Phương trình đường thẳng.

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $$\overrightarrow{u}$$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $$\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$$ và giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có VTCP $$\overrightarrow{u}$$ = (a; b)

=> phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt(t\in R)\end{array}$

Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP $$\overrightarrow{u}$$ = (a; b)

thì có hệ số góc $$k=\frac{b}{a}$$ .

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $$\overrightarrow{n}$$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu $$\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$$ và $$\overrightarrow{n}$$ vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

4. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0, y0) và có VTPT $$\overrightarrow{n}=(A;B)$$ 

=> phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng

A(x – x0) + B(y – y0) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax0 – By0.

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là

$${\mathrm{\Delta }}_1:{\text{a}}_1\text{x}+{\text{b}}_1\text{y}+{\text{c}}_1=0$$ và $${\mathrm{\Delta }}_2:{\text{a}}_2\text{x}+{\text{b}}_2\text{y}+{\text{c}}_2=0$$ 

Tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$

+) Nếu hệ có một nghiệm (x0; y0) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M0(x0, y0).

+) Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆1 trùng với ∆2.

+) Nếu hệ vô nghiệm thì ∆1 và ∆2 không có điểm chung, hay ∆1 song song với ∆2

6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

$${\mathrm{\Delta }}_1:{\text{a}}_1\text{x}+{\text{b}}_1\text{y}+{\text{c}}_1=0$$ có VTPT $$\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$$ ;

$${\mathrm{\Delta }}_2:{\text{a}}_2\text{x}+{\text{b}}_2\text{y}+{\text{c}}_2=0$$ có VTPT $$\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$$ 

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2

Khi đó

$$\cos \alpha =|\cos ({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2)|=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{|a_1\cdot a_2+b_1\cdot b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$ 

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M0(x0, y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức

$$\text{d}({\text{M}}_0;\mathrm{\Delta })=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ 

Nhận xét. Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

$$\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm \frac{a_{2}x+b_{2}y+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$ 

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tọa độ một điểm bất kì của đường thẳng.

Bước 2. Tìm VTPT hoặc VTCP.

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng: (PT tham số, chính tắc hoặc tổng quát tùy theo đề bài yêu cầu.

Dạng 2. Tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, phương trình đường phân giác tạo bởi góc giữa hai đường thẳng,…

Phương pháp giải: Dựa vào các công thức đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết và dữ kiện đề bài.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1 (trang 80 SGK Hình học 10):

a) Phương trình tham số của d là:

$(d):\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=1+4t\end{array}$

b) d nhận $$\overrightarrow{n}=(5;1)$$ là 1 vec tơ pháp tuyến

⇒ d nhận $$\overrightarrow{u}=(1;-5)$$ là 1 vec tơ chỉ phương

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

$(d):\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3-5t\end{array}$

Bài 2 (trang 80 SGK Hình học 10):

a) Phương trình đường thẳng Δ đi qua M(–5; –8) và có hệ số góc k = –3 là:

y = –3.(x + 5) – 8 ⇔ 3x + y + 23 = 0.

b) Ta có: A(2; 1), B(–4; 5) ⇒ $$\overrightarrow{\text{AB}}=({\text{x}}_{\text{B}}-{\text{x}}_{\text{A}};{\text{y}}_{\text{B}}-{\text{y}}_{\text{A}})=(-6;4)$$ 

Δ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(–4; 5)

⇒ Δ nhận $$\overrightarrow{\text{u}}=\overrightarrow{\text{AB}}=(-6;4)$$ là một vtcp

⇒ Δ nhận $$\overrightarrow{\text{n}}=(4;6)$$ là một vtpt.

Phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là:

(Δ) : 4(x – 2) + 6(y -1) = 0

Hay 4x + 6y – 14 = 0 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0.

Bài 3 (trang 80 SGK Hình học 10):

a)

$$\overrightarrow{\text{AB}}=(2;-5);\overrightarrow{BC}=(3;3);\overrightarrow{\text{CA}}=(-5;2)$$ 

+ Lập phương trình đường thẳng AB:

Đường thẳng AB nhận $$\overrightarrow{{\text{u}}_1}=\overrightarrow{\text{AB}}=(2;-5)$$ là 1 vtcp ⇒ AB nhận $$\overrightarrow{{\text{n}}_1}=(5;2)$$ là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AB

⇒ PT đường thẳng AB: 5(x- 1) + 2(y – 4) = 0 hay 5x + 2y – 13 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng BC:

Đường thẳng BC nhận $$\overrightarrow{{\text{u}}_2}=\overrightarrow{\text{BC}}=(3;3)$$ là 1 vtcp ⇒ BC nhận $$\overrightarrow{{\text{n}}_2}=(1;-1)$$ là 1 vtpt

Mà B(3; –1) thuộc BC

⇒ Phương trình đường thẳng BC: 1(x - 3) – 1(y + 1) = 0 hay x – y – 4 = 0.

+ Lập phương trình đường thẳng CA:

Đường thẳng CA nhận $$\overrightarrow{{\text{u}}_3}=\overrightarrow{\text{CA}}=(-5;2)$$ là 1 vtcp ⇒ CA nhận $$\overrightarrow{{\text{n}}_3}=(2;5)$$ là 1 vtpt

Mà C(6; 2) thuộc CA

⇒ Phương trình đường thẳng AC: 2(x – 6) + 5(y - 2) = 0 hay 2x + 5y – 22 = 0.

b) + AH là đường cao của tam giác ABC ⇒ AH ⊥ BC

⇒ Đường thẳng AH nhận $$\overrightarrow{{\text{n}}_4}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\text{BC}}=(1;1)$$ là 1 vec tơ pháp tuyến

Mà A(1; 4) thuộc AH

⇒ Phương trình đường thẳng AH: 1(x - 1) + 1(y - 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

+ Trung điểm M của BC có tọa độ $$\text{M}(\frac{{\text{x}}_{\text{B}}+{\text{x}}_{\text{C}}}{2};\frac{{\text{y}}_{\text{B}}+{\text{y}}_{\text{C}}}{2})\text{hay}\text{M}(\frac{9}{2};\frac{1}{2})$$ 

$$\overrightarrow{\text{AM}}=({\text{x}}_{\text{M}}-{\text{x}}_{\text{A}};{\text{y}}_{\text{M}}-{\text{y}}_{\text{A}})=(\frac{7}{2};\frac{-7}{2})$$ 

Đường thẳng AM nhận $$\overrightarrow{{\text{u}}_5}=\frac{2}{7}\overrightarrow{\text{AM}}=(1;-1)$$ là 1 vtcp

⇒ AM nhận $$\overrightarrow{{\text{n}}_5}=(1;1)$$ là 1 vtpt

Mà A(1; 4) thuộc AM

⇒ Phương trình đường thẳng AM: 1(x - 1) + 1(y – 4) = 0 hay x + y – 5 = 0.

Bài 4 (trang 80 SGK Hình học 10):

$$\overrightarrow{\text{MN}}=({\text{x}}_{\text{N}}-{\text{x}}_{\text{M}};{\text{y}}_{\text{N}}-{\text{y}}_{\text{M}})=(-4;-1)$$ 

Đường thẳng MN nhận $$\overrightarrow{\text{u}}=\overrightarrow{\text{MN}}=(-4;-1)$$ là 1 vtcp

⇒ MN nhận $$\overrightarrow{\text{n}}=(1;-4)$$ là 1 vtpt

Mà M(4; 0) thuộc đường thẳng MN

⇒ Phương trình đường thẳng MN: 1(x - 4) – 4(y - 0) = 0 hay x – 4y – 4 = 0.

Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10):

Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình:

a) Xét hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}4x-10y+1=0\\ x+y+2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4x-10y=-1\\ x+y=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{x}=\frac{-3}{2}\\ \text{y}=\frac{-1}{2}\end{array}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên (d1) cắt (d2).

b) Xét hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}12x-6y+10=0\\ x=5+t\\ y=3+2t\end{array}\iff \{\begin{array}{c}12(5+t)-6(3+2t)+10=0\\ x=5+t\\ y=3+2t\end{array}\iff \{\begin{array}{c}0t+52=0\\ x=5+t\\ y=3+2t\end{array}$ (vô lý)

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên hai đường thẳng trên song song.

c) Xét hệ phương trình

$\{\begin{array}{l}8x+10y-12=0\\ x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}8(-6+5t)+10\cdot (6-4t)-12=0\\ x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0.t=0\\ x=-6+5t\\ y=6-4t\end{array}$

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 6 (trang 80 SGK Hình học 10):

M ∈ d nên M có tọa độ: M(2 + 2t; 3 + t).

Khi đó : AM2 = (xM – xA)2 + (yM – yA)2 = (2+2t)2 + (2 + t)2 = 5t2 + 12t + 8.

Ta có : AM = 5 ⇔ AM2 = 25

⇔ 5t2 + 12t + 8 = 25

⇔ 5t2 + 12t – 17 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = –17/5.

+ Với t = 1 thì M(4 ; 4).

+ Với t = –17/5 thì M(–24/5 ; –2/5).

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(4 ; 4) và M(–24/5 ; –2/5).

Bài 7 (trang 81 SGK Hình học 10):

Với d1: 4x – 2y + 6 = 0 có vecto pháp tuyến là: $$\overrightarrow{{\text{n}}_1}(4;-2)$$ 

và d2: x – 3y + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là: $$\overrightarrow{{\text{n}}_2}(1;-3)$$ ; ta có:

$$\cos ({\text{d}}_1;{\text{d}}_2)=\frac{|4.1+(-2)\cdot (-3)|}{\sqrt{4^2+{(-2)}^2}\cdot \sqrt{1^2+{(-3)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow ({\text{d}}_1;{\text{d}}_2)={45}^{{}^{\circ }}$$ 

Bài 8 (trang 81 SGK Hình học 10):

$$\text{a})\text{d}(\text{A},\mathrm{\Delta })=\frac{\mid 4.3+3.5+1}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{28}{5}$$ 

$$\text{b})\text{d}(\text{B},\text{d})=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-2)-26|}{\sqrt{3^2+{(-4)}^2}}=\frac{15}{5}=3$$ 

$$\text{c})\text{d}(\text{C};\text{m})=\frac{|3\cdot 1+4.2-11|}{\sqrt{3^2+4^2}}=0$$ 

Bài 9 (trang 81 SGK Hình học 10):

Vì đường tròn tâm C tiếp xúc với Δ nên R = d(C, Δ).

Do đó ta có :

$$\text{R}=\text{d}(\text{C},\mathrm{\Delta })=\frac{|5\cdot (-2)+12\cdot (-2)-10|}{\sqrt{5^2+{12}^2}}=\frac{44}{13}$$ 

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình đường thẳng toán học 10, toán 10 lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất