GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Các bước giải toán
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng .
Bước 2: Giải phương trình nói trên.
Bước 3: Trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Cấu tạo số:
+) Số tự nhiên có hai chữ số: \[\overline{ab}=10a+b(a,b\in \mathbb{N},0<a\le 9,0\le b\le 9)\].
+) Số tự nhiên có ba chữ số: \[\overline{abc}=100a+10b+c(a,b,c\in \mathbb{N},0<a\le 9,0\le b,c\le 9)\].
+) Phân số: $$ \frac{a}{b}\left( a,b\in Z,b\ne 0 \right) $$ .
+) Nghịch đảo của số x ≠ 0 là $$ \frac{1}{x} $$ .
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Dạng 2. Bài toán năng suất
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Công việc = Năng xuất x Thời gian
Dạng 3. Bài toán chuyển động
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
Dạng 4. Bài toán về diện tích hình học
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Một số công thức tính diện tích thường gặp:
Diện tích tam giác: $$ S=\frac{1}{2}ah $$ (a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao ứng với cạnh đáy).
Diện tích hình vuông: S = a2 (a là độ dài cạnh góc vuông).
Diện tích hình chữ nhật: S = ab (a, b là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật).
Diện tích hình tròn: S = πR2 (R là bán kính của hình tròn).
Dạng 5. Bài toán liên quan đến Vật Lí, Hóa Học, …
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Một số công thức liên quan tới các bài toán Vật lý, Hóa học, … thường gặp
Công thức tính nồng độ dung dịch $$ C%=\frac{{{m}_{ct}}}{{{m}_{\text{dd}}}}.100% $$ .
Công thức tính khối lượng riêng của chất lỏng: $$ D=\frac{m}{V} $$ (kg/m3, m là khối lượng (kg), V là thể tích (m3)).
Công thức tính khối lượng của kim loại: m = n.M (n là số mol, M là khối lượng mol).
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 41 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi x là số mà một bạn chọn
⇒ số còn lại là x + 5.
⇒ tích của hai số là x(x+5).
Theo đề bài ta có phương trình:
x(x+ 5) = 150
⇔ x2 + 5x = 150
⇔ x2 + 5x – 150 = 0 (*)
Phương trình (*) có: a = 1; b = 5; c = -150
⇒ Δ = 52 – 4.1.(-150) = 625 > 0
⇒ (*) có hai nghiệm: $$ {{x}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{625}}{2}=10;{{\text{x}}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{625}}{2}=-15 $$
Vậy hai số mà Minh và Lan phải chọn là 10 và 15. Hoặc hai số mà hai bạn chọn là -10 và –15.
Bài 42 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi lãi suất cho vay là : x (x > 0).
Lãi suất sau năm đầu tiên là : 2 000 000.x
Số tiền bác phải trả sau năm đầu tiên là :
2 000 000 + 2 000 000. x = 2 000 000.(1 + x)
Số tiền trên được tính là vốn của năm thứ hai.
Số tiền lãi của năm thứ hai là : 2 000 000.(1 + x).x
Số tiền vốn và lãi phải trả sau năm thứ hai là:
2 000 000.(1 + x) + 2 000 000.(1 + x). x = 2 000 000.(1 + x)2
Bài 43 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h, x > 5).
⇒ Vận tốc của xuồng lúc về là x – 5 (km/h).
Thời gian đi là: $$ \frac{120}{x}+1 $$ (h)
Quãng đường về là: 120 + 5 = 125 km
Thời gian về là: $$ \frac{125}{x-5} $$ (h)
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\begin{align} & \quad \frac{120}{x}+1=\frac{125}{x-5}\Leftrightarrow \frac{120+x}{x}=\frac{125}{x-5} \\ & \Leftrightarrow (120+x)(x-5)=125x \\ & \Leftrightarrow 120x+{{x}^{2}}-5x-600=125x \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-600=0 \\ \end{align} \)
Có a = 1; b = -10; c = -600 ⇒ Δ’ = (-5)2 – 1.(-600) = 625
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $$ {{x}_{1}}=5+\sqrt{625}=30,{{x}_{2}}=5-\sqrt{625}=-20 $$
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 30 thỏa mãn điều kiện.
Vậy vận tốc xuồng lúc đi là 30 km/h.
Bài 44 (trang 58 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số cần tìm là x.
+ Một nửa của x trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của x là: $$ \left( \frac{x}{2}-\frac{1}{2} \right).\frac{x}{2} $$
Theo bài ra ta có phương trình: $$ \left( \frac{\text{x}}{2}-\frac{1}{2} \right)\cdot \frac{\text{x}}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\text{x}-1}{2}\cdot \frac{\text{x}}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{(\text{x}-1)\cdot \text{x}}{4}=\frac{1}{2} $$
$$ \Leftrightarrow \left( x-1 \right)x=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0 $$ \[\]
Có a = 1; b = -1; c = -2
⇒ a – b + c = 1 – (-1) – 2 = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = 2.
Vậy số cần tìm là -1 hoặc 2.
Bài 45 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là x và x + 1 (x ∈ N).
Tích của hai số là: x(x + 1) = x2 + x.
Tổng hai số là : x + x + 1 = 2x + 1.
Theo bài ra ta có phương trình : x2 + x = 2x + 1 + 109
⇔ x2 – x – 110 = 0
Có a = 1; b = -1; c = -110 ⇒ Δ = (-1)2 – 4.1.(-110) = 441.
⇒ Phương trình có hai nghiệm: $$ {{\text{x}}_{1}}=\frac{1-\sqrt{441}}{2.1}=-10;{{\text{x}}_{2}}=\frac{1+\sqrt{441}}{2.1}=11 $$
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 11 thỏa mãn điều kiện.
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.
Bài 46 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m, x > 0).
Diện tích bằng 240 m2 ⇒ Chiều dài mảnh đất là: $$ \frac{240}{x} $$ (m).
Diện tích mảnh đất sau khi tăng chiều rộng 3m, giảm chiều dài 4m là: $$ \left( x+3 \right)\left( \frac{240}{x}-4 \right)\text{ }\left( {{m}^{2}} \right). $$
Theo bài ra: diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:
\(\begin{align}& (\text{x}+3)\left( \frac{240}{\text{x}}-4 \right)=240 \\ & \Leftrightarrow \frac{(\text{x}+3)(240-4\text{x})}{\text{x}}=240 \\ & \Leftrightarrow (\text{x}+3)(240-4\text{x})=240\text{x} \\ & \Leftrightarrow 240\text{x}-4{{\text{x}}^{2}}+720-12\text{x}=240\text{x} \\ & \Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{2}}+12\text{x}-720=0 \\ & \Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}+3\text{x}-180=0 \\ \end{align}\)
Có a = 1; b = 3; c = -180 ⇒ Δ = 32 – 4.1.(-180) = 729
Phương trình có hai nghiệm: $$ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{729}}{2.1}=12;{{\text{x}}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{729}}{2.1}=-15 $$ .
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 12 thỏa mãn điều kiện.
Vậy mảnh đất có chiều rộng bằng 12m, chiều dài bằng 240 : 12 = 20 (m).
Bài 47 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi vận tốc xe của cô Liên là x (km/h, x > 0).
⇒ Vận tốc xe của bác Hiệp là: x + 3 (km/h).
Thời gian bác Hiệp, cô Liên đi là: $$ \frac{30}{x+3}\left( h \right);\,\frac{30}{x}\left( h \right) $$ .
Thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian đi của cô Liên là nửa giờ nên ta có phương trình:
\(\begin{align}& \frac{30}{x}-\frac{30}{x+3}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{60}\Leftrightarrow \frac{x+3}{x(x+3)}-\frac{x}{x\cdot (x+3)}=\frac{1}{60} \\ & \Leftrightarrow \frac{3}{x(x+3)}=\frac{1}{60}\Leftrightarrow x(x+3)=180\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x=180\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-180=0 \\ \end{align}\)
Có a = 1; b = 3; c = -180 ⇒ Δ = 32 – 4.1.(-180) = 729
Phương trình có hai nghiệm: $$ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{729}}{2.1}=12;{{\text{x}}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{729}}{2.1}=-15 $$ .
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 12 thỏa mãn điều kiện.
Vậy vận tốc của cô Liên là 12km/h, của bác Hiệp là 15 km/h.
Bài 48 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi chiều rộng của miếng tôn là x (dm), (x>10). Chiều dài của nó là $$ 2\text{x}(\text{dm}) $$ Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là $$ 2\text{x}-10(\text{dm}) $$ , chiều rộng là $$ \text{x}-10(\text{dm}) $$ , chiều cao là 5dm. Dung tích của thùng là: $$ (2\text{x}-10)(\text{x}-10)\left( d{{m}^{3}} \right) $$
|  |
Theo đầu bài ta có phương trình: $$ 5(2\text{x}-10)(\text{x}-10)=1500\Leftrightarrow {{x}^{2}}-15\text{x}-100=0 $$
Ta có: $$ \Delta =225+400=625>0 $$
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: $$ {{x}_{1}}=\frac{15+\sqrt{625}}{2}=20,{{x}_{2}}=\frac{15-\sqrt{625}}{2}-5 $$
Trả lời: Miếng tôn có chiều rộng bằng 20(dm), chiều dài bằng 40(dm).
Bài 49 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày) (x > 4)
Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày
⇒ thời gian một mình đội II làm xong công việc là x + 6 (ngày).
Mỗi ngày, đội I làm được: $$ \frac{1}{x} $$ (công việc); đội II làm được $$ \frac{1}{x+6} $$ (công việc).
⇒ Một ngày cả hai đội cùng làm được: $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6} $$ (công việc).
Cả hai đội cùng làm thì trong 4 ngày xong việc nên một ngày cả hai đội cùng làm được $$ \frac{1}{4} $$ (công việc).
Vậy ta có phương trình:
\(\begin{align}& \frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4} \\ & \Leftrightarrow \frac{4(x+6)}{4x(x+6)}+\frac{4x}{4x(x+6)}=\frac{x(x+6)}{4x(x+6)} \\ & \Rightarrow 4(x+6)+4x=x(x+6) \\ & \Leftrightarrow 4x+24+4x={{x}^{2}}+6x \\ \end{align}\)
⇔ 8x + 24 = x2 + 6x
⇔ x2 – 2x – 24 = 0
Có a = 1; b = -2; c = -24 ⇒ Δ’ = (-1)2 – 1.(-24) = 25 > 0
Phương trình có hai nghiệm: $$ {{x}_{1}}=1+\sqrt{25}=6;{{x}_{2}}=1-\sqrt{25}=-4 $$ .
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 6 thỏa mãn điều kiện.
Vậy một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc. Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.
Bài 50 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: x (g/cm3) (x > 1)
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là : x – 1 (g/cm3)
Thể tích miếng kim loại thứ nhất là: $$ \frac{880}{x} $$ (cm3).
Thể tích miếng kim loại thứ hai là: $$ \frac{858}{x-1} $$ (cm3).
Thể tích miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai 10cm2 nên có phương trình:
\(\begin{align}& \frac{858}{x-1}-\frac{880}{x}=10 \\ & \Leftrightarrow \frac{858x-880(x-1)}{x(x-1)}=10 \\ \end{align}\)
⇔ 10x(x – 1) = 858x – 880(x – 1)
⇔ 10x2 – 10x – 858x + 880(x – 1) = 0
⇔ 10x2 + 12x – 880 = 0.
Có a = 10; b = 12; c = -880 ⇒ Δ’ = 62 – 10.(-880) = 8836 > 0
Phương trình có hai nghiệm: $$ {{x}_{1}}=\frac{-6+\sqrt{8836}}{10}=8,8;{{x}_{2}}=\frac{-6-\sqrt{8836}}{10}=-10 $$ .
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 8,8 thỏa mãn.
Vậy: Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 (g/cm3).
Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 8,8 (g/cm3).
Bài 51 (trang 59 SGK Toán 9 Tập 2):
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: $$ \frac{40}{x+40} $$
Đổ thêm 200 gam nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: $$ \text{x}+40+200(~\text{g}) $$
Nồng độ của dung dịch bây giờ là: $$ \frac{40}{x+240} $$
Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình: $$ \frac{40}{x+40}-\frac{40}{x+240}=\frac{10}{100} $$
\(\begin{align}& \Leftrightarrow (x+40)(x+240)=400(x+240-x-40) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+280x-70400=0 \\ \end{align}\)
Có a = 1; b = 280; c = -70400 ⇒ Δ’ = 1402 – 1.(-70400) = 90000 > 0
Phương trình có hai nghiệm: $$ {{x}_{1}}=\frac{-140+\sqrt{90000}}{1}=160;{{x}_{2}}=\frac{-140-\sqrt{90000}}{1}=-440 $$ .
Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 160 thỏa mãn.
Vậy trước khi đổ thêm nước dung dịch chứa 160 gam nước.
Bài 52 (trang 60 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) (x > 3)
Gọi vận tốc xuôi dòng là : x + 3 (km/h)
Gọi vận tốc khi ngược dòng là : x – 3 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: $$ \frac{30}{x+3} $$ (h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: $$ \frac{30}{x-3} $$ (h)
Ca nô nghỉ 40 phút = $$ \frac{2}{3} $$ (h) tại B.
Do kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 h nên ta có:
$$ \frac{30}{x+3}-\frac{30}{x-3}+\frac{2}{3}=6 $$
⇔ 30.3 (x- 3) + 30.3. (x+ 3) + 2(x+ 3). (x – 3) = 6.3.(x+3).(x – 3)
⇔ 90.(x – 3) + 90(x+ 3)+ 2(x2 – 9) = 18 (x2 -9)
⇔ 90x – 270+ 90x + 270 + 2x2 – 18 = 18x2 – 162
⇔ 180x + 2x2 – 18 = 18x2 – 162
⇔ 16x2 – 180x -144= 0
⇔ 4x2 –45x – 36 = 0
Có a=4; b= - 45, c= - 36
∆= ( -45)2 – 4.4.(- 36)= 2601 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm là: $$ {{x}_{1}}=12 $$ (thỏa mãn) và $$ {{x}_{2}}=-\frac{3}{4}. $$
Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12km/h.
Bài 53 (trang 60 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi M là điểm chia đoạn AB (AM > MB) và AB có độ dài bằng a.
Gọi tỉ số cần tìm là x (x > 0).
Theo đề bài: $$ \frac{AM}{AB}=\frac{MB}{AM}=x $$
⇒ AM = x.AB = ax;
⇒MB = x.AM = x.ax = ax2
Ta có: MA + MB = AB
⇒ ax + ax2 = a
⇔ x2 + x = 1
⇔ x2 + x – 1 = 0.
Có a = 1 ; b = 1 ; c = -1 ⇒ Δ = 1 – 4.1.(-1) = 5 > 0.
Phương trình có hai nghiệm: $$ {{x}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},{{x}_{1}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} $$
Chỉ có nghiệm $$ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$ thỏa mãn điều kiện.
Vậy tỉ số cần tìm là: $$ \frac{-1+\sqrt{5}}{2}. $$