GÓC NỘI TIẾP
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
+ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
+ Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
2. Định lý.
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+ ∠BAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC (như hình 1) và chắn cung lớn BC (như hình 2)
+ Ta có thể viết: \[\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\overset\frown{BC}\] .
3. Hệ quả.
Trong một đường tròn:
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh các tam giác đồng dạng, hệ thức về cạnh, hai góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp:
Ta thường sử dụng hệ quả
Trong một đường tròn:
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90∘90∘ ) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song. Tính độ dài, diện tích
Phương pháp:
Ta sử dụng hệ quả để suy ra các góc bằng nhau từ đó chứng minh theo yêu cầu bài toán.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 15 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Đúng (theo hệ quả b).
b) Sai. Vì trong cùng một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chưa chắc cùng chắn một cung.
Bài 16 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
a) Đường tròn tâm B có \[\widehat{MAN}\] là góc nội tiếp chắn cung \[\overset\frown{MN};\overset\frown{MBN}\] là góc ở tâm chắn cung \[\overset\frown{MN}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{MBN}}=2\cdot \widehat{\text{MAN}}\]
Đường tròn tâm C có \[\widehat{\text{ MBN }}\] là góc nội tiếp chắn cung \[\widehat{\text{PQ}};\widehat{\text{PCQ}}\] là góc ở tâm chắn cung \[\overset\frown{PQ}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{PCQ}}=2\cdot \widehat{\text{MBN}}=4.\widehat{\text{MAN}}={{4.30}^{{}^\circ }}={{120}^{{}^\circ }}\text{ }\]
b) Ta có: \[\widehat{\text{PCQ}}=4.\widehat{\text{MAN}}\]
\[\widehat{\text{PCQ}}={{136}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{\text{MAN}}={{34}^{{}^\circ }}\]
Bài 17 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Áp dụng hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Cách xác định:
+ Đặt đỉnh vuông của eke trùng với một điểm N bất kỳ trên đường tròn, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại A và B ta được đường kính AB.
+ Vẫn đặt đỉnh vuông của eke tại N, xoay eke theo hướng khác, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại C và D ta được đường kính CD.
+ CD cắt AB tại tâm O của đường tròn.
Bài 18 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Các điểm A, B, C, Q, P cùng thuộc một đường tròn.
Các góc \[\widehat{\text{PAQ}};\widehat{\text{PBQ}};\widehat{\text{PCQ}}\] đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overset\frown{PQ}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{PAQ}}=\widehat{\text{PBQ}}=\widehat{\text{PCQ}}\]
Bài 19 (trang 75 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
\[\widehat{ANB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ \[\widehat{ANB}=90{}^\circ \] ⇒ AN ⊥ NB
\[\widehat{AMB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ \[\widehat{AMB}=90{}^\circ \] ⇒ AM ⊥ MB
ΔSHB có: SM ⊥ HB, NH ⊥ SB và SM; HN cắt nhau tại A.
⇒ A là trực tâm của ΔSHB.
⇒ AB ⊥ SH (đpcm)
Bài 20 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Trong đường tròn tâm O, \[\widehat{ABC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\[\Rightarrow \widehat{ABC}=90{}^\circ \]
Trong đường tròn tâm O’, \[\widehat{ABD}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\[\Rightarrow \widehat{\text{ABD}}={{90}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{\text{CBD}}=\widehat{\text{ABC}}+\widehat{\text{ABD}}={{180}^{{}^\circ }}\]
Suy ra, ba điểm C, B và D thẳng hàng.
Bài 21 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
+ (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau
\[\overset\frown{AnB},\overset\frown{An'B}\] cùng được căng bởi dây AB
\[\Rightarrow \overset\frown{AnB}=\overset\frown{An'B}\left( 1 \right)\]
+ (O) có \[\widehat{BMA}\] là góc nội tiếp chắn cung \[\overset\frown{AnB}\]
\[\Rightarrow \widehat{BMA}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AnB}\left( 2 \right)\]
+ (O’) có \[\widehat{BNA}\] là góc nội tiếp chắn cung \[\overset\frown{An'B}\]
\[\Rightarrow \widehat{BNA}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{An'B}\left( 3 \right)\]
Từ (1); (2); và (3) suy ra \[\widehat{BMA}=\widehat{BNA}\]
⇒ ΔBMN cân tại B.
Bài 22 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
\[\widehat{AMB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
\[\Rightarrow \widehat{AMB}=90{}^\circ \]
AC là tiếp tuyến của đường tròn tại A
⇒ AC ⊥ AO
\[\Rightarrow \widehat{CAB}=90{}^\circ \]
⇒ ΔABC vuông tại A có đường cao AM
⇒ AM2 = MB.MC (Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông).
Bài 23 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
TH1: M nằm trong đường tròn.
\[\widehat{BCD},\widehat{BAD}\] là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overset\frown{BD}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{BCD}}=\widehat{\text{BAD}}\]
\[\Delta \text{BMC}\] và \[\Delta \text{DMA}\] có :
\[\widehat{\text{BCM}}=\widehat{\text{DAM}}(\text{cmt})\]
\[\widehat{\text{BMC}}=\widehat{\text{DMA}}\] ( hai góc đối đỉnh)
\[\Rightarrow \Delta \text{BMC}\sim\Delta \text{DMA}\] ( g – g)
\[\Rightarrow \frac{\text{BM}}{\text{DM}}=\frac{\text{MC}}{\text{MA}}\]
⇒ MA.MB = MC.MD
TH2: M nằm ngoài đường tròn.
\[\widehat{BAD}\] là góc nội tiếp chắn cung lớn \[\overset\frown{BmD}\]
\[\Rightarrow \widehat{BAD}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{BmD}\]
\[\widehat{BCD}\] là góc nội tiếp chắn cung lớn \[\overset\frown{BnD}\]
\[\Rightarrow \widehat{BCD}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{BnD}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{BCD}}=\frac{1}{2}\cdot \text{sd}\overset\frown{BnD}\]
\[\Rightarrow \widehat{\text{BAD}}+\widehat{\text{BCD}}=\frac{1}{2}.(\text{sd}\overset\frown{BmD}+\text{sd}\overset\frown{BnD})={{180}^{{}^\circ }}\]
Mà \[\widehat{\text{BCM}}+\widehat{\text{BCD}}={{180}^{{}^\circ }}\] (hai góc kề bù)
\[\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BCM}\]
ΔMBC và ΔMDA có:
\[\widehat{M}\] chung,
\[\widehat{MCB}=\widehat{MAD}\]
\[\Rightarrow \Delta \text{MBC}\sim\Delta \text{MDA}\] (g – g)
\[\Rightarrow \frac{\text{MB}}{\text{MD}}=\frac{\text{MC}}{\text{MA}}\Rightarrow \text{MA}.\text{MB}=\text{MC}.\text{MD}\] .
Bài 24 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Gọi (O; R) là đường tròn chứa cung AMB.
Kẻ đường kính MC.
K là trung điểm AB ⇒ BK = \[\frac{AB}{2}\] = 20 (m).
\[\widehat{MBC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
⇒ \[\widehat{MBC}\] = 90º
⇒ ΔMBC vuông tại B, có BK là đường cao
⇒ BK2 = MK.KC ( hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
\[\Rightarrow \text{KC}=\frac{\text{B}{{\text{K}}^{2}}}{\text{MK}}=\frac{{{20}^{2}}}{3}=\frac{400}{3}(~\text{m})\]
\[\Rightarrow \text{MC}=\text{MK}+\text{KC}=3+\frac{400}{3}=\frac{409}{3}\] (m)
\[\Rightarrow \text{R}=\frac{\text{MC}}{2}=\frac{409}{6}(~\text{m})\]
Bài 25 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Cách vẽ như sau:
- Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.
- Vẽ nửa đường tròn đường kính BC.
- Vẽ đường tròn tâm B bán kính 2,5cm cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A.
Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đề bài.
Bài 26 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
10
M là điểm chính giữa cung \[\overset\frown{AB}\]
\[\Rightarrow \overset\frown{AM}=\overset\frown{MB}\]
Ta có MN//BC \[\Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{NC}\] (theo kết quả bài 13)
\[\Rightarrow \overset\frown{AM}=\overset\frown{NC}\] (1)
\[\widehat{SMC}\] là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \[\overset\frown{NC}\]
\[\Rightarrow \widehat{SMC}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{NC}\] (2)
\[\widehat{SCM}\] là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \[\overset\frown{AM}\]
\[\Rightarrow \widehat{SCM}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AM}\] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[\widehat{SMC}=\widehat{SCM}\]
\[\Rightarrow \Delta SCM\] cân tại S
\[\Rightarrow SM=SC\] .
\[\widehat{SAN}\] là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \[\overset\frown{NC}\]
\[\Rightarrow \widehat{SAN}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{NC}\] (2)
\[\widehat{SNA}\] là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \[\overset\frown{AM}\]
\[\Rightarrow \widehat{SNA}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{AM}\] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[\widehat{SAN}=\widehat{SNA}\]
\[\Rightarrow \Delta SAN\] cân tại S
\[\Rightarrow SA=SN\] .
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa góc nộp tiếp toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất