BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

BỘI CHUNG. BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.

\(x\in BC\left( a,b \right)\) nếu \(x\vdots a,x\vdots b\) .

\(x\in BC\left( a,b,c \right)\) nếu \(x\vdots a,x\vdots b,x\vdots c\) .

Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt bội chung là BC và bội chung nhỏ nhất là BCNN.

Ta kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b); bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b)

Chú ý

- Số tự nhiên n được gọi là bội chung của ba số a, b, c nếu n là bội của cả ba số a, b, c.

- Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của ba số a, b, c được gọi là bội chung nhỏ nhất của ba số a, b, c

- Ta kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a, b, c là\[BC\left( a,b,c \right)\] ; bội chung nhỏ nhất của a, b, c là\[BCNN\left( a,b,c \right)\] .

- Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì \(BCNN\) của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

Nếu \(a\vdots b\) thì \(BCNN\left( a,b \right)=a\) .

- Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

\(BCNN\left( a,1 \right)=a;BCNN\left( a,b,1 \right)=BCNN\left( a,b \right)\) .

Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể lấy bội chung nhỏ nhất của chúng lần lượt nhân với 0, 1, 2, ...

2. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.

Bước 3. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.

3. Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tìm BCNN của các số.

Bước 2. Tìm các bội của BCNN đó.

4. Ứng dụng của bội chung nhỏ nhất

- Để quy đồng mẫu hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) , ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

- Để tính tổng (hiệu) các phân số không cùng mẫu, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu

Bước 2. Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)

Bước 3. Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng (trừ) các phân số có cùng mẫu

Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau bằng tích của hai số đó.

B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI

Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất (Sách Cánh diều)

I. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Hoạt động 1:

a) Nêu một số bội của 2 và của 3 theo thứ tự tăng dần:

b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai.

c) Xác định số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3.

Giải

a) Bội của 2 và của 3 theo thứ tự tăng dần là:

b) Các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai là: \(0;6;12;18\) .

c) Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3 là 6.

Luyện tập vận dụng 1:

Hãy nêu bốn bội chung của 5 và 9.

Giải

Bốn bội chung của 5 và 9 là \[0,45,135,180\] .

Hoạt động 2:

Quan sát bảng sau:

a) Viết ba bội chung của 8 và 12 theo thứ tự tăng dần.

b) Tìm \(BCNN\left( 8,12 \right)\)

c) Thực hiện phép tính chia ba bội chung của 8 và 12 cho \(BCNN\left( 8,12 \right)\) .

Giải

a) Ba bội chung của 8 và 12 theo thứ tự tăng dần là: \(24;48;72\) .

b) \(BCNN\left( 8,12 \right)=24\) .

c) Ta có: \(24:24=1;48:24=2;72:24=3\) .

Luyện tập vận dụng 2:

Tìm tất cả các số có ba chữ số là bội chung của a và b, biết rằng \(BCNN\left( a,b \right)=300\) .

Giải

Tất cả các số có ba chữ số là bội chung của a và b với BCNN(a, b)=300 là: \[300,600,900\] .

II. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Hoạt động 3:

Ta có thể tìm \(BCNN\left( 6,8 \right)\) theo các bước sau:

Bước 1. Phân tích 6 và 8 ra thừa số nguyên tố:

\(\begin{array}{l} 6 = 2.3\\ 8 = 2.2.2 = {2^3} \end{array}\)

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng của 6 và 8 lần lượt là 2 và 3.

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố 2 và 3, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất

- Số mũ lớn nhất của 2 là 3, ta chọn \({{2}^{3}}\) .

- Số mũ lớn nhất của 3 là 1, ta chọn \({{3}^{1}}\) .

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất càn tìm \(BCNN\left( 6,8 \right)={{2}^{3}}{{.3}^{1}}=24\) .

Luyện tập vận dụng 3:

Tìm bội chung nhỏ nhất của \(12,18,27\) .

Giải

\[BCNN\left( 12,18,27 \right)=108\] .

III. Ứng dụng bội chung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu

Hoạt động 4:

Thực hiện phép tính: \(\frac{5}{12}+\frac{7}{18}\) .

Giải

Ta có: \(BCNN\left( 12,18 \right)=36\)

\(\Rightarrow \frac{5}{12}+\frac{7}{18}=\frac{5.3}{12.3}+\frac{7.2}{18.2}=\frac{15}{36}+\frac{14}{36}=\frac{29}{36}\) .

Luyện tập vận dụng 4:

Thực hiện phép tính: \(\frac{11}{15}-\frac{3}{25}+\frac{9}{10}\) .

Giải

\(\frac{11}{15}-\frac{3}{25}+\frac{9}{10}=\frac{11.10}{15.10}-\frac{3.6}{25.6}+\frac{9.15}{10.15}=\frac{110-18+135}{150}=\frac{227}{150}\) .

Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Tìm tòi – khám phá 1:

Tìm các tập hợp \(B\left( 6 \right),B\left( 9 \right)\) .

Giải

\(\begin{array}{l} B\left( 6 \right) = \left\{ {0;6;12;18;24;30;36;42;48;54;60;...} \right\}\\ B\left( 9 \right) = \left\{ {0;9;18;27;36;45;54;63;72;81;90;...} \right\} \end{array}\)

Tìm tòi – khám phá 2:

Gọi \(BC\left( 6,9 \right)\) là tập hợp các số vừa là bội của 6, vừa là bội của 9. Hãy viết tập hợp \(BC\left( 6,9 \right)\) .

Giải

\(BC\left( 6,9 \right)=\left\{ 0;18;36;54;72;... \right\}\)

Tìm tòi – khám phá 3:

Tìm số nhỏ nhất khác 0 trong tập \(BC\left( 6,9 \right)\) .

Giải

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập \(BC\left( 6,9 \right)\) là 18.

Câu hỏi:

Tìm \(BCNN\left( 36,9 \right)\) .

Giải

Vì \(36\vdots 9\Rightarrow BCNN\left( 36,9 \right)=36\) .

Luyện tập 1:

Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 6 và 8

b) 8; 9; 72

Giải

a) \(B\left( 6 \right)=\left\{ 0;6;12;18;24;... \right\};B\left( 8 \right)=\left\{ 0;8;16;24;32;... \right\}\Rightarrow BCNN\left( 6,8 \right)=24\)

b) Vì \(72\vdots 8;72\vdots 9\Rightarrow BCNN\left( 8,9,72 \right)=72\) .

Vận dụng:

Có hai chiếc máy A và B. Lịch bảo dưỡng định kì đối với máy A là 6 tháng và đối với máy B là 9 tháng. Hai máy vừa cùng được bảo dưỡng vào tháng 5. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng nữa thì hai máy lại được bảo dưỡng trong cùng một tháng?

Giải

Số tháng ít nhất để hai máy được cùng bảo dưỡng trong một tháng chính là bội chung nhỏ nhất của 6 và 9.

Ta có: \(B\left( 6 \right)=\left\{ 0;6;12;18;24;30;... \right\}\) ; \(B\left( 9 \right)=\left\{ 0;9;18;27;36;45;... \right\}\)

\(\Rightarrow BCNN\left( 6,9 \right)=18\)

Vậy sau ít nhất 18 tháng nữa thì hai máy được cùng bảo dưỡng trong một tháng.

2. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Câu hỏi:

Tìm bội chung nhỏ nhất của 9 và 15, biết \(9={{3}^{2}}\) và \(15=3.5\) .

Giải

Ta thấy 9 và 15 phân tích ra thừa số nguyên tố có có thừa số nguyên tố chung là 3 có số mũ lớn nhất là 2 và 5 với số mũ lớn nhất là 1.

\(\Rightarrow BCNN\left( 9,15 \right)={{3}^{2}}.5=45\) .

Câu hỏi:

Biết bội chung nhỏ nhất của 8 và 6 là 24. Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 6.

Giải

\(BCNN\left( 8,6 \right)=24\Rightarrow BC\left( 8,6 \right)=B\left( 24 \right)=\left\{ 0;24;48;72;96;120;... \right\}\) .

Vậy bội chung nhỏ hơn 100 của 8 và 24 là \(0;24;48;72;96\) .

Luyện tập 2:

Tìm bội chung nhỏ nhất của 15 và 54. Từ đó, hãy tìm các bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54.

Giải

\(\begin{array}{l} 15 = 3.5;54 = {2.3^3}\\ \Rightarrow BCNN\left( {15,54} \right) = {2.3^3}.5 = 270\\ \Rightarrow BC\left( {15,54} \right) = \left\{ {0;270;540;810;1080;...} \right\} \end{array}\)

Vậy bội chung nhỏ hơn 1 000 của 15 và 54 là \(0;270;540;810\) .

3. Quy đồng mẫu các phân số

Câu hỏi:

Quy đồng mẫu hai phân số \(\frac{7}{9}\) và \(\frac{4}{15}\) .

Giải

Ta có: \(9={{3}^{2}};15=3.5\Rightarrow BCNN\left( 9,15 \right)={{3}^{2}}.5=45\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{7}{9} = \frac{{7.5}}{{9.5}} = \frac{{35}}{{45}}\\ \Rightarrow \frac{4}{{15}} = \frac{{4.3}}{{15.3}} = \frac{{12}}{{45}} \end{array}\)

Luyện tập 3:

1. Quy đồng mẫu các phân số sau: a) \(\frac{5}{12}\) và \(\frac{7}{15}\) ; b) \(\frac{2}{7},\frac{4}{9}\) và \(\frac{7}{12}\) .

2. Thực hiện các phép tính sau: a) \(\frac{3}{8}+\frac{5}{24}\) ; b) \(\frac{7}{16}-\frac{5}{12}\) .

Giải

1. Quy đồng phân số:

a) Ta có: \(12={{2}^{2}}.3;15=3.5\Rightarrow BCNN\left( 12,15 \right)={{2}^{2}}.3.5=60\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{5}{{12}} = \frac{{5.5}}{{12.5}} = \frac{{25}}{{60}};\\ \Rightarrow \frac{7}{{15}} = \frac{{7.4}}{{15.4}} = \frac{{28}}{{60}} \end{array}\)

b) Ta có: \(7=7;9={{3}^{2}};12={{2}^{2}}.3\Rightarrow BCNN\left( 7,9,12 \right)={{2}^{2}}{{.3}^{2}}.7=252\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{2}{7} = \frac{{2.36}}{{7.36}} = \frac{{72}}{{252}}\\ \Rightarrow \frac{4}{9} = \frac{{4.28}}{{9.28}} = \frac{{112}}{{252}}\\ \Rightarrow \frac{7}{{12}} = \frac{{7.21}}{{12.21}} = \frac{{147}}{{252}} \end{array}\)

2. Thực hiện phép tính:

a) Ta có: \(BCNN\left( 8,24 \right)=24\Rightarrow \frac{3}{8}+\frac{5}{24}=\frac{3.3}{8.3}+\frac{5}{24}=\frac{9}{24}+\frac{5}{24}=\frac{14}{24}=\frac{7}{12}\) .

b) Ta có: \(BCNN\left( 16,12 \right)=48\Rightarrow \frac{7}{16}-\frac{5}{12}=\frac{7.3}{16.3}-\frac{5.4}{12.4}=\frac{21}{48}-\frac{20}{48}=\frac{1}{48}\) .

Bài 13: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất (Sách Chân trời sáng tạo)

1. Bội chung

Hoạt động khám phá 1:

a) Bài toán đèn nhấp nháy.

Hai dây đèn nhấp nháy với ánh sáng màu xanh, đỏ phát sáng một cách đều đặn. Dây đèn xanh cứ sau 4 dây lại phát sáng một lần, dây đèn đỏ lại phát sáng một lần sau 6 giây. Cả hai dây đèn cùng phát sáng lần đầu tiên vào lúc 8 giờ tối. Giả thiết thời gian phát sáng là không đáng kể.

Hình sau thể hiện số giây tính từ lúc 8 giờ tối đến lúc đèn sẽ phát sáng các lần tiếp theo:

Dựa vào hình trên, hãy cho biết sau bao nhiêu giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ lần đầu tiên.

b) Viết các tập hợp \(B\left( 2 \right),B\left( 3 \right)\) . Chỉ ra 3 phần tử chung của hai tập hợp này.

Giải

a) Dựa vào hình ta thấy sau 12 giây hai đèn cùng phát sáng lần tiếp theo kể từ lần đầu tiên.

b) Ta có: \(B\left( 2 \right)=\left\{ 0,2,4,6,8,10,12,... \right\};B\left( 3 \right)=\left\{ 0,3,6,9,12,15,18,21,... \right\}\)

Ba phần tử chung của hai tập hợp này là\[0,6,12\] .

Thực hành 1:

Các khẳng định sau đúng hay sai? Giải thích.

a) \(20\in BC\left( 4,10 \right)\)

b) \(36\in BC\left( 14,18 \right)\)

c) \(72\in BC\left( 12,18,36 \right)\)

Giải

a) Đúng. Vì \(B\left( 4 \right)=\left\{ 0,4,8,12,16,20,24,... \right\};B\left( 10 \right)=\left\{ 10,20,30,40,50,... \right\}\)

b) Sai. Vì \(B\left( 14 \right)=\left\{ 0,14,28,42,56,... \right\};B\left( 18 \right)=\left\{ 0,18,36,54,... \right\}\Rightarrow 36\notin BC\left( 14,18 \right)\)

c) Đúng. Vì \(B\left( 12 \right)=\left\{ 0,12,24,36,48,60,72,... \right\};B\left( 18 \right)=\left\{ 0,18,36,54,72,... \right\}\) \(B\left( 36 \right)=\left\{ 0,36,72,... \right\}\)

Thực hành 2:

Hãy viết:

a) Các tập hợp : \(B\left( 3 \right),B\left( 4 \right),B\left( 8 \right)\) .

b) Tập hợp M các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3 và 4.

c) Tập hợp K các số tự nhiên nhỏ hơn 50 là bội chung của 3,4, và 8.

Giải

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} B\left( 3 \right) = \left\{ {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,...} \right\}\\ B\left( 4 \right) = \left\{ {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,...} \right\}\\ B\left( 8 \right) = \left\{ {0,8,16,24,32,40,48,...} \right\} \end{array}\)

b) \(M=\left\{ 0,12,24,36,48 \right\}\)

c) \(K=\left\{ 0,24,48 \right\}\)

2. Bội chung nhỏ nhất

Hoạt động khám phá 2:

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp \(BC\left( 6,8 \right)\) . Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 6 và 8.

- Chỉ ra số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp \(BC\left( 3,4,8 \right)\) . Hãy nhận xét về quan hệ giữa số nhỏ nhất đó với các bội chung của 3,4 và 8.

Giải

+) Ta có:

\(\begin{array}{l} B\left( 6 \right) = \left\{ {0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,...} \right\}\\ B\left( 8 \right) = \left\{ {0,8,16,24,32,40,48,56,64,...} \right\}\\ \Rightarrow BC\left( {6,8} \right) = \left\{ {0,24,48,...} \right\} \end{array}\)

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp \(BC\left( 6,8 \right)\) là 24. Số đó chính là bội chung nhỏ nhất của 6 và 8.

+) Ta có:

\(\begin{array}{l} B\left( 3 \right) = \left\{ {0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...} \right\}\\ B\left( 4 \right) = \left\{ {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,...} \right\}\\ B\left( 8 \right) = \left\{ {0,8,16,24,32,40,48,56,64,...} \right\}\\ \Rightarrow BC\left( {3,4,8} \right) = \left\{ {0,24,48,...} \right\} \end{array}\)

Vậy số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp \(BC\left( 3,4,8 \right)\) là 24. Số đó chính là bội chung nhỏ nhất của 3, 4 và 8.

Thực hành 3:

Viết tập hợp \(BC\left( 4,7 \right)\) , từ đó chỉ ra \(BCNN\left( 4,7 \right)\) . Hai số 4 và 7 có là hai số nguyên tố cùng nhau không?

