ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC và ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Ta kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a,b); ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).

ƯC(a,b) là một tập hợp, ƯCLN(a, b) là một số.

\(x\in \) ƯC \(\left( a,b,c \right)\) nếu \(a\vdots x,b\vdots x\) và \(c\vdots x\) .

Nhận xét:

- Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Nếu \(a\vdots b\) thì ƯCLN \(\left( a,b \right)=b\) .

- Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có:

ƯCLN \(\left( a,1 \right)=1\) ; ƯCLN \(\left( a,b,1 \right)=1\) .

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Để tìm ước chung của các số, ta có thể làm như sau:

- Tìm ƯCLN của các số đó.

- Tìm các ước của ƯCLN đó.

2. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố

Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.

Bước 3. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Chú ý:

- Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

- Nếu \(a\vdots b\) thì ƯCLN \((a,b)=b\) .

3. Rút gọn về phân số tối giản

Vận dụng ƯCLN để rút gọn về phân số tối giản:

- Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 (nếu có).

- Phân số \(\frac{a}{b}\) được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN \(\left( a,b \right)=1\) .

- Để đưa một phân số chưa tối giản \(\frac{a}{b}\) về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN \(\left( a,b \right)\)

4. Hai số nguyên tố cùng nhau

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

B. HƯỚNG DẪN HỌC BÀI

Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất (Sách Cánh diều)

I. Ước chung và ước chung lớn nhất

Hoạt động 1:

a) Nêu các ước của 30 và của 48 theo thứ tự tăng dần:

b) Tìm các số vừa ở trong hàng thứ nhất vừa ở trong hàng thứ hai.

c) Xác định số lớn nhất trong các ước chung của 30 và 48.

Giải

a)

b) Các số vừa ở hàng thứ nhất vừa ở hàng thứ hai là: \(1;2;3;6\) .

c) Số lớn nhất trong các ước chung của 30 và 48 là 6.

Luyện tập vận dụng 1:

a) Số 8 có phải là ước chung của 24 và 56 không? Vì sao?

b) Số 8 có phải là ước chung của 14 và 48 không? Vì sao?

Giải

a) Số 8 là ước chung của 24 và 56 vì 8 vừa là ước của 24 vừa là ước của 56.

b) Số 8 không phải là ước chung của 14 và 48 vì 8 là ước của 48 nhưng không phải là ước của 14

Luyện tập vận dụng 2:

Số 7 có phải là ước chung của 14, 49, 63 không? Vì sao?

Giải

Số 7 là ước chung của 14, 49, 63 vì 7 vừa là ước của 14, vừa là ước của 49, vừa là ước của 63.

Hoạt động 2:

Quan sát bảng sau:

a) Viết tập hợp ƯC \(\left( 24,36 \right)\) .

b) Tìm ƯCLN \(\left( 24,36 \right)\) .

c) Thực hiện phép chia ƯCLN \(\left( 24,36 \right)\) cho các ước chung của hai số đó.

Giải

a) ƯC \(\left( 24,36 \right)=\left\{ 1;2;3;4;6;12 \right\}\)

b) ƯCLN \(\left( 24,36 \right)=12\)

c) Ta có: \(12:1=12;12:2=6;12:3=4;12:4=3;12:6=2;12:12=1\) .

Luyện tập vận dụng 3:

Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b, biết rằng ƯCLN \(\left( a,b \right)=80\) .

Giải

Vì ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b có ƯCLN\[\left( a,b \right)=80\] là Ư \(\left( 80 \right)=\left\{ 10;16;20;40;80 \right\}\) .

II. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Hoạt động 3:

Ta có thể tìm ƯCLN \(\left( 36,48 \right)\) theo các bước sau:

Bước 1. Phân tích 36 và 48 ra các thừa số nguyên tố:

\(\begin{array}{l} 36 = 2.2.3.3 = {2^2}{.3^2}\\ 48 = 2.2.2.2.3 = {2^4}.3 \end{array}\)

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của 36 và 48 là 2 và 3.

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung 2 và 3, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất.

- Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, ta chọn \({{2}^{2}}\)

- Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1, ta chọn \({{3}^{1}}\)

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm ƯCLN \(\left( 36,48 \right)={{2}^{2}}{{.3}^{1}}=12\) .

Luyện tập vận dụng 4:

Tìm ƯCLN của 126 và 162.

Giải

Ta có: \(126={{2.7.3}^{2}};162={{2}^{3}}{{.3}^{3}}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \((126,162)={{2.3}^{2}}=18\)

III. Hai số nguyên tố cùng nhau

Hoạt động 4:

Tìm ƯCLN \(\left( 8,27 \right)\) .

Giải

\(8={{2}^{3}};27={{3}^{3}}\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 8,27 \right)={{2}^{3}}{{.3}^{3}}=216\)

Luyện tập vận dụng 5:

Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?

Giải

Hai số 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

Hoạt động 5:

a) Tìm ƯCLN \(\left( 4,9 \right)\) .

b) Có thể rút gọn phân số \(\frac{4}{9}\) được nữa hay không?

Giải

a) Vì 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN \(\left( 4,9 \right)=4.9=36\) .

b) Vì 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau nên phân số \(\frac{4}{9}\) không thể rút gọn được nữa.

Bài 11: Ước chung. Ước chung lớn nhất (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

1. Ước chung và ước chung lớn nhất

Tìm tòi – khám phá 1:

Tìm các tập hợp Ư \(\left( 24 \right)\) và Ư \(\left( 28 \right)\) .

Giải

Ư \(\left( 24 \right)=\left\{ 1;2;3;4;6;8;12;24 \right\}\)

Ư \(\left( 28 \right)=\left\{ 1;2;4;7;14;28 \right\}\)

Tìm tòi – khám phá 2:

Gọi ƯC \(\left( 24,28 \right)\) là tập hợp các số vừa là ước của 24, vừa là ước của 28. Hãy viết tập hợp

ƯC \(\left( 24,28 \right)\) .

Giải

ƯC \(\left( 24,28 \right)=\left\{ 1;2;4 \right\}\)

Tìm tòi – khám phá 3:

Tìm số lớn nhất trong tập ƯC \(\left( 24,28 \right)\) .

Giải

Số lớn nhất trong tập ƯC \(\left( 24,28 \right)\) là 4.

Câu hỏi:

Tìm ƯCLN \(\left( 90,10 \right)\) .

Giải

Ư \(\left( 90 \right)=\left\{ 1;2;3;5;6;10;15;18;30;45;90 \right\}\)

Ư \(\left( 10 \right)=\left\{ 1;2;5;10 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 90,10 \right)=\left\{ 1;2;5;10 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 90,10 \right)=10\) .

Luyện tập 1:

Bố có 12 quả bóng màu xanh và 15 quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia số bóng cho ba anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng màu xanh và bóng màu đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay không?

Giải

Ư \(\left( 12 \right)=\left\{ 1;2;3;4;6;12 \right\}\)

Ư \(\left( 15 \right)=\left\{ 1;3;5;15 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 12,15 \right)=\left\{ 1;3 \right\}\)

Vậy bố có thể thực hiện chia bóng như ý muốn.

Vận dụng 1:

Tuần này lớp 6A và 6B gồm 40 học sinh nữ và 36 học sinh nam được phân công đi thu gom rác làm sạch bờ biển ở địa phương. Nếu chia nhóm sao cho số học sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì:

a) Có thể chia được thành bao nhiêu nhóm học sinh?

b) Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm học sinh?

Giải

a) Ư \(\left( 40 \right)=\left\{ 1;2;4;5;8;10;20;40 \right\}\) ; Ư \(\left( 36 \right)=\left\{ 1;2;3;4;6;9;12;18;36 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 40,36 \right)=\left\{ 1;2;4 \right\}\)

Vì số học sinh mỗi nhóm được chia phải lớn hơn 1 nên có thể chia như sau:

- Chia thành 2 nhóm, mỗi nhóm 20 nữ và 18 nam.

- Chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm 10 nữ và 9 nam.

b) Có thể chia nhiều nhất 4 nhóm học sinh.

2. Cách tìm ước chung lớn nhất

Câu hỏi:

Tìm ƯCLN \(\left( 45,150 \right)\) , biết \(45={{3}^{2}}.5\) và \(150={{2.3.5}^{2}}\) .

Giải

ƯCLN \(\left( 45,150 \right)=3.5=15\)

Luyện tập 2:

Tìm ƯCLN \(\left( 36,84 \right)\) .

Giải

Ta có: \(36={{2}^{2}}{{.3}^{2}};84={{2}^{2}}.3.7\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 36,84 \right)={{2}^{2}}.3=12\)

Vận dụng 2:

Một đại đội bộ binh có ba trung đội: trung đội I có 24 chiến sĩ, trung đội II có 28 chiến sĩ, trung đội III có 36 chiến sĩ. Trong cuộc diễu binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng. Hỏi có thể xếp được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?

Giải

Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được là ƯCLN \(\left( 24,28,36 \right)\) .

Ta có: \(24={{2}^{3}}.3;28={{2}^{2}}.7;36={{2}^{2}}{{.3}^{2}}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 24,28,36 \right)={{2}^{2}}=4\)

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

Câu hỏi:

Biết ƯCLN \(\left( 75,105 \right)=15\) . Hãy tìm ƯC \(\left( 75,105 \right)\) .

Giải

Vì ƯCLN \(\left( 75,105 \right)=15\) nên ƯC \(\left( 75,105 \right)=\) Ư \(\left( 15 \right)\)

Ta có: Ư \(\left( 15 \right)=\left\{ 1;3;5;15 \right\}\)

Vậy ƯC \(\left( 75,105 \right)=\left\{ 1;3;5;15 \right\}\) .

Thử thách nhỏ:

Vào ngày thứ Bảy, cô Lan tổ chức cho học sinh đi tham quan Bảo tàng Dân tộc học. Các học sinh đóng tiền mua vé, mỗi em một vé. Số tiền cô Lan thu được từng ngày được ghi lại ở bảng sau:

a) Hỏi số tiền để mua một vé (giá vé được tính theo đơn vị nghìn đồng) có thể là bao nhiêu, biết giá vé lớn hơn \[2\text{ }000\] đồng?

b) Có bao nhiêu học sinh tham gia chuyến đi, biết số học sinh trong lớp trong khoảng từ 20 đến 40 người?

Giải

a) Tổng số tiền cô Lan đã thu là: \[56+28+42+98=224\] ( nghìn đồng)

Số tiền mua một vé chính là ước chung của số tiền các ngày cô Lan thư được từ thứ Hai đến thứ

Năm hay số tiền mua một vé là ƯC \(\left( 56;28;42;98 \right)\) .

Ta có: \(56={{2}^{3}}.7;28={{2}^{2}}.7;42=2.3.7;98={{2.7}^{2}}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 56;28;42;98 \right)=2.7=14\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 56;28;42;98 \right)=\) Ư \(\left( 14 \right)=\left\{ 1;2;7;14 \right\}\)

Mà số tiền mua vé lớn hơn 2 nghìn đồng nên số tiền mua vé có thể là 7 hoặc 14 nghìn đồng.

b) Nếu giá vé bằng 7 nghìn đồng thì số vé được mua là: \(224:7=32\) (vé)

Nếu giá vé là 14 nghìn đồng thì số vé được mua là: \(224:14=16\) (vé)

Vì mỗi bạn vé nên số vé được mau tương ứng với số bạn tham giá đi

Mà số bạn tham gia trong khoảng từ 20 đến 40

\(\Rightarrow \) Số bạn tham gia là 32 bạn, giá vé mua là 7 nghìn đồng/vé.

3. Rút gọn về phân số tối giản

Câu hỏi:

Phân số \(\frac{16}{10}\) đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

Giải

Phân số \(\frac{16}{10}\) chưa phải là phân số tối giản vì 16 và 10 không phỉa hai số nguyên tố cùng nhau.

Rút gọn: \(\frac{16}{10}=\frac{16:2}{10:2}=\frac{8}{5}\) .

Luyện tập 3:

Rút gọn về phân số tối giản: a) \(\frac{90}{27}\) ; b) \(\frac{50}{125}\)

Giải

a) \(\frac{90}{27}=\frac{90:9}{27:9}=\frac{10}{3}\)

b) \(\frac{50}{125}=\frac{50:25}{125:25}=\frac{2}{5}\)

Bài 12: Ước chung. Ước chung lớn nhất (Sách Chân trời sáng tạo)

1. Ước chung

Hoạt động khám phá 1:

a) Một nhóm học sinh gồm 12 bạn nam và 8 bạn nữ đi dã ngoại. Có bao nhiêu cách chia nhóm, mỗi nhóm từ 2 bạn trở lên sao cho số bạn nam ở mỗi nhóm bằng nhau, số bạn nữ ở mỗi nhóm cũng bằng nhau.

b) Viết các tập hợp Ư(18), Ư(30). Liệt kê các phần tử chung của hai tập hợp này.

Giải

a) Có 3 cách chia nhóm như sau:

- Có 1 nhóm, mỗi nhóm gồm 12 bạn nam và 8 bạn nữ.

- Có 2 nhóm, mỗi nhóm gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ.

- Có 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 3 bạn nam và 2 bạn nữ.

b) Ư \(\left( 8 \right)=\left\{ 1,2,4,8 \right\}\) ;Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ 1,2,3,5,6,10,15,30 \right\}\Rightarrow \) ƯC \(\left( 8,30 \right)=\left\{ 1,2 \right\}\)

Thực hành 1:

Các khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) \(6\in \) ƯC(24,30)

b) \(6\in \) ƯC(28,42)

c) \(6\in \) ƯC(18,24,42)

Giải

a) Đúng. Vì Ư \(\left( 24 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,8,12,24 \right\}\) ; Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ 1,2,3,5,6,10,15,30 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 24,30 \right)=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)

b) Sai. Vì Ư \(\left( 28 \right)=\left\{ 1,2,4,7,14,28 \right\}\) ;Ư \(\left( 42 \right)=\left\{ 1,2,3,6,7,14,21,42 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 28,42 \right)=\left\{ 1,2,7,14 \right\}\)

c) Đúng. Vì Ư \(\left( 18 \right)=\left\{ 1,2,3,6,9,18 \right\}\) ;Ư \(\left( 24 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,8,12,24 \right\}\) ;

Ư \(\left( 42 \right)=\left\{ 1,2,3,6,7,14,21,42 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 18,24,42 \right)=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)

Thực hành 2:

Tìm ước chung của:

a) 36 và 45

b) 18, 36 và 45

Giải

a) Ư \(\left( 36 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,9,12,18,36 \right\}\) ; Ư \(\left( 45 \right)=\left\{ 1,3,5,9,15,45 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 36,45 \right)=\left\{ 1,3,9 \right\}\)

b) Ư \(\left( 18 \right)=\left\{ 1,2,3,6,9,18 \right\}\) ; Ư \(\left( 36 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,9,12,18,36 \right\}\) ; Ư \(\left( 45 \right)=\left\{ 1,3,5,9,15,45 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 18,36,45 \right)=\left\{ 1,3,9 \right\}\)

2. Ước chung lớn nhất

Hoạt động khám phá 2:

Một chi đội gồm 18 học sinh nam và 30 học sinh nữ muốn lập thành các đội tham gia hội diễn văn nghệ sao cho tiết mục của các đội khác nhau và mỗi bạn chỉ tham gia một đội, số nam trong các đội bằng nhau và số nữ cũng vậy. Có thể biểu diễn được nhiều nhất bao nhiêu tiết mục văn nghệ?

Giải

Số tiết mục văn nghệ biểu diễn nhiều nhất là ước chung lớn nhất của 18 và 30.

Ta có: Ư \(\left( 18 \right)=\left\{ 1,2,3,6,9,18 \right\}\) ; Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ 1,2,3,5,6,10,15,30 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 18,30 \right)=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 18,30 \right)=6\)

\(\Rightarrow \) Lớp có thể biểu diễn nhiều nhất 6 tiết mục văn nghệ.

Thực hành 3:

Viết ƯC(24,30) và từ đó chỉ ra ƯCLN(24,30).

Giải

Ư \(\left( 24 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,8,12,24 \right\}\) ; Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ 1,2,3,5,6,10,15,30 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 24,30 \right)=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 24,30 \right)=6\)

3. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Thực hành 4:

Tìm ƯCLN (24, 60); ƯCLN (14, 33); ƯCLN (90, 135, 270)

Giải

Ta có:

+) \(24=2.2.2.3={{2}^{3}}.3;60=2.2.3.5={{2}^{2}}.3.5\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 24,60 \right)={{2}^{2}}.3=12\)

+) \(14=2.7;33=1.33\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 14,33 \right)=1\)

+) \(90=2.3.3.5={{2.3}^{2}}.5;135=3.3.3.5={{3}^{3}}.5;270=2.3.3.3.5={{2.3}^{3}}.5\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 90,135,270 \right)={{3}^{2}}.5=45\)

4. Ứng dụng trong rút gọn phân số

Thực hành 5:

Rút gọn các phân số sau: \(\frac{24}{108};\frac{80}{32}\)

Giải

Ta có: ƯCLN \((24,108)=12\) ; ƯCLN \((80,32)=16\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{24}}{{108}} = \frac{{24:12}}{{108:12}} = \frac{2}{9}\\ \frac{{80}}{{32}} = \frac{{80:16}}{{32:16}} = \frac{5}{2} \end{array} \right.\)

C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất (Sách Cánh diều)

Bài 1. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

Số 1 là ước chung của hai số tự nhiên bất kì. Vì tất cả các số tự nhiên đều có ước là 1.

Bài 2. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

a) ƯC (440, 495) = {1, 5, 11, 55}

b) ƯCLN (440, 495) = 55

Bài 3. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

a) ƯCLN (31, 22) = 1

ƯCLN (31, 34) = 1

ƯCLN (22, 34) = 2

b) ƯCLN (105, 128) = 1

ƯCLN (128, 135) = 1

ƯCLN (105, 135) = 15

Bài 4. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

Ta có: \(126={{2.3}^{2}}.7;150={{2.3.5}^{2}}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN (126, 150) = 2.3 = 6

Mà ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất

\(\Rightarrow \) ƯC (126, 150) = {1, 2, 3, 6}

Bài 5. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

\(\begin{array}{l} \frac{{60}}{{72}} = \frac{5}{6}\\ \frac{{70}}{{95}} = \frac{{14}}{{19}}\\ \frac{{150}}{{360}} = \frac{5}{{12}} \end{array}\)

Bài 6. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

Phân số \(\frac{4}{9}\) bằng hai phân số \(\frac{48}{108}\) và \(\frac{80}{180}\) .

Bài 7. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

Để số bạn nam và số bạn nữ được chia đều vào các đội

\(\Rightarrow \) Số đội được chia là ước chung của 24 và 36

Mà ƯC (24, 36) = {1, 2, 3, 6}

\(\Rightarrow \) Có thể chia các bạn nhiều nhất thành 6 đội để số bạn nam và số bạn nữ được chia đều vào các đội.

Bài 8. (Sách Toán Cánh diều, tập 1, trang 51)

Gọi x là số cách chia mảnh đất thành các mảnh hình vuông bằng nhau

y là độ dài lớn nhất của cạnh mảnh đất hình vuông

\(\Rightarrow \) x là số ước chung của 48 và 42

\(\Rightarrow \) y là ước chung lớn nhất của 48 và 42

Ta có: ƯC (42, 48) = {1, 2, 3, 6}

\(\Rightarrow \) ƯCLN (42, 48) = 6

Vậy có 4 cách chia mảnh đất thành những hình vuông bằng nhau và cạnh của mảnh đất hình vuông lớn nhất là bằng 6m. Khi đó diện tích mỗi mảnh hình vuông là \(S=6.6=36{{m}^{2}}\) .

Bài 11. Ước chung. Ước chung lớn nhất (Sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

Bài 2.30 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 48)

a) Ư \(\left( 30 \right)=\left\{ 1;2;3;5;6;10;15;30 \right\}\) ; Ư \(\left( 45 \right)=\left\{ 1;3;5;9;15;45 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 30;45 \right)=\left\{ 1;3;5;15 \right\}\)

b) Ư \(\left( 42 \right)=\left\{ 1;2;3;6;7;14;21;42 \right\}\) ; Ư \(\left( 70 \right)=\left\{ 1;2;5;7;10;14;35;70 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 42,70 \right)=\left\{ 1;2;7;14 \right\}\)

Bài 2.31 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 48)

a) \(40={{2}^{3}}.5;70=2.5.7\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 40,70 \right)=2.5=10\)

b) \(55=5.11;77=7.11\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 55,77 \right)=11\)

Bài 2.32 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 48)

a) ƯCLN \(({{2}^{2}}.5;2.3.5)=2.5=10\)

b) ƯCLN \(\left( {{2}^{4}}.3;{{2}^{2}}{{.3}^{2}}.5;{{2}^{4}}.11 \right)={{2}^{2}}=4\)

Bài 2.33 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 48)

a) \(a=72={{2}^{3}}{{.3}^{2}};b=96={{2}^{5}}.3\)

b) ƯCLN \(\left( a,b \right)=\) ƯCLN \(\left( 72,96 \right)={{2}^{3}}.3=24\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 72,96 \right)=\) Ư \(\left( 24 \right)=\left\{ 1;2;3;4;6;8;12;24 \right\}\)

Bài 2.34 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 48)

a) Ta có: \(50={{2.5}^{2}};85=5.17\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 50,85 \right)=5\Rightarrow \) Phân số \(\frac{50}{85}\) chưa tối giản

Rút gọn: \(\frac{50}{85}=\frac{50:5}{85:5}=\frac{10}{17}\)

b) Ta có: \(23=23;81={{3}^{4}}\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 23,81 \right)=1\Rightarrow \) Phân số \(\frac{23}{81}\) là phân số tối giản

Bài 2.35 (Sách Toán Kết nối tri thức với cuộc sống, tập 1, trang 48)

Hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai số đều là hợp số:

+ 4 và 9.

+ 25 và 36.

Bài 12: Ước chung. Ước chung lớn nhất (Sách Chân trời sáng tạo)

Bài 1. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 38)

a) Sai. Vì Ư \(\left( 12 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,12 \right\}\) ;Ư \((24)=\left\{ 1,2,3,4,6,8,12,24 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 12,24 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,12 \right\}\)

b) Đúng. Vì Ư \(\left( 36 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,9,12,18,36 \right\}\) ; Ư \(\left( 12 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,12 \right\}\) ;

Ư \(\left( 48 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 \right\}\)

\(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 36,12,48 \right)=\left\{ 1,2,3,4,6,12 \right\}\)

Bài 2. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 39)

a) ƯCLN \(\left( 1,16 \right)=1\)

b) Ta có: \(8={{2}^{3}};20={{2}^{2}}.5\) \(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 8,20 \right)={{2}^{2}}=4\)

c) Ta có: \(84={{2}^{2}}.3.7;156={{2}^{2}}.3.13\) \(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 84,156 \right)={{2}^{2}}.3=12\)

d) Ta có: \(16={{2}^{4}};40={{2}^{3}}.5;176={{2}^{4}}.11\) \(\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 16,40,176 \right)={{2}^{3}}=8\)

Bài 3. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 39)

a) Ta có: \(A=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)

Ta thấy ƯC \((18,30)=6\) nên tập hợp ƯC \(\left( 18,30 \right)\) giống tập hợp A.

b) Ta có:

i. \(24={{2}^{3}}.3;30=2.3.5\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 24,30 \right)=2.3=6\Rightarrow \) ƯC \(\left( 24,30 \right)=\left\{ 1,2,3,6 \right\}\)

ii. \(42=2.3.7;98={{2.7}^{2}}\Rightarrow \) ƯCLN \(\left( 42,98 \right)=2.7=14\Rightarrow \) ƯC \(\left( 42,98 \right)=\left\{ 1,2,7,14 \right\}\)

iii. \(180={{2}^{2}}{{.3}^{2}}.5;234={{2.3}^{2}}.13\Rightarrow \) ƯCLN \((180,234)={{2.3}^{2}}=18\)

\(\Rightarrow \) ƯC \(\left( 180,234 \right)=\left\{ 1,2,3,6,9,18 \right\}\)

Bài 4. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 39)

+) ƯCLN \(\left( 28,42 \right)=14\Rightarrow \frac{28}{42}=\frac{28:14}{42:14}=\frac{2}{3}\)

+) ƯCLN \((60,135)=15\Rightarrow \frac{60}{135}=\frac{60:15}{135:15}=\frac{4}{9}\)

+) ƯCLN \((288,180)=36\Rightarrow \frac{288}{180}=\frac{288:36}{180:36}=\frac{8}{5}\)

Bài 5. (Sách Toán Chân trời sáng tạo, tập 1, trang 39)

Độ dài lớn nhất có thể của mỗi đoạn dây ngắn được cắt ra chính là ước chung lớn nhất của 140, 168 và 210.

Ta có: \(140={{2}^{2}}.5.7;168={{2}^{3}}.3.7;210=2.3.5.7\)

\(⇒\) ƯCLN \(\left( 140,168,210 \right)=2.7=14\)

Vậy độ dài lớn nhất của mỗi đoạn dây được cắt ra là 14cm.

Khi đó chị Lan có số đoạn dây ruy băng ngắn là: \(\left( 140+168+210 \right):14=37\) (đoạn)