BÀI 3: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Dấu của nhị thức bậc nhất \[ f(x)=ax+b \]
a) Bảng xét dấu
b) Sử dụng trục số
2. Khử dấu giá trị tuyệt đối
a) Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối
b) Đồng nhất thức \[ {{\left| x \right|}^{2}}={{x}^{2}} \] với mọi x.
c) Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Với \[ a>0 \] ta có:
\[ \begin{align} & |f(x)|\le a\Leftrightarrow -a\le f(x)\le a \\ & |f(x)|\ge a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} f(x)\ge a \\ f(x)\le -a \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Xét dấu tích, thương của các nhị thức bậc nhất
Phương pháp: Sử dụng định lý về dấu của nhị thức bậc nhất để xét dấu từng nhị thức. Sau đó kết hợp dấu các nhị thức với nhau để tìm ra dấu của biểu thức.
Ví dụ: Xét dấu \[ f(x)=(-2x+3)(x-2)(x+4) \]
Giải
Dạng 2. Giải bất phương trình
Phương pháp:
Bước 1. Biến đổi các vế của phương trình về dạng tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất.
Bước 2. Xét dấu biểu thức đã biến đổi và suy ra nghiệm của bất phương trình.
Bước 3. Kết luận.
Dạng 3. Giải bất phương trình chứa ẩn ở dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Sử dụng các bất phương trình
\[ \begin{align} & |f(x)|\le a\Leftrightarrow -a\le f(x)\le a \\ & |f(x)|\ge a\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} f(x)\ge a \\ f(x)\le -a \\ \end{array} \right. \\ \end{align} \] với \[ a>0 \] .
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 94 SGK Đại số lớp 10)
Xét dấu các biểu thức
a) \[ f(x)=(2x-1)(x+3) \] ; b) \[ f(x)=(-3x-3)(x+2)(x+3) \]
c) \[ f(x)=\frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x} \] ; d) \[ f(x)=4{{x}^{2}}-1 \] .
Giải
a) \[ f(x)=(2x-1)(x+3) \]
Ta có bảng xét dấu
b) \[ f(x)=(-3x-3)(x+2)(x+3) \]
Ta có bảng xét dấu
c) \[ f(x)=\frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\text{ }=\frac{-4(2-x)-3(3x+1)}{(3x+1)(2-x)}=\frac{-5x-11}{(3x+1)(2-x)}\text{ } \]
Ta có bảng xét dấu
d) \[ f(x)=4{{x}^{2}}-1=(2x-1)(2x+1) \]
Ta có bảng xét dấu
Bài 2 (trang 94 SGK Đại số 10)
Giải các bất phương trình
a) \[ \frac{2}{x-1}\le \frac{5}{2x-1} \] b) \[ \frac{1}{x+1}<\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}} \]
c) \[ \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3} \] d) \[ \frac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}<1 \]
Giải
a) ĐKXĐ: \[ x\ne 1;x\ne \frac{1}{2} \] .
\[ \begin{align} & \frac{2}{x-1}\le \frac{5}{2x-1} \\ & \Leftrightarrow \frac{2}{x-1}-\frac{5}{2x-1}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{2\cdot (2x-1)-5\cdot (x-1)}{(x-1)(2x-1)}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{4x-2-5x+5}{(x-1)(2x-1)}\le 0 \\ & \Leftrightarrow \frac{-x+3}{(x-1)(2x-1)}\le 0 \\ \end{align} \]
Đặt \[ f(x)=\frac{-x+3}{(x-1)(2x-1)} \]
Lập bảng xét dấu f(x)
Suy ra \[ f(x)\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( \frac{1}{2};1 \right)\cup [3;+\infty ) \] .
b) Điều kiện xác định \[ x\ne 1;x\ne -1 \]
\[ \begin{align} & \frac{1}{x+1}<\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{(x-1)}^{2}}-(x+1)}{(x+1){{(x-1)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3x}{(x+1){{(x-1)}^{2}}}<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{x(x-3)}{(x+1){{(x-1)}^{2}}}<0 \\ \end{align} \]
Đặt \[ f(x)=\frac{x(x-3)}{(x+1){{(x-1)}^{2}}} \] . Ta có bảng xét dấu sau:
Suy ra \[ f(x)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x<-1 \\ 0
c) ĐKXĐ: \[ x\ne 0;x\ne -3;x\ne -4 \] .
Ta có:
\[ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}-\frac{3}{x+3}<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{(x+4)(x+3)+2\cdot x\cdot (x+3)-3\cdot x\cdot (x+4)}{x(x+4)(x+3)}<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{x+12}{x(x+4)(x+3)}<0 \\ \end{align} \]
Đặt \[ f(x)=\frac{x+12}{x(x+4)(x+3)} \] . Ta có bảng xét dấu:
Suy ra \[ f(x)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} -12
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ S=(-12;-4)\cup (-3;0) \] .
d) Điều kiện xác định \[ x\ne \pm 1 \] .
\[ \begin{align} & \frac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}<1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3x+1}{{{x}^{2}}-1}-1<0 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-3x+1-{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}<0\Leftrightarrow \frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)}<0 \\ \end{align} \]
Đặt \[ f(x)=\frac{-3x+2}{(x-1)(x+1)} \] . Ta có bảng xét dấu:
Suy ra \[ f(x)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} -11 \\ \end{array} \right. \] .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( -1;\frac{2}{3} \right)\cup (1;+\infty ) \] .
Bài 3 (trang 94 SGK Đại số 10)
Giải các bất phương trình
a) \[ |5x-4|\ge 6 \] b) \[ \left| \frac{-5}{x+2} \right|<\left| \frac{10}{x-1} \right| \] .
Giải
a) \[ |5x-4|\ge 6\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 5x-4\ge 6 \\ 5x-4\le -6 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} 5x\ge 10 \\ 5x\le -2 \\ \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x\ge 2 \\ x\le \frac{-2}{5} \\ \end{array} \right. \right. \] .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[ \text{S}=\left( -\infty ,\frac{-2}{5} \right]\cup [2;+\infty ) \] .
b) Điều kiện xác định \[ x\ne 1;x\ne -2 \] .
\[ \begin{align} & \left| \frac{-5}{x+2} \right|<\left| \frac{10}{x-1} \right|\Leftrightarrow {{\left( \frac{-5}{x+2} \right)}^{2}}<{{\left( \frac{10}{x-1} \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \frac{25}{{{(x+2)}^{2}}}<\frac{100}{{{(x-1)}^{2}}} \\ & \Rightarrow 25{{(x-1)}^{2}}<100{{(x+2)}^{2}} \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} & \Rightarrow 25{{(\text{x}-1)}^{2}}<100\cdot {{(\text{x}+2)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{(x-1)}^{2}}<4{{(x+2)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1<4{{x}^{2}}+16x+16 \\ & \Leftrightarrow -3{{x}^{2}}-18x-15<0 \\ & \Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}+6\text{x}+5>0\Leftrightarrow (x+1)(x+5)>0 \\ \end{align} \]
Đặt \[ f(x)=(x+1)(x+5) \]
Ta có bảng xét dấu sau
Suy ra f(x)>0 khi và chỉ khi x<-5 hoặc x>-1.
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \[ S=(-\infty ;-5)\cup (-1;+\infty )\backslash \{1\} \] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa dấu của nhị thức bậc nhất toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất