Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

BÀI 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình

$$ax+by\le c$$ (1)

Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0.

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng $$(\mathrm{\Delta }):ax+by=c.$$ 

Bước 2. Lấy một điểm $$M_0(x_0;y_0)\notin (\mathrm{\Delta })$$ (ta thường lấy gốc tọa độ O).

Bước 3. Tính $$a{x}_0+b{y}_0$$ và so sánh $$a{x}_0+b{y}_0$$ với c.

Bước 4. Kết luận

Nếu $$a{x}_0+b{y}_{0}thìnửamặtphẳngbờ\text{[}(\mathrm{\Delta })$$ chứa $$M_0$$ là miền nghiệm của $$ax+by\le c$$ .

Nếu $$a{x}_0+b{y}_0>c$$ thì nửa mặt phẳng bờ $$(\mathrm{\Delta })$$ không chứa $$M_0$$ là miền nghiệm của $$ax+by\le c$$ .

2. Bỏ bờ miền nghiệm của bất phương trình (1) ta được miền nghiệm của bất phương trình ax+by

Miền nghiệm của các bất phương trình $$ax+by\ge c$$ và $$ax+by>c$$ được xác định tương tự.

3. Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

.$\{\begin{array}{l}ax+by\le c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y\le c^{\prime }\end{array}$

Vẽ các đường thẳng $$(\mathrm{\Delta }):ax+by=c$$ và $$\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right):a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$$ .

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.

4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng F=ax+by, trong đó x và y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. Vẽ miền nghiệm của hệ BPT đã cho.

Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác. Tính giá trị của F ứng với (x; y) là tọa độ các đỉnh của miền đa giác này rồi so sánh các kết quả từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình.

Phương pháp:

Giả sử có BPT : $$ax+by\le c$$ (1)

Trong đó a và b là hai số không đồng thời bằng 0.

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng $$(\mathrm{\Delta }):ax+by=c.$$ 

Bước 2. Lấy một điểm $$M_0(x_0;y_0)\notin (\mathrm{\Delta })$$ (ta thường lấy gốc tọa độ O).

Bước 3. Tính $$a{x}_0+b{y}_0$$ và so sánh $$a{x}_0+b{y}_0$$ với c.

Bước 4. Kết luận

Nếu $$a{x}_0+b{y}_{0}thìnửamặtphẳngbờ\text{[}(\mathrm{\Delta })$$ chứa $$M_0$$ là miền nghiệm của $$ax+by\le c$$ .

Nếu $$a{x}_0+b{y}_0>c$$ thì nửa mặt phẳng bờ $$(\mathrm{\Delta })$$ không chứa $$M_0$$ là miền nghiệm của $$ax+by\le c$$ .

Dạng 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình.

Phương pháp:

Xét BPT

$\{\begin{array}{l}ax+by\le c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y\le c^{\prime }\end{array}$

Vẽ các đường thẳng $$(\mathrm{\Delta }):ax+by=c$$ và $$\left({\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right):a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$$ .

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình và tìm giao của chúng.

III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1/Tr99.

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau.

a) $$-x+2+2(y-2)<2(1-x)$$ 

b) $$3(x-1)+4(y-2)<5x-3$$ .

Giải

a) $$-x+2+2(y-2)<2(1-x)$$ $$\iff 2y+x<4$$ .

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ) được tô màu.

b) 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 ⇔ -x + 2y < 4.

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ) được tô màu.

Bài 2/Tr 99.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ y-x<3\end{array}$ là phần mặt phẳng ( không kể bờ) được tô màu dưới đây.

b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình

$\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\le 2\iff \{\begin{array}{c}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}<1\\ x-\frac{3y}{2}\le \frac{3}{2}\\ x\ge 0\end{array}\end{array}$

là phần mặt phẳng ( bỏ một bờ là đường thẳng $$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$$ ) được tô màu dưới đây.

Bài 3/Tr 99.

Gọi xí nghiệp sản xuất x sản phẩm 1 và y sản phẩm II (x, y ≥ 0), như vậy tổng số tiền lãi thu được là L = 3x + 5y (nghìn đồng). Theo bài ra ta có: nhóm A cần 2x + 2y máy, nhóm B cần 0x + 2y máy, 2x + 4y máy. Vậy, ta có hệ bất phương trình:$\{\begin{array}{l}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-1<0\\ x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\le 2\iff \{\begin{array}{c}\frac{x}{3}+\frac{y}{2}<1\\ x-\frac{3y}{2}\le \frac{3}{2}\\ x\ge 0\end{array}\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác ABCOD với A(4;1); B(2;2); C(0;2); 0(0;0); D(5;0) (hình vẽ). L đạt max tại một trong các đỉnh nảy:

Ta có bảng

Dựa vào bảng ta thấy: maxL = 17 đạt khi x = 4; y = 1.

Vậy, để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất, doanh nghiệp cần sản xuất 4 sản phẩm I là 1 sản phẩm II.

Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất