GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN VÀ GÓC CÓ ĐỈNH BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
+ Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
+ Hình vẽ: Góc \[ \widehat{BEC} \] là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là \[ \overset\frown{BnC},\text{ }\overset\frown{AmD} \] .
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Hay \[ \widehat{BEC}=\frac{sd\overset\frown{BnC}+sd\overset\frown{AmD}}{2} \] .
2. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn
+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.
+ Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ trên: Góc ∠BEC là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là \[ \overset\frown{BnC},\text{ }\overset\frown{AmD} \] .
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
Hay \[ \widehat{BEC}=\frac{sd\overset\frown{BnC}-sd\overset\frown{AmD}}{2} \] .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau. Tính góc và độ dài đoạn thẳng
Phương pháp:
+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau
+ Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, chứng minh các hệ thức.
Phương pháp:
+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau
+) Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song.
C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 36 (trang 82 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của cung AB và cung AC. Đường thẳng MN cắt dây AB tại E và cắt dây AC tại H. Chứng minh tam giác AEH là tam giác cân.
Lời giải
+ Do góc \[ \widehat{AHM} \] là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai cung \[ \overset\frown{AM},\text{ }\overset\frown{NC}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{AHM}=\frac{1}{2}.\left( \text{sd}\overset\frown{AM}+sd\overset\frown{NC} \right) \] (1)
+ Do góc \[ \widehat{AEN} \] là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn hai cung \[ \overset\frown{MB},\text{ }\overset\frown{AN}. \]
\[ \Rightarrow \widehat{AEN}=\frac{1}{2}.\left( \text{sd}\overset\frown{MB}+sd\overset\frown{AN} \right) \] (2)
+ Do M và N là điểm chính giữa cung \[ \overset\frown{AB},\overset\frown{AC}. \]
\[ \Rightarrow \overset\frown{AM}=\overset\frown{MB};\text{ }\overset\frown{AN}=\overset\frown{NC}. \]
\[ \Rightarrow sd\overset\frown{AM}=sd\overset\frown{MB};\text{ sd}\overset\frown{AN}=sd\overset\frown{NC}. \] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \[ \widehat{AHM}=\widehat{AEN}. \]
Do đó \[ \Delta AEH \] cân tại A.
Bài 37 (trang 82 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Chứng minh: \[\widehat{ASC}=\widehat{MCA}\].
Lời giải
+ Đường tròn (O) có dây AB = AC \[ \Rightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}. \]
+ \[ \widehat{ASC} \] là góc có đỉnh ngoài đường tròn chắn hai cung \[ \overset\frown{AB} \] và \[ \overset\frown{MC} \]
\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{ASC}=\frac{1}{2}.\left( sd\overset\frown{AB}-sd\overset\frown{MC} \right) \\ & =\frac{1}{2}.\left( sd\overset\frown{AC}-sd\overset\frown{MC} \right) \\ & =\frac{1}{2}sd\overset\frown{MA}\left( 1 \right) \\ \end{align}\)
+ \[ \widehat{MCA} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{MA} \]
\[ \Rightarrow \widehat{MCA}=\frac{1}{2}.sd\overset\frown{MA}\left( 2 \right) \]
Từ (1) và (2) suy ra \[ \widehat{ASC}=\widehat{MCA} \] .
Bài 38 (trang 82 SGK Toán 9 Tập 2):
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC,CD, DB sao cho \[ sd\overset\frown{AC}=sd\overset\frown{CD}=sd\overset\frown{DB}=60{}^\circ \] .
Hai đường thẳng AC và DB cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Chứng minh rằng:
a) \[ \widehat{AEB}=\widehat{BTC} \]
b) CD là tia phân giác của \[ \widehat{BCT} \]
Lời giải
a) + \[ \widehat{AEB} \] là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn hai cung \[ \overset\frown{AmB} \] và \[ \overset\frown{CnD} \] .
\[ \Rightarrow \widehat{AEB}=\frac{1}{2}\left( sd\overset\frown{AmB}-sd\overset\frown{CD} \right). \]
Mà sđ \[ \overset\frown{CD}=60{}^\circ ; \] sđ \[ \overset\frown{AmB}=360{}^\circ -\left( sd\overset\frown{AC}+sd\overset\frown{CD}+sd\overset\frown{DB} \right)=180{}^\circ . \]
\[ \Rightarrow \widehat{AEB}=60{}^\circ \] (1)
+ \[ \widehat{CTB} \] là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn hai cung \[ \overset\frown{BmC};\overset\frown{BnC} \] .
\( \begin{array}{l} \Rightarrow \widehat{\text{BTC}}=\frac{1}{2}. (sd\widehat{\text{BmC}}-sd\widehat{\text{BnC}})\text{ } \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }Ma\text{ }\widehat{\text{BmC}}=sd\overset{\frown }{\mathop{BmC}}\,=sd\overset{\frown }{\mathop{BmA}}\,+sd\overset{\frown }{\mathop{AC}}\,={{180}^{0}}+{{60}^{0}}={{240}^{^{{}^\circ }}} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }sd\overset{\frown }{\mathop{\text{BnC}}}\,=sd\text{ }\overset{\frown }{\mathop{\text{BD}}}\,+sd\overset{\frown }{\mathop{\text{DC}}}\,={{60}^{^{{}^\circ }}}+{{60}^{^{{}^\circ }}}={{120}^{^{{}^\circ }}} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\Rightarrow \widehat{\text{BTC}}={{60}^{^{{}^\circ }}}(2) \\ \text{ }\Rightarrow \widehat{AEB}=\widehat{BTC}. \end{array} \)
b) \[ \widehat{DCT} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến CT và dây CD
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat{\text{DCT}}=\frac{1}{2}\cdot \text{sd}\text{ }\overset{\frown }{\mathop{CD}}\,={{30}^{^{{}^\circ }}} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ +) }\widehat{\text{DCB}}=\frac{1}{2}\cdot \text{s }d\text{ }\overset{\frown }{\mathop{DB}}\,={{30}^{^{{}^\circ }}} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\Rightarrow \widehat{\text{DCT}}=\widehat{\text{DCB}}\text{ } \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ } \end{array} \)
Bài 39 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Trên cung nhỏ BD lây một điểm M . Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S.Chứng minh ES = EM.
Lời giải
+ \[ \widehat{\text{MSE}} \] là góc có đỉnh S ở trong đường tròn (O)
\(\Rightarrow \widehat{\text{MSE}}=\frac{1}{2}\cdot (sd\overset\frown{MC}+\text{sd}\overset\frown{AC})\)
+ \[ \widehat{\text{EMS}} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến ME và dây MC
\(\Rightarrow \widehat{\text{EMS}}=\frac{1}{2}sd\overset\frown{MC}=\frac{1}{2}(sd\overset\frown{MB}+sd\overset\frown{BC})\)
\[ \Rightarrow \widehat{MSE}=\widehat{EMS} \]
Mà \[ \Delta EMS \] cân tại E
\[ \Rightarrow ES=EM \] (đpcm).
Bài 40 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2):
Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn . Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD.
Lời giải
Tia phân giác AD cắt (O) tại E.
+ \[ \widehat{SDA} \] là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn
\(\Rightarrow \widehat{SDA}=\frac{1}{2}\cdot (sd\overset\frown{EC}+sd\overset\frown{AB})\) (1)
+ \[ \widehat{SAD} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây AE
\[ \Rightarrow \widehat{SAD}=\frac{1}{2}.s\tilde{n}\overset\frown{AE}=\frac{1}{2}.\left( s\tilde{n}\overset\frown{AB}+s\tilde{n}\overset\frown{BE} \right) \] (2)
+ \[ \widehat{BEA};\text{ }\widehat{EAC} \] lần lượt là các góc nội tiếp chắn các cung \[\overset\frown{\text{BE}}\text{ va}\overset\frown{\text{ EC}}\].
Mà \(\widehat{BAE}=\widehat{EAC}\Rightarrow sd\widehat{BE}=sd\widehat{EC}\) (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra \[ \widehat{SAD}=\widehat{SDA} \]
⇒ ΔSAD cân tại S
⇒ SA = SD.
Bài 41 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2):
Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên tròn đường tròn.
Chứng minh \[ \widehat{A}+\widehat{BSM}=2.\widehat{CMN} \] .
Lời giải
+ Góc \[ \widehat{A} \] là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (O) chắn hai cung NC và BM.
\[ \Rightarrow \widehat{A}=\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{NC}-s\tilde{n}\overset\frown{BM} \right) \]
+ Góc \[ \widehat{BSM} \] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O) chắn hai cung NC và BM
\[ \Rightarrow \widehat{BSM}=\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{NC}+s\tilde{n}\overset\frown{BM} \right) \]
\[ \Rightarrow \widehat{A}+\widehat{BSM}=\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{NC}-s\tilde{n}\overset\frown{BM} \right)+\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{NC}+s\tilde{n}\overset\frown{BM} \right)=s\tilde{n}\overset\frown{NC} \] . (1)
+ \[ \widehat{CMN} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{NC} \] .
\[ \Rightarrow \widehat{CMN}=\frac{1}{2}s\tilde{n}\overset\frown{NC} \] . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \[ \widehat{A}+\widehat{BSM}=2.\widehat{CMN} \] .
Bài 42 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. P,Q,R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC, CA, AB bởi các góc A, B, C.
a) Chứng minh AP ⊥ QR.
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân.
Lời giải
a) Gọi K là giao điểm của QR và AP.
\[ \widehat{AKR} \] là góc có đỉnh K nằm bên trong đường tròn
\[ \Rightarrow \widehat{\text{AKR}}=\frac{1}{2}\cdot (s\tilde{n}\overset\frown{AR}+\text{s }\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ }\overset\frown{PQ})=\frac{1}{2}.(\text{s }\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ }\overset\frown{AR}+\text{s }\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ }\overset\frown{BC}+\text{s }\!\!\tilde{\mathrm{n}}\!\!\text{ }\overset\frown{CQ}) \]
\[ =\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{2}\cdot \right.s\tilde{n}\overset\frown{AB}+\frac{1}{2}\cdot s\tilde{n}\overset\frown{BC}+\frac{1}{2}.s\tilde{n}\left. \overset\frown{CA} \right) \] (Vì P,Q,R là các điểm chính giữa cung \[ \overset\frown{BC},\overset\frown{AC},\overset\frown{AB}. \]
\[ =\frac{1}{4}\cdot {{360}^{{}^\circ }}={{90}^{{}^\circ }} \]
⇒ AP ⊥ QR.
b) + \[ \widehat{PIC} \] có đỉnh I nằm bên trong (O)
\[ \Rightarrow \widehat{PIC}=\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{PC}+s\tilde{n}\overset\frown{AR} \right) \] (1)
+ \[ \widehat{PCI} \] là góc nội tiếp chắn cung \[ \overset\frown{PR} \]
\[ \Rightarrow \widehat{PCI}=\frac{1}{2}s\tilde{n}\overset\frown{PR}=\frac{1}{2}.\left( s\tilde{n}\overset\frown{RB}+s\tilde{n}\overset\frown{BP} \right) \] (2)
+ R, P lần lượt là điểm chính giữa các cung \[ \overset\frown{AB},\overset\frown{BC}. \]
\[ \Rightarrow \overset\frown{\text{AR}}=\overset\frown{\text{RB}},\overset\frown{\text{BP}}=\overset\frown{\text{PC}}\text{ }(3) \]
Từ \[ (1);(2);(3)\Rightarrow \widehat{\text{PIC}}=\widehat{\text{PCI}} \]
⇒ ΔPCI cân tại P.
Bài 43 (trang 83 SGK Toán 9 Tập 2):
Cho đường tròn (O) và hai dây cung song song AB, CD (A và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ BD); AD cắt BC tại I. Chứng minh:
Lời giải
+ (O) có 2 dây AB//CD
Áp dụng kết quả bài 13, ta có: \[ \overset\frown{AC}=\overset\frown{BD} \]
+ \[ \widehat{AIC} \] có đỉnh I nằm trong đường tròn (O)
\[ \Rightarrow \widehat{AIC}=\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{AC}+s\tilde{n}\overset\frown{BD} \right)=\frac{1}{2}\left( s\tilde{n}\overset\frown{AC}+s\tilde{n}\overset\frown{AC} \right)=s\tilde{n}\overset\frown{AC} \]
+ \[ \widehat{AOC} \] là góc ở tâm chắn \[ \overset\frown{AC} \]
\[ \Rightarrow \widehat{AOC}=s\tilde{n}\overset\frown{AC} \]
\[ \Rightarrow \widehat{AIC}=\widehat{AOC} \]
Vậy \[ \widehat{AIC}=\widehat{AOC}. \]
Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa góc có đỉnh ở bên trong đường tròn toán học 9, toán 9 hình học lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất