ÔN TẬP CHƯƠNG I ĐẠI SỐ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Căn bậc hai số học
+) Căn bậc hai của một số không âm là số \(x\) sao cho \({x^2} = a.\)
+) Số dương \(a\) có đúng hai căn bậc hai là \(\sqrt a \) (và gọi là căn bậc hai số học của \(a\)) và \( - \sqrt a .\)
+) Số \(0\) có đúng một căn bậc hai là chính số \(0\) và nó cũng là căn bậc hai số học của \(0.\)
+) Với hai số không âm \(a,b,\) ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b .\)
2. Căn thức bậc hai
+) Với \(A\) là một biểu thức đại số, ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của \(A\).
+) \(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là \( A \ge 0.\)
\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{\rm{khi }}A \ge 0}\end{array}\\ - A\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{\rm{khi }}\, A < 0}\end{array}\end{array} \right..\)
3. Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương
Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
Nhân các căn bậc hai: \(\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {A.B} {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
Khai phương một thương: \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)\)
Chia căn bậc hai: \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}} {\rm{ }}\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)
4. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B \)
Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B \)
Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} \)
Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) thì \(A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} \)
Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)
Với \(B > 0\) thì \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\)
Với \(A > 0\) và \(A \ne {B^2}\) thì \(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}\)
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.
Phương pháp:
- Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.
-Các bài toán liên quan :
+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.
+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên
+) So sánh biểu thức với một số
+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp:
Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 70 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- \[\sqrt{\frac{25}{81}\cdot \frac{16}{49}\cdot \frac{196}{9}}=\sqrt{\frac{25}{81}}\cdot \sqrt{\frac{16}{49}}\cdot \sqrt{\frac{196}{9}}\]
\[=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}}\cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{49}}\cdot \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{{{5}^{2}}}}{\sqrt{{{9}^{2}}}}\cdot \frac{\sqrt{{{4}^{2}}}}{\sqrt{{{7}^{2}}}}\cdot \frac{\sqrt{{{14}^{2}}}}{\sqrt{{{3}^{2}}}}\]
\[=\frac{5.4.14}{9.7.3}=\frac{5.4.2}{9.3}=\frac{40}{27}\]
- \[\sqrt{3\frac{1}{16}\cdot 2\frac{14}{25}\cdot 2\frac{34}{81}=\sqrt{\frac{49}{16}\cdot \frac{64}{25}\cdot \frac{196}{81}}}\]
\[=\sqrt{\frac{49}{16}}\cdot \sqrt{\frac{64}{25}}\cdot \sqrt{\frac{196}{81}}\]
\[=\frac{\sqrt{{{7}^{2}}}}{\sqrt{{{4}^{2}}}}\cdot \frac{\sqrt{{{8}^{2}}}}{\sqrt{{{5}^{2}}}}\cdot \frac{\sqrt{{{14}^{2}}}}{\sqrt{{{9}^{2}}}}\]
\[=\frac{7.8.14}{4.5.9}=\frac{7.4.7}{5.9}=\frac{196}{45}\]
- \[\frac{\sqrt{640}\cdot \sqrt{34,3}}{\sqrt{567}}=\sqrt{\frac{640.34,3}{567}}=\sqrt{\frac{64.343}{567}}\]
\[=\sqrt{\frac{64.49.7}{81.7}}=\sqrt{\frac{64.49}{81}=\frac{8.7}{9}=\frac{56}{9}}\]
- \[\sqrt{21,6.\sqrt{810}\cdot \sqrt{{{11}^{2}}-{{5}^{2}}}}\]
\[=\sqrt{21,6.810}\cdot \sqrt{(11-5)(11+5)}\]
\[=\sqrt{216.81\cdot \sqrt{6.16}=\sqrt{216.6.81.16}}\]
\[=\sqrt{1296.81.16}=\sqrt{{{36}^{2}}\cdot {{9}^{2}}\cdot {{4}^{2}}}\]
\[=\sqrt{{{(36.9.4)}^{2}}}=1296\]
Bài 71 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- \[(\sqrt{8}-3\sqrt{2}+\sqrt{10})\sqrt{2}-\sqrt{5}=\left( \sqrt{{{2}^{2}}\cdot 2}-3\sqrt{2}+10 \right)\sqrt{2}-\sqrt{5}\]
\[=(2\sqrt{2}-3\sqrt{2}+10)\times 2-\sqrt{5}\]
\[=2\cdot {{(\sqrt{2})}^{2}}-3\cdot {{(\sqrt{2})}^{2}}+\sqrt{10}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{5}\]
\[=4-6+\sqrt{20}-\sqrt{5}=-2+2\sqrt{5}-\sqrt{5}\]
\[=-2+\sqrt{5}\]
- \[0,2\sqrt{{{(-10)}^{2}}\cdot 3}+2\sqrt{{{(\sqrt{3}-\sqrt{5})}^{2}}}=0,2.10.\sqrt{3}+2|\sqrt{3}-\sqrt{5}|\]
\[=2\sqrt{3}+2(\sqrt{5}-\sqrt{3})\]
\[=2\sqrt{3}+2\sqrt{5}-2\sqrt{3}=2\sqrt{5}\]
- \[\left( \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\cdot \sqrt{2}+\frac{4}{5}\sqrt{200} \right):\frac{1}{8}\]
\[=\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{\frac{2}{{{2}^{2}}}}+\frac{4}{5}\sqrt{\frac{400}{2}} \right):\frac{1}{8}\]
\[=\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{4}{5}\cdot 20\sqrt{\frac{1}{2}} \right):\frac{1}{8}\]
\[=\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{\frac{1}{2}}+16\sqrt{\frac{1}{2}} \right).8\]
\[=\frac{27}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot 8=27.2\sqrt{2}=54\sqrt{2}\]
- \[2\sqrt{{{(\sqrt{2}-3)}^{2}}}+\sqrt{2\cdot {{(-3)}^{2}}}-5\sqrt{{{(-1)}^{4}}}\]
\[=2|\sqrt{2}-3|+3\sqrt{2}-5\sqrt{1}\]
\[=2(3-\sqrt{2})+3\sqrt{2}-5=6-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\]
\[=1+\sqrt{2}\]
Bài 72 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- \[xy-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1={{(\sqrt{x})}^{2}}\cdot y-y\sqrt{x}+\sqrt{x}-1\]
\[=y\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)+\sqrt{x}-1=(\sqrt{x}-1)(y\sqrt{x}+1)\] với x ≥ 1
- \[\sqrt{ax}-\sqrt{by}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}=\sqrt{ax}+\sqrt{bx}-\sqrt{ay}-\sqrt{by}\]
\[=\sqrt{x}(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{y}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\]
\[=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{x}-\sqrt{y})\](với x, y, a và b đều không âm)
- \[\sqrt{a+b}+\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=\sqrt{a+b}+\sqrt{(a-b)(a+b)}\]
\[=\sqrt{a+b}+\sqrt{(a-b)}\cdot \sqrt{(a+b)}\]
\[=\sqrt{a+b}(1+\sqrt{(a-b)})\]
(với a + b, a - b đều không âm)
- \[12-\sqrt{x}-x=16-x-4-\sqrt{x}\]
\[=\left[ {{4}^{2}}-{{(\sqrt{x})}^{2}} \right]-(4+\sqrt{x})\] (tách 12 = 16 - 4 và đổi vị trí)
\[=(4-\sqrt{x})(4+\sqrt{x})-(4+\sqrt{x})\]
\[=(4+\sqrt{x})(4-\sqrt{x}-1)\]
\[=(4+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})\]
Bài 73 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- \[\sqrt{-9a}-\sqrt{9+12a+4{{a}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}\cdot (-a)}-\sqrt{{{3}^{2}}+2\cdot 3\cdot 2a+{{(2a)}^{2}}}\]
\[=3\sqrt{-a}-\sqrt{{{(3+2a)}^{2}}}=3\sqrt{a}-|3+2a|\]
Tại a = -9 ta được:
\[=3\sqrt{-}(-9)-|3+2(-9)|\]
\[=3{{\sqrt{3}}^{2}}-|3-18|\]
\[=3.3-|-15|=9-15=-6\]
- \[1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{{{m}^{2}}-4m+4}=1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{{{(m)}^{2}}-2\cdot 2m+{{2}^{2}}}\]
\[=1+\frac{3m}{m-2}\sqrt{{{(m-2)}^{2}}}=1+\frac{3m}{m-2}|m-2|\]
Tại m = 1,5 ta được
\[1+\frac{3.1,5}{1,5-2}|1,5-2|=1+\frac{4,5}{-0,5}\cdot 0,5=1-4,5=-3,5\]
- \[\sqrt{1-10a+25{{a}^{2}}}-4a=\sqrt{1-2.5a+{{(5a)}^{2}}}-4a\]
\[=\sqrt{{{(1-5a)}^{2}}}-4a=|1-5a|-4a\]
Tại a = \[\sqrt{2}\] ta được:
\[=|1-5\sqrt{2}|-4\sqrt{2}\]
\[=(5\sqrt{2}-1)-4\sqrt{2}\]
\[=\sqrt{2}-1\]
- \[4x-\sqrt{9{{x}^{2}}+6x+1}=4x-\sqrt{{{(3x)}^{2}}+2.3x+1}\]
\[=4x-\sqrt{{{(3x+1)}^{2}}}=4x-|3x+1|\]
Tại x = -\[\sqrt{3}\] ta được:
\[=4(-\sqrt{3})-|3(-\sqrt{3})+1|\]
\[=-4\sqrt{3}-|-3\sqrt{3}+1|=-4\sqrt{3}-(3\sqrt{3}-1)\]
\[=-7\sqrt{3}+1\]
Bài 74 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- \[\sqrt{{{(2x-1)}^{2}}}=3\Leftrightarrow |2x-1|=3\]
- Nếu \[x\ge \frac{1}{2}\] thì \[2x-1=3\]
\[\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\](Thỏa mãn)
- Nếu \[x<\frac{1}{2}\] thì \[-(2x-1)=3\]
\[\Leftrightarrow -2x+1=3\]
\[\Leftrightarrow -2x=2\]
\[\Leftrightarrow x=-1\] (thỏa mãn)
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và x = -1
- \[\frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-2=\frac{1}{3}\sqrt{15x}\](Điều kiện \[x\ge 0\])
\[\Leftrightarrow \frac{5}{3}\sqrt{15x}-\sqrt{15x}-\frac{1}{3}\sqrt{15x}=2\]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{3}\sqrt{15x}=2\Leftrightarrow \sqrt{15x}=6\]
\[\Leftrightarrow 15x=36\Leftrightarrow x=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}\]
Bài 75 (trang 40 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
Biến đổi vế trái:
- VT = \[=\left( \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\frac{\sqrt{216}}{3} \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\]
\[=\left( \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{{{2}^{2}}\cdot 2}-2}-\frac{\sqrt{{{6}^{2}}\cdot 6}}{3} \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\]
\[=\left( \frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}-2}-\frac{6\sqrt{6}}{3} \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\]
\[=\left( \frac{\sqrt{6}\cdot (\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}-2\sqrt{6} \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\]
\[=\left( \frac{\sqrt{6}}{2}-2\sqrt{6} \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\]
\[=\sqrt{6}\cdot \left( \frac{1}{2}-2 \right)\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{3}{2}=-1,5\]=VP
Vậy ta có điều phải chứng minh
- VT\[=\left( \frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}} \right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\]
\[=\left( \frac{\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}} \right)\cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})\]
\[=\left( -\frac{\sqrt{7}\cdot (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{5}\cdot (\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1} \right)\cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})\]
\[=(-\sqrt{7}-\sqrt{5})\cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})\]
\[=-(\sqrt{7}+\sqrt{5})\cdot (\sqrt{7}-\sqrt{5})\]
\[=-(7-5)=-2\]=VP
Vậy ta có điều phải chứng minh
- VT \[=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\]
\[=\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}\cdot \sqrt{a}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\]
\[=\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{ab}+\sqrt{b}\cdot \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})\]
\[=\frac{\sqrt{ab}\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})\]
\[=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})\]
\[={{(\sqrt{a})}^{2}}-{{(\sqrt{b})}^{2}}=a-b\]=VP
Vậy ta có điều phải chứng minh
- VT = \[=\left( 1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right)\left( 1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right)\]
\[=\left( 1+\frac{\sqrt{{{a}^{2}}}+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1} \right)\left( 1-\frac{\sqrt{{{a}^{2}}}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1} \right)\]
\[=\left[ 1+\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}+1} \right]\left[ 1-\frac{\sqrt{a(\sqrt{a}-1)}}{\sqrt{a}-1} \right]\]
\[=(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})\]
\[=1-{{(\sqrt{a})}^{2}}=1-a\]=VP
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 76 (trang 41 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- Rút gọn
Q \[=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}-\left( 1+\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}} \right)\cdot \frac{b}{a-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}\]
\[=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}-\frac{a+\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}\cdot \frac{a-\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}{b}\]
\[=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}-\frac{{{a}^{2}}-{{\left( \sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}} \right)}^{2}}}{b\cdot \sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}-\frac{{{a}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{b\cdot \sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}\]
\[=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}-\frac{{{b}^{2}}}{b\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}-\frac{b}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}\]
\[=\frac{a-b}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}}=\frac{a-b}{\sqrt{(a-b)(a+b)}}=\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}\]
- Thay a = 3b vào ta được:
Q = \[=\frac{\sqrt{3b-b}}{\sqrt{3b+b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{4b}}=\sqrt{\frac{2b}{4b}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Ôn tập chương 1. Căn bậc hai, căn bậc ba do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