BÀI 3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức cộng
Công thức cộng là những công thức biểu thị \[ \cos (a\pm b),\sin (a\pm b),\tan (a\pm b),\cot (a\pm b) \] qua các giá trị lượng giác của góc \[ a,b \] .
\[ \begin{align} & \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \\ & \cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \\ & \sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \\ & \sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \\ & \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b} \\ & \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} \\ \end{align} \]
2. Công thức nhân đôi
Cho \[ a=b \] trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau
\[ \begin{align} & \sin 2a=2\sin a\cos a \\ & \cos 2a={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a=2{{\cos }^{2}}a-1=1-2{{\sin }^{2}}a \\ & \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{{\tan }^{2}}a} \\ \end{align} \]
Từ các công thức nhân đôi ta suy ra các công thức hạ bậc
\[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}a=\frac{1+\cos 2a}{2} \\ & {{\sin }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{2} \\ & {{\tan }^{2}}a=\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a} \\ \end{align} \]
3. Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích
\[ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)] \\ & \sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)] \\ & \sin \dot{a}\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)] \\ \end{align} \]
\[ \begin{align} & \cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2} \\ & \cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} \\ & \sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2} \\ & \sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} \\ \end{align} \]
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh một biểu thức
Dạng 2. Rút gọn biểu thức
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức lượng giác đã nêu ở phần tóm tắt lý thuyết để biến đổi sao cho phù hợp.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 153 SGK Đại số 10):
a)
\[ \begin{align} & +\cos {{225}^{{}^\circ }}=\cos \left( {{180}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }} \right)=-\cos {{45}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ & +)\sin {{240}^{{}^\circ }}=\sin \left( {{180}^{{}^\circ }}+{{60}^{{}^\circ }} \right)=-\sin {{60}^{{}^\circ }}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ & +)\cot \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)=\frac{\cos \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)}{\sin \left( -{{15}^{{}^\circ }} \right)}=\frac{\cos \left( {{30}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }} \right)}{\sin \left( {{30}^{{}^\circ }}-{{45}^{{}^\circ }} \right)} \\ & =\frac{\cos {{30}^{{}^\circ }}\cos {{45}^{{}^\circ }}+\sin {{30}^{{}^\circ }}\sin {{45}^{{}^\circ }}}{\sin {{30}^{{}^\circ }}\cos {{45}^{{}^\circ }}-\cos {{30}^{{}^\circ }}\sin {{45}^{{}^\circ }}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3} \\ \end{align} \]
\[ +)\tan {{75}^{{}^\circ }}=\tan \left( {{30}^{{}^\circ }}+{{45}^{{}^\circ }} \right)=\frac{\tan {{30}^{{}^\circ }}+\tan {{45}^{{}^\circ }}}{1-\tan {{30}^{{}^\circ }}\cdot \tan {{45}^{{}^\circ }}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3} \]
b)
\[ \begin{align} & +)\sin \frac{7\pi }{12}=\sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4} \right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) \\ & +)\cos \left( -\frac{\pi }{12} \right)=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{12} \right)=\sin \left( \frac{7\pi }{12} \right)=\sin \frac{7\pi }{12}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot (\sqrt{3}+1) \\ & +)\tan \frac{13\pi }{12}=\tan \left( \pi +\frac{\pi }{12} \right)=\tan \left( \frac{\pi }{12} \right)=\tan \left( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}\cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \]
Bài 2 (trang 154 SGK Đại số 10):
a) Ta có:
\[ \begin{align} & +){{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}\alpha =\frac{2}{3}\Leftrightarrow \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{6}}{3} \\ & +)0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3} \\ & \Rightarrow \cos \left( \alpha +\frac{\pi }{3} \right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{6} \\ \end{align} \]
b) Ta có:
\[ \begin{align} & +){{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha +{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}\alpha =\frac{8}{9}\Leftrightarrow \sin \alpha =\pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ & +)\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\Rightarrow \tan \alpha =-2\sqrt{2} \\ & \Rightarrow \tan \left( \alpha -\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{-2\sqrt{2}-1}{1-2\sqrt{2}}=\frac{9+4\sqrt{2}}{7} \\ \end{align} \]
c) Ta có:
\[ \begin{align} & +){{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}a=\frac{9}{25}\Leftrightarrow \cos a=\pm \frac{3}{5} \\ & +)00\Rightarrow \cos a=\frac{3}{5} \\ \end{align} \]
Tương tự \[ \cos b=-\frac{\sqrt{5}}{3} \]
Suy ra:
\[ \begin{align} & +\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\frac{3}{5}\cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)-\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{3\sqrt{5}+8}{15} \\ & +)\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin \text{b}=\frac{4}{5}\cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{3} \right)-\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}=-\frac{4\sqrt{5}+6}{15} \\ \end{align} \]
Bài 3 (trang 154 SGK Đại số 10):
a) Ta có:
\[ \begin{align} & \sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cos a,\sin (-b)=-\sin b \\ & \Rightarrow \sin (a+b)+\sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right).\sin (-b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b-\cos a\sin b=\sin a\cos b \\ \end{align} \]
b) Ta có:
\[ \begin{align} & \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)] \\ & \Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{4}+a \right)\cos \left( \frac{\pi }{4}-a \right)+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}a=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( \frac{\pi }{2} \right)+\cos 2a \right]+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}a \\ & =\frac{1}{2}\left( \cos 2a+{{\sin }^{2}}a \right)=\frac{1}{2}\left( {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}a+{{\sin }^{2}}a \right)=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \]
c) Ta có:
\[ \begin{align} & \cos \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\sin a,\,\sin \left( \frac{\pi }{2}-b \right)=\cos b \\ & \Rightarrow \cos \left( \frac{\pi }{2}-a \right)\sin \left( \frac{\pi }{2}-b \right)-\sin (a-b) \\ & =\sin a\cos b-(\sin a\cos b-\cos b\sin a)=\cos b\sin a \\ \end{align} \]
Bài 4 (trang 154 SGK Đại số 10):
a) Ta có:
\[ VP=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}=\text{ }\frac{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos b}{\sin b}+1}{\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{\cos b}{\sin b}-1}\text{ }=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sinh }\text{ }=\frac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=VT\text{ } \]
Điều phải chứng minh.
b) Ta có:
\[ \sin (a+b)\sin (a-b)=\frac{1}{2}(\cos 2b-\cos 2a)=\frac{1}{2}\left( 2{{\cos }^{2}}b-1-2{{\cos }^{2}}a+1 \right)={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \]
Mặt khác:
\[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a=1-{{\sin }^{2}}b-1+{{\sin }^{2}}a={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \\ & \Rightarrow \sin (a+b)\sin (a-b)={{\sin }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\cos }^{2}}a \\ \end{align} \]
c) Ta có:
\[ \cos (a+b)\cos (a-b)=\frac{1}{2}(\cos 2b+\cos 2a)=\frac{1}{2}\left( 1-2{{\sin }^{2}}b+2{{\cos }^{2}}a-1 \right)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b \]
Mặt khác:
\[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b=1-{{\sin }^{2}}a-1+{{\cos }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ & \Rightarrow \cos (a+b)\cos (a-b)={{\cos }^{2}}a-{{\sin }^{2}}b={{\cos }^{2}}b-{{\sin }^{2}}a \\ \end{align} \]
Bài 5 (trang 154 SGK Đại số 10):
a) Ta có:
\[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{(-0,6)}^{2}}+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}a=0,64\Leftrightarrow \cos a=\pm 0,8 \\ & +)\pi
b) Ta có:
\[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a+{{\left( -\frac{5}{13} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}a=\frac{144}{169}\Leftrightarrow \sin a=\pm \frac{12}{13} \\ & +)\frac{\pi }{2}
c) Ta có:
\[ \begin{align} & \sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{(\sin \alpha +\cos \alpha )}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{1}{4}\Leftrightarrow \sin 2\alpha =-\frac{3}{4} \\ & +){{\cos }^{2}}2\alpha +{{\sin }^{2}}2\alpha =1\Rightarrow {{\cos }^{2}}2\alpha =1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}\Leftrightarrow \cos 2\alpha =\pm \frac{\sqrt{7}}{4} \\ & +)\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\Leftrightarrow \pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \cos 2\alpha <0\Rightarrow \cos 2\alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}\Rightarrow \tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{3}{\sqrt{7}} \\ \end{align} \]
Bài 6 (trang 154 SGK Đại số 10):
Ta có:
\[ \begin{align} & +)\sin 2a=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow 2\sin a\cos a=-\frac{5}{9}\Leftrightarrow \sin a\cos a=-\frac{5}{18} \\ & +){{(\sin a+\cos a)}^{2}}={{\sin }^{2}}a+{{\cos }^{2}}a+2\sin a\cos a=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\Leftrightarrow \sin a+\cos a=\pm \frac{2}{3} \\ \end{align} \]
Với \[ \sin a+\cos a=\frac{2}{3},\,\,\sin a\cdot \cos a=-\frac{5}{18} \]
Do \[ \frac{\pi }{2}0,\cos a<0 \] . thì \[ \sin a \] và \[ \cos a \] là nghiệm của phương trình \[ {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x-\frac{5}{18}=0 \] .
Suy ra \[ {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \] .
Vậy \[ \sin a=\frac{2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\frac{2-\sqrt{14}}{6} \] .
Với \[ \sin a+\cos a=-\frac{2}{3},\,\,\sin a\cdot \cos a=-\frac{5}{18} \] thì \[ \sin a \] và \[ \cos a \] là nghiệm của phương trình \[ {{x}^{2}}+\frac{2}{3}x-\frac{5}{18}=0 \] .
Suy ra \[ {{x}_{1}}=\frac{-2+\sqrt{14}}{6};{{x}_{2}}=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \] .
Vậy \[ \sin a=\frac{-2+\sqrt{14}}{6};\cos a=\frac{-2-\sqrt{14}}{6} \] .
Bài 7 (trang 155 SGK Đại số 10):
\[ \begin{align} & a)1-\sin x=\sin \frac{\pi }{2}-\sin x=2\cos \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\sin \frac{\frac{\pi }{2}-x}{2}=2\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)\sin \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \\ & b)1+\sin x=\sin \frac{\pi }{2}+\sin x=2\sin \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{2}-x}{2}=2\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{x}{2} \right)\cos \left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \\ & c)1+2\cos x=2\left( \frac{1}{2}+\cos x \right)=2\left( \cos \frac{\pi }{3}+\cos x \right)=4\cos \left( \frac{\pi }{6}+\frac{x}{2} \right)\cos \left( \frac{\pi }{6}-\frac{x}{2} \right) \\ & d)1-2\sin x=2\left( \frac{1}{2}-\sin x \right)=2\left( \sin \frac{\pi }{6}-\sin x \right)=4\cos \left( \frac{\pi }{12}+\frac{x}{2} \right)\sin \left( \frac{\pi }{12}-\frac{x}{2} \right) \\ \end{align} \]
Bài 8 (trang 155 SGK Đại số 10):
Ta có:
\[ A=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}=\frac{2\sin 3x\cos 2x+\sin 3x}{2\cos 3x\cos 2x+\cos 3x}=\frac{2\sin 3x(\cos 2x+1)}{2\cos 3x(\cos 2x+1)}=\tan 3x \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa công thức lượng giác toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất