BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (tiếp theo)
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với các biểu thức A, B mà \[ A.B\ge 0 \] , ta có \[ \sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{|B|} \]
2. Trục căn thức ở mẫu
+) Với các biểu thức A, B mà B>0 , ta có
+) Với các biểu thức A, B, C mà \[ A\ge 0,A\ne {{B}^{2}} \] , ta có \[ \frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-{{B}^{2}}};\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-{{B}^{2}}} \]
+) Với các biểu thức A, B, C mà \[ A\ge 0,B\ge 0,A\ne B \] ta có
\[ \frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B};\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B} \] ;
3. Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
- Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta cần vận dụng phối hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.
- Khi rút gọn một dãy các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thứa và khai phương thì thứ tự thực hiện: khai căn trước rồi đến lũy thừa, sau đó đến nhân, chia, cộng, trừ
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức .
Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu
Dạng 2: Trục căn thức ở mẫu
Phương pháp:
Sử dụng các công thức trục căn thức ở mẫu và áp dụng cho phù hợp.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 48 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
(Ghi nhớ: Khử căn ở mẫu tức là nhân cả tử và mẫu với thừa số có chứa căn.)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \centerdot \,\,\sqrt{\frac{1}{600}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{600}}=\frac{1}{\sqrt{{{6.10}^{2}}}}=\frac{1.\sqrt{6}}{10\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{60} \\ \sqrt{\frac{11}{540}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}} \\ =\frac{\sqrt{11}\cdot \sqrt{15}}{6\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}}=\frac{\sqrt{11.15}}{6.15}=\frac{\sqrt{165}}{90} \\ \centerdot \,\,\sqrt{\frac{3}{50}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25.2}}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{10} \\ \centerdot \,\,\sqrt{\frac{5}{98}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{98}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49.2}}=\frac{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}{7\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{14} \\ \centerdot \,\,\sqrt{\frac{{{(1-\sqrt{3})}^{2}}}{27}}=\frac{\sqrt{{{(1-\sqrt{3})}^{2}}}}{\sqrt{27}}=\frac{|1-\sqrt{3}|}{\sqrt{9.3}}=\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} \\ =\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot \sqrt{3}}{9}(|1-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1|\text{vi}\sqrt{3}>1) \\ \end{array}\)
Bài 49 (trang 29 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(a b \sqrt{\frac{a}{b}}=a b \sqrt{\frac{a \cdot b}{b \cdot b}}=a b \sqrt{\frac{a b}{b^{2}}}=\frac{a b}{|b|} \cdot \sqrt{a b}=\left[\begin{array}{l} a \sqrt{a b} \text { khi } b>0, a>0 \\ -a \sqrt{a b} \text { khi } b<0, a \leq 0 \end{array}\right.\)
\(\frac{a}{b} \sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b} \sqrt{\frac{a b}{a^{2}}}=\frac{a}{b|a|} \sqrt{a b}=\left\{\begin{array}{l} \frac{\sqrt{a b}}{b} \text { khi a }>0 ; \mathbf{b}>0 \\ \frac{\sqrt{a b}}{b} \text { khi } a<0 ; b<0 \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \cdot \sqrt{\frac{9 a^{3}}{36 b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4 b}}=\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{a^{3}}{b}}=\sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{\frac{a^{3}}{b}} \\ =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{a^{2} \cdot a}{b}}=\frac{1}{2} \cdot|a| \cdot \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{2} \cdot|a| \cdot \frac{\sqrt{a b}}{|b|} \end{array}\)
+ Nếu \(a \geq 0 ; b>0 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot|a| \cdot \frac{\sqrt{a b}}{|b|}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{a b}}{b}=\frac{a \sqrt{a b}}{2 b}\)
+ Nếu \(a<0 ; b<0 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot|a| \cdot \frac{\sqrt{a b}}{|b|}=\frac{1}{2} \cdot(-a) \cdot \frac{\sqrt{a b}}{(-b)}=\frac{a \sqrt{a b}}{2 b}\)
\(\begin{array}{l} \cdot \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{1 b \mid}=\left\{\begin{array}{l} \frac{\sqrt{b+1}}{b} \text { khi } b>0 \\ -\frac{\sqrt{b+1}}{b} \text { khi }-1
(do xy > 0 (gt) nên đưa thừa số xy vào trong căn để khử mẫu)
Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{align} & a)\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5\cdot \sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2} \\ & b)\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{{{2}^{2}}\cdot 5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1.\sqrt{5}}{6\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}} \\ & =\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30} \\ & c)\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5.\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ & d)\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{2{{(\sqrt{2})}^{2}}+2\sqrt{2}}{5.2} \\ & =\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5} \\ \end{align}\)
Bài 51 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \centerdot \,\,\frac{3}{\sqrt{3}+1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2} \\ \centerdot \,\,\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\sqrt{3}+1 \\ \centerdot \,\,\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{4+4\sqrt{3}+3}{{{2}^{2}}-{{(\sqrt{3})}^{2}}}=7+4\sqrt{3} \\ \centerdot \,\,\frac{b}{3+\sqrt{b}}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{{{3}^{2}}-{{(\sqrt{b})}^{2}}}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{9-b} \\ \centerdot \,\,\frac{p}{2\sqrt{p}-1}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{{{(2\sqrt{p})}^{2}}-{{1}^{2}}}=\frac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1} \\ \end{array}\)
Bài 52 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \centerdot \,\,\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})} \\ =\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5}) \\ \centerdot \,\,\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} \\ =\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}=\sqrt{10}-\sqrt{7} \\ \centerdot \,\,\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \\ =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}(\text{ do }x\ne y\text{ va }\sqrt{x}\ne \sqrt{y}) \\ \centerdot \,\,\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \\ =\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}(\text{ do }a\ne b\text{ va }\sqrt{a}\ne \sqrt{b} \\ \end{array}\)
Bài 53 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\begin{aligned} &\text { a) } \sqrt{18 .(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{18} \cdot \sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}\\ &=\sqrt{2.3^{2}} \cdot \mid \sqrt{2}-\sqrt{3} \mathrm{I}=3 \sqrt{2} \cdot(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3 \sqrt{6}-6 \end{aligned}\)
b)
\(\begin{array}{l} a b \sqrt{1+\frac{1}{a^{2} b^{2}}}=a b \sqrt{\frac{1+a^{2} b^{2}}{a^{2} b^{2}}}=\frac{a b}{|a b|} \sqrt{1+a^{2} b^{2}} \\ =\left\{\begin{array}{l} \sqrt{1+a^{2} b^{2}} \text { khi } a b>0 \\ -\sqrt{1+a^{2} b^{2}} \text { khi } a b<0 \end{array}\right. \end{array}\)
c)
\(\sqrt{\frac{a}{b^{3}}+\frac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\frac{a+a b}{b^{4}}}=\frac{1}{b^{2}} \sqrt{a+a b}\)
d) \[\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{{{(\sqrt{a})}^{2}}+\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}\]
Bài 54 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
\(\begin{array}{*{35}{l}} \centerdot \,\,\,\,\,\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5} \\ \centerdot \,\,\,\,\,\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{{{2}^{2}}\cdot 3}-\sqrt{6}}{\sqrt{4.2}-2}=\frac{\sqrt{2.6}-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}-2}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \centerdot \,\,\,\,\,\frac{\text{a}-\sqrt{\text{a}}}{1-\sqrt{\text{a}}}=\frac{{{(\sqrt{\text{a}})}^{2}}-\sqrt{\text{a}}}{1-\sqrt{\text{a}}}=\frac{\sqrt{\text{a}}(\sqrt{\text{a}}-1)}{1-\sqrt{\text{a}}}=-\sqrt{\text{a}} \\ \centerdot \,\,\,\,\,\frac{\text{p}-2\sqrt{\text{p}}}{\sqrt{\text{p}}-2}=\frac{{{(\sqrt{\text{p}})}^{2}}-2\sqrt{\text{p}}}{\sqrt{\text{p}}-2}=\frac{\sqrt{\text{p}}(\sqrt{\text{p}}-2)}{\sqrt{\text{p}}-2}=\sqrt{\text{p}} \\ \end{array}\)
Bài 55 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1
Lời giải:
\(\begin{array}{*{35}{l}} \text{ a) }ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=\left[ {{(\sqrt{a})}^{2}}b+b\sqrt{a} \right]+(\sqrt{a}+1) \\ =b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1) \\ \end{array}\)
\(\begin{align} & \begin{array}{*{35}{l}} b)\,\,\,\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}} \\ ={{(\sqrt{x})}^{3}}-{{(\sqrt{y})}^{3}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}} \\ =(\sqrt{x}-\sqrt{y})\left( \sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{xy}+\sqrt{{{y}^{2}}} \right)+\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y}) \\ =(\sqrt{x}-\sqrt{y})\left( \sqrt{{{x}^{2}}}+2\sqrt{xy}+\sqrt{{{y}^{2}}} \right) \\ =(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot \left[ {{(\sqrt{x})}^{2}}+2\sqrt{xy}+{{(\sqrt{y})}^{2}} \right] \\ \end{array} \\ & \begin{array}{*{35}{l}} =(\sqrt{x}-\sqrt{y}){{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}^{2}} \\ =(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\ =(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\ \end{array} \\ \end{align}\)
Bài 56 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
\[\text{a) }3\sqrt{5}={{\sqrt{3}}^{2}}.5=\sqrt{9.5}=\sqrt{45};\,\,2\sqrt{6}=\sqrt{{{2}^{2}}\cdot 6}=\sqrt{4.6}=\sqrt{24};\,\,4\sqrt{2}=\sqrt{{{4}^{2}}\cdot 2}=\sqrt{16.2}=\sqrt{32}\,\,\,\]
Vì \[\sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}\]
Nên ta sắp xếp được \[\,2\sqrt{6}<\sqrt{29}<4\sqrt{2}<3\sqrt{5}\]
\(\begin{align} & b)6\sqrt{2}=\sqrt{{{6}^{2}}\cdot 2}=\sqrt{36.2}=\sqrt{72} \\ & 3\sqrt{7}=\sqrt{{{3}^{2}}\cdot 7}=\sqrt{9.7}=\sqrt{63} \\ & 2\sqrt{14}=\sqrt{{{2}^{2}}\cdot 14}=\sqrt{4\cdot 14}=\sqrt{56}\,\,\,\, \\ \end{align}\)
Vì \[\sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}\,\,\]
Nên ta sắp xếp được \[\sqrt{38}<2\sqrt{14}<3\sqrt{7}<6\sqrt{2}\]
Bài 57 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1):
Lời giải:
- Chọn D
\(\begin{array}{*{35}{l}} \sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9\Leftrightarrow \sqrt{{{5}^{2}}x}-\sqrt{{{4}^{2}}x}=9 \\ \Leftrightarrow 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9\Leftrightarrow \sqrt{x}=9\Leftrightarrow x=81 \\ \end{array}\)
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo) do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc các bạn học tập vui vẻ