PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ SỐ NGUYÊN. QUY TẮC DẤU NGOẶC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phép cộng hai số nguyên cùng dấu
a) Cộng hai số nguyên dương
Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.
b) Cộng hai số nguyên âm
Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.
Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó:
- Tổng của hai số nguyên dương là số nguyên dương.
- Tổng của hai số nguyên âm là số nguyên âm.
2. Phép cộng hai số nguyên khác dấu
Để cộng hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:
- Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.
- Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.
Chú ý:
- Hai số nguyên đối nhau luôn có tổng bằng 0.
- Số đối của 0 là chính nó.
Khi cộng hai số nguyên trái dấu:
- Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.
- Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng 0.
- Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.
4. Tính chất của phép cộng các số nguyên
Phép cộng các số nguyên có các tính chất sau:
- Giao hoán: \(a+b=b+a\)
- Kết hợp: \((a+b)+c=a+(b+c)\)
- Cộng với số 0: \(a+0=0+a=a\)
- Cộng với số đối: \(a+(-a)=(-a)+a=0\)
5. Phép trừ số nguyên
- Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b: \(a-b=a+(-b)\) .
- Phép trừ trong N không phải bao giờ cũng thực hiện được, còn phép trừ trong Z luôn thực hiện được.
6. Quy tắc dấu ngoặc
- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.
\(\begin{array}{l} a + (b + c) = a + b + c\\ a + (b - c) = a + b - c \end{array}\)
- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc: dấu “+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+”.
\(\begin{array}{l} a - (b + c) = a - b - c\\ a - (b - c) = a - b + c \end{array}\)
B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI
Bài 14: Phép cộng và phép trừ số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Cộng hai số nguyên cùng dấu
Tìm tòi – khám phá 1:
Từ gốc O trên trục số, di chuyển sang trái 3 đơn vị đến điểm A (H3.10). Điểm A biểu diễn số nào?
Giải
Hình A biểu diễn số - 3.
Tìm tòi – khám phá 2:
Di chuyển tiếp sang trái thêm 5 đơn vị đến điểm B (H3.11). B chính là điểm biểu diễn kết quả của phép cộng \(\left( -3 \right)+\left( -5 \right)\) . Điểm B biểu diễn số nào? Từ đó suy ra giá trị của tổng \(\left( -3 \right)+\left( -5 \right)\) .
Giải
Điểm B biểu diễn số - 8.
Từ đó suy ra: \(\left( -3 \right)+\left( -5 \right)=-8\) .
Luyện tập 1:
Thực hiện các phép cộng sau: \(\left( -12 \right)+\left( -48 \right)\) ; \(\left( -236 \right)+\left( -1025 \right)\)
Giải
\(\left( -12 \right)+\left( -48 \right)=-\left( 12+48 \right)=-60\)
\(\left( -236 \right)+\left( -1025 \right)=-\left( 236+1025 \right)=-1261\)
Vận dụng 1: Sử dụng phép cộng hai số nguyên âm để giải bài toán sau:
Một chiếc tàu ngầm cần lặn (coi là theo phương thẳng đứng) xuống điểm A dưới đáy biển. Khi tàu đến điểm B ở độ cao – 135 m, máy đo báo rằng tàu còn cách A một khoảng 45 m. Hỏi điểm A nằm ở độ cao bao nhiêu mét?
Giải
Điểm A nằm ở độ cao là: \(\left( -135 \right)+\left( -45 \right)=-\left( 135+45 \right)=-180\left( m \right)\) .
2. Cộng hai số nguyên khác dấu
Câu hỏi:
Tìm số đối của \(4;-5;9;-11\) .
Giải
Số đối của 4 là – 4.
Số đối của – 5 là 5.
Số đối của 9 là – 9.
Số đối của – 11 là 11.
Luyện tập 2:
Tìm số đối của mỗi số 5 và – 2 rồi biểu diễn chúng trên cùng một trục số.
Giải
Số đối của 5 là – 5.
Số đối của – 2 là 2.
