tan(π-α) = –tanα
cot(π-α) = –cotα
3) Cung hơn kém π : α và (α + π)
sin(α + π) = –sinα
cos(α + π) = –cosα
tan(α + π) = tanα
cot(α + π) = cotα
4) Cung phụ nhau: α và \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \]
sin( \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \] ) = cosα
cos( – α) = sinα
tan( \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \] ) = cotα
cot( \[ \frac{\pi }{2}-\alpha \] ) = tanα
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một góc, của một cung.
Phương pháp giải: Để tính giá trị lượng giác của một cung α
- Cách 1: Ta biểu diễn cung AM có số đo bằng α trên đường tròn lượng giác và xác định tọa độ điểm M, từ đó suy ra các giá trị lượng giác của cung α theo định nghĩa.
- Cách 2: Ta phân tích số đo của cung lượng giác rồi sử dụng hệ quả và giá trị lượng giác của các cung đặc biệt để tìm các giá trị lượng giác cần tìm.
- Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dạng 2.
Một số loại bài tập:
● Chứng minh các đẳng thức lượng giác
● Rút gọn các biểu thức lượng giác
● Tính giá trị các biểu thức lượng giác
● Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản, cung liên kết đã nêu ở phần lý thuyết để biến đổi.
Dạng 3. Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Phương pháp giải
- Bước 1: Áp dụng công thức thích hợp để tính giá trị các tỉ số tiếp theo (chú ý các công thức lượng giác cơ bản)
- Bước 2: Ứng với miền đã cho của cung α để xét dấu giá trị lượng giác và chọn kết quả đúng.
- Bước 3: Tính các giá trị lượng giác còn lại.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 148 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.
a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sin α = -0,7.
Trên trục tung xác định điểm K sao cho \[ \overline{OK}=-0,7 \]
Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.
Khi đó với \[ \alpha = \] sđ \[\overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{1}}}}\,\]hoặc \[ \alpha = \] sđ \[\overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{2}}}}\,\]thì theo định nghĩa \[ \sin \alpha =\overline{OK}=-0,7 \] .
b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sin α = 4/3.
c) Vì \[ -\sqrt{2}<-1 \] nên không tồn tại α để \[ \sin \alpha =-\sqrt{2} \] .
d) Vì \[ \sqrt{5}/2>1 \] nên không tồn tại α để \[ \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2} \]
Bài 2 (trang 148 SGK Đại Số 10):
Ta đã biết:
Với mọi \[\alpha \in \,R\]thì \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 \] .
a) \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}=\frac{2}{9}+\frac{3}{9}=\frac{5}{9}\ne 1 \] . Vậy không tồn tại \[\alpha \in \,R\]thỏa mãn điều kiện bài toán.
b) \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{\left( \frac{-4}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-3}{5} \right)}^{2}}=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1 \]
Vậy tồn tại \[\alpha \in \,R\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
c) \[ {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =0,{{7}^{2}}+0,{{3}^{2}}=0,49+0,09=0,58\ne 1 \] . Vậy không tồn tại \[\alpha \in \,R\]thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 3 (trang 148 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Vì 0 < α < π/2 nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.
a) sin (α – π) = - sin (π – α) = -sin α
Mà sin α > 0 nên sin (α – π) < 0.
b) \[ \cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\text{ }=\cos \left( \pi +\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\text{ }=-\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)\text{ } \] . Mà \[ \sin \alpha >0 \] nên \[ \cos \left( \frac{3\pi }{2}-\alpha \right)<0 \] .
c) tan (α + π) = tan α.
Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.
d) \[ \cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)\text{ }=\cot \left( \frac{\pi }{2}-(-\alpha ) \right)\text{ }=\tan (-\alpha )\text{ } \] . Mà \[ \tan \alpha >0 \] nên \[ \cot \left( \alpha +\frac{\pi }{2} \right)<0 \] .
Bài 4 (trang 148 SGK Đại Số 10):
Lời giải
a)
\[ \begin{align} & \cos \alpha =\frac{4}{13} \\ & {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\left( \frac{4}{13} \right)}^{2}}=\frac{153}{169} \\ \end{align} \]
mà \[ 0<\alpha <\pi /2 \] nên \[ \sin \alpha >0 \] .
Suy ra \[ \sin \alpha =\frac{3\sqrt{17}}{13} \] .
\[ \begin{align} & \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3\sqrt{17}}{13}:\frac{4}{13}=\frac{3\sqrt{17}}{4} \\ & \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{4}{3\sqrt{17}} \\ \end{align} \]
b)
\[ \begin{align} & \sin \alpha =-0,7 \\ & {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =1-{{\sin }^{2}}\alpha =1-{{(-0,7)}^{2}}=0,51 \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} & \pi <\alpha <3\pi /2\Rightarrow \cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{0,51}=\frac{-\sqrt{51}}{10} \\ & \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=(-0,7):\frac{-\sqrt{51}}{10}=\frac{7}{\sqrt{51}} \\ & \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{\sqrt{51}}{7} \\ \end{align} \]
\[\begin{align} & c)\tan \alpha =\frac{-15}{7} \\ & 1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\Rightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }=\frac{49}{274} \\ & \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \cos \alpha <0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-7}{\sqrt{274}} \\ & \sin \alpha =\cos \alpha \cdot \tan \alpha =\frac{-15}{7}\cdot \frac{-7}{\sqrt{274}}=\frac{15}{\sqrt{274}} \\ & \cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{-7}{15} \\ \end{align}\]
\[ \begin{align} & d)\cot \alpha =-3 \\ & 1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\Rightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+{{\cot }^{2}}\alpha }=\frac{1}{10} \\ & \frac{3}{2}\pi <\alpha <2\pi \Rightarrow \sin \alpha <0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{-1}{\sqrt{10}} \\ & \cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\Rightarrow \cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-3\cdot \frac{-1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}} \\ & \tan \alpha =\frac{1}{\cot a}=\frac{-1}{3} \\ \end{align} \]
Bài 5 (trang 148 SGK Đại Số 10):
Lời giải
a) cos α = 1 ⇔ M trùng với A hay α = k.2π, k ∈ Z.
b) cos α = -1 ⇔ M trùng với A’ hay α = π + k.2π, k ∈ Z.
c) cos α = 0 ⇔ M trùng với B hoặc B’ hay α = π/2 + k.π, k ∈ Z.
d) sin α = 1 ⇔ M trùng với B hay α = π/2 + k.2π, k ∈ Z.
e) sin α = -1 ⇔ M trùng với B’ hay α = -π/2 + k.2π, k ∈ Z.
f) sin α = 0 ⇔ M trùng với A hoặc A’ hay α = k.π, k ∈ Z.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giái trị lượng giác của một cung toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất