BÀI 1: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AB}}\, \]
2. Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.
Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm
A(1; 0), A’(–1; 0); B(0; 1); B(0; –1).
Ta lấy A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).
2. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian
a) Đơn vị radian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và radian
\[ {{1}^{0}}=\frac{\pi }{180}\text{rad;}\,\,1\,\,\text{rad}={{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}} \]
c) Độ dài của một cung tròn có số đo α rad của đường tròn bán kính R là: l = Rα.
2. Số đo của một cung lượng giác
sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha +k2\pi ,k\in Z \]
trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M.
3. Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác \[\overset\frown{AC}\] tương ứng.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] .
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Đổi độ sang radian và radian sang độ
Phương pháp: Áp dụng công thức: \[ {{1}^{0}}=\frac{\pi }{180}\text{rad;}\,\,1\,\,\text{rad}={{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}} \]
Dạng 2. Tính độ dài cung tròn
Sử dụng công thức: l = Rα.
Trong đó: R là bán kính đường tròn.
α là số đo bằng rad của cung.
Dạng 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ \[ \overset\frown{AM}=\alpha \] .
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Khi số đo hai cung lệch nhau k.2π (k ∈ Z) thì điểm cuối của chúng có thể trùng nhau.
Chẳng hạn các cung α = π/3 và β = π/3 + 2π , γ = π/3 - 2π có điểm cuối trùng nhau khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Bài 2 (trang 140 SGK Đại Số 10):
\(\begin{align} & a)\,\,\,{{18}^{0}}=18\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{10}(\text{rad}) \\ & b)\,\,\,{{57}^{0}}30'=57,{{5}^{0}}=57,5\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{23\pi }{72}(\text{rad}) \\ & c)-{{25}^{0}}=-25\cdot \frac{\pi }{180}(\text{rad})=-\frac{5\pi }{36}(\text{rad}) \\ & d)-{{125}^{0}}45'=-125,{{75}^{0}}=-125,75\cdot \frac{\pi }{180}=-\frac{503\pi }{720}(\text{rad}) \\ \end{align}\)
Bài 3 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Lời giải
\[ \begin{align} & a)\,\,\frac{\pi }{18}\text{rad}=\frac{\pi }{18}\cdot {{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}={{10}^{0}} \\ & b)\,\,\frac{3\pi }{16}\text{rad}=\frac{3\pi }{16}\cdot {{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}=33,{{75}^{0}}={{33}^{0}}45' \\ & c)\,-2\text{rad}=-2.{{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}=\frac{-{{360}^{0}}}{\pi }\approx -{{114}^{0}}35'30'' \\ & d)\,\,\frac{3}{4}rad=\frac{3}{4}\cdot {{\left( \frac{180}{\pi } \right)}^{0}}=\frac{{{135}^{0}}}{\pi }={{42}^{0}}58'19'' \\ \end{align} \]
Bài 4 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Lời giải
Từ công thức l = Rα (α có đơn vị là rad) ta có:
\[ \begin{align} & a)\,\,\alpha =\frac{\pi }{15}\,\,(rad)\Rightarrow l=20\cdot \frac{\pi }{15}\approx 4,19~\text{cm} \\ & b)\,\,\alpha =1,5\,\,(rad)\Rightarrow l=20.1,5=30~\text{cm} \\ & c)\,\,\alpha ={{37}^{{}^\circ }}=37.\frac{\pi }{180}(rad)=\frac{37\pi }{180}(rad)\Rightarrow l=20\cdot \frac{37\pi }{180}\approx 12,9 \\ \end{align} \]
Bài 5 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Lời giải
a) Ta có: \[ -\frac{5\pi }{4}=-\pi -\frac{\pi }{4} \]
b) \[ {{135}^{0}}={{90}^{0}}+{{45}^{0}} \]
c) \[ \frac{10\pi }{3}=2\pi +\pi +\frac{\pi }{3} \]
d) \[ -{{225}^{0}}=-{{180}^{0}}+\left( -{{45}^{0}} \right) \]
Bài 6 (trang 140 SGK Đại Số 10):
a)
Cung \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\, \] có số đo là kπ (k∈Z) thì điểm M trùng A nếu k chẵn hoặc trùng A' nếu k lẻ.
b) Cung \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\, \] số đo \[ k\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z}) \] thì điểm M trùng:
+) A nếu k=4n (n∈Z)
+) B nếu k=4n+1
+) A' nếu k=4n+2
+) B' nếu k=4n+3
c) Cung \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{AM}}\, \] có số đo \[ k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z}) \] thì điểm M:
+) trùng với A nếu k=6n (n∈Z)
+) trùng với \[ {{M}_{1}} \] nếu k=6n+1;
+) trùng với \[ {{M}_{2}} \] nếu k=6n+2;
+) trùng với A′ nếu k=6n+3;
+) trùng với \[ {{M}_{3}} \] nếu k=6n+4;
+) trùng với \[ {{M}_{4}} \] nếu k=6n+5.
Bài 7 (trang 140 SGK Đại Số 10):
Lời giải
a) sđ\[\overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{1}}}}\,=-\alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z})\]
b) sđ \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{2}}}}\,=\pi -\alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \]
c) sđ \[ \overset{\curvearrowright }{\mathop{A{{M}_{3}}}}\,=\alpha +\pi +k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa cung và lượng gác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất