ÔN TẬP CHƯƠNG IV
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Hãy phát biểu bằng lời:
Trả lời:
a) Diện tích xung quanh hình lăng trụ thì bằng chu vi đường tròn đáy nhân với chiều cao.
b) Thể tích hình trụ thì bằng tích của diện tích hình tròn đáy nhân với đường cao.
c) Diện tích xung quanh hình nón thì bằng 1/2 tích của chu vi đường tròn đáy với đường sinh.
d) Thể tích hình nón bằng 1/3 tích của diện tích hình tròn đáy với chiều cao.
e) Diện tích mặt cầu thì bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn.
f) Thể tích hình cầu thì bằng 4/3 tích của diện tích hình tròn lớn với bán kính.
2. Hãy nêu cách tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt.
Trả lời:
Cách 1: Áp dụng công thức
- Với hình nón cụt có các bán kính các đáy là r1, r2, đường sinh l và chiều cao h thì :
Sxq= π(r1+ r2).l
V = 1/3πh(r12+ r22+ r1 r2)
Như vậy :
Diện tích xung quanh hình nón cụt thì bằng tích của số π với tổng hai bán kính và với đường sinh.
Thể tích của hình nón cụt thì bằng 1/3 tích của số π với đường cao h và tổng bình phương các bán kính cộng thêm tích của hai bán kính .
Cách 2: Vì hình nón cụt được cắt ra từ hình nón nên ta có thể tính
V(nón cụt )=V(nón lớn )-V(nón nhỏ )
S(xq nón cụt )=S(xq nón lớn )-S(xq nón nhỏ )
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 38 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Thể tích phần cần tính gồm:
- Thể tích hình trụ (một đáy) đường kính đáy 11cm, chiều cao 2cm (V1).
- Thể tích hình trụ (một đáy) đường kính đáy 6cm, chiều cao 7cm (V2).
Ta có:
\[ {{V}_{2}}=\pi {{\left( \frac{6}{2} \right)}^{2}}\cdot 7=3,14.\frac{36}{4}.7=197,82\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
\[ {{V}_{1}}=\pi {{\left( \frac{11}{2} \right)}^{2}}\cdot 2=3,14.\frac{121}{4}.2=189,97\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Vậy thể tích của chi tiết máy là: \[ \text{V}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=189,97+197,82=387,79\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \]
Diện tích cần tính gồm:
Diện tích xung quanh hình trụ có đường kính đáy 11cm, chiều cao 2cm:
\[ {{S}_{1}}=2\pi \left( \frac{11}{2} \right)\cdot 2=69,08\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \]
Diện tích hình tròn đáy có đường kính 11cm:
\[ {{S}_{2}}=\pi {{\left( \frac{11}{2} \right)}^{2}}=94,99\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Diện tích một phần hình tròn là hiệu giữa diện tích hình tròn đường kính 11cm và diện tích hình tròn đường kính 6cm.
\[ {{S}_{2}}=\pi {{\left( \frac{11}{2} \right)}^{2}}-\pi {{\left( \frac{6}{2} \right)}^{2}}=3,14\left( 5,{{5}^{2}}-{{3}^{2}} \right)=66,73\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Diện tích xung quanh hình trụ đường kính đáy 6cm, chiều cao 7cm:
\[ {{S}_{4}}=2\pi \left( \frac{6}{2} \right)\cdot 7=2.3,14.3.7=131,88\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Diện tích hình tròn đáy có đường kính 6cm:
\[ {{S}_{5}}=\pi {{\left( \frac{6}{2} \right)}^{2}}=3,{{14.3}^{2}}=28,26\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Vậy diện tích bề mặt của chi tiết của chi tiết máy là:
\[ \text{S}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}+{{S}_{5}}=390,94\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \] .
Bài 39 (trang 129 SGK Toán 9 tập 2):
Lời giải
Theo đề bài ta có:
\(\left\{ \begin{matrix} 2(AB+AD)=6a \\ AB\cdot AD=2{{a}^{2}} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} AB+AD=3a \\ AB\cdot AD=2{{a}^{2}} \\ \end{array} \right. \right.\)
Coi AB và AD như là các ẩn thì chúng sẽ là nghiệm của phương trình bậc hai:
\[ {{x}^{2}}-3ax+2{{a}^{2}}=0 \] (Tìm hai số khi biết tổng và tích).
Giải phương trình bậc hai này ta có:
\[ \Delta ={{(-3a)}^{2}}-4.2a={{a}^{2}}>0 \] .
\[ \Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{3a+a}{2}=2a,{{x}_{2}}=\frac{3a-a}{2}=a \] .
AB=2a và AD=a (Vì AB>AD)
Diện tích xung quanh của hình trụ là: \[ \text{S}=2\pi \text{AB}\cdot \text{AD}=4\pi {{a}^{2}} \]
Thể tích hình trụ là: \[ \text{V}=\pi \cdot A{{D}^{2}}\cdot AB=2\pi {{a}^{3}} \] .
Bài 40 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Hình nón có bán kính đáy r = 2,5m, đường sinh l = 5,6m
⇒ Diện tích đáy: Sđ = π.r2 = 6,25π (m2)
⇒ Diện tích xung quanh: Sxq = π.r.l = 14π (m2)
⇒ Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Sđ + Sxq = 20,25π (m2)
b) Hình nón có bán kính đáy r = 3,6m; đường sinh l = 4,8m
⇒ Diện tích đáy: Sđ = π.r2 = 12,96π (m2)
⇒ Diện tích xung quanh: Sxq = π.r.l = 17,28π (m2)
⇒ Diện tích toàn phần hình nón: Stp = Sđ + Sxq = 30,24π (m2).
Bài 41 (trang 129 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Xét \[ \Delta \text{AOC} \] và \[ \Delta \text{BDO} \] , có:
\[ \widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}={{90}^{{}^\circ }} \]
\[ \widehat{\text{COA}}=\widehat{\text{ODB}} \] (Cùng phụ góc \[ \widehat{BOD} \] )
\[ \Rightarrow \Delta \text{AOC}\sim\Delta \text{BDO} \] (g – g)
\[\Rightarrow \frac{AO}{BD}=\frac{AC}{BO}\Rightarrow \text{AC}.\text{BD}=\text{AO}\cdot \text{BO}=\text{a}.\text{b}\] (không đổi).
b) Ta có: \[ \widehat{\text{COA}}={{60}^{{}^\circ }} \]
\[ \Rightarrow \widehat{\text{ODB}}=\widehat{\text{COA}}={{60}^{{}^\circ }} \]
Ta lại có: \[ \text{CA}=\text{AO}\cdot \tan \widehat{\text{COA}}=\text{a}\cdot \tan {{60}^{{}^\circ }}=\text{a}\sqrt{3} \]
\[ \text{BD}=\text{BO}\cdot \cot \widehat{\text{ODB}}=\text{b}\cdot \cot {{60}^{{}^\circ }}=\frac{\text{b}}{\sqrt{3}} \] .
Diện tích hình thang vuông ABCD là: \[ \text{S}=\frac{1}{2}\cdot (\text{AC}+\text{BD})\cdot \text{AB}=\frac{1}{2}\cdot \left( \text{a}\sqrt{3}+\frac{\text{b}}{\sqrt{3}} \right)\cdot (\text{a}+\text{b}) \] .
c) Khi quay hình vẽ xung quanh cạnh AB: ΔAOC tạo nên hình nón, bán kính đáy là AC, chiều cao AO; ΔBOD tạo nên hình nón, bán kính đáy BD, chiều cao OB.
Thể tích hình tròn bán kính AC là: \[ \text{V}=\frac{1}{3}\pi A{{C}^{2}}\cdot AO \] .
Thể tích hình nón bán kính đáy BD là: \[ {{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi B{{D}^{2}}\cdot OB \] .
Tỉ số thể tích là: \[ \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\text{ }=\frac{\frac{1}{3}\pi A{{C}^{2}}\cdot AO}{\frac{1}{3}\pi B{{D}^{2}}\cdot OB}=\frac{A{{C}^{2}}\cdot AO}{B{{D}^{2}}\cdot OB}=\frac{{{(a\sqrt{3})}^{2}}\cdot a}{{{\left( \frac{b\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}\cdot b}=\frac{3{{a}^{3}}}{\frac{{{b}^{3}}}{3}}=9\frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{3}}} \] .
Bài 42 (trang 130 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Thể tích của hình cần tính gồm:
Một hình trụ đường kính đáy 14cm chiều cao 5,8cm (V1):
\[ {{\text{V}}_{1}}=\pi \cdot {{\text{r}}^{2}}\cdot {{\text{h}}_{1}}=\pi {{.7}^{2}}.5,8=284,2.\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Một hình nón đường kính đáy 14cm chiều cao 8,1cm (V2)
\[ {{\text{V}}_{2}}=\frac{1}{3}\pi \cdot {{\text{r}}^{2}}\cdot {{\text{h}}_{2}}=\frac{1}{3}\pi {{.7}^{2}}.8,1=132,3\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Thể tích hình cần tính: \[ V={{\text{V}}_{1}}+{{\text{V}}_{2}}=284,2\pi +132,3\pi =416,5\pi \approx 1307,8\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
b) Thể tích cần tính là một hình nón cụt, chiều cao 8,2cm; bán kính đường tròn của đáy trên và đáy dưới theo thứ tự là 3,8cm và 7,6cm. Cách tính là lấy thể tích hình nón lớn trừ đi thể tích hình nón bé.
Thể tích nón lớn là: \[ {{\text{V}}_{\text{l }\!\!\hat{\mathrm{o}}\!\!\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ n }}}=\frac{1}{3}\pi .7,{{6}^{2}}\cdot (8,2+8,2)=315,75.\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Thể tích hình nón nhỏ là: \[ {{\text{V}}_{\text{nho}}}=\frac{1}{3}\pi .3,{{8}^{2}}.8,2=39,47\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Thể tích cần tính là: \[ \text{V}={{\text{V}}_{\text{lon }}}-{{\text{V}}_{\text{nho}}}=315,75.\pi -39,47\pi \approx 867,52\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Bài 43 (trang 130 SGK Toán 9 tập 2):
Lời giải
a) Thể tích của hình cần tính gồm thể tích của một hình trụ cộng với thể tích của một nửa hình cầu.
Thể tích hình trụ: \[{{V}_{1}}=\pi {{\left( \frac{12,6}{2} \right)}^{2}}\cdot 8,4=333,39\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\]
Thể tích nửa hình cầu: \[{{V}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{\left( \frac{12,6}{2} \right)}^{3}}=166,70\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\]
Thể tích của hình: \[V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=333,39\pi +166,70\pi =500,1\pi \approx 1570,31\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\].
b) Thể tích của hình cần tính gồm thể tích của một hình nón cộng với thể tích của một nửa hình cầu.
Thể tích hình nón: \[{{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi {{\left( 6,9 \right)}^{2}}\cdot 20=317,4\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\]
Thể tích nửa hình cầu: \[{{V}_{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{\left( 6,9 \right)}^{3}}=219\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\]
Thể tích của hình: \[V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=317,4\pi +219\pi =526,4\pi \approx 1684,3\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)\].
c) Thể tích của hình cần tính bao gồm thể tích hình trụ, hình nón và hình cầu:
Thể tích hình nón: \[ {{V}_{1}}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {{2}^{2}}\cdot 4=\frac{16}{3}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \]
Thể tích hình trụ: \[ {{V}_{2}}=\pi \cdot {{2}^{2}}\cdot 4=16\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \]
Thể tích hình cầu: \[ {{V}_{3}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{2}^{3}}=\frac{16}{3}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \]
Thể tích hình cần tính là: \[ V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}=\frac{16}{3}\pi +16\pi +\frac{16}{3}\pi =\frac{80}{3}\pi \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right) \] .
Bài 44 (trang 130-131 SGK Toán 9 Tập 2):
05
Lời giải
Dựng GH vuông góc EF.
Khi hình vẽ quay quanh trục GO thì:
a) Ta có: \[ AB=BC=\sqrt{O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{R}^{2}}}=R\sqrt{2} \] .
Thể tích hình trụ sinh ra bởi hình vuông ABCD là: \[ \text{ABCDV}=\pi {{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}\cdot CB=\frac{\pi \sqrt{2}{{R}^{3}}}{2} \] .
Thể tích hình cầu: \[ {{V}_{1}}=\frac{4}{2}\pi {{R}^{3}} \] .
Gọi GH đồng thời là đường trung tuyến và là đường cao của tam giác \[ \Delta G\text{EF} \] .
\[ \Rightarrow GH=\frac{3}{2}GO=\frac{3}{2}RGH=\frac{\text{EF}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \text{EF}=\frac{2GH}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}R \] .
Thể tích hình nón: \[ {{V}_{2}}=\frac{\pi }{3}{{\left( \frac{EF}{2} \right)}^{2}}\cdot \text{GH}=\frac{3}{8}\pi {{R}^{3}} \] .
Rõ ràng rằng: \[ {{V}^{2}}={{V}_{1}}.{{V}_{2}} \] (đpcm).
b) Diện tích toàn phần của hình nón: \[ \text{S}=2\pi \cdot \frac{AB}{2}\cdot \text{BC}+2\pi {{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}=3\pi {{R}^{2}} \] .
Diện tích mặt cầu: \[ {{S}_{1}}=4\pi {{R}^{2}} \] .
Diện tích toàn phần của hình nón: \[ {{S}_{2}}=\pi \frac{EF}{2}\cdot FG+\pi {{\left( \frac{EF}{2} \right)}^{2}}=\frac{9\pi {{R}^{2}}}{4} \] .
Rõ ràng: \[ {{S}^{2}}={{S}_{1}}\times {{S}_{2}}(\text{dpcm}) \] .
Bài 45 (trang 131 SGK Toán 9 Tập 2):
Hình 120
Lời giải
a) Hình cầu bán kính r, vậy thể tích của nó là \[ V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}} \]
b) Hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng 2r
Vậy thể tích của nó là: V1 = πr2.2r = 2πr3
c) Thể tích hình trụ trừ đi thể tích hình cầu là: \[ {{\text{V}}_{2}}={{\text{V}}_{1}}-\text{V}=\frac{2}{3}\pi {{\text{r}}^{3}} \]
d) Thể tích hình nón có bán kính đáy r, chiều cao 2r: \[ {{\text{V}}_{3}}=\frac{\pi }{3}{{\text{r}}^{2}}\cdot 2\text{r}=\frac{2}{3}\pi {{\text{r}}^{3}} \]
e) Từ các kết quả trên suy ra: Thể tích hình nón "nội tiếp" trong một hình trụ thì bằng thể tích hình trụ trừ đi thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy.
Hoặc: Thể tích hình trụ bằng tổng thể tích hình nón và hình cầu nội tiếp hình trụ.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất