PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
Giải phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)
+ Đặt ẩn phụ x2 = t, t ≥ 0
+ Giải phương trình ẩn phụ mới: at2 + bt + c = 0
+ Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình x2 = t.
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
+ Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức
+ Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
+ Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.
3. Phương trình tích
Ta có: \(ABC=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A=0 \\ & B=0 \\ & C=0 \\ \end{align} \right.; \)
Để đưa phương trình đã cho về phương trình tích ta dùng phương pháp: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, phương pháp thêm bớt hay sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ..
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương: cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) (1)
Bước 1: Đặt x2 = t (ĐK t ≥ 0), ta được phương trình bậc hai ẩn t: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0) (2)
Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t.
Bước 3: Giải phương trình x2 = t để tìm nghiệm .
Bước 4: Kết luận.
Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương
+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 1 nghiệm dương và một nghiệm t = 0.
+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương.
+) Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm ⇒ phương trình (2) có nghiệm kép x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm.
+) Phương trình (1) vô nghiệm ⇒ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm.
Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Quy đồng, khử mẫu, rút gọn đưa về dạng phương trình bậc hai.
Bước 3: Giải phương trình bậc hai.
Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận.
Dạng 4: Giải phương trình tích: Cho phương trình A(x).B(x)...C(x) = 0 (1), trong đó A(x).B(x)...C(x) là các phương trình ẩn x.
Bước 1: Biến đổi tương đương A(x).B(x)...C(x) = 0 \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \text{A}\left( \text{x} \right)=0 \\ & \text{B}\left( \text{x} \right)=0 \\ & \text{C}\left( \text{x} \right)=0 \\ \end{align} \right. \)
Bước 2: Lần lượt giải các phương trình A(x) = 0; B(x) = 0;... C(x) = 0.
Bước 3: Kết luận.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH KHOA
Bài 34 (trang 56 SGK Toán 9 Tập 2):
a) x4 – 5x2 + 4 = 0 (1)
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : t2 – 5t + 4 = 0 (2)
Giải (2) : Có a = 1 ; b = -5 ; c = 4 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 4
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1;
+ Với t = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = -2.
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.
b) 2x4 – 3x2 – 2 = 0; (1)
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 (2)
Giải (2) : Có a = 2 ; b = -3 ; c = -2
⇒ Δ = (-3)2 - 4.2.(-2) = 25 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{3+\sqrt{25}}{2.2}=2;\text{ }{{\text{t}}_{2}}=\frac{3-\sqrt{25}}{2.2}=-\frac{1}{2}. \]
Chỉ có giá trị t1 = 2 thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = \[ \sqrt{2} \] hoặc x = \[ -\sqrt{2} \] ;
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = \[ \left\{ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right\}. \]
c) 3x4 + 10x2 + 3 = 0 (1)
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : 3t2 + 10t + 3 = 0 (2)
Giải (2) : Có a = 3; b' = 5; c = 3
⇒ Δ’ = 52 – 3.3 = 16 > 0
⇒Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{16}}{3}=-\frac{1}{3};\text{ }{{\text{t}}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{16}}{3}=-3. \]
Cả hai giá trị đều không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 35 (trang 56 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[ \frac{\left( \text{x}+3 \right)\left( \text{x}-3 \right)}{3}+2=\text{x}\left( 1-\text{x} \right) \]
\[ \Leftrightarrow \frac{\left( \text{x}+3 \right)\left( \text{x}-3 \right)+2.3}{3}=\text{x}\left( 1-\text{x} \right) \]
⇔ (x + 3)(x – 3) + 2.3 = 3x(1 – x)
⇔ x2 – 9 + 6 = 3x – 3x2
⇔ x2 – 9 + 6 – 3x + 3x2 = 0
⇔ 4x2 – 3x – 3 = 0
Có a = 4; b = -3; c = -3 ⇒ Δ = (-3)2 – 4.4.(-3) = 57 > 0
Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{3+\sqrt{57}}{8};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{3-\sqrt{57}}{8}; \]
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S=\left\{ \frac{3+\sqrt{57}}{8};\frac{3-\sqrt{57}}{8} \right\}. \]
b) \[ \frac{\text{x}+2}{\text{x}-5}+3=\frac{6}{2-\text{x}} \]
Điều kiện xác định: x ≠ 5; x ≠ 2.
Quy đồng và khử mẫu ta được :
(x + 2)(2 – x) + 3(2 – x)(x – 5) = 6(x – 5)
⇔ 4 – x2 + 6x – 3x2 – 30 + 15x = 6x – 30
⇔ 4 – x2 + 6x – 3x2 – 30 + 15x – 6x + 30 = 0
⇔ -4x2 + 15x + 4 = 0
Có a = -4; b = 15; c = 4 ⇒ Δ = 152 – 4.(-4).4 = 289 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-15+\sqrt{289}}{2.\left( -4 \right)}=-\frac{1}{4};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{-15-\sqrt{289}}{2.\left( -4 \right)}=4; \]
Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ \frac{-1}{4};4 \right\}. \]
c) \[ \frac{4}{x+1}=\frac{-{{x}^{2}}-x+2}{(x+1)(x+2)} \]
Điều kiện xác định: x ≠ -1; x ≠ -2.
Quy đồng và khử mẫu ta được:
4.(x + 2) = -x2 – x + 2
⇔ 4x + 8 = -x2 – x + 2
⇔ 4x + 8 + x2 + x – 2 = 0
⇔ x2 + 5x + 6 = 0.
Có a = 1; b = 5; c = 6 ⇒ Δ = 52 – 4.1.6 = 1 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{1}}{2}=-2;\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{1}}{2}=-3; \]
Chỉ có nghiệm x2 = -3 thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có nghiệm \[ S=\left\{ -3 \right\}. \]
Bài 36 (trang 56 SGK Toán 9 Tập 2):
a) (3x2 – 5x + 1)(x2 – 4) = 0
⇔ 3x2 – 5x + 1 = 0 (1)
hoặc x2 – 4 = 0 (2)
+ Giải (1): 3x2 – 5x + 1 = 0
Có a = 3; b = -5; c = 1 ⇒ Δ = (-5)2 – 4.3 = 13 > 0
Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{5+\sqrt{13}}{6};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{5-\sqrt{13}}{6}; \]
+ Giải (2): x2 – 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2.
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -2;\frac{5-\sqrt{13}}{6};\frac{5+\sqrt{13}}{6};2 \right\} \]
b) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0
⇔ (2x2 + x – 4 – 2x + 1)(2x2 + x – 4 + 2x – 1) = 0
⇔ (2x2 – x – 3)(2x2 + 3x – 5) = 0
⇔ 2x2 – x – 3 = 0 (1)
hoặc 2x2 + 3x – 5 = 0 (2)
+ Giải (1): 2x2 – x – 3 = 0
Có a = 2; b = -1; c = -3 ⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = \[ -\frac{c}{a}=\frac{3}{2}. \]
+ Giải (2): 2x2 + 3x – 5 = 0
Có a = 2; b = 3; c = -5 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = \[ \frac{c}{a}=-\frac{5}{2}. \] .
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\frac{5}{2};-1;1\frac{5}{2} \right\}. \]
Bài 37 (trang 56 SGK Toán 9 Tập 2):
a) 9x4 – 10x2 + 1 = 0 (1)
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : 9t2 – 10t + 1 = 0 (2)
Giải (2):
Có a = 9 ; b = -10 ; c = 1
⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình (2) có nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 1/9.
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.
+ Với t = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1 hoặc x = -1.
+ Với \(\text{t}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{\text{x}}^{2}}=\frac{1}{9}\Rightarrow \left[ \begin{align} & \text{x}=\frac{1}{3} \\ & \text{x}=-\frac{1}{3} \\ \end{align} \right. \)
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm \[ S=\left\{ -1;-\frac{1}{3};\frac{1}{3};1 \right\}. \]
b) 5x4 + 2x2 – 16 = 10 – x2
⇔ 5x4 + 2x2 – 16 – 10 + x2 = 0
⇔ 5x4 + 3x2 – 26 = 0 (1)
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó (1) trở thành : 5t2 + 3t – 26 = 0 (2)
Giải (2) :
Có a = 5 ; b = 3 ; c = -26
⇒ Δ = 32 – 4.5.(-26) = 529 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{529}}{2.5}=2;\text{ }{{\text{t}}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{529}}{2.5}=-\frac{13}{5}; \]
Đối chiếu điều kiện chỉ có t1 = 2 thỏa mãn
+ Với t = 2 ⇒ x2 = 2 ⇒ x = \[ \sqrt{2} \] hoặc x = \[ -\sqrt{2} \] .
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right\} \] .
c) 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0 (1)
Đặt x2 = t, điều kiện t ≥ 0.
Khi đó, (1) trở thành : 0,3t2 + 1,8t + 1,5 = 0 (2)
Giải (2) :
có a = 0,3 ; b = 1,8 ; c = 1,5
⇒ a – b + c = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm t1 = -1 và t2 = \[ -\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}. \]
Cả hai nghiệm đều không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
d) \[ 2{{x}^{2}}+1=\frac{1}{{{x}^{2}}}-4 \]
Điều kiện xác định: x ≠ 0.
Quy đồng, khử mẫu ta được :
2x4 + x2 = 1 – 4x2
⇔ 2x4 + x2 + 4x2 – 1 = 0
⇔ 2x4 + 5x2 – 1 = 0 (1)
Đặt t = x2, điều kiện t > 0.
Khi đó (1) trở thành : 2t2 + 5t – 1 = 0 (2)
Giải (2) :
Có a = 2 ; b = 5 ; c = -1
⇒ Δ = 52 – 4.2.(-1) = 33 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{-5-\sqrt{33}}{4};\text{ }{{\text{t}}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{33}}{4}; \]
Đối chiếu với điều kiện thấy có nghiệm t1 thỏa mãn.
Với \(\text{t}=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\Rightarrow {{\text{x}}^{2}}=\frac{-5+\sqrt{33}}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \text{x}=\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2} \\ & \text{x}=-\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2} \\ \end{align} \right. \)
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2};\frac{\sqrt{-5+\sqrt{33}}}{2} \right\}. \]
Bài 38 (trang 56-57 SGK Toán 9 Tập 2):
a) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x
⇔ x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 = 23 – 3x
⇔ x2 – 6x + 9 + x2 + 8x + 16 + 3x – 23 = 0
⇔ 2x2 + 5x + 2 = 0
Có a = 2; b = 5; c = 2 ⇒ Δ = 52 – 4.2.2 = 9 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-5+\sqrt{9}}{2.2}=-\frac{1}{2};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{-5-\sqrt{9}}{2.2}=-2; \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -2;-\frac{1}{2} \right\}. \]
b) x3 + 2x2 – (x – 3)2 = (x – 1)(x2 – 2)
⇔ x3 + 2x2 – (x2 – 6x + 9) = x3 – x2 – 2x + 2
⇔ x3 + 2x2 – x2 + 6x – 9 – x3 + x2 + 2x – 2 = 0
⇔ 2x2 + 8x – 11 = 0.
Có a = 2; b = 8; c = -11 ⇒ Δ’ = 42 – 2.(-11) = 38 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-4+\sqrt{38}}{2};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{-4-\sqrt{38}}{2}; \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ \frac{-4-\sqrt{38}}{2};\frac{-4+\sqrt{38}}{2} \right\}. \]
c) (x – 1)3 + 0,5x2 = x(x2 + 1,5)
⇔ x3 - 3x2 + 3x – 1 + 0,5x2 = x3 + 1,5x
⇔ x3 + 1,5x – x3 + 3x2 – 3x + 1 – 0,5x2 = 0
⇔ 2,5x2 – 1,5x + 1 = 0
Có a = 2,5; b = -1,5; c = 1
⇒ Δ = (-1,5)2 – 4.2,5.1 = -7,75 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm.
d) \[ \frac{\text{x}\left( \text{x}-7 \right)}{3}-1=\frac{\text{x}}{2}-\frac{\text{x}-4}{3} \]
\[ \Leftrightarrow \frac{2\text{x}\left( \text{x}-7 \right)-6}{3}=\frac{3\text{x}-2\left( \text{x}-4 \right)}{6} \]
⇔ 2x(x – 7) – 6 = 3x – 2(x – 4)
⇔ 2x2 – 14x – 6 = 3x – 2x + 8
⇔ 2x2 – 14x – 6 – 3x + 2x – 8 = 0
⇔ 2x2 – 15x – 14 = 0.
Có a = 2; b = -15; c = -14
⇒ Δ = (-15)2 – 4.2.(-14) = 337 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{15+\sqrt{337}}{4};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{15-\sqrt{337}}{4}; \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ \frac{15+\sqrt{337}}{4};\frac{15-\sqrt{337}}{4} \right\}. \]
e) \[ \frac{14}{{{\text{x}}^{2}}-9}=1-\frac{1}{3-\text{x}} \] (Điểu kiện xác định \[ \text{x}\ne \pm \text{3} \] )
\[ \Leftrightarrow \frac{14}{\left( \text{x}-3 \right)\left( \text{x+}3 \right)}=\frac{3-\text{x}-1}{3-\text{x}}\Leftrightarrow \frac{14}{\left( \text{x}-3 \right)\left( \text{x+}3 \right)}=\frac{\text{x}-2}{\text{x}-3}\Leftrightarrow \frac{14}{\left( \text{x}-3 \right)\left( \text{x+}3 \right)}=\frac{\left( \text{x}-2 \right)\left( \text{x+}3 \right)}{\left( \text{x}-3 \right)\left( \text{x+}3 \right)} \]
⇔ 14 = (x – 2)(x + 3)
⇔ 14 = x2 – 2x + 3x – 6
⇔ x2 + x – 20 = 0
Có a = 1; b = 1; c = -20
⇒ Δ = 12 – 4.1.(-20) = 81 > 0
Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{81}}{2}=4;\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{81}}{2}=-5. \]
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-5; 4}.
f) \[ \frac{2\text{x}}{\text{x}+1}=\frac{{{\text{x}}^{2}}-\text{x}+8}{\left( \text{x}+1 \right)\left( \text{x}-4 \right)} \] (Điều kiện: \[ \text{x}\ne -1,\text{x}\ne 4 \] )
\[ \Leftrightarrow \frac{2\text{x}\left( \text{x}-4 \right)}{\text{x}+1}=\frac{{{\text{x}}^{2}}-\text{x}+8}{\left( \text{x}+1 \right)\left( \text{x}-4 \right)}\Leftrightarrow 2\text{x}\left( \text{x}-4 \right)={{\text{x}}^{2}}-\text{x}+8\Leftrightarrow 2{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}-{{\text{x}}^{2}}\text{+x}-8=0\Leftrightarrow {{\text{x}}^{2}}-7\text{x}-8=0 \]
Ta có: a= 1, b = -7, c = - 8
∆ = (-7)2 – 4.1. (- 8)= 81
=> Phương trình có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{7+\sqrt{81}}{2}=8;\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{7-\sqrt{81}}{2}=-1. \]
Kết hợp với diều kiện, nghiệm của phương trình đã cho là x = 8.
Bài 39 (trang 57 SGK Toán 9 Tập 2):
a) (3x2 – 7x – 10).[2x2 + (1 – \[ \sqrt{5} \] )x + \[ \sqrt{5} \] – 3] = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3{{\text{x}}^{2}}-7\text{x}-10=0\left( 1 \right) \\ & 2{{\text{x}}^{2}}+\left( 1+\sqrt{5} \right)\text{x+}\sqrt{5}-3=0\left( 2 \right) \\ \end{align} \right. \)
+ Giải (1):
3x2 – 7x – 10 = 0
Có a = 3; b = -7; c = -10
⇒ a – b + c = 0
⇒ (1) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 = \[ -\frac{c}{a}=\frac{10}{3}. \]
+ Giải (2):
2x2 + (1 – \[ \sqrt{5} \] )x + \[ \sqrt{5} \] – 3
Có a = 2; b = 1 - √5; c = √5 - 3
⇒ a + b + c = 0
⇒ (2) có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{3}}=1;{{\text{x}}_{4}}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}-3}{2}. \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -1;\frac{\sqrt{5}-3}{2};1;\frac{10}{3} \right\} \] .
b) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
⇔ (x3 + 3x2) – (2x + 6) = 0
⇔ x2(x + 3) – 2(x + 3) = 0
⇔ (x2 – 2)(x + 3) = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{\text{x}}^{2}}-2=0\,\,\,(1) \\ \text{x}+3=0\,\,\,\,\,(2) \\ \end{array} \right. \)
+ Giải (1): x2 – 2 = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = \[ \sqrt{2} \] hoặc x = \[ -\sqrt{2} \] .
+ Giải (2): x + 3 = 0 ⇔ x = -3.
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-3; \[ -\sqrt{2} \] ; \[ \sqrt{2} \] }.
c) (x2 – 1)(0,6x + 1) = 0,6x2 + x
⇔ (x2 – 1)(0,6x + 1) = x.(0,6x + 1)
⇔ (x2 – 1)(0,6x + 1) – x(0,6x + 1) = 0
⇔ (0,6x + 1)(x2 – 1 – x) = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 0,6\text{x}+1=0\left( 1 \right) \\ & {{\text{x}}^{2}}-\text{x}-1=0\left( 2 \right) \\ \end{align} \right. \)
+ Giải (1): 0,6x + 1 = 0 ⇔ \[ \text{x}=-\frac{5}{3}. \]
+ Giải (2): x2 – x – 1 = 0
Có a = 1; b = -1; c = -1
⇒ Δ = (-1)2 – 4.1.(-1) = 5 > 0
⇒ (2) có hai nghiệm \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}. \]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[ S=\left\{ -\frac{5}{3};\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
d) (x2 + 2x – 5)2 = (x2 – x + 5)2
⇔ (x2 + 2x – 5)2 – (x2 – x + 5)2 = 0
⇔ [(x2 + 2x – 5) – (x2 – x + 5)].[(x2 + 2x – 5) + (x2 – x + 5)] = 0
⇔ (3x – 10)(2x2 + x ) = 0
⇔ (3x-10).x.(2x+1)=0
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3 x-10=0 \\ x=0 \\ 2 x+1=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{10}{3} \\ x=0 \\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ S=\left\{ -\frac{1}{2};0;\frac{10}{3} \right\}. \]
Bài 40 (trang 57 SGK Toán 9 Tập 2):
a) 3.(x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 1 = 0 (1)
Đặt t = x2 + x,
Khi đó (1) trở thành : 3t2 – 2t – 1 = 0 (2)
Giải (2) : Có a = 3 ; b = -2 ; c = -1
⇒ a + b + c = 0
⇒ (2) có hai nghiệm t1 = 1; t2 = \[ \frac{\text{c}}{\text{a}}=\frac{-1}{3}. \]
+ Với t = 1 ⇒ x2 + x = 1 ⇔ x2 + x – 1 = 0 (*)
Có a = 1; b = 1; c = -1 ⇒ Δ = 12 – 4.1.(-1) = 5 > 0
(*) có hai nghiệm: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2};\text{ }{{\text{x}}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}. \]
+ Với \[ \text{t}=-\frac{1}{3}\Rightarrow {{\text{x}}^{2}}+\text{x}=-\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3{{\text{x}}^{2}}+3\text{x+}1=0 \]
Có a = 3; b = 3; c = 1 ⇒ Δ = 32 – 4.3.1 = -3 < 0
⇒ (**) vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm \[ S=\left\{ \frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right\}. \]
b) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0
⇔ (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x + 2 – 6 = 0 (1)
Đặt x2 – 4x + 2 = t,
Khi đó (1) trở thành: t2 + t – 6 = 0 (2)
Giải (2): Có a = 1; b = 1; c = -6
⇒ Δ = 12 – 4.1.(-6) = 25 > 0
⇒ (2) có hai nghiệm \[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2}=2;\text{ }{{\text{t}}_{2}}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3; \]
+ Với t = 2 ⇒ x2 – 4x + 2 = 2
⇔ x2 – 4x = 0
⇔ x(x – 4) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 4.
+ Với t = -3 ⇒ x2 – 4x + 2 = -3
⇔ x2 – 4x + 5 = 0 (*)
Có a = 1; b = -4; c = 5 ⇒ Δ’ = (-2)2 – 1.5 = -1 < 0
⇒ (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm S = {0; 4}.
c) \[ x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7 \] (Điều kiện: \[ x\ge 0 \] ).
\[ \Leftrightarrow x-\sqrt{x}-5\sqrt{x}-7=0\Leftrightarrow x-6\sqrt{x}-7=0 \] (1)
Đặt \[ \text{t}=\sqrt{\text{x}} \] , điều kiện \[ t\ge 0 \]
Khi đó (1) trở thành: t2 – 6t – 7 = 0 (2)
Giải (2): Có a = 1; b = -6; c = -7
⇒ a – b + c = 0
⇒ (2) có nghiệm t1 = -1; t2 = -c/a = 7.
Đối chiếu điều kiện chỉ có nghiệm t = 7 thỏa mãn.
+ Với t = 7 ⇒ √x = 7 ⇔ x = 49 (thỏa mãn).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 49.
d) \[ \frac{x}{x+1}-10\cdot \frac{x+1}{x}=3 \] (1)
(Điều kiện: \[ x\ne 0;x\ne -1 \] ).
Đặt \[ \frac{x}{x+1}=t(t\ne 0) \] , khi đó: (1) trở thành: \[ \text{t}-10\cdot \frac{1}{\text{t}}=3\Leftrightarrow \frac{{{\text{t}}^{2}}-10}{\text{t}}=3 \]
⇔ t2 – 10 = 3t ⇔ t2 – 3t – 10 = 0 (2)
Giải (2): Có a = 1; b = -3; c = -10
⇒ Δ = (-3)2 - 4.1.(-10) = 49 > 0
⇒ (2) có hai nghiệm:
\[ {{\text{t}}_{1}}=\frac{3+\sqrt{49}}{2}=5,{{\text{t}}_{2}}=\frac{3-\sqrt{49}}{2}=-2 \]
+ Với \[ t=5\Rightarrow \frac{x}{x+1}=5\Rightarrow x=5x+5\Leftrightarrow 4x=-5\Leftrightarrow x=\frac{-5}{4} \]
+ Với \[ t=-2\Rightarrow \frac{x}{x+1}=-2\Rightarrow \text{x}=-2\text{x}-2\Leftrightarrow 3\text{x}=-2\Leftrightarrow \text{x}=\frac{-2}{3} \]
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \[ \text{S}=\left\{ \frac{-5}{4};\frac{-2}{3} \right\} \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa phương trình quy về phương trình bậc hai toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất