HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lý Vi - ét
Nếu \[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \] là hai nghiệm của phương trình \[ a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right) \] thì:
\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right. \)
2. Ứng dụng của định lý Vi – ét
a) Tính nhẩm nghiệm
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c/a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -c/a
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - Sx + P = 0
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 - 4P ≥ 0.
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.
Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
Dạng 2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm x0 của phương trình.
Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.
Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
Bước 3: Kết luận.
Dạng 3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.
Bước 3: Tính m theo S và P.
Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.
Bước 5: Kết luận.
Dạng 4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = \[ \frac{c}{a} \] .
+) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = \[ -\frac{c}{a} \] .
Dạng 5. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 .
Điều kiện để có u và v là S2 - 4P ≥ 0.
III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 25 (trang 52 SGK Toán 9 Tập 2):
a) \[2{{x}^{2}}-17x+1=0;\]
\[ \Delta =281; \] \[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{17}{2}; \] \[ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{2}. \]
b) \[5{{x}^{2}}-x-35=0;\]
\[ \Delta =701; \] \[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{1}{5}; \] \[ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=7. \]
c) \[8{{x}^{2}}-x+1=0;\]
\[ \Delta =-31; \] \[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\varnothing ; \] \[ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\varnothing . \]
d) \[25{{x}^{2}}+10x+1=0;\] \[ \Delta =0; \] \[ {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{2}{5}; \] \[ {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{25}. \]
Bài 26 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Phương trình 35x2 – 37x + 2 = 0
Có a = 35; b = -37; c = 2 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = \[ -\frac{c}{a} \] = \[ \frac{2}{35} \] .
b) Phương trình 7x2 + 500x – 507 = 0
Có a = 7; b = 500; c = -507 ⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = \[ -\frac{c}{a} \] = \[ -\frac{-507}{7}. \]
c) Phương trình x2 – 49x – 50 = 0
Có a = 1; b = -49; c = -50 ⇒ a – b + c = 1 – (-49) – 50 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = \[ -\frac{c}{a} \] = 50.
d) Phương trình 4321x2 + 21x – 4300 = 0
Có a = 4321; b = 21; c = -4300 ⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = -1; x2 = \[ -\frac{c}{a} \] = \[ \frac{-4300}{4301} \] .
Bài 27 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2):
a) x2 – 7x + 12 = 0
Có a = 1; b = -7; c = 12
⇒ Δ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.1.12 = 1 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=7=3+4 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=12=3.4 \\ \end{align} \right. \)
Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là 3 và 4.
b) x2 + 7x + 12 = 0
Có a = 1; b = 7; c = 12
⇒ Δ = b2 – 4ac = 72 – 4.1.12 = 1 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-7=\left( -3 \right)+\left( -4 \right) \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=12=\left( -3 \right).\left( -4 \right) \\ \end{align} \right. \)
Vậy dễ dàng nhận thấy phương trình có hai nghiệm là -3 và -4.
Bài 28 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2):
a) S = 32; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > 0
⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 32x + 231 = 0.
Ta có: Δ = (-32)2 – 4.231 = 100 > 0
⇒ PT có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=\frac{32+\sqrt{100}}{2.1}=21;{{x}_{1}}=\frac{32-\sqrt{100}}{2.1}=11.\]
Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21.
b) S = -8; P = -105 ⇒ S2 – 4P = (-8)2 – 4.(-105) = 484 > 0
⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 + 8x – 105 = 0
Ta có: Δ’ = 42 – 1.(-105) = 121 > 0
Phương trình có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=\frac{-4+\sqrt{121}}{1}=7;{{x}_{1}}=\frac{-4-\sqrt{121}}{1}=-15.\]
Vậy u = 7 ; v = -15 hoặc u = -15 ; v = 7.
c) S = 2 ; P = 9 ⇒ S2 – 4P = 22 – 4.9 = -32 < 0
⇒ Không tồn tại u và v thỏa mãn.
Bài 29 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Phương trình 4x2 + 2x – 5 = 0
Có a = 4; b = 2; c = -5, a.c < 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1; x2
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2} \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{5}{4} \\ \end{align} \right. \)
b) Phương trình 9x2 – 12x + 4 = 0
Có a = 9; b' = -6; c = 4 ⇒ Δ’ = (-6)2 – 4.9 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm kép x1 = x2.
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=\frac{4}{3} \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{4}{9} \\ \end{align} \right. \)
c) Phương trình 5x2 + x + 2 = 0
Có a = 5; b = 1; c = 2 ⇒ Δ = 12 – 4.2.5 = -39 < 0
⇒ Phương trình vô nghiệm.
d) Phương trình 159x2 – 2x – 1 = 0
Có a = 159; b = -2; c = -1; a.c < 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=\frac{2}{159} \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{1}{159} \\ \end{align} \right. \)
Bài 30 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):
a) Phương trình x2 – 2x + m = 0
Có a = 1; b = -2; c = m nên b’= -1
⇒ Δ’ = (-1)2 – 1.m = 1 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1.
Khi đó, theo định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=2 \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=m \\ \end{align} \right. \)
Vậy với m ≤ 1, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng 2; tích bằng m.
b) Phương trình x2 + 2(m – 1)x + m2 = 0
Có a = 1; b = 2(m – 1); c = m2 nên b’ = m-1
⇒ Δ’ = b'2 – ac = (m – 1)2 – m2 = - 2m + 1.
Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ - 2m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/2.
Khi đó, theo định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-2\left( m-1 \right) \\ & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{c}{a}={{m}^{2}} \\ \end{align} \right. \)
Vậy với m ≤ \[ \frac{1}{2} \] , phương trình có hai nghiệm có tổng bằng -2(m – 1), tích bằng m2.
Bài 31 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):
a) 1,5x2 – 1,6x + 0,1 = 0
Có a = 1,5; b = -1,6; c = 0,1
⇒ a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = \[ \frac{c}{a}=\frac{1}{15} \] .
b) \(\sqrt{3} x^{2}-(1-\sqrt{3}) x-1=0\)
Có \(a=\sqrt{3} ; b=-(1-\sqrt{3}) ; c=-1 \Rightarrow a-b+c=\sqrt{3}-(1-\sqrt{3})-1=0\)
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = – 1; x2 = \[ -\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}} \] .
c) \[ \left( 2-\sqrt{3} \right) \] x2 + \[ 2\sqrt{3} \] x – \[ \left( 2+\sqrt{3} \right) \] = 0
Có a = \[ 2-\sqrt{3} \] ; b = \[ 2\sqrt{3} \] ; c = – \[ \left( 2+\sqrt{3} \right) \]
⇒ a + b + c = \[ 2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\left( 2+\sqrt{3} \right) \] = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = \[ \frac{c}{a}=\frac{-\left( 2+\sqrt{3} \right)}{2-\sqrt{3}}=-7-4\sqrt{3}. \]
d) (m – 1)x2 – (2m + 3)x + m + 4 = 0
Có a = m – 1 ; b = - (2m + 3) ; c = m + 4
⇒ a + b + c = (m – 1) – (2m + 3) + m + 4 = m -1 – 2m – 3 + m + 4 = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = \[ \frac{c}{a}=\frac{m+4}{m-1}. \]
Bài 32 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):
a) S = 42; P = 441 ⇒ S2 – 4P = 422 – 4.441 = 0
⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 42x + 441 = 0
Có: Δ’ = (-21)2 – 441 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -b’/a = 21.
Vậy u = v = 21.
b) S = -42; P = -400 ⇒ S2 – 4P = (-42)2 – 4.(-400) = 3364 > 0
⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 + 42x – 400 = 0
Có Δ’ = 212 – 1.(-400) = 841
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-21+\sqrt{841}}{1}=8;{{x}_{1}}=\frac{-21-\sqrt{841}}{1}=-50.\]
Vậy u = 8; v = -50 hoặc u = -50; v = 8.
c) u – v = 5 ⇒ u + (-v) = 5
u.v = 24 ⇒ u.(-v) = -uv = -24.
Ta tìm u và –v. Từ đó, ta dễ dàng tính được u và v.
S= u + (-v) = 5; P = u. (-v) = -24 ⇒ S2 – 4P = 52 – 4.(-24) = 121 > 0
⇒ u và –v là hai nghiệm của phương trình: x2 – 5x – 24 = 0
Có Δ = (-5)2 – 4.1.(-24) = 121
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{5+\sqrt{121}}{2}=8;{{x}_{1}}=\frac{5-\sqrt{121}}{2}=-3.\]
⇒ u = 8; -v = -3 hoặc u = -3; -v = 8
⇒ u = 8; v = 3 hoặc u = -3; v = -8.
Bài 33 (trang 54 SGK Toán 9 Tập 2):
* Chứng minh:
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2
⇒ Theo định lý Vi-et: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right. \)
Khi đó : a.(x – x1).(x – x2)
= a.(x2 – x1.x – x2.x + x1.x2)
= a.x2 – a.x.(x1 + x2) + a.x1.x2
= \[ \text{a}{{\text{x}}^{2}}-\text{a}\text{.x}\text{.}\frac{-\text{b}}{\text{a}}+\text{a}\frac{\text{c}}{\text{a}} \]
= a.x2 + bx + c (đpcm).
* Áp dụng:
a) 2x2 – 5x + 3 = 0
Có a = 2; b = -5; c = 3
⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = \[ \frac{c}{a}=\frac{3}{2}. \]
Vậy: 2x2 – 5x + 3 = \[ 3\left( \text{x}-\text{1} \right)\left( \text{x}-\frac{3}{2} \right) \] .
b) 3x2 + 8x + 2 = 0
Có a = 3; b' = 4; c = 2
⇒ Δ’ = 42 – 2.3 = 10 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ {{\text{x}}_{1}}=\frac{-4+\sqrt{10}}{3};{{\text{x}}_{2}}=\frac{-4-\sqrt{10}}{3}. \]
Vậy 3x2 + 8x + 2 = \[ 3\left( \text{x}-\frac{-4+\sqrt{10}}{3} \right)\left( \text{x}-\frac{-4-\sqrt{10}}{3} \right). \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa hệ thức vi ét và ứng dụng toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất