SỐ NGUYÊN TỐ. HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Số nguyên tố. Hợp số
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.
- Số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
- Để chứng tỏ số tự nhiên a lớn hơn 1 là một hợp số, ta chỉ cần tìm một ước của a khác 1 và khác a.
- Nếu số nguyên tố p là ước của số tự nhiên a thì p được gọi là ước nguyên tố của a.
2. Cách tìm một ước nguyên tố của một số
Để tìm một ước nguyên tố của số a ta có thể làm như sau: Lần lượt thực hiện phép chia a cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Khi đó phép chia hết đầu tiên cho ta số chia là một ước nguyên tố của a.
3. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
Ta nên chia mỗi số cho ước nguyên tố nhỏ nhất của nó.
Cứ tiếp tục chia như thế cho đến khi được thương là 1.
Có hai phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố: Phương pháp phân tích theo sơ đồ cây và phương pháp phân tích theo sơ đồ cột.
Chú ý:
- Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.
- Mỗi số nguyên tố chỉ có một dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là chính số đó.
- Có thể viết gọn dạng phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách dùng lũy thừa.
- Thông thường, khi phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố, các ước nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần.
- Người ta quy ước dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.
- Ngoài cách làm như trên, ta cũng có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách viết số đó thành tích của hai thừa số một cách linh hoạt.
Nhận xét:
Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được cùng một kết quả.
B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI
Bài 10: Số nguyên tố. Hợp số (Sách cánh diều)
Hoạt động:
a) Tìm các ước của mỗi số sau: \(2,3,4,5,6,7,17,34\) .
b) Trong các số trên, những số nào có hai ước, những số nào có nhiều hơn hai ước?
Giải
a) Ư \(\left( 2 \right)=\left\{ 1;2 \right\}\)
Ư \(\left( 3 \right)=\left\{ 1;3 \right\}\)
Ư \(\left( 4 \right)=\left\{ 1;2;4 \right\}\)
Ư \(\left( 5 \right)=\left\{ 1;5 \right\}\)
Ư \(\left( 6 \right)=\left\{ 1;2;3;6 \right\}\)
Ư \(\left( 7 \right)=\left\{ 1;7 \right\}\)
Ư \(\left( 17 \right)=\left\{ 1;17 \right\}\)
Ư \(\left( 34 \right)=\left\{ 1;2;17;34 \right\}\)
b) Trong các số trên:
- Số có hai ước là: \(2,3,5,7,17\) .
- Số có nhiều hơn hai ước là: \(4,6,34\) .
Luyện tập vận dụng 1:
Cho các số \(11,29,35,38\) . Trong các số đó:
a) Số nào là số nguyên tố? Vì sao?
b) Số nào là hợp số? Vì sao?
Giải
a) Các số 11 và 29 là số nguyên tố vì chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
b) Các số 35 và 38 là hợp số vì nó có nhiều hơn hai ước.
Luyện tập vận dụng 2:
Tìm các ước nguyên tố của: \(23,24,26,27\) .
Giải
Ước nguyên tố của 23 là 23
Ước nguyên tố của 24 là 3
Ước nguyên tố của 26 là 13
Ước nguyên tố của 27 là 3
Luyện tập vận dụng 3:
Viết hai số chỉ có ước nguyên tố là 3.
Giải
Hai số chỉ có ước nguyên tố là 3 là 24 và 27.
Bài 11: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố (Sách Cánh diều)
I. Cách tìm một ước nguyên tố của một số
Hoạt động 1:
a) Hãy nêu các số nguyên tố nhỏ hơn 30.
b) Tìm một ước nguyên tố của 91.
Giải
a) Các số nguyên tố nhỏ hơn 30 là: \(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29\) .
b) Một ước nguyên tố của 91 là 7.
Luyện tập vận dụng 1:
Tìm một ước nguyên tố của 187.
Giải
Một ước nguyên tố của 187 là 11.
II. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Hoạt động 2:
Viết số 12 thành tích của các thừa số nguyên tố.
Giải
\(12={{2}^{2}}.3\)
Luyện tập vận dụng 2:
Phân tích số 40 ra thừa số nguyên tố bằng cách viết “rẽ nhánh” và “theo cột dọc”.
Giải
Luyện tập vận dụng 3:
Phân tích số 450 ra thừa số nguyên tố.