Tìm tòi – khám phá:
Một ngày tại Paris có nhiệt độ là \(-{{5}^{o}}C\) . Theo dự báo thời tiết ngày hôm sau tăng thêm \({{3}^{o}}C\) .
a) Hỏi nhiệt độ dự báo của ngày hôm sau sẽ là bao nhiêu?
b) Thực tế, nhiệt độ ngày hôm sau lại tăng thêm \({{8}^{o}}C\) . Hỏi nhiệt độ thực tế của ngày hôm sau là bao nhiêu?
Giải
a) Nhiệt độ dự báo của ngày hôm sau là: \(\left( -5 \right)+3=-\left( 5-3 \right)=-{{2}^{o}}C\) .
b) Nhiệt độ thực tế của ngày hôm sau là: \(\left( -5 \right)+8=8-5={{3}^{o}}C\) .
Tìm tòi – khám phá 3:
Từ điểm A biểu diễn số - 5 trên trục số di chuyển sang phải 3 đơn vị (H3.15) đến điểm B. Điểm B biểu diễn kết quả phép cộng nào?
Giải
Điểm B biểu diễn kết quả phép cộng: \(\left( -5 \right)+3\) .
Tìm tòi – khám phá 4:
Từ điểm A di chuyển sang phải 8 đơn vị (H3.16) đến điểm C. Điểm C biểu diễn kết quả của phép cộng nào?
Giải
Điểm C biểu diễn kết quả của phép cộng: \(\left( -5 \right)+8\) .
Luyện tập 3:
Thực hiện các phép tính: a) \(203+\left( -195 \right)\) ; b) \(\left( -137 \right)+86\)
Giải
a) \(203+\left( -195 \right)=203-195=8\)
b) \(\left( -137 \right)+86=-\left( 137-86 \right)=-51\)
Vận dụng 2: Sử dụng phép cộng hai số nguyên khác dấu để giải bài toán sau:
Một máy thăm dò đáy biển ngày hôm trước hoạt động ở độ cao – 946 m (so với mực nước biển). Ngày hôm sau người ta cho máy nổi lên 55 m so với hôm trước. Hỏi ngày hôm sau máy thăm dò đáy biển hoạt động ở độ cao nào?
Giải
Ngày hôm sau máy thăm dò đáy biển hoạt động ở độ cao là: \(\left( -946 \right)+55=-\left( 946-55 \right)=-891\left( m \right)\)
Tranh luận:
Bạn Tròn: Đố bạn: tổng của hai số nguyên khác dấu là số dương hay số âm?
Em hãy trả lời giúp vuông?
Giải
Ta có:
- Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.
- Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng 0.
- Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.
3. Tính chất của phép cộng
Tìm tòi – khám phá 5:
Tính và so sánh giá trị của \(a+b\) và \(b+a\) với \(a=-7,b=11\) .
Giải
\(\begin{array}{l} a + b = \left( { - 7} \right) + 11 = 11 - 7 = 4\\ b + a = 11 + \left( { - 7} \right) = 11 - 7 = 4\\ \Rightarrow a + b = b + a \end{array}\)
Tìm tòi – khám phá 6:
Tính và so sánh giá trị của \(\left( a+b \right)+c\) và \(a+\left( b+c \right)\) với \(a=2,b=-4,c=-6\) .
Giải
\(\begin{array}{l} \left( {a + b} \right) + c = \left[ {2 + \left( { - 4} \right)} \right] + \left( { - 6} \right) = \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) = - \left( {2 + 6} \right) = - 8\\ a + \left( {b + c} \right) = 2 + \left[ {\left( { - 4} \right) + \left( { - 6} \right)} \right] = 2 + \left[ { - \left( {4 + 6} \right)} \right] = 2 + \left( { - 10} \right) = - \left( {10 - 2} \right) = - 8\\ \Rightarrow \left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right) \end{array}\)
Luyện tập 4:
Tính một cách hợp lí:
a) \(\left( -2019 \right)+\left( -550 \right)+\left( -451 \right)\)
b) \(\left( -2 \right)+5+\left( -6 \right)+9\)
Giải
a) \(\left( -2019 \right)+\left( -550 \right)+\left( -451 \right)=\left[ \left( -2019 \right)+\left( -451 \right) \right]+\left( -550 \right)=\left( -2470 \right)+\left( -550 \right)=-3020\)
b) \(\left( -2 \right)+5+\left( -6 \right)+9=6\)
4. Trừ hai số nguyên
Tìm tòi – khám phá 7:
Nửa tháng đàu một cửa hàng bán lẻ lãi được 5 triệu đồng, nửa tháng sau bị lỗ 2 triệu đồng. Hỏi tháng đó cửa hàng lãi hay lỗ bao nhiêu triệu đồng?
Giải bài toán trên bằng hai cách:
Cách 1: Tính hiệu giữa số tiền lãi và số tiền lỗ.
Cách 2: Hiểu lỗ 2 triệu là “lãi” – 2 triệu để quy về tính tổng của hai số nguyên.
Giải
Cách 1: Hiệu giữa tiền lãi và tiền lỗ là: \(5-2=3\) . Vậy trong tháng cửa hàng đó lãi 3 triệu đồng.
Cách 2: Trong tháng cửa hàng lãi số tiền là: \(5+\left( -2 \right)=3\) (triệu đồng)
Tìm tòi – khám phá 8:
Hãy quan sát ba dòng đầu và dự đoán kết quả ở hai dòng cuối:
\(\begin{array}{l} 3 - 1 = 3 + \left( { - 1} \right)\\ 3 - 2 = 3 + \left( { - 2} \right)\\ 3 - 3 = 3 + \left( { - 3} \right)\\ 3 - 4 = ?\\ 3 - 5 = ? \end{array}\)
Giải
\(\begin{array}{l} 3 - 1 = 3 + \left( { - 1} \right)\\ 3 - 2 = 3 + \left( { - 2} \right)\\ 3 - 3 = 3 + \left( { - 3} \right)\\ 3 - 4 = 3 + \left( { - 4} \right) = - 1\\ 3 - 5 = 3 + \left( { - 5} \right) = - 2 \end{array}\)
Luyện tập 5:
Tính các hiệu sau:
a) \(5-\left( -3 \right)\)
b) \(\left( -7 \right)-8\)
Giải
a) \(5-\left( -3 \right)=5+3=8\)
b) \(\left( -7 \right)-8=-\left( 7+8 \right)=-15\)
Vận dụng 3:
Nhiệt đọ bên ngoài của một máy bay ở độ cao \[10\text{ }000\]m là \(-{{48}^{o}}C\) . Khi hạ cánh, nhiệt độ ở sân bay là \({{27}^{o}}C\) . Hỏi nhiệt độ bên ngoài của máy bay khi ở độ cao \[10\text{ }000\] m và khi hạ cánh chênh lệch bao nhiêu độ C?
Giải
Nhiệt độ bên ngoài của máy bay khi ở độ cao \[10\text{ }000\] m và khi hạ cánh chênh lệch số độ C là:
\(27-\left( -48 \right)=27+48={{75}^{o}}C\) .
Bài 15: Quy tắc dấu ngoặc (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Câu hỏi:
Viết tổng sau dưới dạng không có dấu ngoặc rồi tính giá trị của nó:
\(\left( -23 \right)-15-\left( -23 \right)+5+\left( -10 \right)\)
Giải
\(\left( -23 \right)-15-\left( -23 \right)+5+\left( -10 \right)=-23-15+23+5-10=-20\) .
Tìm tòi – khám phá 1:
Tính và so sánh kết quả của:
a) \(4+\left( 12-15 \right)\) và \(4+12-15\)
b) \(4-\left( 12-15 \right)\) và \(4-12+15\)
Giải
a) \(4+\left( 12-15 \right)=4+\left( -3 \right)=4-3=1\) ; \(4+12-15=16-15=1\Rightarrow 4+\left( 12-15 \right)=4+12-15\) .
b)
\(4-\left( 12-15 \right)=4-\left( -3 \right)=4+3=7;4-12+15=\left( -8 \right)+15=15-8=7\Rightarrow 4-\left( 12-15 \right)=4-12+15\)
Tìm tòi – khám phá 2:
Hãy nhận xét về sự thay đổi dấu của các số hạng trong dấu ngoặc trước và sau khi bỏ dấu ngoặc.
Giải
- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.
- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “-“ đằng trước, ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc: dấu “+” thành dấu “-“ và dấu “-“ thành dấu “+”.
Luyện tập 1:
Bỏ dấu ngoặc rồi tính các tổng sau:
a) \(\left( -385+210 \right)+\left( 385-217 \right)\)
b) \(\left( 72-1956 \right)-\left( -1956+28 \right)\)
Giải
a) \(\left( -385+210 \right)+\left( 385-217 \right)=-385+210+385-217=-7\)
b) \(\left( 72-1956 \right)-\left( -1956+28 \right)=72-1956+1956-28=44\)
Luyện tập 2:
Tính một cách hợp lí:
a) \(12+13+14-15-16-17\)
b) \(\left( 35-17 \right)-\left( 25-7+22 \right)\)
Giải
a) \(12+13+14-15-16-17=\left( 12-15 \right)+\left( 13-16 \right)+\left( 14-17 \right)=\left( -3 \right)+\left( -3 \right)+\left( -3 \right)=-9\)
b) \(\left( 35-17 \right)-\left( 25-7+22 \right)=35-17-25+7-22=\left( 35-25 \right)-\left( 17-7 \right)-22=10-10-22=-22\)
Thử thách nhỏ:
Cho bảng \(3\times 3\) ô vuông như Hình 3.17.
a) Biết rằng tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều bằng 0. Tính tổng các số trong bảng đó.
b) Hãy thay các chữ cái trong bảng bởi số thích hợp sao cho tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều bằng 0.
Giải
a) Vì tổng các số trong mỗi hàng đều bằng 0 nên tổng các số trong 3 hàng bằng 0 hay tổng các số trong bảng bằng 0.
b) Xét hàng 1: \(a+\left( -2 \right)+\left( -1 \right)=0\Rightarrow a=3\)
Xét cột thứ nhất: \(a+\left( -4 \right)+d=0\Rightarrow 3+\left( -4 \right)+d=0\Rightarrow d=1\)
Xét đường chéo: \(\left( -1 \right)+b+d=0\Rightarrow \left( -1 \right)+b+1=0\Rightarrow b=0\)
Xét hàng 2: \(\left( -4 \right)+b+c=0\Rightarrow \left( -4 \right)+0+c=0\Rightarrow c=4\)
Xét cột 2: \(\left( -2 \right)+b+e=0\Rightarrow \left( -2 \right)+0+e=0\Rightarrow e=2\)
Xét cột 3: \(\left( -1 \right)+c+g=0\Rightarrow \left( -1 \right)+4+g=0\Rightarrow g=-3\)
Vậy các chữ cái trong bảng được thay lần lượt bằng các số: \(\left( a,b,c,d,e,g \right)=\left( 3,0,4,1,2,-3 \right)\) .
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 14: Phép cộng và phép trừ số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Bài 3.9 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \(\left( -7 \right)+\left( -2 \right)=-9\)
b) \(\left( -8 \right)+\left( -5 \right)=-13\)
c) \(\left( -11 \right)+\left( -7 \right)=-18\)
d) \(\left( -6 \right)+\left( -15 \right)=-21\)
Bài 3.10 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \(6+\left( -2 \right)=6-2=4\)
b) \(9+\left( -3 \right)=9-3=6\)
c) \(\left( -10 \right)+4=-\left( 10-4 \right)=-6\)
d) \(\left( -1 \right)+8=8-1=7\)
Bài 3.11 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
Bài 3.12 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \(9-\left( -2 \right)=9+2=11\)
b) \(\left( -7 \right)-4=-\left( 7+4 \right)=-11\)
c) \(27-30=-3\)
d) \(\left( -63 \right)-\left( -15 \right)=-63+15=-\left( 63-15 \right)=-48\)
Bài 3.13 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) Sau một giờ hai ca nô cách nhau là: \(11-6=5\left( km \right)\)
b) Sau một giờ hai ca nô cách nhau là: \(11-\left( -6 \right)=17\left( km \right)\)
Bài 3.14 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) Hình mô tả phép tính: \(\left( -5 \right)+3\)
b) Hình mô tả phép tính: \(2-5\) .
Bài 3.15 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \(\left( -3 \right)+\left( -2 \right)=-5\)
b) \(\left( -8 \right)-7=-15\)
c) \(\left( -35 \right)+\left( -15 \right)=-50\)
d) \(12-\left( -8 \right)=20\)
Bài 3.16 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \(152+\left( -73 \right)-\left( -18 \right)-127=152-73+18-127=\left( 152+18 \right)-\left( 73+127 \right)=170-200=-30\)
b) \(7+8+\left( -9 \right)+\left( -10 \right)=\left[ 7+\left( -9 \right) \right]+\left[ 8+\left( -10 \right) \right]=\left( -2 \right)+\left( -2 \right)=-4\)
Bài 3.17 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \(\left( -156 \right)-x=\left( -156 \right)-\left( -26 \right)=-130\)
b) \(\left( -156 \right)-x=\left( -156 \right)-76=-232\)
c) \(\left( -156 \right)-x=\left( -156 \right)-\left[ \left( -28 \right)-\left( -143 \right) \right]=\left( -156 \right)-\left( -28+143 \right)=-156+28-143=-271\)
Bài 3.18 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 66)
a) \[\left( -\overline{6*} \right)+\left( -34 \right)=-100\Rightarrow -\overline{6*}=\left( -100 \right)-\left( -34 \right)\Rightarrow -\overline{6*}=-66\Rightarrow *=6\]
Vậy thay dấu * bằng số thích hợp là 6.
b) \(\left( -789 \right)+\overline{2**}=-515\Rightarrow \overline{2**}=-515-\left( -789 \right)\Rightarrow \overline{2**}=274\Rightarrow {{*}_{1}}=7;{{*}_{2}}=4\)
Vậy thay dấu * bằng số thích hợp lần lượt là 7 và 4.
Bài 15: Quy tắc dấu ngoặc (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Bài 3.19 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 68)
a) \(-321+\left( -29 \right)-142-\left( -72 \right)=-321-29-142+72=-420\)
b) \(214-\left( -36 \right)+\left( -305 \right)=214+36-305=-55\)
Bài 3.20 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 68)
a) \(21-22+23-24=\left( 21-22 \right)+\left( 23-24 \right)=\left( -1 \right)+\left( -1 \right)=-2\)
b) \(125-\left( 115-99 \right)=125-115+99=\left( 125-115 \right)+99=10+99=109\)
Bài 3.21 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 68)
a) \(\left( 56-27 \right)-\left( 11+28-16 \right)=56-27-11-28+16=6\)
b) \(28+\left( 19-28 \right)-\left( 32-57 \right)=28+19-28-32+57=\left( 28-28 \right)+19-32+57=44\)
Bài 3.22 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 68)
a) \(232-\left( 581+132-331 \right)=232-581-132+331=\left( 232-132 \right)-\left( 581-331 \right)=100-250=-150\)
b) \(\left[ 12+\left( -57 \right) \right]-\left[ \left( -57 \right)-\left( -12 \right) \right]=12-57+57-12=0\)
Bài 3.23 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 68)
a) \(\left( 23+x \right)-\left( 56-x \right)=\left( 23+7 \right)-\left( 56-7 \right)=30-49=-19\)
b) \(25-x-\left( 29+y-8 \right)=25-13-\left( 29+11-8 \right)=12-32=-20\)