SỐ NGUYÊN ÂM. TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN. THỨ TỰ TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Làm quen với số nguyên âm
Các số -1, -2, -3, ... là các số nguyên âm. Số nguyên âm được nhận biết bằng dấu “-“ ở trước số tự nhiên khác 0.
Số nguyên âm được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn cuộc sống:
- Số nguyên âm được dùng để chỉ nhiệt độ dưới \({{0}^{o}}C\) .
- Số nguyên âm được dùng để chỉ độ cao dưới mực nước biển.
- Số nguyên âm được dùng để chỉ số tiền nợ, cũng như để chỉ số tiền lỗ trong kinh doanh.
- Số nguyên âm được dùng để chỉ thời gian trước công nguyên.
2. Tập hợp Z các số nguyên
- Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.
- Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.
- Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là \(\mathbb{Z}\) .
Chú ý:
- Số 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.
- Các số nguyên dương 1, 2, 3, ... đều mang dấu “+” nên còn được viết là +1, +2, +3, ...
3. Biểu diễn số nguyên trên trục số
Ta có thể biểu diễn số nguyên trên trục số. Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a.
Có hai loại trục số như sau:
a) Trục số nằm ngang có:
- Chiều dương hướng từ trái sang phải (được đánh dấu bằng mũi tên)
- Điểm gốc của trục số là điểm 0 (biểu diễn số 0)
- Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1 (biểu diễn số 1 và nằm bên phải điểm 0)
b) Trục số thẳng đứng:
- Chiều dương hướng từ dưới lên trên (được đánh dấu bằng mũi tên)
- Điểm gốc của trục số là điểm 0 (biểu diễn số 0)
- Đơn vị đo độ dài trên trục số là độ dài đoạn thẳng nối điểm 0 với điểm 1 (biểu diễn số 1 và nằm phía trên điểm 0)
Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0.
Trên trục số thẳng đứng, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm phía dưới điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm phía trên điểm 0.
Chú ý. Khi nói “trục số” mà không nói gì thêm, ta hiểu là nói về trục số nằm ngang.
4. Số đối của một số nguyên
Trên trục số, hai số nguyên (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của gốc 0 và cách đều gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.
Số đối của 0 là 0.
5. So sánh các số nguyên
a) So sánh hai số nguyên
Trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.
Trên trục số thẳng đứng, nếu điểm a nằm phía dưới điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.
Nếu a nhỏ hơn b thì ta viết là \(a < b\) hoặc \(b>a\) .
- Số nguyên dương luôn lớn hơn số 0. Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số 0. Do đó số nguyên âm nhỏ hơn mọi số nguyên dương.
- Nếu \(a < b\) và \(b < c\)thì \(a < c\)
- Kí hiệu \(a\le b\) có nghĩa là \(a < b\) hoặc \(a=b\) .
b) Cách so sánh hai số nguyên
- So sánh hai số nguyên khác dấu:
Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số nguyên dương.
- So sánh hai số nguyên cùng dấu:
Để so sánh hai số nguyên âm, ta làm như sau:
Bước 1. Bỏ dấu “-“ trước cả hai số âm
Bước 2. Trong hai số nguyên dương nhận được, số nào nhỏ hơn thì số nguyên âm ban đầu (tương ứng) sẽ lớn hơn.
B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI
Bài 1: Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên (Sách Chân trời sáng tạo)
1. Làm quen với số âm
Hoạt động khám phá 1:
a) Quan sát nhiệt kế trong hình a.
- Hãy đọc các chỉ số nhiệt độ (độ C) ở trên mực số 0.
- Hãy cho biết các số chỉ nhiệt độ ở dưới mực số 0 mang dấu gì.
b) Quan sát Hình b, em thấy các bậc thang có độ cao mang dấu trừ thì nằm ở trên hay ở dưới mực nước?
c) Hãy cho biết những phép tính nào sau đây không thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên: \(4+3;4-3;2+5;2-5\)
Giải
a) Các số chỉ nhiệt độ trên mực số 0 là: \({{10}^{o}}C;{{20}^{o}}C;{{30}^{o}}C;{{40}^{o}}C;{{50}^{o}}C\)
Các số chỉ nhiệt độ ở dưới mực số 0 mang dấu âm (-).
b) Các bậc thang có độ cao mang dấu trừ thì nằm ở dưới mực nước.
c) Những phép tính thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên là: \(4+3;2+5\) .
Thực hành 1:
Hãy đọc các số nguyên âm chỉ nhiệt độ dưới \({{0}^{o}}C\) sau đây: \(-{{4}^{o}}C;-{{10}^{o}}C;-{{23}^{o}}C\) .
Giải
\(-{{4}^{o}}C\) : âm bốn độ C
\(-{{10}^{o}}C\) : âm mười độ C
\(-{{23}^{o}}C\) : âm hai mươi ba độ C
2. Tập hợp số nguyên
Hoạt động khám phá 2:
Ta đã biết \(N=\left\{ 0,1,2,3,... \right\}\) là tập hợp số tự nhiên.
Còn \(Z=\left\{ ...;-3;-2;-1;0;1;2;3;... \right\}\) là tập hợp bao gồm các loại số nào?
Giải
Tập hợp Z là tập hợp bao gồm các số nguyên âm và các số tự nhiên.
Thực hành 2:
Các phát biểu sau đúng hay sai? Nếu sai hãy phát biểu lại cho đúng.
a) \(-4\in Z\)
b) \(5\in Z\)
c) \(0\in Z\)
d) \(-8\in N\)
e) \(6\in N\)
g) \(0\in N\)
Giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai. \(-8\in Z\)
e) Đúng
g) Đúng
Thực hành 3:
Hãy nói độ cao hoặc sâu của các địa danh sau:
| Đỉnh Phan-xi-păng | Đáy vịnh Cam Ranh | Đỉnh Everest (E-vơ-rét) | Đáy khe Mariana (ma-ri-a-na) | Đáy sông Sài Gòn |
| 3143m | -32m | 8848m | -10994m | -20m |
Giải
Đỉnh Phan-xi-păng cao ba nghìn một trăm bốn mươi ba mét.
Đáy vịnh Cam Ranh sâu ba mươi hai mét.
Đỉnh Everest (E-vơ-rét) cao tám nghìn tám trăm bốn mươi tám mét.
Đáy khe Mariana (ma-ri-a-na) sâu mười nghìn chín trăm chín mươi tư mét.
Đáy sông Sài Gòn sâu hai mươi mét.
Vận dụng:
a) Mẹ Lan bán rau ở chợ, Lan giúp mẹ ghi số tiền lãi, lỗ hàng ngày trong một tuần như sau:
| Ngày | 3/9 | 4/9 | 5/9 | 6/9 | 7/9 | 8/9 | 9/9 |
| Tiền lãi, lỗ | Lãi 200 nghìn đồng | Lỗ 50 nghìn đồng | Lãi 180 nghìn đồng | Lãi 90 nghìn đồng | Lỗ 80 nghìn đồng | Hòa vốn | Lãi 140 nghìn đồng |
Hãy nêu các số nguyên chỉ số tiền lãi, lỗ mỗi ngày trong tuần.
b) Một nhà giàn DK1 trên vùng biển Đông của Việt Nam có 3 tầng trên mặt nước và 3 phần hệ thống chân đỡ có độ cao như sau:
| Bộ phận nhà giàn | Phần 3 chân đỡ | Phần 2 chân đỡ | Phần 1 chân đỡ | Tầng 1 | Tầng 2 | Tầng 3 |
| Độ cao | Dưới mực nước biển 15 m | Dưới mực nước biển 9 m | Dưới mực nước biển 4 m | Trên mực nước biển 8 m | Trên mực nước biển 18 m | Trên mực nước biển 25 m |
Hãy nêu các số nguyên chỉ độ cao của mỗi bộ phận nhà giàn.
Giải
a) Các số nguyên chỉ số tiền lãi mỗi ngày là: \(200;180;90;140\) (nghìn đồng)
Các số nguyên chỉ số tiền lỗ mỗi ngày trong tuần là: \(50;80\) (nghìn đồng)
Số nguyên chỉ số tiền hòa vốn (không lãi, không lỗ) là 0 (nghìn đồng).
b) Các số nguyên chỉ độ cao của mỗi bộ phận nhà giàn lần lượt là: \(-15;-9;-4;8;18;25\left( m \right)\)
3. Biểu diễn số nguyên trên trục số
Hoạt động khám phá 3:
Em hãy vẽ vào vở theo hương dẫn sau:
- Vẽ một đường thẳng nằm ngang, trên đó đánh dấu các điểm cách đều nhau như trong hình.
- Chọn một điểm để ghi số 0 và gọi điểm đó là điểm 0, các điểm bên phải điểm 0 biểu diễn các số nguyên dương và được ghi là \(1;2;3;...\) . Các điểm bên trái điểm 0 biểu diễn các số nguyên âm và được ghi là \(-1;-2;-3;...\)
Chẳng hạn, để ghi số 3, ta di chuyển ba vạch về phía bên phải số 0; để ghi số -4, ta di chuyển bốn vạch về bên trái số 0.
Giải
Thực hành 4:
Hãy vẽ một trục số rồi biểu diễn các số \(-1;-5;1;5;-4\) trên trục số đó.
Giải
4. Số đối của một số nguyên
Hoạt động khám phá 4:
Trên trục số, mỗi điểm -6; 6 cách điểm 0 bao nhiêu đơn vị?
Giải
Điểm -6 cách điểm 0 sáu đơn vị.
Điểm 6 cách điểm 0 sáu đơn vị.
Thực hành 5:
Tìm số đối của mỗi số sau: \(5;-4;-10;2020\) .
Giải
Số đối của 5 là -5.
Số đối của -4 là 4.
Số đối của -10 là 10.
Số đối của 2020 là -2020.
Bài 2: Thứ tự trong tập hợp số nguyên (Sách Chân trời sáng tạo)
1. So sánh hai số nguyên
Hoạt động khám phá 1:
Nhiệt độ trung bình trong tháng Một tại hai địa điểm: Vostok (Vô-xtốc) và Ottawa (Ốt-ta-oa) lần lượt là \(-{{31}^{o}}C\) và \(-{{7}^{o}}C\) . Theo em, trong tháng Một, nơi nào lạnh hơn?
Giải
Vì \(-31<-7\Rightarrow \) Nhiệt độ tại Vostok lạnh hơn tại Ottawa.
Thực hành:
So sánh các cặp số nguyên sau:
a) -10 và -9
b) 2 và -15
c) 0 và -3
Giải
a \(-10<-9\)
b) \(2>-15\)
c) \(0>-3\)
Vận dụng 1:
Cho ba số nguyên a, b, c và biết: \(a>2;b<-7;-1 .
Hỏi trong các số nói trên, số nào là số nguyên dương, số nào là số nguyên âm và số nào bằng 0?
Giải
Số a là số nguyên dương.
Số b là số nguyên âm.
Số c bằng 0.
2. Thứ tự trong tập hợp số nguyên
Hoạt động khám phá 2:
Sắp xếp các số \(-5;4;-2;0;2\) theo thứ tự tăng dần.
Giải
Các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: \(-5;-2;0;2;4\) .
Vận dụng 2:
Một số sinh vật biển sống gần mặt nước, trong khi đó một số khác lại sống rất sâu dưới đáy đại dương. Hãy sắp xếp các sinh vật biển sau theo thứ tự giảm dần độ cao của môi trường sống.
Sinh vật biển | Cá hố | Cá cờ xanh | Sao biển | Cá đèn |
Độ cao của môi trường sống (m) | -1000 | -180 | -6000 | -4000 |
Giải
Các sinh vật biển theo thứ tự giảm dần độ cao của môi trường sống là cá cờ xanh, cá hố, cá đèn, sao biển.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1: Số nguyên âm và tập hợp các số nguyên (Sách Chân trời sáng tạo)
Bài 1. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 54)
a) 5
b) -2
c) 1
d) -2
Bài 2. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 54)
a) Đúng
b) Sai. \(-6\in \mathbb{Z}\)
c) Đúng
d) Đúng
e) Đúng
f) Đúng
Bài 3. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 54)
Bài 4. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 54)
Bài 5. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 54)
Điểm -2 biểu diễn số âm 2.
Điểm 2 biểu diến số 2.
Bài 6. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 54)
Số | Số đối |
-5 | 5 |
-10 | 10 |
4 | -4 |
-4 | 4 |
0 | 0 |
-100 | 100 |
2021 | -2021 |
Bài 2: Thứ tự trong tập hợp số nguyên (Sách Chân trời sáng tạo)
Bài 1. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 57)
a) \(6>5\)
b) \(-5<0\)
c) \(-6<5\)
d) \(-8<-6\)
e) \(3>-10\)
g) \(-2>-5\)
Bài 2. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 57)
Số | Số đối |
5 | -5 |
-4 | 4 |
-1 | 1 |
0 | 0 |
10 | -10 |
-2121 | 2121 |
Bài 3. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 57)
Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: \(-8;-6;-4;-2;0;2;4;6;8\) .
Bài 4. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 57)
a \(A=\left\{ -3;-2 \right\}\)
b) \(B=\left\{ -1;0;1;2 \right\}\)
c) \(C=\left\{ -2;-1 \right\}\)
d) \(D=\left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}\)
Bài 5. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 57)
Sắp xếp theo thứ tự từ thấp đến cao nhiệt độ mùa đông tại các địa điểm là:
\(-{{51}^{o}}C;-{{15}^{o}}C;-{{2}^{o}}C;{{8}^{o}}C;{{12}^{o}}C\) .