Giải
Bài 10: Số nguyên tố (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Số nguyên tố và hợp số
Tìm tòi – khám phá 1:
Tìm các ước và số ước của các số trong Bảng 2.1
| Số | Các ước | Số ước |
| 2 | ? | ? |
| 3 | ? | ? |
| 4 | ? | ? |
| 5 | ? | ? |
| 6 | ? | ? |
| 7 | ? | ? |
| 8 | ? | ? |
| 9 | ? | ? |
| 10 | \(1;2;5;10\) | 4 |
| 11 | \(1;11\) | 2 |
Giải
| Số | Các ước | Số ước |
| 2 | \(1;2\) | 2 |
| 3 | \(1;3\) | 2 |
| 4 | \(1;2;4\) | 3 |
| 5 | \(1;5\) | 2 |
| 6 | \(1;2;3;6\) | 4 |
| 7 | \(1;7\) | 2 |
| 8 | \(1;2;4;8\) | 4 |
| 9 | \(1;3;9\) | 3 |
| 10 | \(1;2;5;10\) | 4 |
| 11 | \(1;11\) | 2 |
Tìm tòi – khám phá 2:
Hãy chia các số trong bảng 2.1 thành hai nhóm: nhóm A gồm các số chỉ có hai ước, nhóm B gồm các số có nhiều hơn hai ước.
Giải
Nhóm A bao gồm các số: \(2;3;5;7;11\)
Nhóm B bao gồm các số: \(4;6;8;9;10\) .
Tìm tòi – khám phá 3:
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi:
a) Số 1 có bao nhiêu ước?
b) Số 0 có chia hết cho \(2;5;7;2017;2018\) không? Em có nhận xét gì về số ước của 0?
Giải
a) Số 1 có 1 ước.
b) Số 9 chia hết cho \(2;5;7;2017;2018\) . Số 0 có vô số ước.
Luyện tập 1:
Em hãy tìm nhà thích hợp cho các số trong bảng 2.1.
Giải
Số nguyên tố: \(11,13,17,19,23,...\)
Hợp số: \(10,12,14,15,16,18,20,21,...\)
Luyện tập 2:
Trong các số cho dưới đây, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số? Vì sao?
a) \(1930\)
b) \(23\)
Giải
a) Vì \(1930\) có tận cùng là 0 nên \(1930\) chia hết cho 2.
Vậy \(1930\) có nhiều hơn 2 ước nên \(1930\) là hợp số.
b) Vì 23 chỉ có hai ước là 1 và chính nó nên 23 là số nguyên tố.
Thử thách nhỏ:
Bạn Hà đang ở ô tìm đường đến phòng chiếu phim. Biết rằng chỉ có thể đi từ một ô sang ô chung cạnh có chứa số nguyên tố. Em hãy giúp Hà đến được phòng chiếu phim nhé.
Giải
Thứ tự các ô bạn đi qua để đến được phòn chiếu phim là: \(7;19;13;11;23;29;31;41;17\) .
2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Câu hỏi:
Bạn Việt phân tích số 60 ra thừa số nguyên tố và cho kết quả \(60=3.4.5\) . Kết quả của Việt đúng hay sai? Nếu sai, em hãy sửa lại cho đúng?
Giải
Kết quả của bạn Việt sai vì các 4 không phải là số nguyên tố.
Sửa lại: \(60=2.2.3.5={{2}^{2}}.3.5\) .
Tranh luận:
Bạn nào đúng nhỉ?
Bạn Tròn: Số 7 không phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố.
Bạn Vuông: Phân tích ra thừa số nguyên tố của 7 là 7.
Giải
Bạn Vuông đúng.
Vì dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.
Câu hỏi:
Tìm các số còn thiếu trong phân tích số 18 ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cây ở Hình 2.3.
Giải
\(18=3.6=3.\left( 2.3 \right)\)
Luyện tập 3:
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố theo sơ đồ cột:
a) \(36\) .
b) \(105\) .
Giải
Bài 10: Số nguyên tố. Hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố (Sách Chân trời sáng tạo)
1. Số nguyên tố. Hợp số
Hoạt động khám phá:
a) Tìm tất cả các ước của các số từ 1 đến 10.
b) Sắp xếp các số từ 1 đến 10 thành 3 nhóm:
- Nhóm 1 bao gồm các số chỉ có một ước.
- Nhóm 2 bao gồm các số chỉ có hai ước khác nhau.
- Nhóm 3 bao gồm các số có nhiều hơn hai ước khác nhau.
Giải
a) Tất cả các ước của các số từ 1 đến 10 là:
Ư \(\left( 1 \right)=1\)
Ư \((2)=\left\{ 1,2 \right\}\)
Ư \(\left( 3 \right)=\left\{ 1,3 \right\}\)
Ư \(\left( 4 \right)=\left\{ 1,2,4 \right\}\)
Ư \(\left( 5 \right)=\left\{ 1,5 \right\}\)
Ư \(\left( 6 \right)=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)
Ư \(\left( 7 \right)=\left\{ 1,7 \right\}\)
Ư \(\left( 8 \right)=\left\{ 1,2,4,8 \right\}\)
Ư \((9)=\left\{ 1,3,9 \right\}\)
Ư \(\left( 10 \right)=\left\{ 1,2,5,10 \right\}\)
b) Nhóm 1 bao gồm số 1.
Nhóm 2 bao gồm số 2, 3, 5, 7.
Nhóm 3 bao gồm số 4, 6, 8, 9, 10.
Thực hành 1:
a) Trong các số 11; 12; 25, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số? Vì sao?
b) Lan nói rằng: “Nếu một số tự nhiên không là số nguyên tố thì nó phải là hợp số”. Em có đồng ý với Lan không? Vì sao?
Giải
a) Ta có: Ư \(\left( 11 \right)=\left\{ 1,11 \right\}\Rightarrow \) 11 là số nguyên tố
Ư \(\left( 12 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,12 \right\}\Rightarrow \) 12 là hợp số
Ư \(\left( 25 \right)=\left\{ 1,5,25 \right\}\Rightarrow \) 25 là hợp số
b) Em không đồng ý với bạn. Vì số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.
2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Thực hành 2:
Phân tích số 60 ra thừa số nguyên tố theo cột dọc.
Giải
Thực hành 3:
Tìm các số tự nhiên lớn hơn 1 để thay thế dấu 
trong ô vuông ở mỗi sơ đồ cây dưới đây, rồi viết gọn dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số 18, 42, 280 bằng cách dùng lũy thừa.
Giải
a) \(18=2.3.3={{2.3}^{2}}\)
b) \(42=2.3.7\)
c) \(280=2.2.2.5.7={{2}^{3}}.5.7\)
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 10: Số nguyên tố. Hợp số (Sách cánh diều)
Bài 1. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 42)
a) Số 37 là số nguyên tố vì nó có 2 ước là 1 và chính nó
b) Số 36, 69, 75 là hợp số vì nó có nhiều hơn 2 ước
Bài 2. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 42)
Số nguyên tố lớn hơn 40 và nhỏ hơn 50 là 43
Bài 3. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 42)
a) Sai. Vì số 0 và số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp số
b) Sai. Vì số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
c) Đúng
d) Đúng
Bài 4. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 42)
Các ước nguyên tố của 36 là: 2, 3
Ước nguyên tố của 49 là: 7
Các ước nguyên tố của 70 là: 2, 5, 7
Bài 5. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 42)
a) Ba số chỉ có ước nguyên tố là 2 là 2, 8, 16
b) Ba số chỉ có ước nguyên tố là 5 là 5, 25, 125
Bài 6. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 43)
Cách tìm số nguyên tố của bạn An là đúng.
Bài 11: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố (Sách Cánh diều)
Bài 1. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 46)
\(\begin{array}{l} 45 = 3.3.15\\ 78 = 2.3.13\\ 270 = 2.3.3.3.15\\ 299 = 13.23 \end{array}\)
Bài 2. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 46)
\(\begin{array}{l} 800 = {2^5}{.5^2}\\ 3200 = {2^7}{.5^2} \end{array}\)
Bài 3. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 46)
a) \(270={{2.3}^{3}}.5;900={{2}^{2}}{{.3}^{2}}{{.5}^{2}}\)
b) \(180={{2}^{2}}{{.3}^{3}}.5;600={{2}^{3}}{{.3.5}^{2}}\)
Bài 4. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 46)
Hai số tự nhiên mà mỗi số đó có đúng ba ước nguyên tố là 24 và 30
Bài 5. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 46)
Ta có: \(84={{2}^{2}}.3.7\)
Ư (84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}
Bài 10: Số nguyên tố (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
Bài 2.17 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 41)
\(\begin{array}{l} 70 = 2.5.7\\ 115 = 5.23 \end{array}\)
Bài 2.18 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 41)
Kết quả của bạn Nam là sai. Sửa:
\(\begin{array}{l} 120 = {2^3}.3.5\\ 102 = 2.3.17 \end{array}\)
Bài 2.19 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 41)
a) Sai. Số 6 là hợp số.
b) Sai. Tích của một số nguyên tố bất kì với số nguyên tố 2 là số chẵn.
c) Đúng. Vì số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và mọi số chẵn đều chia hết cho 2.
d) Sai. Vì số 3 là bội của 3 nhưng không phải hợp số.
e) Sai. Vì số 2 là số chẵn nhưng là số nguyên tố.
Bài 2.20 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 42)
Các số nguyên tố là: \(89;97;541\) .
Các hợp số là: \(125;2013;2018\) .
Bài 2.21 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 42)
\(\begin{array}{l} A = {4^4}{.9^5}\\ A = \left( {4.4.4.4} \right).\left( {9.9.9.9.9} \right)\\ A = \left( {{2^2}{{.2}^2}{{.2}^2}{{.2}^2}} \right).\left( {{3^2}{{.3}^2}{{.3}^2}{{.3}^2}{{.3}^2}} \right)\\ A = {2^{2 + 2 + 2 + 2}}{.3^{2 + 2 + 2 + 2 + 2}}\\ A = {2^8}{.3^{10}} \end{array}\)
Bài 2.22 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 42)
Bài 2.23 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 42)
Ta có: \(30=2.3.5\)
Vậy cô giáo có thể chia nhóm như sau:
Số nhóm | Số người một nhóm |
2 | 15 |
3 | 10 |
5 | 6 |
6 | 5 |
10 | 3 |
15 | 2 |
Bài 2.24 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 42)
Có 2 cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng sao cho mỗi hàng có số người như nhau:
- Xếp 33 người thành 3 hàng, mỗi hàng 22 người.
- Xếp 33 người thành 11 hàng, mỗi hàng 3 người.
Bài 10: Số nguyên tố. Hợp số. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố (Sách Chân trời sáng tạo)
Bài 1. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 33)
a) \[213\] có hai ước là 1 và chính nó nên 213 là số nguyên tố.
b) \[245\] có nhiều hơn hai ước nên 245 là hợp số.
c) \[3\text{ }747\] có hai ước là 1 và chính nó nên 3747 là số nguyên tố.
d) 67 có hai ước là 1 và chính nó nên 67 là số nguyên tố.
Bài 2. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 33)
Vì số 37 là số nguyên tố nên chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
Vậy các bạn không thể xếp thành các hàng có cùng số bạn để được một khối hình chữ nhật có ít nhất là hai hàng.
Bài 3. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 34)
a) Hai số tự nhiên liên tiếp đều là số nguyên tố là 2 và 3.
b) Ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là 3, 5 và 7.
Bài 4. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 34)
a) Sai. Tích của hai số nguyên tố 2 và 5 là một số chẵn.
b) Đúng. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất nên tích của hai số nguyên tố có thể là số chẵn nếu một trong hai số bằng 2.
c) Sai. Vì tích hai số nguyên tố ngoài ước là 1 và chính nó thì có hai ước khác là hai số nguyên tố vừa lấy tích.
Bài 5. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 34)
a) \(80=2.2.2.2.5={{2}^{4}}.5\Rightarrow \) 80 chia hết cho các số nguyên tố 2 và 5.
b) \(120=2.2.2.3.5={{2}^{3}}.3.5\Rightarrow \) 120 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5.
c) \(225=3.3.5.5={{3}^{2}}{{.5}^{2}}\Rightarrow \) 225 chia hết cho các số nguyên tố 3 và 5.
d) \(400=2.2.2.2.5.5={{2}^{4}}{{.5}^{2}}\Rightarrow \) 400 chia hết cho các số nguyên tố 2 và 5.
Bài 6. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 34)
a) \(30=2.3.5\Rightarrow \) Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ 1;2;3;5;6;10;15;30 \right\}\)
b) \(225=3.3.5.5={{3}^{2}}{{.5}^{2}}\Rightarrow \) Ư \(\left( 225 \right)=\left\{ 1,3,5,9,15,25,45,75,225 \right\}\)
c) \(210=2.3.5.7\Rightarrow \) Ư \(\left( 210 \right)=\left\{ 1;2;3;5;6;7;10;14;15;21;30;35;42;70;105;210 \right\}\)
d) \(242=2.11.11={{2.11}^{2}}\Rightarrow \) Ư \(\left( 242 \right)=\left\{ 1,2,11,22,121,242 \right\}\)
Bài 7. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 34)
Ư \(\left( a \right)=\left\{ 4,7,9,21,24 \right\}\) .
Bài 8. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 34)
Diện tích khay hình vuông cạnh 60 cm là: \(S=60.60=3600\left( c{{m}^{2}} \right)\)
Diện tích một chiếc bánh chưng là: \(s=15.15=225\left( c{{m}^{2}} \right)\)
Ta có: \(3600:225=16\Rightarrow 3600\vdots 225\)
\(\Rightarrow \) Bình có thể dùng những chiếc bánh chưng để xếp vừa khít vào khay.