BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước
Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x2 + y2 = R2
2. Nhận xét
+) Phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể viết dưới dạng
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
trong đó c = a2 + b2 – R2.
+) Phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi
a2 + b2 – c2 > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính \[ \text{R}=\sqrt{{{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}-{{\text{c}}^{2}}} \]
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.
Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm Mo(xo; yo).
Ta có
+) Mo(xo; yo) thuộc Δ.
+) \[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}}=({{x}_{0}}-a;{{y}_{0}}-b) \] là vectơ pháp tuyến của Δ.
Do đó Δ có phương trình là
(xo – a).(x – xo) + (yo – b).(y – yo) = 0.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
Phương pháp giải
+ Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:
a2 + b2 - c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính \[ R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c} \] .
+ Phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R.
Dạng 2. Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
+ Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:
- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.
- Bước 2: Tính IA.
- Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.
+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A
⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:
Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM
⇒ Đường thẳng ( d) : qua M và VTPT \[ \overrightarrow{IM} \]
⇒ Phương trình đường thẳng d.
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :
- Đường thẳng ( d) : qua M VTPT \[ \overrightarrow{n}(A;B) \]
⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0.
- Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R
⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.
- Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d.
Dạng 4. Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
+ Để lập được phương trình đường tròn ( C) cần xác định được hai yếu tố: tâm I(x0; y0) và bán kính R.
⇒ Phương trình đường tròn ( C):
( x - x0)2 + (y - y0)2 = R2.
+ Nếu điểm A thuộc đường tròn thì IA = R.
+ Nếu đường tròn đi qua hai điểm A và B thì IA = IB và I nằm trên đường trung trực của AB.
+ Nếu đường tròn tiếp xúc với đường tròn d thì d(I; d) = R.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 83 SGK Hình học 10):
Đưa về phương trình chính tắc :
a) x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0
⇔ (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y +1) = 4
⇔(x-1)2 + (y-1)2 = 4
Vậy đường tròn có tâm I(1 ; 1) và bán kính R = 2.
b)
\[ 16{{x}^{2}}+16{{y}^{2}}+16x-8y-11=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x-\frac{1}{2}y-\frac{11}{16}=0 \]
\[ \Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x+\frac{1}{4} \right)+\left( {{y}^{2}}-\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} \right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{11}{16} \]
\[ \Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{4} \right)}^{2}}=1 \]
Vậy đường tròn có tâm \[ I\left( \frac{-1}{2};\frac{1}{4} \right) \] và bán kính R = 1.
Bài 2 (trang 83 SGK Hình học 10):
a) (C) có tâm I và đi qua M nên bán kính R = IM
Ta có: \[ IM=\sqrt{{{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{I}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{M}}-{{y}_{I}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{(2+2)}^{2}}+{{(-3-3)}^{2}}}=\sqrt{52} \]
Vậy đường tròn (C) : (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.
b) (C) tiếp xúc với (Δ) : x – 2y + 7 = 0
⇒ d(I; Δ) = R
Mà \[ d(I;\Delta )=\frac{|-1-2\cdot 2+7|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow R=\frac{2}{\sqrt{5}} \]
Vậy đường tròn (C) : \[ {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=\frac{4}{5} \]
c) (C) có đường kính AB nên (C) có :
+ tâm I là trung điểm của AB
\[ \Rightarrow \text{I}\left( \frac{{{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}}{2};\frac{{{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{B}}}}{2} \right)\,\,hay\,\,\text{I}(4;3) \]
+) Bán kính \[ \text{R}=\frac{\text{AB}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{{(7-1)}^{2}}+{{(5-1)}^{2}}}=\sqrt{13} \] .
Vậy đường tròn (C) : (x – 4)2 + (y – 3)2 = 13.
Bài 3 (trang 84 SGK Hình học 10):
Gọi phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
a) Do A(1; 2) ∈ (C) ⇔ 12 + 22 – 2.a.1 – 2.b.2 + c = 0
⇔ 5 – 2a – 4b + c = 0 ⇔ 2a + 4b – c = 5 (1)
Do B(5; 2) ∈ (C) ⇔ 52 + 22 – 2.a.5 – 2.b.2+ c = 0
⇔ 29 – 10a – 4b + c = 0 ⇔ 10a + 4b – c = 29 (2)
Do C(1; –3) ∈ (C) ⇔ 12 + (–3)2 – 2.a.1 – 2.b.(–3) + c = 0
⇔ 10 – 2a + 6b + c = 0 ⇔ 2a – 6b – c = 10 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{matrix} 2a+4b-c=5 \\ 10a+4b-c=29 \\ 2a-6b-c=10 \\ \end{matrix} \right. \)
Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 3, b = –1/2, c = –1.
Vậy đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là : x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.
b)
M(–2 ; 4) ∈ (C) ⇔ (–2)2 + 42 – 2.a.(–2) – 2.b.4 + c = 0 ⇔ 4a – 8b + c = –20 (1)
N(5; 5) ∈ (C) ⇔ 52 + 52 – 2.a.5 – 2.b.5 + c = 0 ⇔ 10a + 10b – c = 50 (2)
P(6; –2) ∈ (C) ⇔ 62 + (–2)2 – 2.a.6 – 2.b.(–2) + c = 0 ⇔ 12a – 4b – c = 40 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4a-8b+c=-20 \\ 10a+10b-c=50 \\ 12a-4b-c=40 \\ \end{array} \right. \)
Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm a = 2, b = 1, c = –20.
Vậy đường tròn đi qua ba điểm M, N, P có phương trình là : x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.
Bài 4 (trang 84 SGK Hình học 10):
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a ; b) và bán kính bằng R.
(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|
(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|
⇒ |a| = |b|
⇒ a = b hoặc a = –b.
+ TH1: Xét a = b thì I(a; a), R = |a|
Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2
⇒ (2 – a)2 + (1 – a)2 = a2
⇔ 4- 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2
⇔ 2a2 – 6a + 5- a2 =0
⇔ a2 – 6a + 5 = 0
⇔ a = 1 hoặc a = 5.
* a = 1 ⇒ I(1; 1) và R = 1.
Ta có phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
* a = 5 ⇒ I(5; 5), R = 5.
Ta có phương trình đường tròn (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.
+ TH2: Xét a = –b thì I(a; –a), R = |a|
Ta có: M ∈ (C) ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2
⇒ (2 – a)2 + (1 + a)2 = a2
⇔ 4 – 4a + a2 + 1+ 2a + a2 - a2 = 0
⇔ a2 – 2a + 5 = 0 (Phương trình vô nghiệm)
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: (C): (x – 1)2 + (y – 1)2 = 1
hoặc (C) : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25.
Bài 5 (trang 84 SGK Hình học 10):
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm I(a;b) và bán kính bằng R.
(C) tiếp xúc với Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|
(C) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|
⇒ |a| = |b|
⇒ a = b hoặc a = –b.
+) TH1: I(a;a)
\[ I\in d\Leftrightarrow 4a-2a-8=0\Rightarrow a=4 \]
Đường tròn cần tìm có tâm I(4;4) và bán kính R=4 có phương trình là:
\[ {{(x-4)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}={{4}^{2}}\Leftrightarrow {{(x-4)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=16 \]
+) TH2: I(a;−a)
\[ I\in d\Leftrightarrow 4a+2a-8=0\Rightarrow a=\frac{4}{3} \]
Ta được đường tròn có phương trình là:
\[ {{\left( x-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{4}{3} \right)}^{2}}={{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{4}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{4}{3} \right)}^{2}}=\frac{16}{9} \]
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài.
Bài 6 (trang 84 SGK Hình học 10):
a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.
Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:
(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2
⇒ A thuộc đường tròn (C)
⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A
⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA
⇒ (d’) nhận \[ \overrightarrow{\text{AI}}=(3;-4) \] là một vtpt và đi qua A(–1; 0)
⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.
c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).
(d) có \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{\text{d}}}}=(3;-4) \] là một vtpt; 1 VTCP là \[ \overrightarrow{{{\text{u}}_{\text{d}}}}(4;3) \]
(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận \[ \overrightarrow{{{\text{n}}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{\text{u}}_{\text{d}}}}=(4;3) \] là một vtpt
⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.
(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R \(\Rightarrow \frac{|4\cdot 2+3\cdot (-4)+c|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=5\Rightarrow \frac{|c-4|}{5}=5\Rightarrow |c-4|=25\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} c-4=25 \\ c-4=-25 \\ c=-21 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} c=29 \\ c=-21 \\ \end{array} \right. \)
Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa bài tập phương trình đường tròn toán học 10, toán 10 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất