BÀI 6: TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Nghĩa là cho đường tròn (O), B, C thuộc (O). Tiếp tuyến của tại cắt nhau tại A.
Khi đó
- AB=AC
- Tia OC là phân giác góc \[\widehat{BOC}\]
- Tia AO là phân giác góc \[ \widehat{BAC} \]
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác các góc trong tam giác.
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dàicủa hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- Với một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh các đường thẳng song song (vuông góc), chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Phương pháp:
Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc và các yếu tố khác.
Phương pháp:
- Dùng định nghĩa tiếp tuyến; tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
- Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
- Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 26 (trang 115 SGK Toán 9 Tập 1):
a) Ta có: AB = AC (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.
Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)
b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).
Xét ΔCBD có :
CI = IB
CO = OD (bán kính)
⇒ BD//OI (OI là đường trung bình của tam giác BCD).
Vậy BD//AO.
c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:
\[A{{C}^{2}}=O{{A}^{2}}O{{C}^{2}}={{4}^{2}}{{2}^{2}}=12\]\[=>AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\left( cm \right)\]
\[ \widehat{\text{OA}}\text{C}=\frac{OC}{OA}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{\text{OA}}\text{C}={{30}^{{}^\circ }}\Rightarrow \widehat{\text{BAC}}=2\text{OAC}={{60}^{{}^\circ }} \]
Tam giác ABC cân có \[ \widehat{A}={{60}^{o}} \] nên là tam giác đều.
Do đó \[AB=BC=AC=2\sqrt{3}\left( cm \right).\]
Bài 27 (trang 115 SGK Toán 9 Tập 1):
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DM = DB, EM = EC, AB = AC
Chu vi ΔADE:
CΔADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)
Bài 28 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1):
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[ \widehat{xAO}=\widehat{y~\text{A}O} \]
Hay AO là tia phân giác của góc xAy.
Vậy tâm các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Bài 29 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1):
Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy. (Xem lại Bài 28 trang 116 SGK Toán 9 Tập 1) . Do đó ta có cách dựng:
- Dựng tia phân giác At của góc xAy.
- Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.
- Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.
Bài 30 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1):
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OC là tia phân giác của ∠AOM
OD và tia phân giác của ∠BOM
OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù ∠AOM và ∠BOM nên OC ⊥ OD.
=> ∠COD = 90o (đpcm)
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CM = AC, DM = BC
Do đó: CD = CM + DM = AC + BD (đpcm)
c) Ta có: AC = CM, BD = DM nên AC.BD = CM.MD
ΔCOD vuông tại O, ta có:
CM.MD = OM2 = R2 (R là bán kính đường tròn O).
Vậy AC.BD = R2 (không đổi).
Bài 31 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1):
a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BD = BE, CE = CF, AD = AF
Ta có:
AB + AC – BC = (AD + BD) + (AF + FC) – (BE + EC)
= (AD + AF) + (DB – BE) + (FC – EC)
= AD + AF = 2AD.
Vậy 2AD = AB + AC – BC (đpcm)
b) Tương tự ta tìm được các hệ thức:
2BE = BA + BC – AC
2CF = CA + CB – AB
Bài 32 (trang 116 SGK Toán 9 Tập 1):
- Chọn D.
- Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp Δ ABC, H là tiếp điểm thuộc BC.
Đường phân giác AO của góc A cũng là đường cao nên A, O, H thẳng hàng.
Ta có: HB = BC, ∠HAC = 30o, AH = 3.OH = 3 (cm)
\[ \text{HC}=\text{AH}.\text{tan}{{30}^{{}^\circ }}=3.\frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(~\text{cm}) \]
\[ {{\text{S}}_{\text{ABC}}}=\frac{1}{2}\text{BC}.\text{AH}=\text{HC}.\text{AH}=\sqrt{3}.3=3\sqrt{3}\left( ~\text{c}{{\text{m}}^{2}} \right) \]
Vậy câu trả lời D đúng.
Trên đây là gợi ý giải bài tập Toán 9 bài Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau do giáo viên Ican trực tiếp biên soạn theo chương trình mới nhất. Chúc bác bạn học tập vui vẻ