Giải

Ta có:

\(\begin{array}{l} B\left( 4 \right) = \left\{ {0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,...} \right\}\\ B\left( 7 \right) = \left\{ {0,7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,...} \right\}\\ \Rightarrow BCNN\left( {4,7} \right) = 28 \end{array}\)

Vì \(BCNN\left( 4,7 \right)=28=4.7\Rightarrow \) 4 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

3. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Thực hành 4:

Tìm \(BCNN\left( 24,30 \right);BCNN\left( 3,7,8 \right);BCNN\left( 12,16,48 \right)\) .

Giải

+) \(24={{2}^{3}}.3;30=2.3.5\Rightarrow BCNN\left( 24,30 \right)={{2}^{3}}.3.5=120\)

+) Vì 3, 7, 8 là các số nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow BCNN\left( 3,7,8 \right)=3.7.8=168\)

+) Ta thấy 48 là bội của 12 và 16 \(\Rightarrow BCNN\left( 12,16,48 \right)=48\)

Thực hành 5:

Tìm \(BCNN\left( 2,5,9 \right);BCNN\left( 10,15,30 \right)\)

Giải

+) Ta thấy 2, 5, 9 là các số nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow BCNN\left( 2,5,9 \right)=2.5.9=90\)

+) Ta thấy 30 là bội của 10 và 15 \(\Rightarrow BCNN\left( 10,15,30 \right)=30\)

4. Ứng dụng trong quy đồng mẫu các phân số

Thực hành 6:

a) Quy đồng mẫu các phân số sau:

i. \(\frac{5}{12}\) và \(\frac{7}{30}\)

ii. \(\frac{1}{2};\frac{3}{5}\) và \(\frac{5}{8}\)

b) Thực hiện các phép tính sau:

i. \(\frac{1}{6}+\frac{5}{8}\)

ii. \(\frac{11}{24}-\frac{7}{30}\)

Giải

a) Ta có:

i. \(BCNN\left( 12,30 \right)=60\Rightarrow \frac{5}{12}=\frac{5.5}{12.5}=\frac{25}{60};\frac{7}{30}=\frac{7.2}{30.2}=\frac{14}{60}\)

ii. \(BCNN\left( 2,5,8 \right)=40\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1.20}{2.20}=\frac{20}{40};\frac{3}{5}=\frac{3.8}{5.8}=\frac{24}{40};\frac{5}{8}=\frac{5.5}{8.5}=\frac{25}{40}\)

b) Ta có:

i. \(BCNN\left( 6,8 \right)=24\Rightarrow \frac{1}{6}+\frac{5}{8}=\frac{1.4}{6.4}+\frac{5.3}{8.3}=\frac{4}{24}+\frac{15}{24}=\frac{19}{24}\)

ii. \(BCNN\left( 24,30 \right)=120\Rightarrow \frac{11}{24}-\frac{7}{30}=\frac{11.5}{24.5}-\frac{7.4}{30.4}=\frac{55}{120}-\frac{28}{120}=\frac{27}{120}=\frac{9}{40}\)

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất (Sách Cánh diều)

Bài 1. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 57)

a) Ta có: Ư(7) = {1, 7} ; Ư(8) = {1, 2, 4, 8}

\(\Rightarrow \) ƯCLN (7, 8) = 1

b) Hai số 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau vì có ước chung lớn nhất bằng 1

c) BCNN (7, 8) = 56

Ta có: \(7.8=56\)

\(\Rightarrow \) Bội chung nhỏ nhất của 7 và 8 bằng đúng tích của chúng

Bài 2. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 57)

a) Số 0 là bội chung của 6 và 10 vì 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0

b) Bốn bội chung của 6 và 10 theo thứ tự từ bé đến lớn là 0, 30, 60, 90

c) BCNN(6, 10) = 30

d) Các bội chung của 6 và 10 mà nhỏ hơn 160 là 0, 30, 60, 90, 120, 150

Bài 3. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 58)

a) BCNN(7, 13) = \(7.13=91\) (vì 7 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau)

b) Ta có: \(54={{2.3}^{3}};108={{2}^{2}}{{.3}^{3}}\Rightarrow BCNN(54,108)={{3}^{3}}{{.2}^{2}}=108\)

c) Ta có: \(21=3.7;30=2.3.5;70=2.5.7\Rightarrow BCNN(21,30,70)=2.3.5.7=210\)

Bài 4. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 58)

a) \(\frac{19}{48}-\frac{3}{40}=\frac{19.5}{48.5}-\frac{3.6}{40.6}=\frac{77}{240}\)

b) \(\frac{1}{6}+\frac{7}{27}+\frac{5}{18}=\frac{1.9}{6.9}+\frac{7.2}{27.2}+\frac{5.3}{18.3}=\frac{38}{54}=\frac{19}{27}\)

Bài 5. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 58)

Ta có: BCNN\[\left( x,5 \right)=45\Rightarrow x=9\]

Bài 6. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 58)

Gọi x là tổng số học sinh của câu lạc bộ

Khi đó x là bội chung của 5 và 8 và \(x<50\)

Ta có: \[BC\left( 5,8 \right)=40,80,120,\ldots \]

Mà \(x<50\Rightarrow x=40\)

Vậy câu lạc bộ thể thao đó có 40 học sinh.

Bài 7. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 58)

Gọi x là số ngày gần nhất mà ba tàu cập cảng cùng nhau

Khi đó x là bội chung nhỏ nhất của 10, 12, 15

Ta có: \(10=2.5;12=2.6;15=3.5\)

\(\Rightarrow BCNN(10,12,15)=2.3.5.6=180\)

Vậy sau ít nhất 180 ngày thì ba tàu cùng nhau cập cảng.

Bài 12: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

Bài 2.36 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

a) \(BCNN\left( 5,7 \right)=35\Rightarrow BC\left( 5,7 \right)=\left\{ 0;35;70;105;140;175;210;... \right\}\)

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 5 và 7 là: \(0;35;70;105;140;175\) .

b) \(BCNN\left( 3,4,10 \right)=60\Rightarrow BC\left( 3,4,10 \right)=\left\{ 0;60;120;180;240;... \right\}\)

Vậy bội chung nhỏ hơn 200 của 3, 4, 10 là: \(0;60;120;180\) .

Bài 2.37 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

a) \({{2.3}^{3}}\) và \(3.5\)

Ta thấy thừa số chung là 3 có số mũ lớn nhất bằng 3 và thừa số riêng là 2 và 5 có số mũ lớn nhất bằng 1

\(\Rightarrow BCNN\left( {{2.3}^{3}},3.5 \right)={{2.3}^{3}}.5=270\)

b) \({{2.5.7}^{2}}\) và \({{3.5}^{2}}.7\)

Ta thấy thừa số chung là 5 và 7 có số mũ lớn nhất tương ứng là 2 và 2, thừa số riêng là 2 và 3 có số mũ lớn nhất tương ứng là 1 và 1

\(\Rightarrow BCNN\left( {{2.5.7}^{2}},{{3.5}^{2}}.7 \right)={{2.3.5}^{2}}{{.7}^{2}}=7350\)

Bài 2.38 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

a) Ta có: \(30=2.3.5;45={{3}^{2}}.5\Rightarrow BCNN\left( 30,45 \right)={{2.3}^{2}}.5=90\)

b) Ta có: \(18={{2.3}^{2}};27={{3}^{3}};45={{3}^{2}}.5\Rightarrow BCNN\left( 18,27,45 \right)={{2.3}^{3}}.5=270\)

Bài 2.39 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

Vì \(a\vdots 28\) và \(a\vdots 32\) nên a là \(BCNN\left( 28,32 \right)\)

Ta có: \(28={{2}^{2}}.7;32={{2}^{5}}\)

\(\Rightarrow BCNN\left( 28,32 \right)={{2}^{5}}.7=224\)

Vậy số tự nhiên a cần tìm là 224.

Bài 2.40 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

Vì số học sinh lớp 6A khi xếp thành 3 hàng, 4 hàng hay 9 hàng đều vừa đủ nên số học sinh của lớp chia hết cho cả 3, 4, 9 hay số học sinh chính là bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 9.

Ta có: \(3=3;4={{2}^{2}};9={{3}^{2}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {3,4,9} \right) = {2^2}{.3^2} = 36\\ \Rightarrow BC\left( {3,4,9} \right) = \left\{ {0;36;72;...} \right\} \end{array}\)

Mà số học sinh của lớp từ 30 đến 40

\(\Rightarrow \) Số học sinh của lớp là 36.

Bài 2.41 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

Vì hai đội trồng được số cây như nhau và mỗi công nhân đội 1 đã trồng 8 cây, mỗi công nhân đội 2 đã trồng được 11 cây nên tổng số cây mỗi đội trồng được chia hết cho 8 và 11 hay tổng số cây mỗi đội trồng được là bội chung của 8 và 11.

Ta có: \(8={{2}^{3}};11=11\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {8,11} \right) = {2^3}.11 = 88\\ \Rightarrow BC\left( {8,11} \right) = \left\{ {0;88;176;264;...} \right\} \end{array}\)

Mà số cây mỗi đội đã trồng trong khoảng từ 100 đến 200

\(\Rightarrow \) Số cây mỗi đội đã trồng được là 176 cây.

Bài 2.42 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

Số ngày gần nhất tiếp theo cún vừa được đi dạo, vừa được tắm là số chia hết cho cả 2 và 7 hay là bội chung nhỏ nhất của 2 và 7.

Ta có: \(BCNN\left( 2,7 \right)=14\)

Vậy sau ít nhất 14 ngày nữa, cún vừa được đi dao, vừa được tắm.

Bài 2.43 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

a) Ta có: \(12={{2}^{2}}.3;15=3.5\Rightarrow BCNN\left( 12,15 \right)={{2}^{2}}.3.5=60\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{{12}} = \frac{{9.5}}{{12.5}} = \frac{{45}}{{60}}\\ \frac{7}{{15}} = \frac{{7.4}}{{15.4}} = \frac{{28}}{{60}} \end{array} \right.\)

b) Ta có: \(10=2.5;4={{2}^{2}};14=2.7\Rightarrow BCNN\left( 10,4,14 \right)={{2}^{2}}.5.7=140\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{7}{{10}} = \frac{{7.14}}{{10.14}} = \frac{{98}}{{140}}\\ \frac{3}{4} = \frac{{3.35}}{{4.35}} = \frac{{105}}{{140}}\\ \frac{9}{{14}} = \frac{{9.10}}{{14.10}} = \frac{{90}}{{140}} \end{array} \right.\)

Bài 2.44 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 53)

a) Ta có: \(BCNN\left( 7,11 \right)=77\)

\(\Rightarrow \frac{7}{11}+\frac{5}{7}=\frac{7.7}{11.7}+\frac{5.11}{7.11}=\frac{49}{77}+\frac{55}{77}=\frac{104}{77}\)

b) Ta có: \(BCNN\left( 20,15 \right)=60\)

\(\Rightarrow \frac{7}{20}-\frac{2}{15}=\frac{7.3}{20.3}-\frac{2.4}{15.4}=\frac{21}{60}-\frac{8}{60}=\frac{13}{60}\)

Bài 13: Bội chung. Bội chung nhỏ nhất (Sách Chân trời sáng tạo)

Bài 1. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 43)

a) \(BCNN\left( 6,14 \right)=42\Rightarrow BC\left( 6,14 \right)=\left\{ 0,42,84,126,... \right\}\) .

b) \(BCNN\left( 6,20,30 \right)=60\Rightarrow BC\left( 6,20,30 \right)=\left\{ 0,60,120,180,... \right\}\) .

c) Vì 1 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow BCNN\left( 1,6 \right)=1.6=6\) .

d) Ta có: \(10=2.5;12={{2}^{2}}.3\Rightarrow BCNN\left( 10,1,12 \right)={{2}^{2}}.3.5=60\) .

e) Vì 5 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow BCNN\left( 5,14 \right)=5.14=70\) .

Bài 2. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 43)

a) \(A=\left\{ 0,48,96,144,192,... \right\}\) .

Ta thấy tập hợp \(BC\left( 12,16 \right)\) chính là tập hợp A.

b) Ta có:

i. \(24={{2}^{3}}.3;30=2.3.5\Rightarrow BCNN\left( 24,30 \right)={{2}^{3}}.3.5=120\Rightarrow BC\left( 24,30 \right)=\left\{ 0,120,240,... \right\}\)

ii. \(42=2.3.7;60={{2}^{2}}.3.5\Rightarrow BCNN\left( 42,60 \right)={{2}^{2}}.3.5.7=420\Rightarrow BC\left( 42,60 \right)=\left\{ 0,420,840,... \right\}\)

iii. \(60={{2}^{2}}.3.5;150={{2.3.5}^{2}}\Rightarrow BCNN\left( 60,150 \right)={{2}^{2}}{{.3.5}^{2}}=300\Rightarrow BC\left( 60,150 \right)=\left\{ 0,300,600,... \right\}\)

iv. \(28={{2}^{2}}.7;35=5.7\Rightarrow BCNN\left( 28,35 \right)={{2}^{2}}.5.7=140\Rightarrow BC\left( 28,35 \right)=\left\{ 0,140,280,420,... \right\}\)

Bài 3. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 43)

a) Ta có: \(BCNN\left( 16,24 \right)=48\Rightarrow \frac{3}{16}=\frac{3.3}{16.3}=\frac{9}{48};\frac{5}{24}=\frac{5.2}{24.2}=\frac{10}{48}\) .

b) Ta có: \(BCNN\left( 20,30,15 \right)=60\Rightarrow \frac{3}{20}=\frac{3.3}{20.3}=\frac{9}{60};\frac{11}{30}=\frac{11.2}{30.2}=\frac{22}{60};\frac{7}{15}=\frac{7.4}{15.4}=\frac{28}{60}\) .

Bài 4. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 44)

a) \(BCNN\left( 15,10 \right)=30\Rightarrow \frac{11}{15}+\frac{9}{10}=\frac{11.2}{15.2}+\frac{9.3}{10.3}=\frac{22}{30}+\frac{27}{30}=\frac{49}{30}\)

b) \(BCNN\left( 6,9,12 \right)=36\Rightarrow \frac{5}{6}+\frac{7}{9}+\frac{1}{12}=\frac{5.6}{6.6}+\frac{7.4}{9.4}+\frac{1.3}{12.3}=\frac{30}{36}+\frac{28}{36}+\frac{33}{36}=\frac{91}{36}\)

c) \(BCNN\left( 21,24 \right)=168\Rightarrow \frac{7}{24}-\frac{2}{21}=\frac{7.7}{24.7}-\frac{2.8}{21.8}=\frac{49}{168}-\frac{16}{168}=\frac{33}{168}=\frac{11}{56}\)

d) \(BCNN\left( 36,24 \right)=72\Rightarrow \frac{11}{36}-\frac{7}{24}=\frac{11.2}{36.2}-\frac{7.3}{24.3}=\frac{22}{72}-\frac{21}{72}=\frac{1}{72}\)

Bài 5. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 44)

Gọi số bông sen chị Hòa có là x.

Vì nếu chị bó thành các bó gồm 3 bông, 5 bông hay 7 bông đều vừa hết nên số bông sen chị có chia hết cho cả 3, 5 và 7 hay x là bội chung của 3, 5 và 7.

Vì 3, 5, 7 là các số nguyên tố cùng nhau

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN\left( {3,5,7} \right) = 3.5.7 = 105\\ \Rightarrow BC\left( {3,5,7} \right) = \left\{ {0,105,210,315,...} \right\} \end{array}\)

Vì chị Hòa có khoản từ 200 đến 300 bông

\(\Rightarrow 200\le x\le 300\Rightarrow x=210\)

Vậy chị Hòa có 210 bông sen.