BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị $$ \vec{e} $$
Ta kí hiệu trục đó là $$ (O,\vec{e}) $$ .
2. Hệ trục tọa độ
b) Tọa độ của vectơ
$$ \vec{u}=(x;y)\Leftrightarrow \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j} $$
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu $$ \vec{u}=(\text{x};\text{y}) $$ và $$ \overrightarrow{{{u}^{\prime }}}=\left( \text{x }\!\!'\!\!\text{ };\text{y }\!\!'\!\!\text{ } \right) $$ thì \(\vec{u}=\overrightarrow{u'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=x' \\ y=y' \\ \end{array} \right. \)
c) Tọa độ của một điểm
$$ M=(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j} $$
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB). Ta có $$ \overrightarrow{AB}=\left( {{\text{x}}_{\text{A}}}-{{\text{x}}_{\text{B}}};{{\text{y}}_{\text{B}}}-{{\text{y}}_{\text{A}}} \right) $$
3. Tọa độ của các vectơ $$ \vec{u}+\vec{v},\vec{u}-\vec{v},k\vec{u} $$ .
Cho $$ \vec{u}=\left( {{\text{u}}_{1}};{{\text{u}}_{2}} \right),\vec{v}=\left( {{\text{v}}_{1}},{{\text{v}}_{2}} \right) $$ . Khi đó
$$ \vec{u}+\vec{v}=\left( {{\text{u}}_{1}}+{{\text{u}}_{2}};{{\text{v}}_{1}}+{{\text{v}}_{2}} \right);\,\,\,\vec{u}-\vec{v}=\left( {{\text{u}}_{1}}-{{\text{u}}_{2}};{{\text{v}}_{1}}-{{\text{v}}_{2}} \right)\text{;}\,\,\,\text{k}\vec{u}=\left( \text{k}{{\text{u}}_{1}};\text{k}{{\text{u}}_{2}} \right),\text{k}\in \text{Z} $$
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là $$ {{\text{x}}_{1}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2},{{\text{y}}_{1}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} $$
b) Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC được tính theo công thức $$ {{\text{x}}_{\text{G}}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3},{{\text{y}}_{\text{G}}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} $$
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Bài tập Tọa độ của vecto, tọa độ của một điểm
1. Tìm m để hai vecto cùng phương
Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương để giải bài tập dạng này.
2. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng,tìm tọa độ của trọng tâm tam giác
Các em nắm kĩ lý thuyết đã nêu ở phần Lý thuyết trọng tâm để áp dụng giải bài tập.
3.Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x0; y0).
Bước 2: Thiết lập đẳng thức vecto hoặc mối quan hệ giữa điểm cần tìm và điểm đã biết…
Bước 3: Tọa độ hóa các vecto ở bước 2.
Bước 4: Thiết lập hệ phương trình theo các ẩn x0 và y0.
Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm ra x0 và y0.
Bước 6: Kết luận.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1 (trang 26 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Vẽ trục và biểu diễn các điểm
b) Ta có:
A có tọa độ là –1, B có tọa độ là 2 nên $$ \overrightarrow{\text{AB}}=2-\left( -1 \right)=3 $$
M có tọa độ là 3, N có tọa độ là –2 nên $$ \overline{\text{MN}}=-2-3=-5 $$
Vì AB > 0 nên $$ \overrightarrow{\text{AB}} $$ cùng hướng \(\vec{e}\)
Vì MN <0 nên $$ \overrightarrow{\text{MN}} $$ ngược hướng \(\vec{e}\)
Bài 2 (trang 26 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Đúng
Giải thích: Nhận thấy $$ \vec{a}=-3\vec{i} $$
Vì –3 < 0 nên hai vector ngược hướng
b) Đúng
Giải thích:
$$ \vec{a}+\vec{b}=\left( 3;4 \right)+\left( -3;-4 \right) $$
$$ =\left( 3-3;4-4 \right)=\left( 0;0 \right)=\vec{0} $$
$$ \Rightarrow \vec{a}=-\vec{b} $$ nên $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ là hai vec tơ đối nhau.
c) Sai
Giải thích:
$$ \vec{a}+\vec{b}=\left( 5;3 \right)+\left( 3;5 \right)=\left( 8;8 \right)\ne \vec{0} $$
$$ \Rightarrow \vec{a}\ne -\vec{b} $$ nên $$ \vec{a} $$ và $$ \vec{b} $$ không phải là hai vector đối nhau
d) Đúng
Nhận xét SGK : Hai vec tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Bài 3 (trang 26 SGK Hình học 10):
$$ a)~\vec{a}=2\vec{i}=2\vec{i}+0\vec{j}\Rightarrow \vec{a}=\left( 2;0 \right) $$
$$ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }b)~\vec{b}=-3\vec{j}=0\vec{i}+\left( -3 \right)\vec{j}\Rightarrow \vec{b}=\left( 0;-3 \right) $$
$$ c)~\vec{c}=3\vec{i}-4\vec{j}=3\vec{i}+\left( -4 \right)\vec{j}\Rightarrow \vec{c}=\left( 3;-4 \right) $$
$$ ~d)~\vec{d}=0,2\vec{i}+\sqrt{3}\vec{j}\Rightarrow \vec{d}=\left( 0,2;\sqrt{3} \right) $$
Bài 4 (trang 26 SGK Hình học 10):
Lời giải:
a) Đúng. Giả sử A(a; b); O(0; 0) $$ \overrightarrow{\text{OA}}=\left( a-0;b-0 \right)=\left( a;b \right) $$
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng Vì tia phân giác của góc phần tư thứ nhất là đường thẳng y = x.
Bài 5 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Biểu diễn các điểm trên hệ trục tọa độ ta thấy:
a) Điểm đối xứng với M(x0; y0) qua trục Ox là A(x0 ; –y0)
b) Điểm đối xứng với M(x0 ; y0) qua trục Oy là B(–x0 ; y0)
c) Điểm đối xứng với M(x0 ; y0) qua gốc O là C(–x0 ; –y0).
Bài 6 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
Ta có:
$$ \text{A}\left( -1;-2 \right);\text{B}\left( 3;2 \right) $$
$$ \Rightarrow \overrightarrow{\text{AB}}=\left( 3-\left( -1 \right);2-\left( -2 \right) \right)=\left( 4;4 \right) $$
ABCD là hình bình hành
$$ \Leftrightarrow \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}\Leftrightarrow \overrightarrow{\text{DC}}=\left( 4;4 \right) $$
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{x}_{C}}-{{x}_{D}}=4 \\ {{y}_{C}}-{{y}_{D}}=4 \\ \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{x}_{D}}={{x}_{C}}-4 \\ {{y}_{D}}={{y}_{C}}-4 \\ \end{matrix} \right. \)
Mà $$ {{\text{x}}_{\text{C}}}=4,{{\text{y}}_{\text{C}}}=-1 $$
\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\text{x}}_{\text{D}}}=0 \\ {{\text{y}}_{\text{D}}}=-5 \\ \end{matrix}\Rightarrow \text{D}\left( 0;-5 \right) \right. \)
Bài 7 (trang 27 SGK Hình học 10):
Lời giải:
A’ là trung điểm của BC \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}=2\cdot {{\text{x}}_{{\text{{A}'}}}} \\ {{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}=2.{{\text{y}}_{{\text{{C}'}}}} \\ \end{matrix} \right. \)
B’ là trung điểm của AC \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}=2\cdot {{\text{x}}_{\text{B}}} \\ {{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}=2.{{\text{y}}_{{\text{{B}'}}}} \\ \end{matrix} \right. \)
C’ là trung điểm của BA \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{A}}}=2\cdot {{\text{x}}_{\text{C}}} \\ {{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{A}}}=2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{C}'}}}} \\ \end{matrix} \right. \)
Gọi G là trọng tâm ΔABC và G’ là trọng tâm ΔA’B’C’
Ta có :
$$ {{\text{x}}_{\text{G}}}=\frac{{{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}}{3} $$
$$ =\frac{{{\text{x}}_{\text{A}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{B}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}+{{\text{x}}_{\text{C}}}+{{\text{x}}_{\text{A}}}}{6} $$
$$ =\frac{2\cdot {{\text{x}}_{\text{C}}}+2\cdot {{\text{x}}_{{\text{{A}'}}}}+2\cdot {{\text{x}}_{{\text{{B}'}}}}}{6} $$
$$ =\frac{{{\text{x}}_{{\text{{A}'}}}}+{{\text{x}}_{{\text{{B}'}}}}+{{\text{x}}_{{\text{{C}'}}}}}{3}={{\text{x}}_{{\text{{G}'}}}} $$
$$ {{\text{y}}_{\text{G}}}=\frac{{{\text{y}}_{\text{A}}}+{{\text{y}}_{\text{B}}}+{{\text{y}}_{\text{C}}}}{3} $$
$$ =\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{B}}+{{y}_{c}}+{{y}_{c}}+{{y}_{A}}}{6} $$
$$ =\frac{2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{c}'}}}}+2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{A}'}}}}+2\cdot {{\text{y}}_{{\text{{B}'}}}}}{6} $$
$$ =\frac{{{\text{y}}_{{\text{{A}'}}}}+{{\text{y}}_{{\text{{B}'}}}}+{{\text{y}}_{{\text{{c}'}}}}}{3}={{\text{y}}_{{\text{{G}'}}}} $$
Vậy $$ G\equiv {G}' $$ (đpcm)
Bài 8 (trang 27 SGK Hình học 10):
Ta có: $$ \vec{c}=m\cdot \vec{a}+n\vec{b} $$
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5=m\cdot 2+n\cdot 1 \\ 0=m\cdot \left( -2 \right)+n.4 \\ \end{matrix} \right. \)
$$ \Leftrightarrow \left( 5;0 \right)=\text{m}\cdot \left( 2;-2 \right)+\text{n}\cdot \left( 1;4 \right) $$
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m+n=5 \\ -2m+4n=0 \\ \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5n=5 \\ m=2n \\ \end{matrix} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n=1 \\ m=2 \\ \end{matrix} \right. \)
Vậy $$ \vec{c}=2\vec{a}+\vec{b} $$