TỨ GIÁC NỘI TIẾP
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm về tứ giác nội tiếp
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
2. Định lý.
+ Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), suy ra \[ \widehat{A}+\widehat{C}=\widehat{B}+\widehat{D} \] .
3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
+ Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp:
Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau :
Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ .
Cách 2. Chúng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc α .
Cách 3. Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó.
Cách 4. Tìm được một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác.
Dạng 2: Chứng minh các góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song, hệ thức giữa các cạnh…
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 53 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 1800 nên: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \] và \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \]
- Điền vào ô trống:
- Cách tính:
+ TH1: Ta có: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}=180{}^\circ -80{}^\circ =100{}^\circ \] .
Ta lại có: \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{D}=180{}^\circ -\widehat{B}=180{}^\circ -70{}^\circ =110{}^\circ \] .
+ TH2: Ta có: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{A}=180{}^\circ -\widehat{C}=180{}^\circ -105{}^\circ =75{}^\circ \] .
Ta lại có: \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{B}=180{}^\circ -\widehat{D}=180{}^\circ -75{}^\circ =105{}^\circ \] .
+ TH3: Ta có: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}=180{}^\circ -60{}^\circ =120{}^\circ \] .
Ta lại có: \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \]
Chọn \[ \widehat{B}=70{}^\circ \Rightarrow \widehat{D}=180{}^\circ -\widehat{B}=180{}^\circ -70{}^\circ =110{}^\circ \] .
+ TH4: Ta có: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \]
Chọn \[ \widehat{A}=100{}^\circ \Rightarrow \widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}=180{}^\circ -100{}^\circ =80{}^\circ \]
Ta lại có: \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{D}=180{}^\circ -\widehat{B}=180{}^\circ -40{}^\circ =140{}^\circ \]
+ TH5: Ta có: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{A}=180{}^\circ -\widehat{C}=180{}^\circ -74{}^\circ =106{}^\circ \] .
Ta lại có: \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{D}=180{}^\circ -\widehat{B}=180{}^\circ -65{}^\circ =115{}^\circ \] .
+ TH2: Ta có: \[ \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{C}=180{}^\circ -\widehat{A}=180{}^\circ -95{}^\circ =85{}^\circ \] .
Ta lại có: \[ \widehat{B}+\widehat{D}=180{}^\circ \Rightarrow \widehat{B}=180{}^\circ -\widehat{D}=180{}^\circ -98{}^\circ =82{}^\circ \] .
Bài 54 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2):
Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Lời giải
Tứ giác ABCD có \[ \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180{}^\circ \]
⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
⇒ OA = OB = OC = OD = R
Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.
Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD
Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.
⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .
Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.
Bài 55 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Ta có: \[ \widehat{MAB}=\widehat{DAB}-\widehat{DAM}=80{}^\circ -30{}^\circ =50{}^\circ \] (1)
+ \[ \Delta MBC \] là tam giác cân (MB=MC) nên \[ \widehat{BCM}=\frac{180{}^\circ -70{}^\circ }{2}=55{}^\circ \] . (2)
+ \[ \Delta MAB \] là tam giác cân (MA=MB) nên \[ \widehat{MBA}=50{}^\circ \] (theo (1))
\[ \Rightarrow \widehat{AMB}=180{}^\circ -2.50{}^\circ =80{}^\circ \]
+ \(\widehat{B A D}=\frac{1}{2} sd B \widehat{C} D\) (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
\(\Rightarrow sd \widehat{B C D}=2 \widehat{B A D}=2.80^{\circ}=160^{\circ}\)
Mà \(sd \widehat{B C}=\widehat{B M C}=70^{\circ}\) (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Vậy \(sd \widehat{D C}=160^{\circ}-70^{\circ}=90^{\circ}\) (vì điểm C nằm trên cung nhỏ \[ \overset\frown{BD} \] )
Suy ra \[ \widehat{DMC}=90{}^\circ \]
+ \[ \Delta MAD \] là tam giác cân tại M nên \[ \widehat{AMD}=180{}^\circ -2.\widehat{DAM}=180{}^\circ -2.30{}^\circ =120{}^\circ \] .
+ \[ \Delta MCD \] có \[ \widehat{DMC}=90{}^\circ \] , MC = MD nên suy ra \[ \Delta MCD \] vuông cân tại M
\[ \Rightarrow \widehat{MDC}=\widehat{MCD}=45{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{BCM}+\widehat{MCD}=55{}^\circ +45{}^\circ =100{}^\circ \] .
Bài 56 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
Ta có: \[ \widehat{BCE}=\widehat{CDF} \] (Hai góc đối đỉnh)
Đặt \[ x=\widehat{BCE}=\widehat{DCF} \]
+ Xét \[ \Delta BEC \] , có : \[ \widehat{ABC}=x+\widehat{BEC}=x+40{}^\circ \] (theo tính chất góc ngoài của tam giác)
+ Xét \[ \Delta DFC \] , có : \[ \widehat{ADC}=x+\widehat{DFC}=x+20{}^\circ \] (theo tính chất góc ngoài của tam giác)
Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên \[ \widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180{}^\circ \]
\(\begin{align} & \Leftrightarrow x+40{}^\circ +x+20{}^\circ =180{}^\circ \\ & \Leftrightarrow 2x=120{}^\circ \\ & \Leftrightarrow x=60{}^\circ \\ \end{align}\)
\[ \Rightarrow \widehat{ABC}=100{}^\circ \] , \[ \widehat{ADC}=80{}^\circ \] .
Mặt khác \[ \widehat{BCD}+\widehat{BCE}=180{}^\circ \] (Hai góc kề bù)
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \widehat{BCD}+60{}^\circ =180{}^\circ \\ & \Leftrightarrow \widehat{BCD}=120{}^\circ \\ \end{align}\)
Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên \[ \widehat{BCD}+\widehat{BAD}=180{}^\circ \]
\[ \Leftrightarrow \widehat{BAD}=180{}^\circ -\widehat{BCD}=180{}^\circ -120{}^\circ =60{}^\circ \] .
Bài 57 (trang 89 SGK Toán 9 Tập 2):
Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn:
Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?
Lời giải
Các hình nội tiếp được trong một đường tròn là:
+ Hình chữ nhật:
Hình chữ nhật ABCD có:
\(\begin{align} & \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90{}^\circ \\ & \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \\ \end{align}\)
Mà \[ \widehat{A},\widehat{C} \] là hai góc đối nhau
⇒ ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đường tròn đó là đường tròn đường kính AC.
+ Hình vuông:
Vì hình vuông là hình chữ nhật
⇒ Hình vuông cũng nội tiếp trong một đường tròn.
+ Hình thang cân:
Hình thang cân ABCD có:
Vì \[ AB\parallel CD\Rightarrow \widehat{A}+\widehat{D}=180{}^\circ \] (hai góc trong cùng phía)
Ta lại có: \[ \widehat{C}=\widehat{D} \] (Theo tính chất hình thang cân)
\[ \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{C}=180{}^\circ \]
Mà \[ \widehat{A},\widehat{C} \] là hai góc đối nhau
⇒ ABCD nội tiếp trong một đường tròn.
Bài 58 (trang 90 SGK Toán 9 Tập 2):
.Lời giải
+ Do tam giác ABC là tam giác đều nên \[ \widehat{ACB}=60{}^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.60{}^\circ =30{}^\circ \]
+ \[ DC=DB\Rightarrow \Delta DBC \] cân tại D
\[ \Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{DCB}=30{}^\circ \]
+ \[ \widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{BCD}=60{}^\circ +30{}^\circ =90{}^\circ \]
Và \[ \widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=60{}^\circ +30{}^\circ =90{}^\circ \]
+ Xét tứ giác ABCD có: \[ \widehat{ACD}+\widehat{ABD}=90{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ \]
Mà hai góc đối nhau
\[ \Rightarrow \] Tứ giác ABCD nội tiếp
b) Ta có \[ \widehat{ABD}=90{}^\circ \]
⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Mà ABCD là tứ giác nội tiếp
⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.
⇒ tâm O là trung điểm AD.
Vậy tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C là trung điểm AD.
Bài 59 (trang 90 SGK Toán 9 Tập 2):
Lời giải
+ Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD
\[ \Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{BCP}=180{}^\circ \] (hai góc trong cùng phía) (1)
+ Tứ giác ABCP nội tiếp đường tròn tâm O
\[ \Rightarrow \widehat{PAB}+\widehat{BCP}=180{}^\circ \] (hai góc đối nhau) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[ \widehat{PAB}=\widehat{ABC} \]
+ Xét tứ giác ABCP, có: AB//CP
\[ \Rightarrow \] ABCP là hình thang
Mà \[ \widehat{PAB}=\widehat{ABC} \]
\[ \Rightarrow \] ABCP là hình thang cân
\[ \Rightarrow AP=BC \] (tính chất hình thang)
Ta lại có: ABCD là hình bình hành nên AD = BC
\[ \Rightarrow AD=AP \]
Bài 60 (trang 90 SGK Toán 9 Tập 2):
Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.
Lời giải
Gọi các điểm M, N như hình vẽ.
+ Ta có tứ giác MTSI nội tiếp đường tròn
\[ \Rightarrow \widehat{IST}+\widehat{IMT}=180{}^\circ \] (hai góc đối nhau)
Mà \[ \widehat{IMP}+\widehat{IMT}=180{}^\circ \] (hai góc kề bù)
\[ \Rightarrow \widehat{IST}=\widehat{IMP} \] (1)
+ Ta lại có tứ giác PMIN là tứ giác nội tiếp nên
\[ \widehat{IMP}=\widehat{INQ} \] (cùng bù với \[ \widehat{INP} \] )(2)
+ Tứ giác INPQ cũng là tứ giác nội tiếp nên
\[ \widehat{QRS}=\widehat{INQ} \] (cùng bù với \[ \widehat{QRI} \] )(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[ \widehat{QRS}=\widehat{IST} \]
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên QR // ST.
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa tứ giác nội tiếp toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất