BÀI 6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
+ Bước 1: Lập hệ phương trình:
* Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.
* Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
* Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
+ Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.
+ Bước 3: Trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận .
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Bài toán chuyển động
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
Dạng 2: Bài toán năng suất
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Công việc = Năng xuất x Thời gian
Dạng 3: Bài toán về diện tích hình học
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Một số công thức tính diện tích thường gặp:
Diện tích tam giác: \[ S=\frac{1}{2}ah \] (a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao ứng với cạnh đáy).
Diện tích hình vuông: S = a2 (a là độ dài cạnh góc vuông).
Diện tích hình chữ nhật: S = ab (a, b là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật).
Diện tích hình tròn: S = πR2 (R là bán kính của hình tròn).
Dạng 4: Bài toán liên quan đến Vật Lí, Hóa Học, …
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn (nếu có).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.
Một số công thức liên quan tới các bài toán Vật lý, Hóa học, … thường gặp
Công thức tính nồng độ dung dịch \[ C%=\frac{{{m}_{ct}}}{{{m}_{\text{dd}}}}.100% \] .
Công thức tính khối lượng riêng của chất lỏng: \[ D=\frac{m}{V} \] (kg/m3, m là khối lượng (kg), V là thể tích (m3)).
Công thức tính khối lượng của kim loại: m = n.M (n là số mol, M là khối lượng mol).
II. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 31 (trang 23 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là : \[ x,y\text{ }\left( x,y\ge 0 \right)\left( cm \right) \]
Diện tích của tam giác ban đầu là \[ \frac{1}{2}xy\left( c{{m}^{2}} \right) \] ,
Tăng độ dài lên \[ 3\text{ }cm \] nghĩa là \[ x+3,y+3\left( cm \right) \] ,
Khi đó, diện tích của tam giác là: \[ \frac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( y+3 \right)\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right) \] ,
Theo đầu bài, diện tích tam giác tăng \[ 36c{{m}^{2}}, \] ta có: \[ \frac{1}{2}\left( x+3 \right)\left( y+3 \right)-\frac{1}{2}xy=36\left( 1 \right); \]
Nếu giảm một cạnh đi \[ \text{2 }cm \] , cạnh kia giảm \[ \text{4 }cm \] ta được: \[ x-2,y-4\left( cm \right) \] ,
Khi đó, diện tích của tam giác là: \[ \left( x-2 \right)\left( y-4 \right)\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right) \]
Diện tích của tam giác mới giảm \[ 26c{{m}^{2}}, \] ta có: \[ \frac{1}{2}xy-\frac{1}{2}\left( x-2 \right)\left( y-4 \right)=26\left( 2 \right); \]
Từ \[ \left( 1 \right) \] và \[ \left( 2 \right), \] ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}(x+3)(y+3)-x y=72 \\ x y-(x-2)(y-4)=52\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x y+3 x+3 y+9-x y=72 \\ x y-(x y-4 x-2 y+8)=52\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x+3 y=63 \\ 4 x+2 y=60\end{array}\right.\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=21 \\ 2 x+y=30\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=9 \\ 2 x-y=17\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=9 \\ 2.9-y=30\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=9 \\ y=12\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đã cho là \[9;12.\]
Bài 32 (trang 23 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi thời gian vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể là \[ x\left( x\ge \frac{5}{24} \right) \] (giờ),
Và thời gian vời thứ hai một mình chạy đầy bể là \[ y\left( y\ge \frac{5}{24} \right) \] (giờ).
Một giờ vòi một chảy được: \[ \frac{1}{x} \] (phần bể)
Một giờ vòi hai chảy được : \[ \frac{1}{y} \] (phần bể)
Một giờ hai vòi chảy được: \[ \frac{5}{24} \] (phần bể)
Trong một giờ, hai vòi nước cùng chảy được: \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\left( 1 \right) \]
Nếu chỉ mở vòi thứ nhất trong và sau \[ 9 \] giờ mở thêm vòi thứ hai thì \[ \frac{6}{5} \] giờ nữa mới đầy bể.
Thời gian vòi thứ nhất chảy là \[ 9+\frac{6}{5}=\frac{51}{5} \] (giờ)
Thời gian vòi thứ hai chảy là \[ \frac{6}{5} \] (giờ)
\[ \frac{\frac{51}{5}}{x}+\frac{\frac{6}{5}}{y}=1\Leftrightarrow \frac{51}{5x}+\frac{6}{5y}=1\Leftrightarrow \frac{17}{x}+\frac{2}{y}=\frac{5}{3}\left( 2 \right) \]
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình: \(\left( I \right)\left\{ \begin{align}& \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} \\ & \frac{17}{x}+\frac{2}{y}=\frac{5}{3} \\ \end{align} \right.\) ;
Đặt \[ a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}. \] Khi đó
\(\{I)\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{5}{24} \\ 17 a+2 b=\frac{5}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a+2 b=\frac{5}{12} \\ 17 a+2 b=\frac{5}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}15 a=\frac{15}{12} \\ 17 a+2 b=\frac{5}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{12} \\ 17 \cdot \frac{1}{12}+2 b=\frac{5}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{12} \\ b=\frac{1}{8}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\) ;
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{12} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{8}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=12 \\ y=8\end{array}\right.\right.\) .
Vậy nếu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.
Bài 33 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi thời gian mỗi người làm xong công việc là \[ x,y\left( x,y>16 \right) \] (giờ)
Một giờ người thứ nhất làm được \[ \frac{1}{x} \] (phần công việc)
Một giờ người thứ hai làm được \[ \frac{1}{y} \] (phần công việc)
Một giờ cả hai người làm được \[ \frac{1}{16} \] (phần công việc)
Từ đó, ta có phương trình : \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\left( 1 \right) \]
Người thứ nhất làm trong 3 giờ được \[ \frac{3}{x} \] (phần công việc)
Người thứ hai làm trong 6 giờ được \[ \frac{6}{y} \] (phần công việc)
Thì hoàn thành được \[ 25%=\frac{1}{4} \] công việc, nghĩa là: \[ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}\left( 2 \right) \]
Từ \[ \left( 1 \right) \] và \[ \left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình : \(\left( I \right)\left\{ \begin{align} & \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16} \\ & \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.\) ;
Đặt \[ \frac{1}{x}=a \] và \[ \frac{1}{y}=b, \] Khi đó :
\((I) \left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{1}{16} \\ 3 a+6 b=\frac{1}{4}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 a+3 b=\frac{3}{16} \\ 3 a+6 b=\frac{1}{4}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 a+3 b=\frac{3}{16} \\ 3 b=\frac{1}{16}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 a+3 b=\frac{3}{16} \\ b=\frac{1}{48}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 a+3 \cdot \frac{1}{48}=\frac{3}{16} \\ b=\frac{1}{48}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{24} \\ b=\frac{1}{48}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{24} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{48}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=24 \\ y=48\end{array}\right.\right.\)
Vậy người thứ nhất một mình hoàn thành công việc trong 24 giờ, người thứ hai một mình hoàn thành công việc trong 48 giờ.
Bài 34 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số luống rau là \[ x\left( x\in N \right) \] (luống)
Và số cây trong một luống là \[y\left( y\in N \right)\] (cây)
Số cây toàn vườn: \[ xy \] (cây)
Tăng thêm 8 luống cây: \[ x+8 \] (luống)
Mỗi luống trồng ít đi 3 cây: \[ y-3 \] (cây)
Số cây toàn vườn khi đó sẽ là: \[ \left( x+8 \right)\left( y-3 \right) \] (cây)
Thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây, nghĩa là: \[ xy-\left( x+8 \right)\left( y-3 \right)=54\left( 1 \right) \]
Giảm đi 4 luống: \[ x-4 \] (luống)
Mỗi luống trồng thêm 2 cây: \[ y+2 \] (cây)
Khi đó số cây toàn vườn là: \[ \left( x-4 \right)\left( y+2 \right) \] (cây)
Thì số cây toàn vườn khi đó tăng thêm 32 cây: \[ \left( x-4 \right)\left( y+2 \right)-xy=32\left( 2 \right) \]
Từ \[ \left( 1 \right) \] và \[ \left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình :\(\left\{\begin{array}{l}x y-(x+8)(y-3)=54 \\ (x-4)(y+2)-x y=32\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x y-(x y-3 x+8 y-24)=54 \\ x y+2 x-4 y-8-x y=32\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x-8 y=30 \\ 2 x-4 y=40\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3 x-8 y=30 \\ 4 x-8 y=80\end{array}\right.\right.\right.\right. \)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=50 \\ 4 x-8 y=80\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=50 \\ y=15\end{array}\right.\right.\)
Vậy khu vườn có 50 luống và mỗi luống trồng 15 cây.
Bài 35 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số tiền mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là \[ x,y\left( x,y>0 \right) \] (rupi),
Số tiền mua 9 quả thanh yên: \[ 9x \] (rupi),
Số tiền mua 8 quả táo rừng thơm: \[ 8y \] (rupi),
Tổng số tiền là 107 rupi: \[ 9x+8y=107\left( 1 \right) \] (rupi),
Số tiền mua 7 quả thanh yên: \[ 7x \] (rupi),
Số tiền mua 7 quả táo rừng thơm: \[ 7y \] (rupi),
Tổng số tiền là 91 rupi: \[ 7x+7y=91\left( 2 \right) \] (rupi),
Từ \[ \left( 1 \right) \] và \[ \left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình :
\(\left\{\begin{array}{l}9 x+8 y=107 \\ 7 x+7 y=91\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}9 x+8 y=107 \\ x+y=13\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}9 x+8 y=107 \\ 9 x+9 y=117\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}9 x+8 y=107 \\ y=10\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}9 x+8.10=107 \\ y=10\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=10\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy giá tiền mỗi quả thanh yên và mỗi quả táo rừng thơm là \[ 3,10 \] (rupi).
Bài 36 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số lần bắn được 8 điểm và 6 điểm lần lượt là \[ x,y\left( x,y\in N \right) \] (lần)
Có tổng cộng 100 lần bắn: \[ 25+42+x+15+y=100\Leftrightarrow x+y=18\left( 1 \right) \]
Điểm số trung bình là 8,69 điểm: \[\frac{25.10+42.9+x.8+15.7+y.6}{25+42+x+15+y}=\frac{733+8x+6y}{100}=8,69\Leftrightarrow 8x+6y=136\left( 2 \right)\]
Từ \[ \left( 1 \right) \] và \[ \left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình :
\(\left\{\begin{array}{l}x+y=8 \\ 8 x+6 y=130\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=18 \\ 4 x+3 y=65\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x+4 y=72 \\ 4 x+3 y=68\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x+4 y=32 \\ y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x+4.8=72 \\ y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=10 \\ y=4\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy số lần bắn được 8 điểm và 6 điểm lần lượt là : 10; 4 (lần).
Bài 37 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi vận tốc của hai vật lần lượt là \[ x \] (cm/s) và \[y\] (cm/s)
Điều kiện \[ x,y>0 \] .
Chu vi vòng tròn là : \[ 20\pi \] (cm)
Khi chuyển động cùng chiều, cứ 20 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là quãng đường 2 vật đi được trong 20 giây chênh lệch nhau đúng bằng 1 vòng tròn
⇒ Ta có phương trình: \[ 20x-20y=20\pi \] .
Khi chuyển động ngược chiều, cứ 4 giây chúng lại gặp nhau, nghĩa là tổng quãng đường hai vật đi được trong 4 giây là đúng 1 vòng tròn
⇒ Ta có phương trình: \[ 4x+4y=20\pi \] .
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{array}{l}20 x-20 y=20 \pi \\ 4 x+4 y=20 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-y=\pi \\ x+y=5 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x=6 \pi \\ x+y=5 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 \pi \\ x+y=5 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 \pi \\ y=2 \pi\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy vận tốc của hai vật là 3π cm/s, 2π cm/s.
Bài 38 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Đổi 1 giờ 20 phút = \[ \frac{4}{3} \] giờ, 10 phút = \[ \frac{1}{6} \] giờ, 12 phút = \[ \frac{1}{5} \] giờ.
Gọi thời gian vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể là \[ x\left( x\ge \frac{3}{4} \right) \] (giờ),
Và thời gian vời thứ hai một mình chạy đầy bể là \[ y\left( y\ge \frac{3}{4} \right) \] (giờ).
Một giờ vòi một chảy được: \[ \frac{1}{x} \] (phần bể)
Một giờ vòi hai chảy được : \[ \frac{1}{y} \] (phần bể)
Một giờ hai vòi chảy được: \[ \frac{3}{4} \] (phần bể)
Trong một giờ, hai vòi nước cùng chảy được: \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\left( 1 \right) \]
Nếu chỉ mở vòi thứ nhất trong và sau 10 phút và mở vòi thứ hai trong 12 phút thì được \[ \frac{2}{15} \] bể. \[ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\left( 2 \right) \]
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình: \((I) \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4} \\ \frac{1}{6 x}+\frac{1}{5 y}=\frac{2}{15}\end{array}\right.\)
Đặt \[ a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}. \] Khi đó
\((I)\left\{\begin{array}{l}a+b=\frac{3}{4} \\ \frac{1}{6} a+\frac{1}{5} b=\frac{2}{15}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 a+4 b=3 \\ 5 a+6 b=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}12 a+12 b=9 \\ 10 a+12 b=8\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 a=1 \\ 10 a+12 b=8\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2} \\ 10 \cdot \frac{1}{2}+12 b=8\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{4}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{2} \\ \frac{1}{y}=\frac{1}{4}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=4\end{array}\right.\right.\)
Vậy vòi thứ nhất một mình chảy đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai một mình chảy đầy bể trong 4 giờ.
Bài 39 (trang 24 SGK Toán 9 Tập 2):
Gọi số tiền người đó phải trả cho mỗi loại hàng chưa tính thuế là: \[ x,y \] \[ \left( 0 (triệu đồng).
Mức giá của loại hàng 1 nếu tính thuế 10% là : \[ x+10%x=1,1x \] ;
Mức giá của loại hàng 1 nếu tính thuế 10% là : \[ y+8%y=1,08y; \]
Khi đó, người mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng: \[ 1,1x+1,08y=2,17\left( 1 \right), \]
Mức giá của loại hàng 1 nếu tính thuế 9% là : \[ x+9%x=1,09x \] (triệu đồng);
Mức giá của loại hàng 1 nếu tính thuế 9% là : \[ y+9%y=1,09y \] (triệu đồng);
Người mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng: \[ 1,09x+1,09y=2,18\left( 2 \right), \]
Từ \[ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \] ta có hệ phương trình:
\(\left\{\begin{array}{l}1,1 x+1,08 y=2,17 \\ 1,09 x+1,09 y=2,18\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}110 x+108 y=217 \\ 109 x+109 y=218\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}110 x+108 y=217 \\ 108 x+108 y=216\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 x=1 \\ x+y=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{3}{2}\end{array}\right.\right.\right.\right.\right.\)
Vậy số tiền người đó phải trả cho mỗi loại hàng chưa tính thuế là: \[ \frac{1}{2};\frac{3}{2} \] (triệu đồng).
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tiếp theo toán học 9, toán 9 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức chính xác nhất