PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA HAI SỐ NGUYÊN. ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA HAI SỐ NGUYÊN. ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Phép nhân hai số nguyên khác dấu

Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau rồi đặt dấu “-“ trước kết quả nhận được.

Nếu \(m,n\in N*\) thì \(m.\left( -n \right)=\left( -n \right).m=-\left( m.n \right)\) .

Tích của hai số nguyên khác dấu luôn là số nguyên âm.

2. Phép nhân hai số nguyên cùng dấu

a) Phép nhân hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0.

b) Phép nhân hai số nguyên âm

Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau.

Nếu \(m,n\in N*\) thì \(\left( -m \right).\left( -n \right)=\left( -n \right).\left( -m \right)=m.n\) .

Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn là số nguyên dương.

Chú ý: Cách nhận biết dấu của tích:

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Giống như phép nhân các số tự nhiên, phép nhân các số nguyên cũng có các tính chất sau:

- Giao hoán: \(a.b=b.a\)

- Kết hợp: \(a.\left( b.c \right)=\left( a.b \right).c\)

- Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \(a.\left( b+c \right)=a.b+a.c\)

- Phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ: \(a.\left( b-c \right)=a.b-a.c\)

- Tích của một số nguyên với 0 luôn bằng 0: \(a.0=0.a=0\)

Nếu \(a.b=0\) thì hoặc \(a=0\) hoặc \(b=0\)

4. Phép chia hết hai số nguyên khác dấu

Để chia hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “-“ trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại.

Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1.

Bước 3. Thêm dấu “-“ trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.

5. Phép chia hết cho hai số nguyên cùng dấu

a) Phép chia hết cho hai số nguyên dương

Ta đã biết phép chia hết một số nguyên dương cho một số nguyên dương.

b) Phép chia hết hai số nguyên âm

Để chia hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “-“ trước mỗi số.

Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.

Chú ý:

- Cách nhận biết dấu của thương:

- Thứ tự thực hiện các phép tính với số nguyên (trong biểu thức không chứa dấu ngoặc hoặc có chứa dấu ngoặc) cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính với số tự nhiên.

6. Quan hệ chia hết

Cho hai số nguyên a, b với \(b\ne 0\) . Nếu có số nguyên q sao cho \(a=b.q\) thì ta nói:

+, a chia hết cho b

+, a là bội của b

+, b là ước của a

Nếu a là bội của b thì –a cũng là bội của b.

Nếu b là ước của a thì –b cũng là ước của a.

Để tìm các ước của số nguyên a, ta tìm các ước dương của a cùng với các số đối của chúng.

B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI

Bài 5: Phép nhân các số nguyên (Sách Cánh diều)

I. Phép nhân hai số nguyên khác dấu

Hoạt động 1:

a) Hoàn thành phép tính: \(\left( -3 \right).4=\left( -3 \right)+\left( -3 \right)+\left( -3 \right)+\left( -3 \right)=?\)

b) So sánh \(\left( -3 \right).4\) và \(-\left( 3.4 \right)\)

Giải

a) \(\left( -3 \right).4=\left( -3 \right)+\left( -3 \right)+\left( -3 \right)+\left( -3 \right)=-12\) .

b) Ta có: \(\left( -3 \right).4=-12;-\left( 3.4 \right)=-12\Rightarrow \left( -3 \right).4=-\left( 3.4 \right)\) .

Luyện tập vận dụng 1:

Tính:

a) \(\left( -7 \right).5\)

b) \(11.\left( -13 \right)\)

Giải

a) \((-7).5=-(7.5)=-35\)

b) \(11.(-13)=-(11.13)=-143\)

II. Phép nhân hai số nguyên cùng dấu

1. Phép nhân hai số nguyên dương

2. Phép nhân hai số nguyên âm

Hoạt động 2:

a) Quan sát kết quả của ba tích đầu, ở đó mỗi lần ta giảm 1 đơn vị ở thừa số thứ hai. Tìm kết quả của hai tích cuối.

b) So sánh \(\left( -3 \right).\left( -2 \right)\) và \(3.2\)

Giải

a) \(\left( -3 \right).\left( -1 \right)=3;\left( -3 \right).\left( -2 \right)=6\) .

b) \(\left( -3 \right).\left( -2 \right)=6;3.2=6\Rightarrow \left( -3 \right).\left( -2 \right)=3.2\) .

Luyện tập vận dụng 2:

Tính giá trị của biểu thức trong mỗi trường hợp sau:
a) \(-6x-12\) với \(x=-2\)

b) \(-4y+20\) với \(y=-8\)

Giải

a) \(-6x-12=-6.(-2)-12=12-12=0\)

b) \(-4y+20=-4.(-8)+20=32+20=52\)

III. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Hoạt động 3:

Tình và so sánh kết quả:

a) \(\left( -4 \right).7\) và \(7.\left( -4 \right)\)

b) \(\left[ \left( -3 \right).4 \right].\left( -5 \right)\) và \(\left( -3 \right).\left[ 4.\left( -5 \right) \right]\)

c) \(\left( -4 \right).1\) và \(-4\)

d) \(\left( -4 \right).\left( 7+3 \right)\) và \(\left( -4 \right).7+\left( -4 \right).3\)

Giải

a) \(\left( -4 \right).7=-28;7.\left( -4 \right)=-28\)

\(\Rightarrow \left( -4 \right).7=7.\left( -4 \right)\)

b) \(\left[ \left( -3 \right).4 \right].\left( -5 \right)=\left( -12 \right).\left( -5 \right)=60;\left( -3 \right).\left[ 4.\left( -5 \right) \right]=\left( -3 \right).\left( -20 \right)=60\)

\(\Rightarrow \left[ \left( -3 \right).4 \right].\left( -5 \right)=\left( -3 \right).\left[ 4.\left( -5 \right) \right]\)

c) \(\left( -4 \right).1=-4\)

\(\Rightarrow \left( -4 \right).1=-4\)

d) \(\left( -4 \right).\left( 7+3 \right)=\left( -4 \right).10=-40;\left( -4 \right).7+\left( -4 \right).3=\left( -28 \right)+\left( -12 \right)=-40\)

\(\Rightarrow \left( -4 \right).\left( 7+3 \right)=\left( -4 \right).7+\left( -4 \right).3\)

Luyện tập vận dụng 3:

Tính một cách hợp lí:

a) \(\left( -6 \right).\left( -3 \right).\left( -5 \right)\)

b) \(41.81-41.\left( -19 \right)\)

Giải

a) \((-6).(-3).(-5)=-(6.3.5)=-90\)

b) \(41.81-41.(-19)=41.[81-(-19)]=41.[81+19]=41.100=4100\)

Bài 6: Phép chia hết hai số nguyên. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên (Sách Cánh diều)

I. Phép chia hết hai số nguyên khác dấu

Hoạt động 1:

a) Tìm số thích hợp cho \(?\) : Do \(\left( -3 \right).\left( -4 \right)=12\) nên \(12:\left( -3 \right)=?\) .

b) So sánh \(12:\left( -3 \right)\) và \(-\left( 12:3 \right)\) .

Giải

a) \(12:\left( -3 \right)=-4\) .

b) Ta có: \(12:\left( -3 \right)=-4;-\left( 12:3 \right)=-4\)

\(\Rightarrow 12:\left( -3 \right)=-\left( 12:3 \right)\) .

Luyện tập vận dụng 1:

Tính:

a) \(36:\left( -9 \right)\)

b) \(\left( -48 \right):6\)

Giải

a) \(36:(-9)=-(36:9)=-4\)

b) \((-48):6=-(48:6)=-8\)

II. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

1. Phép chia hết hai số nguyên dương

2. Phép chia hết hai số nguyên âm

Hoạt động 2:

a) Tìm số thích hợp cho \(?\) : Do \(\left( -5 \right).4=-20\) nên \(\left( -20 \right):\left( -5 \right)=?\) .

b) So sánh \(\left( -20 \right):\left( -5 \right)\) và \(20:5\)

Giải

a) Do \(\left( -5 \right).4=-20\) nên \(\left( -20 \right):\left( -5 \right)=4\) .

b) Ta có: \(\left( -20 \right):\left( -5 \right)=4;20:5=4\Rightarrow \left( -20 \right):\left( -5 \right)=20:5\) .

Luyện tập vận dụng 2:

Tính:

a) \(\left( -12 \right):\left( -6 \right)\)

b) \(\left( -64 \right):\left( -8 \right)\)

Giải

a) \((-12):(-6)=12:6=2\)

b) \((-64):(-8)=64:8=8\)

III. Quan hệ chia hết

Hoạt động 3:

a) Tìm số thích hợp ở \(?\) trong bảng sau:

b) Số - 36 có thể chia hết cho các số nguyên nào?

Giải

a)

b) Số - 36 có thể chia hết cho các số nguyên sau:

\(-36,-18,-12,-9,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,9,12,18,36\)

Luyện tập vận dụng 3:

Sử dụng các từ “chia hết cho”, “bội”, “ước” thích hợp cho \(?\) :

a) \(-16?-2\) .

b) – 18 là \(?\) của – 6.

c) 3 là \(?\) của – 27.

Giải

a) -16 chia hết cho -2

b) -18 là bội của -6

c) 3 là ước của -27

Luyện tập vận dụng 4:

a) Viết tất cả các số nguyên là ước của: \(-15;-12\) .

b) Viết năm số nguyên là bội của: \(-3;-7\)

Giải

a) Ư(-15) = {-1, 1, -3, 3, -5, 5, -15, 15}

Ư(-12) = {-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12}

b) Năm số nguyên là bội của -3 là 6, -6, 9, -9, 12

Năm số nguyên là bội của -7 là -14, 14, -21, 21, 28

Bài 16: Phép nhân số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Tìm tòi – khám phá 1:

Dựa vào phép cộng các số âm, hãy tính tích \(\left( -11 \right).3\) rồi so sánh kết quả với \(-\left( 11.3 \right)\) .

Giải

Ta có: \(\left( -11 \right).3=-33;-\left( 11.3 \right)=-33\)

\(\Rightarrow \left( -11 \right).3=-\left( 11.3 \right)\)

Tìm tòi – khám phá 2:

Hãy dự đoán kết quả của các phép nhân \(5.\left( -7 \right)\) và \(\left( -6 \right).8\)

Giải

Ta có: \(5.\left( -7 \right)=-35\) ; \(\left( -6 \right).8=-48\) .

Luyện tập 1:
1. Thực hiện các phép nhân sau:

a) \(\left( -12 \right).12\)

b) \(137.\left( -15 \right)\)

2. Tính nhẩm: \(5.\left( -12 \right)\)

Giải

1. a) \(\left( -12 \right).12=-144\)

b) \(137.\left( -15 \right)=-2055\)

2. \(5.\left( -12 \right)=-60\)

Vận dụng 1:
Sử dụng phép nhân hai số nguyên khác dấu để giải bài toán mở đầu:

Để quản lí chi tiêu cá nhân, bạn Cao dùng số nguyên âm để ghi vào sổ tay các khoản chi của mình. Cuối tháng, bạn Cao thấy trong sổ có ba lần ghi \[-15\text{ }000\] đồng. Trong ba lần ấy, bạn Cao đã chi tất cả bao nhiêu tiền?

Giải

Tổng số tiền ba lần bạn ghi trong sổ là: \[\left( -15\text{ }000 \right).3=-45\text{ }000\] (đồng)

Vậy bạn Cao đã chi tất cả 45 000 đồng.

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

Tìm tòi – khám phá 3:

Quan sát ba dòng đầu và nhận xét về dấu của tích mỗi khi đổi dấu một thừa số và giữ nguyên thừa số còn lại.

Giải

Khi đổi dấu một thừa số và giữ nguyên thừa số còn lại thì tích cũng đổi dấu.

Tìm tòi – khám phá 4:
Dựa vào nhận xét ở Tìm tòi – khám phá 3, hãy dự đoán kết quả của \(\left( -3 \right).\left( -7 \right)\) .

Giải

\(\left( -3 \right).\left( -7 \right)=21\) .

Luyện tập 2:

Thực hiện các phép nhân sau:

a) \(\left( -12 \right).\left( -12 \right)\)

b) \(\left( -137 \right).\left( -15 \right)\)

Giải

a) \(\left( -12 \right).\left( -12 \right)=144\)

b) \(\left( -137 \right).\left( -15 \right)=2055\)

Thử thách nhỏ:

Thay mỗi dấu “?” bằng số sao cho số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tích các số trong hai ô kề với nó ở hàng dưới (H3.18)

Giải

3. Tính chất của phép nhân

Câu hỏi:

Tính \(a\left( b+c \right)\) và \(ab+ac\) khi \(a=-2,b=14,c=-4\) .

Giải

\(a\left( b+c \right)=\left( -2 \right).\left[ 14+\left( -4 \right) \right]=\left( -2 \right).\left( 14-4 \right)=\left( -2 \right).10=-20\) .

\(ab+ac=\left( -2 \right).14+\left( -2 \right).\left( -4 \right)=-28+8=-\left( 20-8 \right)=-20\) .

Luyện tập 3:
1. a) Tính giá trị của tích \(P=3.\left( -4 \right).5.\left( -6 \right)\) .

b) Tích P sẽ thay đổi thế nào nếu ta đổi dấu tất cả các thừa số?

2. Tính \(4.\left( -39 \right)-4.\left( -14 \right)\)

Giải

1. a) \(P=3.\left( -4 \right).5.\left( -6 \right)=360\)

b) Tích P sẽ không thay đổi nếu ta đổi dấu tất cả các thừa số.

2. \(4.\left( -39 \right)-4.\left( -14 \right)=4.\left( -39+14 \right)=4.\left( -25 \right)=-100\) .

Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

1. Phép chia hết

Luyện tập 1:

1. Thực hiện phép chia \(135:9\) . Từ đó suy ra thương của các phép chia \(135:\left( -9 \right)\) và \(\left( -135 \right):\left( -9 \right)\) .

2. Tính: a) \(\left( -63 \right):9\) ; b) \(\left( -24 \right):\left( -8 \right)\)

Giải

1. Ta có: \(135:9=15\Rightarrow 135:\left( -9 \right)=-15;\left( -135 \right):\left( -9 \right)=15\)

2. a) \(\left( -63 \right):9=-7\) ; b) \(\left( -24 \right):\left( -8 \right)=3\)

2. Ước và bội

Luyện tập 2:

a) Tìm các ước của – 9.

b) Tìm các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20.

Giải

a) Các ước của – 9 là: \(-9,-3,-1,1,3,9\) .

b) Các bội của 4 lớn hơn – 20 và nhỏ hơn 20 là: \(-16,-12,-8,-4,0,4,8,12,16\) .

Tranh luận:

Pi: Có hai số nguyên a, b khác nhau nào mà \(a\vdots b\) và \(b\vdots a\) không?

Vuông: Sao mà thế được!

Tròn: A ha, tớ vừa tìm thấy hai số như vậy đấy!...

Không biết Tròn tìm được hai số nguyên nào nhỉ?

Giải

Số nguyên thỏa mãn \(a\vdots b\) và \(b\vdots a\) là các cặp số đối nhau.

Vậy Tròn đã tìm được cặp số nguyên đối nhau thỏa mãn câu hỏi của Pi.

Ví dụ: 4 và – 4; 7 và – 7; …

Bài 4: Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên (Sách Chân trời sáng tạo)

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Hoạt động khám phá 1:

a) Hoàn thành phép tính sau: \(\left( -4 \right).3=\left( -4 \right)+\left( -4 \right)+\left( -4 \right)=?\)

b) Theo cách trên, hãy tính: \(\left( -5 \right).2;\left( -6 \right).3\) .

c) Em có nhận xét gì về dấu của tích hai số nguyên khác dấu?

Giải

a) \(\left( -4 \right).3=\left( -4 \right)+\left( -4 \right)+\left( -4 \right)=-\left( 4+4+4 \right)=-12\)

b) \(\left( -5 \right).2=\left( -5 \right)+\left( -5 \right)=-10;\left( -6 \right).3=\left( -6 \right)+\left( -6 \right)+\left( -6 \right)=-18\)

c) Ta thấy tích hai số nguyên khác dấu mang dấu âm.

Thực hành 1:

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\left( -5 \right).4\)

b) \(6.\left( -7 \right)\)

c) \(\left( -14 \right).20\)

d) \(51.\left( -24 \right)\)

Giải

a) \(\left( -5 \right).4=-\left( 5.4 \right)=-20\)

b) \(6.\left( -7 \right)=-\left( 6.7 \right)=-42\)

c) \(\left( -14 \right).20=-\left( 14.20 \right)=-280\)

d) \(51.\left( -24 \right)=-\left( 51.24 \right)=-1224\)

Vận dụng 1:

Một xí nghiệp may gia công có chế độ thưởng và phạt như sau: Một sản phẩm tốt được thưởng 50 000 đồng, một sản phẩm có lỗi bị phạt 40 000 đồng. Chị Mai làm được 20 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm bị lỗi. Em hãy thực hiện phép tính sau để biết chị Mai nhận được bao nhiêu tiền: \(20.\left( +50000 \right)+4.\left( -40000 \right)=?\)

Giải

Ta có: \(20.\left( +50000 \right)+4.\left( -40000 \right)=840000\) (đồng)

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

Hoạt động khám phá 2:

a) Nhân hai số nguyên dương.

Ta đã biết nhân hai số nguyên dương. Hãy thực hiện các phép tính sau:

\(\begin{array}{l} \left( { + 3} \right).\left( { + 4} \right) = 3.4 = ?\\ \left( { + 5} \right).\left( { + 2} \right) = 5.2 = ? \end{array}\)

b) Nhân hai số nguyên âm.

Hãy quan sát kết quả của bốn tích đầu và dự đoán kết quả của hai tích cuối.

\(\begin{array}{l} \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) = ?\\ \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) = ? \end{array}\)

Giải

a) \(\left( +3 \right).\left( +4 \right)=3.4=12;\left( +5 \right).\left( +2 \right)=5.2=10\)

b)

\(\begin{array}{l} \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) = 5\\ \left( { - 2} \right).\left( { - 5} \right) = 10 \end{array}\)

Thực hành 2:

Tính các tích sau:

\(\begin{array}{l} a = \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)\\ b = \left( { - 15} \right).\left( { - 6} \right)\\ c = \left( { + 3} \right).\left( { + 2} \right)\\ d = \left( { - 10} \right).\left( { - 20} \right) \end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l} a = \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6\\ b = \left( { - 15} \right).\left( { - 6} \right) = 90\\ c = \left( { + 3} \right).\left( { + 2} \right) = 6\\ d = \left( { - 10} \right).\left( { - 20} \right) = 200 \end{array}\)

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Hoạt động khám phá 3:

Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.

Giải

Kết quả ở hai cột bằng nhau hay \(a.b=b.a\)

Hoạt động khám phá 4:

Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.

Giải

Ta thấy kết quả ở hai cột bằng nhau hay \[\left( a.b \right).c=a.\left( b.c \right)\].

Thực hành 3:

a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 trong đó có đúng 4 số dương. Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương. Hãy cho biết P và Q là số dương hay số âm.

b) Tích của một số lẻ các số nguyên âm có dấu gì?

c) Tích của một số chẵn các số nguyên âm có dấu gì?

Giải

a) P là tích của 8 số nguyên khác 0 trong đó có đúng 4 số dương

\(\Rightarrow \) P là tích của 4 số nguyên dương và 4 số nguyên âm

\(\Rightarrow \) P là số nguyên dương

Q là tích của 6 số nguyên khác 0 trong đó có duy nhất một số dương

\(\Rightarrow \) Q là tích của 5 số nguyên âm và một số nguyên dương

\(\Rightarrow \) Q là số nguyên âm

b) Tích của một số lẻ các số nguyên âm có dấu âm.

c) Tích của một số chẵn các số nguyên âm có dấu dương.

Hoạt động khám phá 5:

Thực hiện các phép tính rồi so sánh kết quả tương ứng ở hai cột màu xanh và màu đỏ.

Giải

Ta thấy kết quả ở hai cột bằng nhau hay \[a\left( b+c \right)=ab+ac\].

Thực hành 4:

Thực hiện phép tính: \(\left( -2 \right).29+\left( -2 \right).\left( -99 \right)+\left( -2 \right).\left( -30 \right)\)

Giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left( { - 2} \right).29 + \left( { - 2} \right).\left( { - 99} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 30} \right)\\ = \left( { - 2} \right).\left[ {29 + \left( { - 99} \right) + \left( { - 30} \right)} \right]\\ = \left( { - 2} \right).\left( {29 - 99 - 30} \right)\\ = \left( { - 2} \right).\left( { - 100} \right)\\ = - 200 \end{array}\)

4. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

Hoạt động khám phá 6:

Một tàu lặn thám hiểm đại dương lặn xuống thêm được 12 m trong 3 phút. Hãy tính xem trung bình mỗi phút tàu lặn xuống thêm được bao nhiêu mét? Hãy dùng số nguyên âm để giải bài toán trên.

Giải

Trung bình mỗi phút tàu lặn xuống thêm được số mét là: \((-12):4=-3\) (m).

Thực hành 5: 

Tìm thương của các phép chia sau:

a) \(\left( -2020 \right):2\)

b) \(64:\left( -8 \right)\)

c) \(\left( -90 \right):\left( -45 \right)\)

d) \(\left( -2121 \right):3\)

Giải

a) \(\left( -2020 \right):2=-1010\)

b) \(64:\left( -8 \right)=-8\)

c) \(\left( -90 \right):\left( -45 \right)=2\)

d) \(\left( -2121 \right):3=-707\)

Vận dụng 2:

Một máy cấp đông (làm lạnh nhanh) trong 6 phút đã làm thay đổi nhiệt độ được \(-{{12}^{o}}C\) . Hỏi trung bình trong một phút máy đã làm thay đổi được bao nhiêu độ C?

Giải

Trung bình trong một phút máy đã làm thay đổi được số độ C là: \(\left( -12 \right):6=-2{{(}^{o}}C)\)

5. Bội và ước của một số nguyên

Thực hành 6:

a) -10 có phải là một bội của 2 hay không?

b) Tìm các ước của 5.

Giải

a) -10 là một bội của 2.

b) Các ước của 5 là: Ư \(\left( 5 \right)=\left\{ -1;1;-5;5 \right\}\)

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 5: Phép nhân các số nguyên (Sách Cánh diều)

Bài 1. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 82)

a) \(21.(-3)=-(21.3)=-63\)

b) \((-16).5=-(16.5)=-80\)

c) \(12.20=240\)

d) \((-21).(-6)=126\)

Bài 2. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 82)

Bài 3. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

a) \({{10}^{10}}.(-{{10}^{-4}})=-({{10}^{10}}{{.10}^{-4}})=-{{10}^{10+(-4)}}=-{{10}^{6}}\)

b) \((-2).(-2).(-2).(-2).(-2)+{{2}^{5}}={{(-2)}^{5}}+{{2}^{5}}=0\)

c) \((-3).(-3).(-3).(-3)-{{3}^{4}}={{3}^{4}}-{{3}^{4}}=0\)

Bài 4. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

a) \((-8).25=-(8.25)=-200\)

b) \(8.(-25)=-(8.25)=-200\)

c) \((-8).(-25)=200\)

Bài 5. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

a) \(2x=2.(-8)=-16\)

b) \(-7y=-7.6=-42\)

c) \(-8z-15=-8.(-4)-15=32-15=17\)

Bài 6. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

a) \(3.(-5)=-15<0\)

b) \((-3).(-7)=21>0\)

c) \((-6).7=-42<(-5).(-2)=10\)

Bài 7. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

a) \((-16).(-7).5=[(-16).5].(-7)=(-80).(-7)=560\)

b) \(11.(-12)+11.(-18)=11.[(-12)+(-18)]=11.(-30)=-330\)

c) \(87.(-19)-37.(-19)=(87-37).(-19)=50.(-19)=-950\)

d) \(41.81.(-451).0=0\)

Bài 8. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

a) Tích ba số nguyên âm là một số nguyên âm

b) Tích hai số nguyên âm với một số nguyên dương là một số nguyên dương

c) Tích của một số chẵn các số nguyên âm là một số nguyên dương

d) Tích của một số lẻ các số nguyên âm là một số nguyên âm

Bài 9. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

Tổng lợi nhuận quý I là: \((-30).3=-90\) (triệu đồng)

Tổng lợi nhuận quý II là: \(70.3=210\) (triệu đồng)

Sau 6 tháng đầu năm, lợi nhuận của công ty là: \((-90)+210=120\) (triệu đồng)

Bài 10. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 83)

\(\begin{array}{l} 23.( - 49) = - 1127\\ ( - 215).207 = - 44505\\ ( - 124).( - 1023) = 126852 \end{array}\)

Bài 6: Phép chia hết hai số nguyên. Quan hệ chia hết trong tập hợp số nguyên (Sách Cánh diều)

Bài 1. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

a) \((-45):5=-(45:5)=-9\)

b) \(56:(-7)=-(56:7)=-8\)

c) \(75:25=3\)

d) \((-207):(-9)=207:9=23\)

Bài 2. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

a) \(36:(-6)<0\)

b) \((-15):(-3)>(-63):7\)

Bài 3. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

a) \((-3).x=36\Rightarrow x=36:(-3)=-12\)

b) \((-100):(x+5)=-5\Rightarrow x+5=(-100):(-5)=20\Rightarrow x=20-5=15\)

Bài 4. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

Nhiệt độ trung bình lúc 8 giờ sáng của 5 ngày là:

\([(-6)+(-5)+(-4)+2+3]:5=(-10):5=-{{2}^{o}}C\)

Bài 5. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

a) Đúng. Vì \((-9).4=-36\)

b) Sai. Vì 5 không phải là ước của 18

Bài 6. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

a) \(x=\{-1,1,-2,2,-4,4\}\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2 = - 1\\ x + 2 = 1\\ x + 2 = - 13\\ x + 2 = 13 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3\\ x = - 1\\ x = - 15\\ x = 11 \end{array} \right.\)

Bài 7. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

a) Phép tính biểu thị quãng đường mà ốc sên leo được sau 2 ngày là: \([3+(-2)].2\)

b) Sau 5 ngày ốc sên leo được: \([3+(-2)].5=5\) (m)

c) 12 giờ đầu tiên ốc sên leo được 3m, 12 giờ tiếp theo nó lại tụt xuống 2m

\(\Rightarrow \) Sau 1 ngày (24 giờ) ốc sên sẽ leo được 1 m

Hết ngày thứ 7 (168 giờ) ốc sên leo được 7 m

12 giờ đầu tiên ngày thứ 8 ốc sên leo được 3 m

\(\Rightarrow \) 4 giờ đầu ốc sên leo được thêm 1 m nữa là 8 m (ngọn cây)

Vậy tổng số giờ để ốc sên chạm được ngọn cây là: \(168+4=172\) (giờ)

Bài 8. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 87)

\(\begin{array}{l} ( - 252):21 = - 12\\ 253:( - 11) = - 23\\ ( - 645):( - 15) = 43 \end{array}\)

Bài 16: Phép nhân số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

Bài 3.32 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

a) \(24.\left( -25 \right)=-600\)

b) \(\left( -15 \right).12=-180\)

Bài 3.33 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

a) \(\left( -298 \right).\left( -4 \right)=1192\)

b) \(\left( -10 \right).\left( -135 \right)=1350\)

Bài 3.34 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

a) Tích của ba thừa số mang dấu âm, các thừa số khác mang đều dương thì mang dấu âm.

b) Tích của bốn thừa số mang dấu âm, các thừa số khác đều dương thì mang dấu dương.

Bài 3.35 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

a) \(4.\left( 1930+2019 \right)+4.\left( -2019 \right)=4.\left[ 1930+2019+\left( -2019 \right) \right]=4.1930=7720\)

b) \(\left( -3 \right).\left( -17 \right)+3.\left( 120-17 \right)=3.17+3.120-3.17=3.120=360\)

Bài 3.36 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

Ta có: \(m.n = 36 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} n.\left( { - m} \right) = - \left( {m.n} \right) = - 36\\ \left( { - n} \right).\left( { - m} \right) = m.n = 36 \end{array} \right.\)

Bài 3.37 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

a) \(\left( -8 \right).72+8.\left( -19 \right)-\left( -8 \right)=\left( -8 \right).72+\left( -8 \right).19-\left( -8 \right)=\left( -8 \right).\left( 72+19-1 \right)=\left( -8 \right).90=-720\)

b) \(\left( -27 \right).1011-27.\left( -12 \right)+27.\left( -1 \right)=\left( -27 \right).\left( 1011-12+1 \right)=\left( -27 \right).1000=-27000\)

Bài 3.38 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 72)

Bạn An được số điểm là: \(1.10+2.7+1.\left( -1 \right)+1.\left( -3 \right)=24\) (điểm).

Bạn Bình được số điểm là: \(2.10+1.3+2.\left( -3 \right)=17\) (điểm).

Bạn Cường được số điểm là: \(3.7+1.3+1.\left( -1 \right)=23\) (điểm)

Vậy bạn Cường đạt điểm cao nhất.

Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

Bài 3.39 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)

a) \(297:\left( -3 \right)=-99\)

b) \(\left( -396 \right):\left( -12 \right)=33\)

c) \(\left( -600 \right):15=-40\)

Bài 3.40 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)

a) Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ -30,-15,-10,-6,-5,-3,-2,-1,1,2,3,5,6,10,15,30 \right\}\)

Ư \(\left( 42 \right)=\left\{ -42,-21,-14,-7,-6,-3,-2,-1,1,2,3,6,7,14,21,42 \right\}\)

Ư \(\left( -50 \right)=\left\{ -50,-25,-10,-5,-2,-1,1,2,5,10,25,50 \right\}\)

b) Các ước chung của 30 và 42 là: ƯC \(\left( 30,42 \right)=\left\{ -6,-3,-2,-1,1,2,3,6 \right\}\)

Bài 3.41 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)

\(M=\left\{ -16,-12,-8,-4,0,4,8,12,16 \right\}\)

Bài 3.42 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)

Ư \(\left( 15 \right)=\left\{ -15,-5,-3,-1,1,3,5,15 \right\}\)

Vậy hai ước của – 15 có tổng bằng – 4 là – 5 và 1.

Bài 3.43 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 74)

Vì hai số cùng chia hết cho – 3 nên hai số đó có dạng là \(\left( -3 \right).a\) và \(\left( -3 \right).b\) với \(a,b\in Z\) .

Tổng hai số đó là: \(\left( -3 \right).a+\left( -3 \right).b=\left( -3 \right).\left( a+b \right)\vdots \left( -3 \right)\) .

Hiệu hai số là: \(\left( -3 \right).a-\left( -3 \right).b=\left( -3 \right).\left( a-b \right)\vdots \left( -3 \right)\) .

Tổng quát: Nếu hai số nguyên a và b cùng chia hết cho một số nguyên c thì tổng hoặc hiệu của hai số nguyên a và b cũng chia hết cho số nguyên c.

Bài 4: Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên (Sách Chân trời sáng tạo)

Bài 1. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

a) \(\left( -3 \right).7=-21\)

b) \(\left( -8 \right).\left( -6 \right)=48\)

c) \(\left( +12 \right).\left( -20 \right)=-240\)

d) \(24.\left( +50 \right)=1200\)

Bài 2. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Ta có: \(213.3=639\)

a) \(\left( -213 \right).3=-639\)

b) \(\left( -3 \right).213=-639\)

c) \(\left( -3 \right).\left( -213 \right)=639\)

Bài 3. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

a) Ta có: \(\left( +4 \right)\left( -8 \right)\) mang dấu âm \(\Rightarrow \left( +4 \right).\left( -8 \right)<0\)

b) Ta có: \(\left( -3 \right).4\) mang dấu âm \(\Rightarrow \left( -3 \right).4<0\)

Mà \(0<4\Rightarrow \left( -3 \right).4<4\)

c) Ta có: \(\left( -5 \right).\left( -8 \right)\) và \(\left( +5 \right).\left( +8 \right)\) đều mang dấu dương \(\Rightarrow \left( -5 \right).\left( -8 \right)=\left( +5 \right).\left( +8 \right)\)

Bài 4. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

a) \(\left( -3 \right).\left( -2 \right).\left( -5 \right).4=-120\)

b) \(3.2.\left( -8 \right).\left( -5 \right)=240\)

Bài 5. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Sau 5 phút nhiệt độ trong kho giảm đi số độ C là: \(5.2={{10}^{o}}C\)

Sau 5 phút nhiệt độ trong kho còn lại là: \(8-10=-{{2}^{o}}C\)

Bài 6. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Sau 10 phút nhiệt độ của máy bay tăng lên số độ C là: \(10.4={{40}^{o}}C\)

Sau 10 phút nữa nhiệt độ bên ngoài máy bay là: \(\left( -28 \right)+40={{12}^{o}}C\)

Bài 7. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

a)

\(\begin{array}{l} \left( { - 24} \right).x = - 120\\ \Leftrightarrow x = \left( { - 120} \right):\left( { - 24} \right)\\ \Leftrightarrow x = 5 \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l} 6.x = 24\\ \Leftrightarrow x = 24:6\\ \Leftrightarrow x = 4 \end{array}\)

Bài 8. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Hai số nguyên khác nhau a và b thỏa mãn \(a\vdots b\) và \(b\vdots a\)

\(\Leftrightarrow \) a và b là hai số nguyên đối nhau.

Bài 9. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Ư \(\left( 6 \right)=\left\{ -1;1;-2;2;-3;3;-6;6 \right\}\)

Ư \(\left( -1 \right)=\left\{ -1;1 \right\}\)

Ư \(\left( 13 \right)=\left\{ -1;1;-13;13 \right\}\)

Ư \(\left( -25 \right)=\left\{ -1;1;-5;5;-25;25 \right\}\)

Bài 10. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Ba bội của -5 là: \(B\left( -5 \right)=\left\{ -5;5;10 \right\}\)

Ba bội của 5 là: \(B\left( 5 \right)=\left\{ -10;10;5 \right\}\)

Bài 11. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Sau 7 ngày nhiệt độ tại trạm nhiên cứu giảm: \(\left( -25 \right)-\left( -39 \right)={{14}^{o}}C\)

Trung bình mỗi ngày tại trạm nghiên cứu giảm số độ C là: \(14:7={{2}^{o}}C\)

Bài 12. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 71)

Đổi: 1 quý = 3 tháng.

Bình quân một tháng bác Ba lãi số tiền là: \(60:3=20\) (triệu đồng)

Bình quân mỗi tháng chú Tư lỗ số tiền là: \(12:3=4\) (triệu đồng)