ÔN TẬP CHƯƠNG IV
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Đồ thị hàm số:
Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.
– Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
– Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất cảu đồ thị.
2. Cách vẽ đồ thị:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.
Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.
3. Phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.
a) Công thức nghiệm
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac
+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}. \]
+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}. \]
+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình ax2 bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b’=2b biệt thức Δ’ = b’2 – ac.
+ Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}. \]
+ Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{a}. \]
+ Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
4. Định lý Vi – ét và ứng dụng
a. Định lý Vi - ét
Nếu \[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \] là hai nghiệm của phương trình \[ a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right) \] thì: \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\).
b. Ứng dụng của định lý Vi – ét
a) Tính nhẩm nghiệm
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c/a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -c/a
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0.
5. Phương trình quy về phương trình bậc hai
a. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
Giải phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
+ Đặt ẩn phụ x2 = t, t ≥ 0
+ Giải phương trình ẩn phụ mới: at2 + bt + c = 0
+ Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình x2 = t.
b. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
+ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức
+ Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
+ Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
c. Phương trình tích
Ta có: \(ABC=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& A=0 \\ & B=0 \\ & C=0 \\ \end{align} \right.\) ;
Để đưa phương trình đã cho về phương trình tích ta dùng phương pháp: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, phương pháp thêm bớt hay sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.
6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .
Bước 2: Giải phương trình nói trên.
Bước 3: Trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
1. Hàm số bậc hai
a) Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước
Bước 1: Thay giá trị của biến đã biết vào hàm số y = ax2 (a ≠ 0) để tính giá trị của biến còn lại.
+) Điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) ⇒ tọa độ điểm A thỏa mãn hàm số
y0 = ax02
Bước 2: Kết luận.
b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cho hàm số y = ax2 (a ≠ 0).
Bước 1: Xét dấu của hệ số a.
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
- Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Bước 2: Kết luận.
c) Các bài toán về tham số của hàm số y = ax2
Cho hàm số y = ax2(a ≠ 0).
Tính chất của hàm số và đồ thị.
- Nếu a > 0:
+ Hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
+ Hàm số đạt GTNN bằng 0 tại x = 0.
+ Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, có điểm O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0:
+ Hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
+ Hàm số đạt GTLN bằng 0 tại x = 0.
+ Đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, có điểm O là điểm cao nhất của đồ thị.
d) Tìm tham số khi biết một điểm thuộc đồ thị
Bước 1: Tìm tọa độ (x; y) của một điểm thuộc đồ thị hàm số (nếu cần).
Bước 2: Thay các giá trị x; y vào hàm số, giải phương trình để tìm tham số.
Bước 3: Kết luận.
2. Giải phương trình với hai trường hợp đặc biệt
a) Trường hợp c = 0.
Khi đó phương trình có dạng: ax2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0
Phương trình có nghiệm: x1 = 0; x2 = -b/a
b) Trường hợp b = 0
Khi đó phương trình có dạng: ax2 + c = 0 ⇔ x2 = -c/a
+ Nếu a, c cùng dấu thì -c/a < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a, c khác dấu thì -c/a > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm
3. Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 1: Xác định các hệ số a; b; c của phương trình bậc hai ax2 + bx + c.
Bước 2: Tính Δ = b2 - 4ac.
+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b}{2a}. \]
+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}. \]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).
Bước 4: Kết luận.
4. Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Bước 1: Xác định các hệ số a; b’; c của phương trình bậc hai ax2 + bx + c.
Bước 2: Tính Δ’ = b’2 - ac.
+ TH1: Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
+ TH2: Δ = 0, phương trình có nghiệm kép \[ x_{1}^{{}}=x_{2}^{{}}=\frac{-b'}{a}. \]
+ TH3: Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ x_{1}^{{}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a}; \] \[ x_{2}^{{}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}. \]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình (nếu có).
Bước 4: Kết luận.
5. Định lý Vi – ét và ứng dụng
a) Dạng 1: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.
Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
b) Dạng 2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm x0 của phương trình.
Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.
Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
Bước 3: Kết luận.
c) Dạng 3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.
Bước 3: Tính m theo S và P.
Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.
Bước 5: Kết luận.
d) Dạng 4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = \[ \frac{c}{a} \] .
+) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = \[ -\frac{c}{a} \] .
f) Dạng 5. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 .
Điều kiện để có u và v là S2 - 4P ≥ 0.
6. Phương trình quy về phương trình bậc hai
a) Dạng 1: giải phương trình trùng phương: cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Bước 1: Đặt x2 = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.
Bước 3: Giải phương trình x2 = t để tìm nghiệm .
Bước 4: Kết luận.
b) Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương
+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.
+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
+) Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm ⇒ phương trình (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.
+) Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.
c) Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Quy đồng, khử mẫu, rút gọn đưa về dạng phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình bậc hai.
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận.
9. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Dạng 1. Cấu tạo số:
+) Số tự nhiên có hai chữ số: \[\overline{ab}=10a+b(a,b\in \mathbb{N},0.
+) Số tự nhiên có ba chữ số: \[\overline{abc}=100a+10b+c(a,b,c\in \mathbb{N},0.
+) Phân số: \[ \frac{a}{b}\left( a,b\in Z,b\ne 0 \right) \] .
+) Nghịch đảo của số x ≠ 0 là \[ \frac{1}{x} \] .
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
a) Dạng 2. Bài toán năng suất
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Công việc = Năng xuất x Thời gian
b) Dạng 3. Bài toán chuyển động
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
c) Dạng 4. Bài toán về diện tích hình học
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Một số công thức tính diện tích thường gặp:
Diện tích tam giác: \[ S=\frac{1}{2}ah \] (a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao ứng với cạnh đáy).
Diện tích hình vuông: S = a2 (a là độ dài cạnh góc vuông).
Diện tích hình chữ nhật: S = ab (a, b là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật).
Diện tích hình tròn: S = πR2 (R là bán kính của hình tròn).
d) Dạng 5. Bài toán liên quan đến Vật Lí, Hóa Học, …
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Một số công thức liên quan tới các bài toán Vật lý, Hóa học, … thường gặp
Công thức tính nồng độ dung dịch \[ C%=\frac{{{m}_{ct}}}{{{m}_{\text{dd}}}}.100% \] .
Công thức tính khối lượng riêng của chất lỏng: \[ D=\frac{m}{V} \] (kg/m3, m là khối lượng (kg), V là thể tích (m3)).
Công thức tính khối lượng của kim loại: m = n.M (n là số mol, M là khối lượng mol).
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 54 (trang 63 SGK Toán 9 Tập 2):
a)Đường thẳng đi qua B(0; 4) và song song với trục Ox có dạng : y =4 .
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \[ \frac{1}{4}{{x}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=\pm 4 \]
Vậy hoành độ của M là x=-4 và M’ là x =4
b) Tìm trên đồ thị của hàm số \[ y=-\frac{1}{4}{{x}^{2}} \] điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ điểm N và N’ bằng hai cách:
- Ước lượng trên hình vẽ;
- Tính toán theo công thức.
Lời giải
- Bảng giá trị:
| x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
- Vẽ đồ thị:
a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox cắt đồ thị tại hai điểm M, M' (xem hình). Từ đồ thị ta có hoành độ của M là x = 4, của M' là x = - 4.
b) + Từ điểm M và M’ kẻ đường thẳng song song với trục Oy cắt đồ thị \[ y=-\frac{1}{4}{{x}^{2}} \] tại N và N’.
+ MM’N’N là hình chữ nhật ⇒ NN’ // MM’ // Ox.
Vậy NN’ // Ox.
+ Tìm tung độ N và N’.
Từ hình vẽ ta nhận thấy : N(-4 ; -4) ; N’(4 ; -4).
Tính toán:
\(\begin{align}& {{x}_{N}}={{x}_{M}}=-4\Rightarrow {{y}_{N}}=-\frac{1}{4}\cdot x_{N}^{2}=-4 \\ & {{x}_{{{N}^{\prime }}}}={{x}_{{{M}^{\prime }}}}=4\Rightarrow {{y}_{{{N}^{\prime }}}}=-\frac{1}{4}\cdot x_{{{N}^{\prime }}}^{2}=-4 \\ \end{align} \)
Bài 55 (trang 63 SGK Toán 9 Tập 2):
a) x2 – x – 2 = 0
Có a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2}
b) + Đường thẳng y = x + 2 cắt trục Ox tại (-2; 0) và cắt Oy tại (0; 2).
+ Parabol y = x2 đi qua các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).
c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: \[ {{x}^{2}}=x+2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\left( * \right) \]
Phương trình (*) chính là phương trình đã giải ở ý (a) Do đó hai nghiệm ở câu (a) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 56 (trang 63 SGK Toán 9 Tập 2):
Cả ba phương trình trên đều là phương trình trùng phương.
a) 3x4 – 12x2 + 9 = 0 (1)
Đặt x2 = t, t ≥ 0.
(1) trở thành: 3t2 – 12t + 9 = 0 (2)
Giải (2):
Có a = 3; b = -12; c = 9
⇒ a + b + c = 0
⇒ (2) có hai nghiệm t1 = 1 và t2 = 3.
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
+ t = 3 ⇒ x2 = 3 ⇒ x = ±√3.
+ t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1.
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\sqrt{3};-1;1;\sqrt{3} \right\}. \]
b) 2x4 + 3x2 – 2 = 0 (1)
Đặt x2 = t, t ≥ 0.
(1) trở thành: 2t2 + 3t – 2 = 0 (2)
Giải (2) :
Có a = 2 ; b = 3 ; c = -2
⇒ Δ = 32 – 4.2.(-2) = 25 > 0
⇒ (2) có hai nghiệm: \[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{-3-\sqrt{25}}{2.2}=-2;{{\text{t}}_{2}}=\frac{-3+\sqrt{25}}{2.2}=\frac{1}{2} \]
t1 = -2 < 0 nên loại.
Với \[ t=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}^{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right\}. \]
c) x4 + 5x2 + 1 = 0 (1)
Đặt x2 = t, t > 0.
(1) trở thành: t2 + 5t + 1 = 0 (2)
Giải (2):
Có a = 1; b = 5; c = 1
⇒ Δ = 52 – 4.1.1 = 21 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{-5-\sqrt{21}}{2};{{\text{t}}_{2}}=\frac{-5+\sqrt{21}}{2} \] .
Cả hai nghiệm đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 57 (trang 63 SGK Toán 9 Tập 2):
a) 5x2 – 3x + 1 = 2x + 11
⇔ 5x2 – 3x + 1 – 2x – 11 = 0
⇔ 5x2 – 5x – 10 = 0
Có a = 5; b = -5; c = -10 ⇒ a - b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: x1 = -1 và x2 = -c/a = 2.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}.
b)
\(\begin{align}& \frac{{{x}^{2}}}{5}-\frac{2x}{3}=\frac{x+5}{6} \\ & \Leftrightarrow \frac{6{{\text{x}}^{2}}-20\text{x}}{30}=\frac{5(\text{x}+5)}{30} \\ \end{align}\)
⇔ 6x2 – 20x = 5(x + 5)
⇔ 6x2 – 20x – 5x – 25 = 0
⇔ 6x2 – 25x – 25 = 0
Có a = 6; b = -25; c = -25
⇒ Δ = (-25)2 – 4.6.(-25) = 1225 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{x}_{1}}=\frac{25+\sqrt{1225}}{2.6}=5;{{x}_{2}}=\frac{25-\sqrt{1225}}{2.6}=\frac{-5}{6} \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\frac{5}{6};5 \right\}. \]
c)
\(\begin{align} & \frac{x}{x-2}=\frac{10-2x}{{{x}^{2}}-2x}\text{ }\left( \text{x}\ne 0;\text{x}\ne 2 \right) \\ & \Leftrightarrow \frac{x}{x-2}=\frac{10-2x}{x(x-2)} \\ \end{align}\)
⇔ x2 = 10 – 2x
⇔ x2 + 2x – 10 = 0
Có a = 1; b = 2; c = -10 ⇒ Δ’ = 12 – 1.(-10) = 11 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=-1-\sqrt{11};{{\text{x}}_{2}}=-1+\sqrt{11} \]
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -1-\sqrt{11};-1+\sqrt{11} \right\} \] .
d)
\(\begin{align}& \frac{x+0,5}{3x+1}=\frac{7x+2}{9{{x}^{2}}-1}\left( \text{x}\ne \pm \frac{1}{3} \right) \\ & \Leftrightarrow \frac{x+0,5}{3x+1}=\frac{7x+2}{(3x+1)(3x-1)} \\ \end{align}\)
⇔ (x + 0,5).(3x – 1) = 7x + 2
⇔ 3x2 + 1,5x – x – 0,5 = 7x + 2
⇔ 3x2 – 6,5x – 2,5 = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{5}{2}\left( TM \right) \\ & x=-\frac{1}{3}\left( L \right) \\ \end{align} \right.\) .
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ \frac{5}{2} \right\}. \]
e) \[ 2\sqrt{3}{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1=\sqrt{3}(\text{x}+1) \]
\(\begin{align} & \Leftrightarrow 2\sqrt{3}{{\text{x}}^{2}}+\text{x}+1-\sqrt{3}(\text{x}+1)=0 \\ & \Leftrightarrow 2\sqrt{3}{{\text{x}}^{2}}+(1-\sqrt{3})\text{x}+1-\sqrt{3}=0 \\ \end{align}\)
Ta có: \[ a=2\sqrt{3};b=1-\sqrt{3};c=1-\sqrt{3} \]
\[ \Rightarrow \Delta ={{(1-\sqrt{3})}^{2}}-4.2\sqrt{3}\cdot (1-\sqrt{3})=1-2\sqrt{3}+3-8\sqrt{3}+24=28-10\sqrt{3}=25-2.5\cdot \sqrt{3}+3={{(5-\sqrt{3})}^{2}}>0 \]
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{x}_{1}}=\frac{\sqrt{3}-1-(5-\sqrt{3})}{2.2\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2};{{x}_{2}}=\frac{\sqrt{3}-1+(5-\sqrt{3})}{2.2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \] .
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ \frac{1-\sqrt{3}}{2};\frac{1}{\sqrt{3}} \right\} \] .
f) \[ {{x}^{2}}+2\sqrt{2}x+4=3(x+\sqrt{2}) \]
\[ \Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}+2\sqrt{2}\text{x}+4-3(\text{x}+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}+(2\sqrt{2}-3)\text{x}+4-3\sqrt{2}=0 \]
Ta có: \[ \text{a}=1;\text{b}=2\sqrt{2}-3;\text{c}=4-3\sqrt{2} \]
\[ \Rightarrow \Delta ={{(2\sqrt{2}-3)}^{2}}-4\cdot (4-3\sqrt{2})=1>0 \]
Phương trình có hai nghiệm: \[ {{x}_{1}}=\frac{-2\sqrt{2}+3-1}{2}=1-\sqrt{2};{{x}_{2}}=\frac{-2\sqrt{2}+3+1}{2}=2-\sqrt{2}. \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ 1-\sqrt{2};2-\sqrt{2} \right\}. \]
Bài 58 (trang 63 SGK Toán 9 Tập 2):
a) 1,2x3 – x2 – 0,2x = 0
⇔ 0,2x.(6x2 – 5x – 1) = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & 6{{x}^{2}}-5x-1=0\left( 1 \right) \\ \end{align} \right.\)
Giải (1): 6x2 – 5x – 1 = 0
có a = 6; b = -5; c = -1
⇒ a + b + c = 0
⇒ (1) có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = c/a = -1/6.
Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\frac{1}{6};0;1 \right\}. \]
b) 5x3 – x2 – 5x + 1 = 0
⇔ x2(5x – 1) – (5x – 1) = 0
⇔ (x2 – 1)(5x – 1) = 0
⇔ (x – 1)(x + 1)(5x – 1) = 0
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x-1=0 \\ x+1=0 \\ 5 x-1=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-1 \\ x=\frac{1}{5}\end{array}\right.\right.\) .
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -1;\frac{1}{5};1 \right\}. \]
Bài 59 (trang 63 SGK Toán 9 Tập 2):
a) 2(x2 – 2x)2 + 3(x2 – 2x) + 1 = 0 (1)
Đặt x2 – 2x = t,
(1) trở thành : 2t2 + 3t + 1 = 0 (2).
Giải (2) :
Có a = 2 ; b = 3 ; c = 1
⇒ a – b + c = 0
⇒ (2) có nghiệm t1 = -1; t2 = -c/a = -1/2.
+ Với t = -1 ⇒ x2 – 2x = -1 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1.
+ Với \(t=\frac{-1}{2}\Rightarrow {{x}^{2}}-2x=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-4\text{x}+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}\text{x}=\frac{2+\sqrt{2}}{2} \\ \text{x}=\frac{2-\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.\)
Vậy (1) có tập nghiệm là \[ S=\left\{ 1;\frac{2\pm \sqrt{2}}{2} \right\}. \]
b) \[ {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}-4\cdot \left( x+\frac{1}{x} \right)+3=0 \]
Đặt \[ t=x+\frac{1}{x} \]
(1) trở thành: t2 – 4t + 3 = 0 (2)
Giải (2):
Có a = 1; b = -4; c = 3
⇒ a + b + c = 0
⇒ (2) có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 3.
+ t = 1 ⇒ x + \[ \frac{1}{x} \] = 1 ⇔ x2 + 1 = x ⇔ x2 – x + 1 = 0
Có a = 1; b = -1; c = 1 ⇒ Δ = (-1)2 – 4.1.1 = -3 < 0
Phương trình vô nghiệm.
\(+\text{t}=3\Rightarrow \text{x}+\frac{1}{\text{x}}=3\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}+1=3\text{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \[ \text{S}=\left\{ \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} \right\} \] .
Bài 60 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
Theo định lý Vi-et ta có: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)
Ta sử dụng một trong hai biểu thức trên để tìm nghiệm còn lại.
Ở bài giải dưới đây ta sẽ sử dụng điều kiện: \[ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \]
(Các bạn có thể làm cách 2 sử dụng điều kiện \[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \] ).
a) \[ 12{{x}^{2}}-8x+1=0,{{x}_{1}}=\frac{1}{2}\text{;} \]
Ta có: \[ {{\text{x}}_{1}}\cdot {{\text{x}}_{2}}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\text{x}}_{2}}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow {{\text{x}}_{2}}=\frac{1}{6} \] .
b) \[ 2{{x}^{2}}-7x-39=0,{{x}_{1}}=-3 \] ;
Ta có: \[ {{\text{x}}_{1}}\cdot {{\text{x}}_{2}}=\frac{-39}{2}\Leftrightarrow -3{{\text{x}}_{2}}=\frac{-39}{2}\Leftrightarrow {{\text{x}}_{2}}=\frac{13}{2} \] .
c) \[ {{x}^{2}}+x-2+\sqrt{2}=0,{{x}_{1}}=-\sqrt{2} \]
Ta có: \[ {{\text{x}}_{1}}\cdot {{\text{x}}_{2}}=\sqrt{2}-2\Leftrightarrow -\sqrt{2}\cdot {{\text{x}}_{2}}=\sqrt{2}-2\Leftrightarrow {{\text{x}}_{2}}=\frac{\sqrt{2}-2}{-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2)}}{-\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1 \] .
d) x2 - 2mx + m - 1 = 0 (1)
Vì x1 = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:
22 - 2m.2 + m - 1 = 0
⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0
⇔ 3- 3m = 0
⇔ m = 1
Khi m = 1 ta có: x1.x2 = m - 1 (hệ thức Vi-ét)
⇔ 2.x2 = 0 (vì x1 = 2 và m = 1)
⇔ x2 = 0
Bài 61 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
a) S = 12, P = 28 ⇒ S2 – 4P = 32 > 0
⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 12x + 28 = 0.
Có a = 1; b = -12; c = 28 ⇒ Δ’ = (-6)2 – 28 = 8 > 0
Phương trình có hai nghiệm x1 = 6 + 2√2; x2 = 6 - 2√2
Vì u > v nên u = 6 + 2√2 và v = 6 - 2√2
b) S = 3; P = 6 ⇒ S2 – 4P = -15 < 0
Vậy không tồn tại u, v thỏa mãn yêu cầu.
Bài 62 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Ta có: a = 7, b= 2(m-1), c = - m2
Suy ra: Δ' = (m - 1)2 + 7m2
Do (m-1)2 ≥ 0 mọi m và m2 ≥ 0 mọi m
=> ∆’≥ 0 với mọi giá trị của m.
Do đó phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1; x2.
Theo định lý Vi-et ta có: \( \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2\left( m-1 \right)}{7} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-{{m}^{2}}}{7} \\ \end{align} \right.\)
Khi đó:
\[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2\cdot {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}={{\left[ \frac{-2(m-1)}{7} \right]}^{2}}-2\cdot \frac{-{{m}^{2}}}{7}=\frac{4{{(m-1)}^{2}}}{49}+\frac{2{{m}^{2}}}{7} \]
\[ =\frac{4{{m}^{2}}-8m+4+14{{m}^{2}}}{49}=\frac{18{{m}^{2}}-8m+4}{49}. \]
Bài 63 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x (x > 0).
Dân số thành phố sau 1 năm là:
2 + 2.x = 2.(1 + x) (triệu người)
Dân số thành phố sau 2 năm là:
2.(1 + x) + 2.(1 + x).x = 2.(1 + x)2 (triệu người).
Theo bài ra ta có phương trình:
2.(1 + x)2 = 2,020050
⇔ (1 + x)2 = 1,010025
⇔ x + 1 = 1,005
⇔ x = 0,005 = 0,5%.
Vậy tỉ số tăng dân số trung bình một năm của thành phố là 0,5%.
Bài 64 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số mà đề bài đã cho là x, x nguyên dương, x > 2.
Bạn Quân đã chọn số x – 2 để nhân với x.
Vì tích này 120 nên ta có phương trình: \[ x(x-2)=120\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-120=0 \]
Ta có: \[ {{\Delta }^{\prime }}=1-(-120)=121\Rightarrow \sqrt{{{\Delta }^{\prime }}}=11 \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{x}_{1}}=\frac{1-11}{1}=-10(L);{{x}_{2}}=\frac{1+11}{1}=12(TM) \]
\[ \Rightarrow \] Số mà đề bài đã cho là 12.
Vậy tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị là: 12.14=168.
Vậy kết quả đúng phải là 168.
Bài 65 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)
⇒ vận tốc xe lửa thứ hai là: x + 5 (km/h)
Do hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường, với quãng đường từ Hà Nội đến Bình Sơn dài 900 km nên quãng đường mỗi xe đi được kể từ khi bắt đầu đến khi hai xe gặp nhau là
900: 2= 450 ( km).
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là \[ \frac{450}{x} \] (giờ).
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là \[ \frac{450}{x+5} \] (giờ).
Vì xe lửa thứ hai đi sau một giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe lửa thứ nhất 1 giờ. Do đó ta có phương trình: \[ \frac{450}{x}-\frac{450}{x+5}=1 \]
\[ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x=2250\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x-2250=0 \] .
Ta có: \[ \Delta =25+9000=9025,\sqrt{\Delta }=95>0 \] .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{x}_{1}}=45\left( TM \right);{{x}_{2}}=-50(L) \] .
Vậy:
Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45 km/h.
Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50 km/h.
Bài 66 (trang 64 SGK Toán 9 Tập 2):
Vì ∆ ABC đồng dạng với ∆ AMN nên: \( \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=k>0=>\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} MN=BC\cdot k=16k \\ AK=AH\cdot k=12k \\ \end{array} \right.\)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:
SMNPQ = MN. NP = MN.KH = MN.( AH – AK)
=> SMNPQ = 16k.( 12- 12k)
Theo đề bài diện tích hình chữ nhật đó là 36cm2 nên
16k.( 12- 12k ) = 36
⇔ 16k.12( 1- k) = 36
⇔ 16k(1 – k) = 3 ( chia cả hai vế cho 12)
⇔ 16k – 16k2 = 3
⇔ 16k2- 16k + 3= 0
Ta có: ∆’= (-8)2 – 16.3 = 16> 0
Phương trình trên có 2 nghiệm là: \[ {{k}_{1}}=\frac{8+4}{16}=\frac{3}{4};{{k}_{1}}=\frac{8-4}{16}=\frac{1}{4}. \]
Vậy để diện tích hình chữ nhật MNPQ là 36cm2 thì vị trí điểm M phải thỏa mãn:
\[ \frac{AM}{AB}=\frac{1}{4} \] hoặc \[ \frac{AM}{AB}=\frac{3}{4} \] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa ôn tập chương 4 toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất