ÔN TẬP CHƯƠNG 1. VÉC TƠ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $$ \overrightarrow{AB}=\vec{a} $$ và $$ \overrightarrow{BC}=\vec{b} $$ Vectơ $$ \overrightarrow{AC} $$ được gọi là tổng của hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ , kí hiệu là $$ \vec{a}+\vec{b} $$ Vậy $$ \overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b} $$ .
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC} $$ .
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ $$ \vec{a},\vec{b},\vec{c} $$ tùy ý ta có
• $$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $$ (tính chất giao hoán);
• $$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $$ (tính chất kết hợp);
• $$ \vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a} $$ (tính chất của vectơ – không).
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
Cho vectơ $$ \vec{a} $$ Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $$ \vec{a} $$ được gọi là vectơ đối của vectơ $$ \vec{a} $$ , kí hiệu là $$ -\vec{a} $$ .
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ . Ta gọi hiệu của hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ là vectơ $$ \vec{a}+(-\vec{b}) $$ . Kí hiệu là $$ \vec{a}-\vec{b} $$ .
Như vậy $$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}) $$ .
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} $$
Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} $$ (quy tắc ba điểm);
$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} $$ (quy tắc trừ).
5. Áp dụng
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0} $$
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0} $$
6. Tính chất tích của hai véc tơ với một số
Với hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ bất kì, với mọi số h và k, ta có
\[k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}\]
$$ (h+k)\vec{a}=h\vec{a}+k\vec{a} $$
$$ h(k\vec{a})=(hk)\vec{a} $$
\[1.\vec{a}=\vec{a},(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}\]
7. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $$
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có
$$ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG} $$
8. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b}(\vec{b}\ne \vec{0}) $$ cùng phương là có một số k để $$ \vec{a}=k\vec{b} $$
9. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ $$ \vec{x} $$ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho $$ \vec{x}=h\vec{a}+k\vec{b} $$
10. Hệ trục tọa độ
b) Tọa độ của vectơ
$$ \vec{u}=(x;y)\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} $$
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu $$ \vec{u}=(\text{x};\text{y}) $$ và $$ \overrightarrow{{{u}^{\prime }}}=\left( \text{x }\!\!'\!\!\text{ };\text{y }\!\!'\!\!\text{ } \right) $$ thì \(\vec{u}=\overrightarrow{u'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=x' \\ y=y' \\ \end{array} \right. \)
c) Tọa độ của một điểm
$$ M=(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j} $$
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB). Ta có $$ \overrightarrow{AB}=\left( {{\text{x}}_{\text{A}}}-{{\text{x}}_{\text{B}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right) $$
11. Tọa độ của các vectơ $$ \vec{u}+\vec{v},\vec{u}-\vec{v},k\vec{u} $$ .
Cho $$ \vec{u}=\left( {{\text{u}}_{1}};{{\text{u}}_{2}} \right),\vec{v}=\left( {{\text{v}}_{1}},{{\text{v}}_{2}} \right) $$ . Khi đó
$$ \vec{u}+\vec{v}=\left( {{\text{u}}_{1}}+{{\text{u}}_{2}};{{\text{v}}_{1}}+{{\text{v}}_{2}} \right);\,\,\,\vec{u}-\vec{v}=\left( {{\text{u}}_{1}}-{{\text{u}}_{2}};{{\text{v}}_{1}}-{{\text{v}}_{2}} \right)\text{;}\,\,\,\text{k}\vec{u}=\left( \text{k}{{\text{u}}_{1}};\text{k}{{\text{u}}_{2}} \right),\text{k}\in \text{Z} $$
12. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là $$ {{\text{x}}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},{{\text{y}}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} $$
b) Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC được tính theo công thức $$ {{\text{x}}_{\text{G}}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},{{\text{y}}_{\text{G}}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} $$
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài tập về tổng, hiệu hai véc tơ, quy tắc hình bình hành, trung điểm, trọng tâm của tam giác,trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương,…
Phương pháp giải: Các em nắm vững lý thuyết đã nêu ở Phần Lý thuyết trọng tâm sau đó áp dụng linh hoạt với từng dạng bài tập.
Bài tập Tọa độ của vecto, tọa độ của một điểm
1. Tìm m để hai vecto cùng phương
Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương để giải bài tập dạng này.
2. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng,tìm tọa độ của trọng tâm tam giác
Các em nắm kĩ lý thuyết đã nêu ở phần Lý thuyết trọng tâm để áp dụng giải bài tập.
3.Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x0; y0).
Bước 2: Thiết lập đẳng thức vecto hoặc mối quan hệ giữa điểm cần tìm và điểm đã biết…
Bước 3: Tọa độ hóa các vecto ở bước 2.
Bước 4: Thiết lập hệ phương trình theo các ẩn x0 và y0.
Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm ra x0 và y0.
Bước 6: Kết luận.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Các vector bằng \[\overrightarrow{AB}\]là: \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{ED}\]
Bài 2 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
Bài 3 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow \]tứ giác ABCD là hình bình hành
\[|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|\Rightarrow AB=BC\]\[\Rightarrow \]tứ giác ABCD là hình thoi
Bài 4 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Vẽ \[\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{BC}=\vec{b}\]
\[\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\]
Ta có:
\[|\vec{a}|=AB,|\vec{b}|=BC,|\vec{a}+\vec{b}|=AC\]
Mà AB + BC > AC
\[\Rightarrow |\vec{a}|+|\vec{b}|\ge |\vec{a}+\vec{b}|\]
\[|\vec{a}|+|\vec{b}|\ge |\vec{a}+\vec{b}|\]khi AB + BC = AC
\[\Leftrightarrow \]B nằm giữa A và C
\[AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] cùng hướng
Bài 5 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a)
\[\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow \] M là đỉnh còn lại của hình bình hành AOBM
AOBM là hình bình hành \[\Rightarrow \]AM = OB
Mà OB = OA (= bán kính đường tròn) ⇒ AM = AO ⇒ ΔAMO cân tại A (1)
+ AOBM là hình bình hành ⇒ AM//BO
\[\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{AOB}={{180}^{\circ }}\Rightarrow \widehat{MAO}={{60}^{\circ }}\]
Ta có \[\widehat{AOB}={{120}^{\circ }}\]
Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMO đều ⇒ OM = OA ⇒ M nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Mà \[\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\] nên M là điểm chính giữa của cung AB
b)
Chứng minh tương tự ta có:
\[\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow N\]là điểm chính giữa của cung BC
c)
Chứng minh tương tự ta có:
\[\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\]\[\Leftrightarrow \]P là điểm chính giữa của cung CA
Bài 6 (trang 27 SGK Hình học 10
Lời giải:
Vẽ hình bình hành ABDC, gọi H là giao điểm của AD và BC.
a)
Ta có:
\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\]
\[\Rightarrow |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=AD\]
+ Hình bình hành ABDC có AB = AC ⇒ ABDC là hình thoi ⇒ AD ⊥ BC tại H.
+ H là trung điểm BC ⇒ BH = BC/2 = a/2.
+ ΔABH vuông tại H nên:
$$ AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}} $$
$$ =\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}} $$
$$ =\frac{a\sqrt{3}}{2} $$
+ H là trung điểm AD ⇒ AD = 2, \[AH=a\sqrt{3}\]
b)
\[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\]
\[\Rightarrow |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=BC=a\]
Bài 7 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải:
\[\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{RS}\]
\[=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SP}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QS}\]
\[=(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{RQ})+(\overrightarrow{SP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QS})\]
\[=(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{RQ})+(\overrightarrow{SQ}+\overrightarrow{QS})\]
\[=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{RQ}+\vec{0}\]
\[=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{RQ}\]
Bài 8 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải
\[\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}\]
\[\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NB}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OB}\]
\[~a)~\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+0\cdot \overrightarrow{OB}\]
Vậy \[~~m=\frac{1}{2};n=0\]
\[~b)~\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OB}\]
Vậy \[m=-1;n=1/2\]
\[~c)~\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\]
\[=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}\]
\[=\frac{-1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OB}\]
Vậy \[m=-1/2;n=1/2\]
\[~d)~\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\]
\[=\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{-1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\]
\[m=-1/2;n=1\]
Bài 9 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải:
+ G là trọng tâm ΔABC
\[\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}\]
\[\Rightarrow -\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}=\vec{0}\]
\[\Rightarrow \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\vec{0}\]
+ G’ là trọng tâm ΔA’B’C’
\[\Rightarrow \overline{{G}'{A}'}+\overline{{G}'{B}'}+\overrightarrow{{G}'{C}'}=\vec{0}\]
Khi đó:
\[\overrightarrow{A{{A}^{\prime }}}+\overrightarrow{B{{B}^{\prime }}}+\overrightarrow{C{{C}^{\prime }}}\]
\[=\left( \overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{{G}^{\prime }}}+\overrightarrow{{G}'C} \right)\]\[+\left( \overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{{G}^{\prime }}}+\overrightarrow{{G}'{B}'} \right)\]\[+\left( \overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{{G}^{\prime }}}+\overrightarrow{{G}'{C}'} \right)\]
\[=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\cdot \overrightarrow{GG}\]\[+\left( \overline{{G}'{A}'}+\overline{{G}'{B}'}+\overline{{G}'{C}'} \right)\]
\[=\vec{0}+3\cdot {{\overrightarrow{GG}}^{\prime }}+\vec{0}\]
\[=3.\overline{G{{G}^{\prime }}}\]
Bài 10 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Đúng.
Hai vec tơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau và tung độ đối nhau.
\[\vec{u}=\left( {{u}_{1}};{{u}_{2}} \right)\Rightarrow -\vec{u}=\left( -{{u}_{1}};-{{u}_{2}} \right)\]
b) Sai.
Sửa lại: \[\vec{a}\]cùng phương \[\overrightarrow{i}\]nếu \[\vec{a}\] có tung độ bằng 0
\[\vec{a}=k\vec{i}\Leftrightarrow \vec{a}=(k;0)\]
c) Đúng.
\[\vec{a}=k\cdot \vec{j}\Leftrightarrow \vec{a}=(0;k)\]
Bài 11 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a)
\[\vec{u}=3\vec{a}+2\cdot \vec{b}-4\vec{c}\]
\[\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{D}}}{2},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2}=\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{D}}}{2}\]
b)
\[\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}-\vec{c}\Rightarrow \vec{x}=-\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}\]
\[=-(2;1)+(3;-4)-(-7;2)\]
\[=(-2+3-(-7);-1-4-2)\]
\[=(8;-7)\]
c)
\[\vec{c}=k\cdot \vec{a}+h\cdot \vec{b}\]
\[\Leftrightarrow (-7;2)=k\cdot (2;1)+h\cdot (3;-4)\]
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2k+3h=-7 \\ k-4h=2 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=-2 \\ h=-1 \\ \end{array} \right. \right.\)
Bài 12 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải:
\[\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j}=\left( \frac{1}{2};-5 \right)\]
\[\vec{v}=m\vec{i}-4\vec{j}=(m;-4)\]
\[\vec{u}~;\vec{v}\] cùng phương
\(\Leftrightarrow \vec{u}=k\cdot \vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{1}{2}=k\cdot m \\ -5=k\cdot -4 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} k=\frac{5}{4} \\ m=\frac{2}{5} \\ \end{array} \right. \right.\)
Vậy \[\text{m}=\frac{2}{5}\]
Bài 13 (trang 28 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Sai
Sửa lại: Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0.
b) Sai
Ví dụ: A(2; 6), B(–4; 0) có trung bình cộng các hoành độ bằng –1.
P(–1; 3) là trung điểm của AB
P(–1; 2) không phải trung điểm của AB
P(–1; 0) không phải trung điểm của AB.
c) Đúng
ABCD là hình bình hành nên giao điểm O của AC và BD đồng thời là trung điểm của AC và BD
O là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2} \\ {{y}_{0}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2} \\ \end{array} \right.\)
O là trung điểm của BD \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{D}}}{2} \\ {{y}_{0}}=\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{D}}}{2} \\ \end{array} \right.\)
Vậy \[\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{C}}}{2}=\frac{{{x}_{B}}+{{x}_{D}}}{2},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{C}}}{2}=\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{D}}}{2}\]