VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn.
a) Hai đường tròn cắt nhau.
Hai đường tròn có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.
+ Hai điểm A, B là hai giao điểm.
+ Đoạn thẳng AB là dây chung.
+ Đặt O1A = R; O2A = r khi đó: |R - r| < O1O2 < R + r
+ Đường thẳng O1O2 là đường nối tâm, đoạn thẳng O1O2 là đoạn nối tâm.
+ Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau.
Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc.
+ Điểm A gọi là tiếp điểm.
+ Có hai trường hợp tiếp xúc của hai đường tròn:
⋅ Tiếp xúc ngoài tại A: O1O2 = R + r
⋅ Tiếp xúc trong tại A: O1O2 = |R - r|
c) Hai đường tròn không giao nhau
Hai đường tròn không có điểm chung nào được gọi là hai đường tròn không giao nhau.
+ Hai đường tròn ngoài nhau: O1O2 > R + r
+ Hai đường tròn đựng nhau: O1O2 < |R - r|
+ Đặc biệt, khi (O1) và (O2) đồng tâm: O1O2 = 0
2. Định lý
+ Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây cung.
+ Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
+ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
+ Tiếp tuyến chung ngoài không cắt đường nối tâm.
+ Tiếp tuyến chung trong cắt đường nối tâm.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc với nhau
Phương pháp:
Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc:
+ Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm
+) Hệ thức d = R + r
Khi làm có thể vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (nếu cần)
Dạng 2: Các bài toán có hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp:
Nối dây chung của hai đường tròn rồi dùng tính chất đường nối tâm của hai đường tròn
Hệ thức liên hệ : R-r << d << R + r
Dạng 3: Các bài toán tính độ dài, diện tích
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đường nối tâm, tính chất tiếp tuyến.
Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 33 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 1):
Hình 89
Lời giải:
Ta có: OA = OC (bán kính) nên ΔOAC cân tại O.
\[\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{OAC}\] (1)
Lại có O'A = O'D (bán kính) nên ΔO'AD cân tại O'
\[\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{O'AD}\] (2)
Mà \[\widehat{OAC}=\widehat{O'AD}\] (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[\widehat{C}=\widehat{D}\]
Vậy OC // O'D (có hai góc so le trong bằng nhau).
Bài 34 (trang 119 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB
Gọi I là giao điểm của OO' và AB. Theo tính chất đường nối tâm ta có:
AB ⊥ OO' và AI = IB = 12
Áp dụng định lí Pitago, ta được:
\[\text{OI}=\sqrt{\text{O}{{\text{A}}^{2}}-\text{A}{{\text{I}}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}-{{12}^{2}}}=\sqrt{256}=16(~\text{cm})\]
\[\text{I}{{\text{O}}^{\prime }}=\sqrt{{{\text{O}}^{\prime }}{{\text{A}}^{2}}-\text{A}{{\text{I}}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=\sqrt{81}=9(~\text{cm})\]
Vậy OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25 (cm)
- Trường hợp 2: O và O' nằm cùng phía đối với AB
Tương tự như trường hợp 1, ta có:
\[\text{OI}=\sqrt{\text{O}{{\text{A}}^{2}}-\text{A}{{\text{I}}^{2}}}=16(~\text{cm})\]
\[{{\text{O}}^{\prime }}\text{I}=\sqrt{{{\text{O}}^{\prime }}{{\text{A}}^{2}}-\text{A}{{\text{I}}^{2}}}=9(~\text{cm})\]
Vậy OO' = OI – O'I = 16 – 9 = 7 (cm).
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 bài Vị trí tương đối của hai đường tròn do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ.